Ja, also, jetzt darf ich gerade nochmal drüber wischen, weil das ist nämlich schon ein bisschen angetrocknet. Also, wiederholen wir es nochmal, was wir gerade gesagt haben. Wir haben uns mit Konkurrenz-Abbildung beschäftigt das ganze Semester lang. Ja, wir haben uns mit Konkurrenz- Abbildung beschäftigt und die sind gradentreu, parallelentreu, längentreu, winkeltreu,

nicht orientierungstreu in der Regel. Nämlich, wenn ich eine ungerade Anzahl von Achsenspiegelungen miteinander verkette, dann ist das Produkt nicht orientierungstreu und nicht aber, sondern und wir haben herausgefunden, dass wir maximal, dass wir jede Konkurrenz-

Abbildung mit maximal drei Achsenspiegelungen darstellen können. Schön, okay. Jetzt betreten wir einen neuen Bereich von Abbildungen, nämlich die Ähnlichkeits-Abbildung. Wodurch

unterscheiden sich die Ähnlichkeits-Abbildungen von den Konkurrenz-Abbildungen? Nicht mehr unbedingt längentreu, richtig? Könnte theoretisch auch mit der Faktor 1 strecken oder so und dann hätte ich halt eine Konkurrenz-Abbildung. Aber die Ähnlichkeits-

Winkeltreu, parallelentreu, geradentreu. Sehr schön, verhältnistreu, genau. Das ist nämlich genau das, was wir gerade mit dem Strahlensatz untersucht haben. Die

Verhältnisse bleiben gleich, auch wenn die einzelnen Streckenlängen größer oder kleiner werden. Konkurrenz-Abbildungen sind natürlich auch verhältnistreu. Mit

ein System von geometrischen Abbildungen definieren, in das sich Konkurrenz-Abbildungen und Ähnlichkeits-Abbildungen wunderschön zusammen einsortieren lassen. So dass wir am Ende da stehen und sagen, ja so ist es also. Und wir haben ja schon auch Gruppenüberlegungen gemacht mit Konkurrenz-Abbildung. Das war ja auch wunderschön. Das ist eine Gruppe,

das ist eine Gruppe, das ist keine Gruppe und so weiter. Und jetzt betten wir das noch in ein größeres System an Abbildungen ein und gehen am Ende des Tages nach Hause und sind zutiefst zufrieden. Okay, gut. So und das machen wir jetzt so ein

bisschen, werden wir heute anfangen und nächste Woche weitermachen. Ich definiere

erstmal einen der, wie soll man sagen, allgemeineren Typ von geometrischen Abbildungen, nämlich die Kollineation. Ihr braucht das nicht mitschreiben. Ich werde euch dann noch einen Text online stellen, bei dem das alles steht. Also lieber mitdenken.

Als Kollineation der Ebene, also wir bewegen uns immer nur in der Ebene.

Kleine Seitenbemerkung. Wir könnten all das, was wir im Semester gemacht haben, auch in den Raum transferieren. Was ist eine Achsenspiegelung im Raum? Auf einmal kann man an einer Ebene spiegeln und so weiter. Da kommen auf einmal ganz neue

Dinge und da kann man sich auch überlegen, wie ist das eigentlich. Wer Lust hat, kann das auch mal machen. Bezeichnen wir bijektive und geradentreue und damit auch

inzidenztreue, was das heißt, sage ich gleich, Punktabbildungen einer Ebene auf sich selbst. So okay, also erstmal, wir haben eine Abbildung der Ebene, die

die erste Voraussetzung ist, eine Kollineation muss bijektiv sein. Was bedeutet das? Genaue Zuordnung, ja, in der Bildmenge. Injektiv und sujektiv. Die Begriffe,

was ich habe, eine bijektive Abbildung ist eine injektive und sujektive Abbildung. Injektiv bedeutet, das ist kein von beiden. Genau, jeder Wert in der, das ist

sujektiv. Sujektivität bedeutet, jeder Punkt wird erreicht durch die Abbildung. Jeder Punkt der Ebene ist ein Bildpunkt unter dieser Abbildung. Es kann nicht sein, dass wir alle Punkte der Ebene auf einen Punkt abbilden. Das wäre denkbar. Alle

