Okay, ihr habt euch überlegt, ihr habt euch überlegt, ist die Menge aller Konkurrenz-Abbildungen mit der Verkettung als Verknüpfung eine Gruppe? Okay, die Menge der Konkurrenz-Abbildungen, keine Ahnung, nennen wir die mal K, oder?

Menge aller Konkurrenz-Abbildungen mit der Verkettung als Verknüpfung. So, ist das eine Gruppe? Was müssen wir als erstes prüfen? Also vielleicht noch die Menge der Konkurrenz-Abbildungen der Ebene. Wir haben die Ebene und darauf alle Konkurrenz-Abbildungen. Ist das eine Gruppe? Was müssen wir als erstes testen?

Ob es abgeschlossen ist? Das heißt, ich habe eine Konkurrenz-Abbildung, verkettet mit einer Konkurrenz-Abbildung. Gibt es eine Konkurrenz-Abbildung? Gibt es eine?

Genau. Ich wiederhole es nochmal laut. Wir haben eine Verkettung von Achsenspiegelungen. Und also jede Konkurrenz-Abbildung ist eine Verkettung von Achsenspiegelungen. Das hier ist eine Verkettung von Achsenspiegelungen und das da auch. Also wenn das hier die Konkurrenz-Abbildung A eine Verkettung von Achsenspiegelungen ist, dann kann ich die ja irgendwie so darstellen als G1, verkettet mit G2, verkettet mit irgendwie Gn oder so.

Das ist mein A. Und mein B ist auch eine Verkettung von Achsenspiegelungen H1, verkettet mit H2, verkettet mit Hn oder so.

Und wenn ich jetzt eine Verkettung von Achsenspiegelungen verkerte mit einer Verkettung von Achsenspiegelungen, kommt eine Verkettung von Achsenspiegelungen raus. Das heißt eine Konkurrenz-Abbildung. Check. Abgeschlossenheit gilt. Was müssen wir als nächstes prüfen?

Genau, die Assoziativität ist also, wenn ich zwei Konkurrenz-Abbildungen verkettete und mit einer dritten, so erst A und B verkettet mit C, ist das das gleiche wie A verkettet mit B verkettet mit C.

Ist das das gleiche? Kann ich zuerst die ersten beiden Konkurrenz-Abbildungen als größere Einheit betrachten? Oder die letzten beiden Konkurrenz-Abbildungen als größere Einheit betrachten?

Und es kommt beides mal das gleiche raus. Habt ihr da ein Argument gefunden für? JGPT hat kein Argument gefunden. Kein wirkliches. Wir haben es ausprobiert. Genau. Hat sich rumgewunden und mit Beispielen argumentiert und uns gesagt,

was wir eigentlich tun müssten, aber nicht die Antwort gegeben. Das war der schwierige Teil bei der Aufgabe. Wenn man das Argument nicht kennt, dass ich euch gleich anführen werde.

Und zwar gehen wir mal auf eine allgemeinere Ebene. Konkurrenz-Abbildungen sind ja Abbildungen. Das heißt Funktionen. Ich stecke da Punkte rein und es kommen wieder Punkte raus.

Also ich habe eine Abbildung. Ich gebe einen Punkt rein und die Abbildung sagt mir, auf welchen Punkt der Punkt abgebildet wird. Das macht sie für jeden Punkt. Das heißt, ich habe eine Funktion, die kann man mit so einer Maschine darstellen. Das ist meine erste Konkurrenz-Abbildung.

Wenn ich hier oben einen Punkt reinstecke, kommt da unten der Punkt raus, auf den der Punkt abgebildet wird. Eine Abbildung oder Funktion. Input, Bearbeitung, Output. Das ist jetzt meine Funktionsmaschine. Was passiert jetzt weiter? Wenn ich den Punkt in A reingesteckt habe, kommt der Output-Punkt raus.

Was passiert mit diesem Output, wenn ich diese Reihenfolge habe? Genau, der plumpst sofort hier in die nächste Maschine rein, die B heißt. Und kommt unten wieder raus als der Punkt, der dann von B abgebildet wird.

