Ich zeige Ihnen hier zwei ganz wichtige Eigenschaften des Matrix-Vektor-Produkts. Zuerst möchte ich an eine Matrix A einen Standard-Einheitsvektor dran multiplizieren. Also ich interessiere mich für das Ergebnis von A mal IJ.

Und um das zu berechnen, schreiben wir es eben mal aus. A hat die Einträge IJ. Das heißt, ich habe hier in der ersten Zeile A11, A12 und so weiter. Irgendwann kommt auch A1J und das geht so weiter, bis ich bei A1N bin. In der zweiten Zeile steht A21, A22.

Unter A1J steht nun A2J und unter A1N steht A2N. Und so geht das immer weiter bis zur letzten Zeile. Da steht AM1, AM2 bis AMJ und irgendwann auch AMN.

Das ist die Matrix A. An die multipliziere ich den Einheitsvektor dran, den J. Das heißt, das ist der Vektor, der fast nur aus Nullern besteht. Nur an einem einzigen Eintrag, nämlich an dem J, hat er eine 1.

Das hier ist die J-Stelle. Wenn ich nun dieses Produkt ausrechne, dann heißt es, ich nehme diese Spalte, lege sie auf jede Zeile und bestimme zunächst die Produkte der Zahlen, die da aufeinanderliegen kommen, und die summiere ich dann auf.

Und hier sehen wir auf dieser ersten Zeile, da kommen fast überall nur Nuller zu liegen. Das heißt, diese Produkte sind alle null bis auf den Fall, in dem ich mit dieser Komponente hier arbeite. Und weil das die J ist, trifft die hier auf A1J.

Das heißt, ich habe hier ein A1J mal 1. Das kann ich weglassen und ansonsten nur Nuller. Die erste Komponente dieses entstehenden Vektors ist also A1J. Genauso mache ich das mit der zweiten Zeile.

Wieder diese Spalte drauflegen auf die Zeile. Da entstehen viele Nuller bis an der J-Stelle. Da entsteht ein A2J. Und so weiter kommt A3J etc. bis AMJ.

So, das heißt, mein Ergebnis ist, wenn ich mir das angucke, A1J, A2J bis AMJ, genau die J-Spalte von A. Das hier ist die J-Spalte von A.

Halten wir das ruhig nochmal fest. Also multipliziert man an die Matrix A, eine M-Kreuz in Matrix war das,

den J-Einheitsvektor EJ, das R hoch N, so erhält man die J-Spalte von A.

Sprich, wann immer ich eine Matrix mit so einem Standard-Einheitsvektor multipliziere, brauche ich nicht groß nachdenken, ich gucke einfach in die entsprechende Spalte.

Machen wir da ruhig ein Beispiel, wenn wir 2, 1, 1, 3 diese Matrix multiplizieren mit E2, also ausgeschrieben 2, 1, 1, 3, mal 0, 1.

Da kommt dann eben gerade nur die zweite Spalte raus, das ist 1, 3. Oder nehmen wir die Matrix mit der Diagonalen 1, 2, 3, 4 und nullen sonst, ich schreibe das mal nur so hin, also überall wo ich jetzt keinen Eintrag hingeschrieben habe,

steht eigentlich eine Null, und nehme den mal E3, dann bekomme ich die dritte Spalte hier heraus, also gerade 3 mal E3. Die zweite Eigenschaft der Matrix-Vektor-Multipliktation ist die folgende.

Wenn ich eine Matrix A nehme, sagen wir, A ist wiederum eine M-Kreuz-N-Matrix, und sind V und W 2-Spalten-Vektoren im R hoch N, und Lambda und Mu irgendwelche Zahlen,

sogenannte Skalare, dann ist A mal der Vektor, der aus dieser Linearkombination Lambda-V plus Mu-W besteht, das gleiche, wie wenn ich Lambda mal die Matrix-Vektor-Multiplikation

A mal V ausführe und dazu Mu mal A mal W dazuzähle. Und dafür hat man einen Namen, da sagt man diese Zuordnung, V geht nach A mal V, die ist linear.

Schauen wir uns das an, rechnen wir das nach, und ich möchte da zu erinnern an die Ithekomponente dieses Produktes A mal V. Wie ist die bestimmte nun die Ithekomponente, das ist die Ithezeile, das ist einfach nur aI1V1 plus aE2V2 und immer so weiter bis aInVn.

Und das bestimme ich jetzt für die linke Seite, das heißt, ich schaue mir an, was ist die Ithekomponente von A mal Lambda-V plus Mu-W, das rechne ich hier ganz stupide

aus, wie es wir auch gerade gemacht haben, aI1 mal Lambda, so V1 plus Mu-W1, das ist

die erste Komponente dieses Vektors und dann kommt aI2V2 plus Mu-W2 und immer so weiter bis ich irgendwann bei aIn mal Lambda-Vn plus Mu-Wn bin.

Das kann ich ein wenig umformen, ich möchte nämlich alle Terme mit Lambda und alle Terme mit Mu zusammenfassen, das ist also Lambda mal eine große Summe und plus Mu mal eine

V1, dann habe ich hier ein aI2V2 und genauso in allen anderen Summanden bis ich zuletzt hier noch ein aInVn habe. Und für Mu finde ich aI1V1 plus aI2V2 plus in diesen all

kommt das auch immer einmal vor, plus im letzten habe ich aInVn.

Was habe ich damit gewonnen? Nun jetzt schauen wir uns diese Klammern an, was steht hier aI1V1 plus aI2V2 plus plus plus aInVn, das ist genau das hier, das heißt, hier

die Komponente von a mal V und hier steht dasselbe nur mit V, also Mu mal a mal WI. Das heißt, wir haben jetzt für die it-Komponente genau das gezeigt, was wir zeigen wollten.

Das heißt, nun, weil I schließlich ganz beliebig ist, es ist egal, ob ich das erste, zweite oder die dritte oder die siebte oder die nte diese Komponenten benutze, da

I von 1 bis M beliebig ist, folgt genau diese Behauptung, also a mal Lambda V plus Mu W gleich Lambda a mal V plus Mu a mal W.