Punkte werden auf dem Punkt 00 abgebildet. Koordinatengitter oder so, wäre denkbar. Das ist nicht bijektiv, weil es nicht sujektiv ist. Jeder Punkt ist Bildpunkt. Auf jedem Punkt der Ebene geht ein Pfeil der Abbildung. Und injektiv

bedeutet, genau ein Pfeil. Es gehen nicht zwei oder drei oder vier Pfeile auf einen Punkt. Es gibt also nicht zwei verschiedene Punkte, die auf denselben Punkt abgebildet werden. Sujektiv bedeutet, mindestens ein Pfeil pro Punkt. Injektiv bedeutet,

maximal ein Pfeil pro Punkt. Also insgesamt genau ein Pfeil. Man hat dann so eine 1 zu 1 Abbildung. Deswegen gibt es dann auch die Umkehr-Abbildung. Ihr erinnert euch, Biaktivität. Also letzten Endes, jedem Punkt wird ein anderer Punkt zugeordnet, als den anderen Punkten. Und alle Punkte werden erreicht der Bildebene. Wir haben die ganze

Zeit nur bijektive Abbildungen gehabt. Konkurrenz-Abbildungen sind alle biaktiv. Da wird eine Verschiebung, da werden alle Punkte erreicht und jeder Punkt wird auf einen anderen Punkt abgebildet. Es werden nicht zwei Punkte auf den gleichen Punkt abgebildet, und so weiter. Genau. Also wir haben bijektive Abbildungen und geradentreu. Geradentreu wissen

wir schon. Geraden, wenn auf geraden abgebildet. Was bedeutet jetzt Inzidenztreu? Inzidenztreu bedeutet, wenn ein Punkt auf einer Gerade lag vor der Abbildung, dann liegt er auch nach der Abbildung drauf. Und das folgt zwangsläufig aus der Geradentreue. Wenn nämlich eine

Gerade vorher und nach einer Gerade ist und auf einer Gerade liegen drei Punkte, dann müssen die drei Punkte später auch auf der Gerade liegen. Weil wenn die dann nicht auf der Gerade liegen würden, dann würden die drei Punkte auf einer krummen Kurve liegen und es werden auf einmal keine Gerade mehr. Das Bild. Also das ist das Gleiche. Eine

Kolonisation ist eine biaktive Abbildung, die geradentreu und damit auch Inzidenz-treu ist. Das heißt Punkte, die vorher auf geraden lagen, liegen auch danach auf der Bildgeraden. Die Bildpunkte liegen auf der Bildgeraden. Ok. Das ist relativ allgemeine Abbildung, denn da fallen alle Konkurrenz-Abbildungen drunter. Ich sage ja noch nichts über Längentreue, nichts über Winkeltreue, nichts über Orientierungstreue und so weiter.

Gut. Jetzt beweisen wir es. Ach übrigens, falls ihr mal ein Buch haben wollt,

ein gutes Buch. Gleich auch die Empfehlung. Krauter und Bescherer, Erlebnisselementargeometrie. Das ist ein gutes Buch. Da wird vieles, genau vieles, was wir machen, orientiert sich da dran und wir haben das sehr gut aufgearbeitet. So. Ok. Inzidenz-treu. Inzidenz ist falsch

geschrieben. Dankeschön. Flogicali. Flogicali. Ich weiß nicht, ob ihr mich ausbricht. Ich kann es ja mal versuchen, in der Lautschrift das in den Chat zu schreiben. Ok. Inzidenz-treu.

