Okay, schön, dass ihr da seid. Wir haben noch eine Aufgabe übrig vom letzten Mal, die wir noch nicht besprochen haben. Und zwar die folgende. Wir wollen zeigen, jede endliche Gruppe, oder genauer, jede endliche zyklische Gruppe der Ordnung N ist isomorph

zu der Restklassengruppe Modulo N mit der Addition als Operation.

Und um das Plus mache ich einen Kringel drumherum, dass klar ist, es ist die Addition in der Restklassengruppe. Gut, das wollen wir beweisen. Los geht's. Vielleicht lernen wir erst mal kurz die Begriffe. Was ist denn eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung N?

Was ist eine zyklische Gruppe? Ja, eine sich wiederholende. Ja, okay.

Also die Gruppenelemente wiederholen sich in gewisser Weise. Genau, es gibt ein erzeugendes Element. Also ein Element, das mit sich selbst verknüpft, alle Elemente der Gruppe ergibt.

Also, ich habe ein Element, wenn ich das mit sich selbst verknüpfe, kommt was raus? A hoch zwei. Wenn ich das mit A verknüpfe, kommt raus A hoch drei.

Und die Gruppe schreiben wir mal multiplikativ. Und ist klar, irgendwie kommt hier alles mit A hoch vier, A hoch fünf, A hoch sechs raus. Ich mache jetzt hier mal Punkt, Punkt, Punkt, damit wir allgemein bleiben. Wie heißt das Element hier oben? Das da.

Was muss ich mit A verknüpfen, um auf A hoch eins zu kommen? Ja, sag's. Ach so. A hoch null, genau.

Also hier oben steht, dieses Element ist A hoch null. Okay, es hat viele Namen. A hoch null, wie könnte man das Element hier oben noch nennen? A hoch eins. Und wie könnte man es noch nennen? Also, wenn ich jetzt hier rumlaufe.

Das Neutralelement, ja genau. Aber wenn ich jetzt hier rumlaufe, A hoch zwei, A hoch drei, A hoch vier, A hoch fünf. Was ist das? A hoch minus eins, sehr gut. Nee, A hoch minus eins ist das da. Das ist A hoch null, A hoch minus eins ist das davor. Wie heißt das noch, wenn ich jetzt einmal rumlaufe, das wievielte Element ist das?

A hoch n, genau. Bei einer Gruppe der Ordnung n, bei einer Gruppe der Ordnung n, ja, ist das Element hier auch A hoch n. Ich schreib mal hier A hoch n hin. Also das ist eins oder A hoch null oder A hoch n.

Was bedeutet nochmal Ordnung? Ordnung einer Gruppe? Okay, das heißt, wie viele Elemente habe ich hier? N Elemente, genau. Eins, A hoch eins, A hoch zwei, A hoch drei und so weiter bis ich wieder hier oben ankomme.

Dann wiederholt es sich. Und ich komme hier mit A hoch n an. Oder bin bei A hoch null gestartet. Okay, eine zyklische Gruppe. Wie sieht diese Gruppe hier aus? Zn mit der Addition.

Wie heißen die Elemente, wenn ich die jetzt beschriften wollte hier?

Aus welchen Elementen besteht Zn? Die Restklassengruppe modulo n. Welche Elemente hat diese Gruppe? Alle Elemente von null bis n-1. Alle Reste, die entstehen können, wenn ich durch n dividiere.

Okay. Das heißt, wie wollen wir das Element hier oben nennen? Null, okay. Was ist das für ein Element in der Gruppe?

Ja, wenn ich jetzt in der Gruppentheorie bin, sage ich mir, wie nennt man dieses Element da oben? Das ist ein ganz spezieller Name, genauso wie das Element hier drüben. Das neutrale Element. Okay, das Element ist dann die 1. Also die Restklasse 1, 2, 3 und so weiter.

Punkt, Punkt, Punkt, Punkt, Punkt. Und dann komme ich hier oben wieder an. Wie viel der Element ist, wenn ich hier rumlaufe? Also ist auch die Restklasse von welchem Element? Die gleiche Restklasse?

Nee, ich habe hier beliebig groß. Also n ist immer noch die Ortung dieser Gruppe. Ich komme hier, 0, 1, 2, 3. Wann komme ich hier oben wieder an? N, genau, also die Restklasse n.

