Okay, so wir machen noch ein paar Beweise in Gruppen. Also wenn wir jetzt eine Gruppe haben, dann kann man bestimmte Dinge zeigen, die für alle Gruppen gelten.

Und zwar ein Satz, den wir auch gezeigt haben jetzt in der Vorbereitung ist, in jeder Gruppe gibt es genau ein Neutralelement.

Hä, wieso muss man das eigentlich zeigen? Also das Axiom fordert doch, dass es ein Neutralelement gibt. Das dritte Axiom, das dritte Gruppenaxiom.

Weiß jemand was sozusagen, was wir hier eigentlich machen? Genau. Das Axiom fordert, es gibt mindestens eins.

Also wenn wir uns das Gruppenaxiom mal anschauen, ich schreibe es nochmal hin. Mindestens ein Neutralelement, das gewährleistet das Gruppenaxiom.

Was sagt das nochmal? Es existiert ein N oder nehmen wir es mal, wir nennen es oft auch E für ein Element oder Neutralelement. Es existiert ein E in der Menge, sodass für alle G in der Menge

gilt, was? Es existiert ein Neutralelement, sodass für alle Elemente aus der Gruppe gilt. Genau. G verknüpft mit E ist gleich G ist gleich E verknüpft mit G. Von beiden Seiten heran verknüpft.

Ok. Das Gruppenaxiom gewährleistet, dass es mindestens ein Neutralelement gibt. Es existiert ein bedeutet mathematisch ja mindestens eins.

Man kann ja auch so etwas sagen wie, es existiert eine gerade natürliche Zahl. Klar zwei zum Beispiel oder vier oder acht.

Dadurch, dass ich sage, es existiert eine gerade natürliche Zahl behaupte ich ja nicht, es gibt nur genau eine gerade natürliche Zahl. Sondern es existiert eine bedeutet mindestens eine. Wir wollen aber zeigen, dass es genau ein Neutralelement gibt.

In jeder Gruppe gibt es genau eins. Es kann nicht zwei geben, es kann nicht drei geben, es kann nur einen geben. Das sogenannte Highlander Prinzip. Was müssen wir noch zeigen? Wir wissen es gibt mindestens ein Neutralelement. Hexe. Wir müssen zeigen, dass es nicht mehr als eins gibt.

Genau. Also dass es höchstens eins geben kann. Weil wenn wir mindestens eins wissen und höchstens eins, gibt es genau eins.

Es gibt mindestens eins und es gibt höchstens eins. Das bedeutet es gibt genau eins. Also müssen wir jetzt noch zeigen, höchstens ein Neutralelement.

Wie zeigt man in der Mathematik, dass es höchstens eins gibt? Oftmals. Mixi. Sehr schön. Sehr schön. Mit einem Widerspruchsbeweis.

Wir behaupten es gibt zwei verschiedene und zeigen, dass das nicht sein kann. Also Beweis mit Widerspruch. Wie heißt ein Widerspruchsbeweis noch? Anderer Name. Widerspruch auf indirekter Beweis. Indirekter Beweis. Beweis mit Widerspruch.

Ok. Also Annahme. Wir nehmen an, es existiert E1, E2 aus der Gruppe mit E1 und gleich E2 und beide sind Neutralelemente.

Also G verknüpft mit E1 ist gleich G, ist gleich E1 verknüpft mit G und G verknüpft mit E2 ist gleich G, ist gleich E2 verknüpft mit G.

Das ist die Annahme. Wir nehmen an, es gibt zwei Neu-Elemente in G, die unterschiedlich sind und die beide sich wie Neutralelemente verhalten. Für alle G. So. Jetzt brauchen wir eine Eingebung. Die hat Hexe. Also du würdest

jetzt beides gleich setzen. Also G verknüpft mit E1 ist gleich G verknüpft mit E2.

Ok. Assoziativität können wir nicht gebrauchen. Dafür brauchen wir drei Elemente. Ok. Du machst folgendes.

E1 ist ja Neutralelement für alle Elemente in der Gruppe. Das heißt auch für E2. Das bedeutet, wenn ich E1 verkette mit E2, E1 ist Neutralelement, E1 verkettet mit E2, gibt was? E2.

Aber, sieht jemand, der über weitermachen kann? Hexe? E2 ist ja auch Neutralelement. Das heißt, E1 verkettet

mit E2 ergibt E1. Beide sind Neutralelemente. Das heißt, beide machen jeweils nichts beim anderen mit der Randverknüpfung.

Was haben wir jetzt? Mowgli? Wieso haben wir jetzt den Widerspruch? Ja, wir wollen zeigen, dass es

höchstens E1 gibt. Genau. Jetzt haben wir 2 und dann kommt hier raus E1 gleich E2. Ok. Ja, das nehmen wir ja an. Wir nehmen ja an, es gibt 2 und arbeiten damit. Das ist ja unsere Annahme, dass es 2

gibt. Jetzt müssen wir nur irgendwie einen Widerspruch erzeugen. Lillifee? Achso. E1 ist gleich E2. Dadurch sind es nicht 2, sondern 1. Genau. Mixi?

Wir haben angenommen, E1 ist ungleich E2. Wir haben angenommen, es gibt 2 verschiedene Neutralelemente und haben gezeigt unter der Annahme, dass sie ungleich sind, dass sie gleich sind. Das ist ein mathematischer Widerspruch, das kann nicht sein. Also war die Annahme falsch. So funktioniert der indirekte Beweis. Also war die Annahme falsch. Das heißt, es gibt nicht 2,

die unterschiedlich sind. Also kann es nur höchstens E1 geben. Und mit mindestens einem und höchstens einem gibt es genau E1. Also das hier ist ein Widerspruch. Das macht man ja gerne so. Letztendlich haben wir es dann halt komplett gezeigt.