Gut. Ok. Jetzt beweisen wir gleich mal was. Satz. Jede Kuliniation, der Ebene, der Ebene spare ich mir jetzt. Wir reden nur über die Ebene. Jede Kuliniation ist

parallelentreu. Ich hätte vorher sagen können, Kuliniation ist eine Abbildung, die geradentreu, bijektiv geradentreu und parallelentreu ist. Brauche ich aber nicht.

Ich muss nur sagen, Kuliniation sind bijektiv und geradentreue Abbildungen und damit sind sie automatisch parallelentreu. Ich kann sozusagen keine bijektive geradentreue Abbildung haben, die nicht zugleich auf parallelentreu ist. Ah, super, oder? Die Frage ist nur,

warum? Beweis. Ach, es ist schön mal wieder hier so einen Definitionssatz Beweis zu machen. Das habe ich eh nicht mehr gemacht. Definitionssatz Beweis, Satz Beweis, Satz Beweis. Ja, oder? Jetzt

machen wir hier voll auf Uni ein. Gut. Ja. Jede Kuliniation ist parallelentreu. Wie könnte man das beweisen? Hat jemand eine Intuition? Ja? Ja, könnte das sein, wenn man im

Begriff die Parallelen sich schneiden und so. Ich meine jetzt die Idee, wie man so grundsätzlich zum Beweis rangeht. Wenn ich sage, alle, wie könnte man rangehen? Also, was machen wir wieder?

Indirekten Beweis. Genau, wir machen indirekten Beweis und führen es zum Widerspruch. Also, gehen wir mal davon aus, wir haben zwei Parallelen, G und H, die abgebildet werden

auf G-Strich und H-Strich, vielleicht so, und dann nicht parallel sind. Also G und H sind danach nicht mehr parallel. Was ist dann der Fall? Sie schneiden sich nämlich in Punkt,

ja, nennen wir den Punkt vielleicht S-Strich. S-Strich, was gilt jetzt für S-Strich? S-Strich liegt auf G-Strich und auf H-Strich und damit? Weil? Inzidenz. Genau. Also S-Strich liegt auf

G-Strich und H-Strich. Inzidenzproteu bedeutet ja, wenn S-Strich auf G-Strich liegt, muss auch schon S auf G gelegen haben. Und wenn S-Strich auf H-Strich liegt, muss schon S

auf H gelegen haben. Das heißt, G und H müssten schon einen gemeinsamen Punkt besessen haben, nämlich S. Widerspruch. Definition. Okay, also wir haben jetzt Koloniation definiert.

Koloniationen sind von Definition her biaktiv und geradentreu und inzidenztreu und damit auch parallelentreu. Und jetzt definieren wir eine Dilatation. Den Begriff hatten wir, glaube ich, schon mal. Dilatation ist eine Koloniation, für die gilt, jede Bildgerade

ist parallel zu ihrer Originalgeraden. Das ist nicht parallelentreu. Parallelentreu bedeutet,

parallele Geraden sind anschließend wieder parallel. Sie müssen aber nicht parallel sein zu ihren Originalgeraden. Nehmen wir mal die Drehung. Wenn ich parallel geraden drehe, sind sie danach weiterhin parallel, aber nicht zu ihren Originalgeraden. Also trotzdem ist eine Drehung eine Koloniation, parallelentreu. Bei der Dilatation kommt jetzt was dazu,

nämlich jede Bildgerade ist zusätzlich noch parallel zu ihrer Originalgeraden. Hatten wir schon Abbildungen, bei denen es der Fall ist? Kennen wir schon Dilatation? Verschiebung,

Punktspiegelung. Sehr gut, das sind die beiden. Verschiebung und Punktspiegelung. Achsenspiegelung nicht, Drehung nicht, Schubspiegelung nicht. Kurz nachgedacht, Schubspiegelung auch nicht. Verschiebung und Punktspiegelung sind Dilatation und,

ich sage euch jetzt, worauf es hinausläuft, zentrische Streckungen auch, die zwar keine Konkurrenz-Abbildungen sind, aber Dilatationen. Okay, ich möchte noch einen Begriff einführen,

den wir noch nicht haben, der aber relativ schnell zu verstehen ist. Wenn ich eine