Also Beispiel. Ich habe die Restklasse modulo 7. Dann habe ich alle Elemente 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Das sind Reste, die entstehen können, wenn ich durch 7 dividiere. Und wenn ich die 7 habe, dann ist die durch 7 natürlich äquivalent zu 0 modulo 7. Genauso wie die 14, die 21, die 28 und so weiter.

Gut. Was passiert hier von Element zu Element? Was wird hier immer addiert? 1, genau. Da wird immer die Restklasse 1 addiert.

Restklassenaddition hier. Da gibt es unterschiedliche Schreibweisen. Manche schreiben in eckigen Klammern, manche machen Strich drüber oder so. Das ist egal. Wir merken uns halt, okay, das ist die Restklasse.

Okay. So, jetzt sollen wir zeigen, dass diese Gruppe hier isomorph ist zu dieser Gruppe.

Wie macht man das? Genau. Was muss bijektiv sein und ein Homomorphismus? Du hast gesagt das. Wir müssen prüfen, ob das ein, ob das bijektiv ist und ein Homomorphismus.

Nee, nicht die beiden jeweils. Was brauchen wir?

Du würdest ihn da draufschieben, dann sieht man schon. Okay, das könnte man anhand der Strukturgleichheit sehen. Ich würde gerne mal an deine Frage zurück.

Oder deine Aussage. Wir müssen schauen, also zwei Gruppen sind isomorph, wenn, was der Fall ist, sojektiv, injektiv, das ist bijektiv zusammen und Homomorph. Was muss diese Eigenschaften haben?

Nicht die zweite Gruppe. Weder diese Gruppe braucht die Eigenschaften. Eine Gruppe kann nicht bijektiv oder injektiv oder sojektiv sein. Also diese Gruppe kann nicht injektiv sein und diese kann auch nicht injektiv sein. Was muss injektiv sein, sojektiv, ein Homomorphismus?

Ihr steht auf dem Schlauch, extrem gerade. Ich brauche eine Abbildung von der einen in die andere. Abbildungen können injektiv, sojektiv sein und ein Homomorphismus. Ich brauche eine Funktion, die abbildet.

Und die basteln wir uns jetzt. Prinz Trash hat es gesagt. Prinz Trash, geil, sehr schön. Die Abbildung der einen Gruppe auf die andere, sehr gut. Gut, dass wir hier online Personen dabei haben, die helfen können.

Bitte? Hier wird gerade gefragt, ob ihr auch bei der Klausur online mit dabei sein wollt. Nein. Okay, gut. Also, passt auf. Wir müssen jetzt eine Abbildung basteln. Wie, den nennt man immer Fi aus irgendeinem Grund.

Hat sich jemand mal ausgedacht, den nennt man Fi. Wie Funktion. So, welche Elemente bilden wir denn auf welche ab? Also jetzt gibt es natürlich alle Möglichkeiten. Beispiel, schaut mal genau her. Vorschlag, wir bilden dieses Element A2 ab auf 0, 1, 2, 3, 4 und so weiter.

Ist das okay? Also das Element hier wird darauf abgebildet und darauf und darauf und darauf. Du schüttelst mit dem Kopf, warum geht das nicht?

Nee? Wir brauchen eine eindeutige Zuordnung, genau. Was ist das Problem? Warum kann ich kein Element mehreren zuordnen? Nee, was wäre es dann nicht? Nee?

Besser aufpassen, Mensch. Ja, also warum kann ich nicht ein Element hier drüben mehreren Elementen in der Restklassengruppe zuordnen? Was wäre das dann nicht? Nee. Nee.

Ja. Dann wäre es keine Funktion. Ich kann doch bei f von x, gibt doch immer nur einen Wert. Kann doch nicht zwei Werte rauskriegen oder drei oder so. Ich kann nicht ein Element mehreren zuordnen.

Das funktioniert nicht bei einer Funktion. Nein. Das hat mit Birektiv gar nichts zu tun. Nee? Das war alles auf dieser Seite. Hier dürfen nicht mehrere Pfeile,

muss genau ein Pfeil bei jedem Element ankommen. Hier geht es darum, wie viele Pfeile können loslaufen. Und es kann von jedem Element nur ein Pfeil loslaufen, weil sonst hätte ich keine Funktion. Das linksmäßige. Links eindeutig.