Wie geht es weiter? Der plumpst in die Maschine C rein. Genau. Und dann unten raus. Das heißt, wenn ich drei Abbildungen miteinander verkette,

ist das nichts anderes, als dass ich die drei Maschinen hintereinander schalte. Ich schalte drei Maschinen hintereinander. Der Output von der einen Maschine ist der Input von der nächsten Maschine. Jetzt bleiben wir mal bei diesem Maschinenmodell. Und jetzt überlegen wir uns, was Assoziativität bedeutet.

Ja, kannst du sagen? Genau, ich bastle mir um diese beiden Maschinen hier oben einen Karton drumrum.

Ich bastle mir den Karton drumrum. Das ist meine A-B-Maschine. Ich verkaufe die als A-B-Maschine. Ich kombiniere einfach zwei Maschinen, bastle einen Karton rum, sagt, das ist die neue Maschine.

Und die macht nichts anderes, als dass innen drin erst A und dann B ausgeführt wird. Oder ich verkaufe eine BC-Maschine, die nichts anderes macht, als einen Karton, um die Maschinen B und C zu basteln.

Das heißt, ich habe drei Maschinensituationen. Die erste ist, ich habe die drei kleinen Maschinen hintereinander geschaltet, A, B und C. Oder ich habe die große Maschine A, B und dann C hinten dran gehängt.

Aber in A, B passiert nichts anderes innen drin, als erst durch A und durch B zu schleusen. Oder ich habe eine kleine Maschine A und die große Maschine BC, aber in BC passiert nichts anderes, als erst durch B und dann durch C zu schleusen. Letzten Endes sind immer die drei kleinen Maschinen A, B und C hintereinander geschaltet.

Egal, welche ich von denen als zusammengehörig betrachte. Ihr hattet vorhin auch so ein enges Argument gehabt. Wenn ich die Konkurrenzabbildung auf Achsenspiegelungen reduziere, dann ist es egal, welche Achsenspiegelungen ich als zusammengehörig betrachte.

Also die ersten beiden Achsenspiegelungen zusammen oder die letzten beiden zusammen. Weil letzten Endes werden trotzdem die Achsenspiegelungen immer in einer gleichen Reihe durchgeführt. Wenn ich folgende Situation habe, Achsenspiegelungen A, B und C. Wenn ich die hier habe, dann ist es egal, ob ich A und B zusammen als Verschiebung betrachte und dann C ausführe.

Oder ob ich B und C zusammen als Drehung betrachte und hinter A ausführe. Letzten Endes werden die drei Achsenspiegelungen A, B, C immer hintereinander ausgeführt.

Egal, welche ich von oben sozusagen als zusammengehörige Einheit betrachte. Die Reihenfolge ändert sich nie und die Achsenspiegelungen in der Reihenfolge nicht. Das heißt, Assoziativität gilt. Check. Ihr dürft in der Prüfung das Maschinenmodell aufzeichnen.

Und mir das dann vielleicht nochmal anhand von Achsenspiegelungen erklären. Das bedeutet aber, die Verkettung von Funktionen ist immer assoziativ, auch in anderen Bereichen.

Also wenn ihr irgendwie reelle Funktionen habt, f von x, g von x, h von x oder so. Wenn die miteinander verkettet, ist das assoziativ. Weil immer dieses Maschinenmodell im Background für Abbildungen gilt. Okay. Was müssen wir noch zeigen? Weil wir zeigen wollen, die Menge aller Konkurrenzabbildungen mit der Verkettung ist eine Gruppe.

Ja. Moment. Ja, wir könnten jetzt schon auf die Inversen gehen. Wir brauchen aber erst mal, bevor wir uns überlegen, das Neutralelement. So. Gibt es ein Neutralelement?

Ja, welches? Die Identität. Hä? Was ist denn die Identität für eine komische Konkurrenzabbildung? Ja. Verkettung wieder in die Gruppe Funktionen.

Ja. Wenn ein Objekt auf sich selbst abgebildet wird, könnte da auch eine Achsenspiegelung der Grund für sein. Muss aber nicht die Identität sein. Oder eine Drehung. Ich kann ein gleichseitiges Dreieck um 120 Grad drehen. Das ist nicht die Identität, aber die Figur wurde auf sich selbst abgebildet.