Abbildung habe und ich habe einen Punkt P, da wird auf einen Punkt P Strich abgebildet und ich ziehe die Gerade dadurch, dann nennt man die Spurgerade. Okay, ihr habt einen Punkt, der wird auf einen anderen Punkt abgebildet und dann gibt es eine Spurgerade, die ziehe ich

einfach durch diese beiden Punkte durch. Und jetzt gibt es folgenden Satz, Diffusion Satz. Bei einer Dilatation sind alle Spurgeraden P, P Strich fixgeraden. Alle

Beweise. Wie führen wir den Beweis? Hat jemand eine Idee für eine Art des Beweises,

den wir führen können? Indirekter Beweis mit Widerspruch. Sehr gut. Also geben wir davon aus, die Spurgerade, also hier ist der Punkt P, Punkt P wird abgebildet auf P Strich. Das

ist die Spurgerade G. Wo muss jetzt, angenommen die ist jetzt nicht parallel, was wäre dann der Fall? Ja die durch die durch Q Strich, ja also G Strich, die gerade G Strich muss ja auf jeden

Fall durch welchen Punkt gehen. Durch P Strich, weil Inzidenz treue, also könnte das ja ja

P Strich sein. Was heißt mein Punkt Q, der nicht der gleiche sein dürfte? Wir haben noch,

das kann schon nicht sein. Warum nicht? Ne, die Inzidenz treu gilt nicht für P. Also wenn ich nur eine Kollineation hätte, wäre das ja denkbar durch die Drehung oder so. Aber ich

habe ja nicht nur eine Kollineation, sondern was habe ich? Eine Dilatation. Und bei einer Dilatation ist jede Bildgerade parallel zu Ursprungsgeraden. So, also ich bilde G auf eine nicht zu, also angenommen G wäre keine Fixgerade. So, dann würde sie ja irgendwo

anders liegen, aber auf jeden Fall würde durch P Strich gehen. So, jetzt gibt es zwei sein, weil G Strich muss ja parallel zu G sein. Und weil P Strich auf G Strich liegt und

G Strich parallel zu G sein muss, muss G Strich gleich G sein. Nach parallelen Aktionen geht ja durch jeden zu einer Gerade durch einen Punkt immer genau eine Parallele. Und die

Parallele zu G durch P Strich ist, wenn P Strich auf G liegt, G. So, genau, bewiesen. Vielleicht kommen wir jetzt sogar doch noch durch. Cool. Wobei ich muss die Tafel wischen. Das dauert

wieder einen kleinen Moment. Nein, G Strich ist keine Spurgerade. Ne, ne, G ist die Spurgerade. Also G ist die Spurgerade von P, P Strich. Und die Aussage ist ja, die Spurgerade ist eine Fixgerade. Das heißt, G Strich gleich G. Und wir haben jetzt, warum

muss G Strich gleich G sein? Weil P Strich auf G Strich liegt und G Strich parallel sein muss zu G, muss G gleich G Strich sein. So, weiter geht's. Wir können vielleicht während wir

das machen überlegen, ist das denn so? Sind alle Spurgeraden Fixgeraden bei einer Verschiebung? Angenommen, ich verschiebe einen Punkt P auf P Strich und die Spurgerade dadurch, ist das

eine Fixgerade? Ne? Also ich habe Punkt P, P Strich. P wird auf P Strich verschoben in diese Richtung. Genau, die Verbindungsrichtung ist parallel zum Verschiebungsvektor, richtig?

Genau. Und da demnach muss es eine Fixgerade sein. Wie ist das bei der Punkt Spiegelung? Ein Punkt P wird auf P Strich abgebildet und ich habe die gerade Spurgerade P, P Strich.