Ja, genau. Von der Definitionsmenge muss von jedem Element genau ein Pfeil weg. Dann habe ich eine Funktion. Jetzt die Frage, wie viele kommen jeweils da drüben an? Und da spreche ich über Injektiv oder Sojektiv. Genau.

Von jedem Element hier drüben geht genau ein Pfeil weg. Genau. Angenommen, hier drüben wird kein Element getroffen, wird ein Element überhaupt nicht getroffen. Welche Bedingung wäre dann verletzt? Sojektivität. Genau. Jedes Element muss mindestens einmal getroffen werden von der Funktion.

Was wäre verletzt, wenn ein Element, also wenn ich zum Beispiel A1 und A2 hier abbilden würde, beide auf dieses Element? Was wäre dann verletzt? Die Injektivität. Genau. Weil da darf jedes Element nur höchstens einmal getroffen werden. Also wir müssen eine 1 zu 1 Abbildung finden zwischen diesen beiden Gruppen.

Und da gibt es natürlich auch viele Möglichkeiten. Jetzt wollen wir eine finden, eine 1 zu 1 Abbildung, die zusätzlich noch in Homomorphismus ist. Wie würdet ihr denn abbilden? Du hast gesagt, wir schieben einfach rüber, das ist das Sinnvollste. Was wäre das dann für eine Abbildung? Worauf würde A hoch 0 abgebildet werden?

Auf die 0. Worauf würde A hoch 1 abgebildet werden? Auf die 1. Und du hast es schon richtig erkannt. A hoch 2 wird abgebildet auf die? 2, genau. A hoch 3 wird abgebildet, Überraschung,

auf die 3 und so weiter. Und jetzt natürlich klar, hier habe ich n Elemente, da habe ich n Elemente. Und wenn ich die Abbildung so mache, habe ich eine bijektive Abbildung. Die ist injektiv und sujektiv.

Sie ist sujektiv, weil jedes Element erwischt wird. Und sie ist injektiv, weil ein Element nicht 2-mal getroffen wird von einem Pfeil oder 3-mal oder so. Das wäre eine bijektive Abbildung. Ok, also V ist bijektiv, haben wir bewiesen.

Check. V ist bijektiv. Jetzt müssen wir noch zeigen, dass V ein Homomorphismus ist. Was müssen wir da zeigen? Wie lautet denn jetzt die Zuordnungsvorschrift von V? I von was ist gleich was.

Genau, Homomorphismus bedeutet, ich hole es nochmal,

entweder ich verknüpfe erst in einer einen Gruppe und bilde das Ergebnis ab, oder ich bilde erst die beiden Elemente ab und verknüpfe sie in einer anderen Gruppe und muss beides mal das gleiche herauskommen. Jetzt müssen wir aber, um zu beweisen, dass es ein Homomorphismus ist, jetzt erst mal wissen, was bedeutet denn Phi von dem einen Element auf das andere?

Phi von A hoch N ist die Restklassengruppe N modulo N. Genau. Jetzt haben wir das N doppelt verwendet, das ist vielleicht ein bisschen ungünstig. Machen wir hier Phi von X, das ist die Restklassengruppe von X,

weil N ist ja schon die Ordnung. Gut, also A hoch X wird abgebildet auf X in der Restklasse. Und jetzt müssen wir zeigen,

I von was Homomorphismus ist gleich was. Wer kann es mal versuchen zu formulieren? Ich mache mal A hoch X mal Y vielleicht.

Phi von A hoch X, Phi von A hoch Y, das wollen wir zeigen.

Das wäre der Homomorphismus. So, das müssen wir jetzt beweisen.

Fangen wir mal links an. Phi von A hoch X mal A hoch Y ist gleich was. Also wir müssen jetzt links anfangen und umformen, algebraisch muss man rechts rauskommen.

Wenn das der Fall ist, ist es ein Homomorphismus, wenn es klappt. Genau, wir verknüpfen jetzt erst mal in der einen Gruppe. A hoch X mal A hoch Y ist doch Potenzrechengesetz wie von A hoch X plus Y.

Schreib hier mal Potenzgesetze drüber. Nein, das ist das Plus innerhalb der Exponenten der Potenz. Das ist ein ganz normales Plus, also ein Plus in Z.