Das ist die Idee von Symmetrie. Ja? Die Drehung um 360 Grad. Oder um 0 Grad. Oder die Verschiebung um 0 Zentimeter.

Anders gesagt, die Identität ist doch eine Konkurrenzabbildung. Das ist eine Abbildung, die die Ebene auf sich selbst abbildet und längentreu, winkeltreu, parallelentreu und geradentreu ist.

Die Identität ist in der Länge der Konkurrenzabbildung. Und jetzt brauchen wir noch die Inversen. Also nicht das Inverse, sondern die Inversen. Wir müssen gucken, gibt es zu jeder Konkurrenzabbildung eine Inverse-Abbildung? Welche könnten das sein? Gehen wir sie mal durch.

Ja. Genau. Bei der Achsenspiegelung, zeichnen wir mal so ein, bei der Achsenspiegelung A ist die Achsenspiegelung zu sich selbst invers. Man sagt auch selbst invers. A verkettet mit A ist gleich Idee.

Okay. Achsenspiegelung haben wir. Wie geht es weiter? Bei der Punkt-Spiegelung ist die Punkt-Spiegelung selbst. Die Punkt-Spiegelung müssen wir aber in der Regel gar nicht separat betrachten. Wenn wir die übergeordnete, die Drehung um Alpha, ja genau, wir müssen noch ein bisschen genau um den gleichen Drehpunkt.

Genau, ich habe die Drehung um den Drehpunkt P um den Winkel Alpha. Und wenn ich das verkette mit der Drehung um denselben Punkt, wir können ruhig minus Alpha schreiben, dann kommt die Identität raus.

Okay, jetzt haben wir die Achsenspiegelung, die Drehung. Weiter geht es. Die Verschiebung um den Vektor V hat wie ein inverses Element, nämlich minus V, gibt die Identität.

Übrigens muss man auch immer, was ich jetzt nicht hingeschrieben habe, auch links ran verknüpfen. Wir wissen ja nicht, ob es kommutativ ist oder nicht.

Also müssen wir auch dazuschreiben, also die Drehungen. Erst das inverse und dann die Originalabbildung. Ihr gibt auch Idee. Genauso hier. Minus V, verkettet mit V, er gibt auch Idee.

Okay, jetzt habe ich keinen Platz mehr für die Schubspiegelung. Schlechtes Tafelbild. Also jetzt habe ich mal verraten, welche noch fehlt. Super. Schubspiegelung, wie sieht es da aus? Was ist das inverse Element zu einer Schubspiegelung? Mal gucken, ich könnte es vielleicht noch hier unten hin machen. Ja, das geht. Also ich habe Schubspiegelung A, B und C hintereinander verkettet. Ja?

Also man könnte, wir könnten auch die drei Achsen einfach so nehmen.

Wir könnten auch Verschiebung und Achsenspiegelung nehmen und so. Aber wenn wir wissen, A verkettet mit B, verkettet mit C, was ist die Umkehrabbildung? B verkettet mit B, verkettet mit A. Genau.

Nur dann fällt C und C weg, fällt B und B weg, fällt A und A weg, kommt die Identität raus. Und genauso andersrum. C verkettet mit B, verkettet mit A, muss auch von links funktionieren, verkettet mit A, verkettet mit B, verkettet mit C. Kommt auch die Identität raus, weil erst A wegfällt in der Mitte, dann B und dann C.

Sind wir fertig? Warum sind wir fertig? Ja? Genau, wir haben mit dem Reduktionssatz bewiesen. Alle Konkurrenzabbildungen können zurückgeführt werden auf Achsenspiegelung, Drehung, Verschiebung oder Schubspiegelung.

Also auf eine Konkurrenzabbildung, die aus maximal drei Achsen besteht. Damit haben wir gezeigt zu jeder Konkurrenzabbildung. Jede Konkurrenzabbildung ist eine von den vier Typen. Das heißt, es gibt zu jeder Konkurrenzabbildung ein inverses Element. Check. Fertig. Die Menge aller Konkurrenzabbildungen ist mit der Verkettung als Verknüpfung eine Gruppe.

Ist es eine abelsche Gruppe? Ist die Gruppe kommutativ?