Wo geht die durch? Durch den Spiegelpunkt. Und jede Gerade, die durch den Spiegelpunkt geht, ist bei der Punkt Spiegelung fixgerade. Sehr schön. Und weil wir ja wissen, worauf es hinausläuft, zentrische Streckung, P wird auf P Strich abgebildet. Wo geht

die Spurgerade durch? Bei der zentrischen Streckung, wenn P auf P Strich abgebildet wird? Ja, parallel. Also stellt euch eine zentrische Streckung vor. Von wo aus gehen

alle Strahlen aus? Von Zentrum. Genau, S. Vom Streckzentrum. Z, von mir aus Z, von Z. Ja, die geht da durch und demnach ist es auch eine Fixgerade. Gut. So,

das heißt, gehen wir diese drei Typen nochmal. Verschiebung, Punkt Spiegelung, zentrische Streckung. Wir wissen jetzt, alle Spurgeraden sind fixgeraden, bei allen dreien. Wie sieht es mit Fixpunkten aus? Bei der Punkt Spiegelung, wie viele Fixpunkte gibt's?

Einen. Und da gehen alle diese Spurgeraden durch. Bei der zentrischen Streckung, wie viele Fixpunkte gibt's? Einen. Und da gehen alle Spurgeraden durch. Bei der Verschiebung, wie viele Fixpunkte gibt's? Keinen Fixpunkt, genau. Und alle Spurgeraden

sind parallel. Und wir beweisen jetzt, dass es nur diese beiden Situationen geben kann. Entweder ich habe einen Fixpunkt, bei einer Dilatation habe ich entweder einen Fixpunkt, da gehen alle Spurgeraden durch. Bei der Punkt Spiegelung, der Spiegelpunkt, bei der zentrischen

Streckung, das Zentrum. Oder alle Spurgeraden sind parallel. Es kann keine zwei Fixpunkte geben, bei denen die Dilatationen durchgehen, die Spurgeraden durchgehen. Wir beweisen erst

mal folgendes. Jede Gerade G, die durch einen Fixpunkt P, P oder F, F wie Fixpunkt,

F einer Dilatation verläuft, ist eine Fixgerade. Bei der Punkt Spiegelung, bei der Zentrischen

Streckung so weiter sind alles Fixgeraden. So. Also, Beweis, wie machen wir's? Okay,

oder? Ich habe einen Fixpunkt F bei der Dilatation und eine Gerade G, die durch den Fixpunkt F läuft. Jetzt wollen wir zeigen, das ist eine Fixgerade. Was wissen wir, wenn F ein

Fixpunkt ist? Nämlich wo? Ja, Vorsicht, das wollen wir zeigen, genau. Also, wo liegt

F Strich? F, genau. Das ist ein Fixpunkt. F gleich F Strich. Also wissen wir, G Strich muss durch F Strich gehen und, weil es eine Dilatation ist, parallel sein zu G. Also,

gibt nur einen Fall. Genau. Du bist jetzt drin. G muss, also F ist gleich F Strich. F Strich muss auf G Strich legen, weil die Dilatation eine Kollineation ist, in dem Fall inzidenztreu.

Und weil es eine Dilatation ist, muss G Strich parallel zu G sein. Und wenn G Strich parallel zu G ist und durch F Strich geht und F Strich auf G liegt, muss auch G Strich G sein. Gut, wunderbar. Und einen Fixpunkt, bei dem jede Gerade, die durch ihn läuft,

eine Fixgerade ist, nennt man Zentrum. So, und jetzt kommt der Satz. Eine Dilatation

besitzt höchstens einen Fixpunkt. Eine Dilatation, ah, Entschuldigung, eine echte

Dilatation. Also, wir schließen die Identität aus. Die Identität ist natürlich auch eine