Die Exponenten stammen ja aus Z. Also ich verknüpfe jetzt erst in der linken Gruppe A hoch X mal A hoch Y. Also XA ist miteinander verkettet und YA ist miteinander verknüpft. Es ist gleich wie X plus YA ist miteinander verknüpft. Was kann ich jetzt machen?

Ja, was kommt bei A hoch X plus Y raus? Phi von A hoch X plus Y ist gleich? Genau, die Restklassengruppe von X plus Y.

Und zwar über die Definition unserer Funktion Phi. Ja, genau, wenn X7 und Y, wenn wir Modulo 7 rechnen.

Und X plus Y käme 13 raus, dann ist das ja die Restklasse der 13. Das ist eine Äquivalenzklasse, wo alle Zahlen drin stehen, die äquivalent sind bei der Division Modulo 7. Also da kommt jetzt nicht 13 raus, sondern kommt 13 Modulo 7 raus, also 6 in dem Fall.

Also du willst jetzt rechts anfangen, ne? Ok, ich mach das jetzt mal, da hab ich jetzt nicht genug Platz, deswegen geh ich jetzt hier so lang.

Phi von A hoch X plus Phi von A hoch Y.

Ja, X, also Restklasse X plus Restklasse Y. Genau, das hier ist gleich das da. Wenn ihr hier bei einer Restklasse seid und dann eine zweite Restklasse addiert,

dann kommt ihr letzten Endes bei der Restklasse raus. Genauso als würdet ihr erst mal die beiden Zahlen addieren und dann die Restklasse bilden. Also hier ein Beispiel, wenn ihr die Restklasse 3 plus die Restklasse 5 nehmt.

Und angenommen wir sind bei der 7, bei Modulo 7. 3 Restklasse 3 plus Restklasse 5 würde ich hier rauskommen bei der 1. Ich kann aber auch 3 plus 5 rechnen, dann kommt 8 raus. Modulo 7 komm ich auch bei der Restklasse 1 raus.

Also diese beiden Ausdrücke hier sind gleich. Ja, und jetzt haben wir gezeigt, Phi von A hoch X mal A hoch Y ist gleich Phi hoch A von A hoch X plus Y ist gleich Restklasse X plus Y ist gleich Restklasse X plus Restklasse Y ist gleich Phi von A hoch X plus Phi von A hoch Y. Also es ist egal, ob ich erst eine einen Gruppe verknüpfe und dann abbilde

oder ob ich erst abbilde und in der anderen Gruppe verknüpfe. Das ist ein Homomorphismus. Ja, da ist wieder die Definition von unserem Phi.

Und hier ist das Rechnen in Zn. Kann man machen, ja genau. Ja, kannst du auch machen. Okay, also wir haben jetzt gezeigt, dass jede zyklische Gruppe der Ordnung N isomorph ist zu Zn.

Und da Zn so eine Struktur hier hat, ist jede zyklische Gruppe der Ordnung N sieht genau so aus.

Genau, also Vorsicht, ich wiederhole mal, also bei einer endlichen Gruppe, die vier Elemente hat, da haben wir gezeigt, es gibt genau zwei Möglichkeiten, die nicht isomorph sind,

nämlich bei vier Elementen die kleine Vierergruppe, das ist die Gruppe, das ist die Diädergruppe des Rechtecks. Da habe ich die zwei Achsenspiegelungen und die beiden Drehungen. Alles selbst inverse Elemente, kleinische Vierergruppe.

Was ist die andere Vierergruppe mit vier Elementen? Die Drehungen des Quadrats, die Drehsymetrien des Quadrats. Und das ist eine endliche Gruppe, die isomorph ist zu Z4. Nur die Drehsymetrien des Quadrats, das ist die Gruppe der Drehsymetrien des Quadrats.

Mit der Verkettung als Verknüpfung. Nee, ich wüsste, dass es einen Spezialnamen hat, zyklische Gruppe der Ordnung Vier. Letzten Endes, weil die sind ja alle isomorph.

Und die beiden sind nicht isomorph, die kleinische Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung Vier, weil bei der kleinischen Vierergruppe alle Elemente selbstinverse sind, bei der zyklischen Gruppe der Ordnung Vier nicht.

Die kleinische Vierergruppe hat kein erzeugendes Element, wenn sie eins hätte, wäre sie eine zyklische Gruppe der Ordnung Vier und damit isomorph. Er kann also kein erzeugendes Element haben. Hat's auch nicht. Du kannst ja sozusagen beim Rechteck die Achsenspiegelungen nicht durch Drehungen erzeugen.

Doch durch Achsenspiegelungen kann man schon Drehungen erzeugen, aber in diesem konkreten Fall nicht. Du kannst nicht dadurch, dass du ein Element mehrfach mit sich selbst verknüpft. Jedes Element der kleinischen Vierergruppe ist mit sich selbst verknüpft, ist ja alle selbstinverse, kommt das neutrale Element raus. Das heißt, die eine Achsenspiegelung mit sich selbst verknüpft, kommt das neutrale Element raus,

die andere mit sich selbst verknüpft, die Drehung mit 80 Grad auch. Du kannst also die anderen gar nicht erzeugen, weil jedes Element Quadrat hoch Vier, hoch Sechs immer das neutrale Element ergibt.

Okay. Ja, genau. In der kleinischen Vierergruppe, wenn ich ein Element hoch ungerader Exponent nehme,

dann kommt immer das Element selbst raus. Dann wenn ich eine Achsenspiegelung dreimal dieselbe Achsenspiegelung miteinander verkette, kommt wieder die Achsenspiegelung raus. Bei der Drehung mit 180 Grad genauso. Okay. So, gibt es dazu noch Fragen?

Nee. Dann schließen wir jetzt. Die Edergruppe. Da fragt man, wie viele Ecken eine Drehung, Drehsymmetrie oder Deckabbildung sind.

Eine Die Edergruppe. Die Frage ist, was ist eine Die Edergruppe? Geht es dann nur um diese Drehsymmetrien oder um alle Deckerbildungen? Bei den Die Edergruppen geht es um alle Deckabbildungen. Also beim Rechteck zum Beispiel um die beiden Achsenspiegelungen und die beiden Drehungen. Das sind vier Elemente. Das sind zusammen die Die Edergruppe des Rechtecks.

Wenn ich zum Beispiel ein Sechseck habe, dann kann ich die Gruppe der Drehsymmetrien beim Sechseck machen. Da habe ich sechs Elemente. Das ist eine zyklische Gruppe der Ordnung 6. Oder ich habe die Die Edergruppe. Beim Sechseck habe ich dann sechs Drehungen und sechs Achsenspiegelungen. Beim regelmäßigen Sechseck natürlich.

Genau. Die Die Edergruppe des Hexagons ist nicht isomorph zu der zyklischen Gruppe Z12, weil

jede Achsenspiegelung selbst inverses, nicht jede Drehung, aber jede Achsenspiegelung selbst inverses. Deswegen gibt es kein Element, das alle erzeugen kann.

Ja, es geht ums zyklische.

Also eine zyklische Gruppe ist eine zyklische Gruppe, wenn das ein erzeugende Element gibt, die alle Elemente erzeugen.

Wenn ich in dieser Gruppe mehrere Elemente habe, die selbst invers sind, kann es kein erzeugenden Element geben. Weil, wenn es beim Erzeugen irgendwann an eines dieser Elemente kommt, also die folgende

Überlegung ist die richtige. Angenommen habe ich das Sechseck.

Wenn ich jetzt angenommen, eine Drehung wäre ein erzeugender Element, dann bekomme ich mit dieser einen Drehung nur alle Drehungen hin nacheinander, aber keine Achsenspiegelung. Angenommen, eine der Achsenspiegelungen wäre ein erzeugender Element, kriege ich keine der Drehungen hin, weil die mit sich selbst verknüpft immer entweder das neutrale Element oder die Achsenspiegelung gibt. Das heißt, Die Edergruppen können in dieser Form gar nicht zyklisch sein.

Nee, beim Rechteck in der Die Edergruppe des Rechtecks sind alle selbst invers. Die halbe Drehung ist selbst invers.

Genau, mein Argument war das Folgende. Du musst ein erzeugender Element finden, wenn du ein N-Eck hast.

Dann kann eine Drehung nicht ein erzeugender Element sein, weil damit nur die Drehungen erzeugt werden und eine Achsenspiegelung kann kein erzeugendes Element sein, weil die selbst invers sind. Sofort mit sich selbst verknüpftes neutrale Element ergeben. Insofern kann es da kein erzeugender Element geben. Aber alle Drehsymmetriegruppen sind natürlich zyklische Gruppen.

Drehsymmetriegruppen von regelmäßigen N-Ecken.