Dilatation. Ist eine Kollineation, bijektiv, geradentreu und jede Parallelie wird auf eine Parallelgerade abgebildet. Jede Gerade wird auf eine zu sich parallele Gerade abgebildet. Das ist die Identität. Aber das ist natürlich jeder Punkt ein Fixpunkt. Das schließen wir

mal aus. Also, nicht die Identität. Wie beweisen wir das? Jede Dilatation hat maximal einen Fixpunkt. Hat jemand eine Idee für einen Beweis? Indirekter Beweis. Also,

höchstens einen Fixpunkt. Angenommen, es gibt zwei Fixpunkte. F1 und F2. Angenommen,

wir haben zwei Fixpunkte. Ich gebe euch jetzt mal einen Tipp noch. Wir gucken uns jetzt mal irgendeinen beliebigen Punkt der Ebene an. Irgendeinen Punkt. Pi. Was können wir jetzt

sagen? Das sind Fixpunkte. Was wissen wir? Können wir schon mal eintragen? Wer darf sie selbst abgebildet? Also F1 ist gleich F1 Strich und F2 ist gleich F2 Strich. Was wissen

wir noch? Jede Gerade, die durch die Fixpunkte geht, ist eine Fixgerade. Also auch die Gerade

hier. G gleich G Strich und auch die hier sind Fixgeraden. Also, ich habe zwei Fixpunkte.

Alle Spurgeraden. Jede Gerade, die durch die Fixpunkte läuft, ist eine Fixgerade. Also, sind das beides Fixgeraden und die schneiden sich in P. Was bedeutet das für P Strich?

Ja? Inzidenztreue, genau. Wenn P auf G liegt, muss P Strich auf G Strich liegen. Wenn P auf H liegt, muss P Strich über V liegen. Also wird P auf P Strich abgebildet. P ist ein Fixpunkt. Jeder

beliebige Punkt ist ein Fixpunkt in der Situation. Ich habe irgendeinen beliebigen Punkt genommen. Wenn ich jetzt den hier nehme, Geraden durch die beiden Fixpunkte, Inzidenztreue, Fixpunkt. Das heißt, was für eine Abbildung, wenn ich zwei Fixpunkte habe,

was für eine Abbildung habe ich? Identität. Genau. Und die habe ich aber ausgeschlossen als Voraussetzung. Das heißt, jede Dilatation, die nicht die Identität ist, hat höchstens einen Fixpunkt. Entweder sie hat keinen Fixpunkt, dann haben wir die Verschiebung. Oder sie hat

einen Fixpunkt. Und dann ist es entweder die Puntspiegelung oder die zentrische Streckung. Und wenn wir mal genau sind, ist die Puntspiegelung ein Spezialfall der zentrischen Streckung. Mit negativen Streckfaktor minus eins. Genau. So, was wir jetzt noch nicht

gezeigt haben, ist, dass diese beiden Dinge. Also wir haben jetzt noch nicht gezeigt, wenn ich

einen Fixpunkt habe, dann ist es eine zentrische Streckung. Und wenn ich keinen Fixpunkt habe, dann sind alle fixgeraden parallel. Haben wir auch noch nicht gezeigt. Oder alle spurgeraden sind parallel. Genau. Und das machen wir dann nächste Woche. Okay. Schön, dass ihr da wart. Trotz Bahnstreich und Bauern-Protest und so weiter. Schön,

dass ihr alle online mit dabei wart. Ich habe jetzt gar nicht geschaut, wie viele mit dabei waren. Es waren immer so 20, glaube ich. Voll cool und schön, dass ihr auch so schön mitgemacht habt. Ja, genau. Es wurde ja vorgeschlagen noch, hat eine Dilatation mehr als einen Fixpunkt, dann ist sie die identische Abbildung. Sehr schön. Auch ein guter Vorschlag. Das

könnte man auch als Corolla noch mit hinzuschreiben. So, ich wünsche euch auch noch einen schönen Tag. Und falls ihr Lust habt, heute Nachmittag nochmal einzuschalten. Um 14 Uhr, 15 circa, gibt es Strukturalgebra, Gruppentheorie. Okay, tschüss. Schön, dass ihr da wart.