Beweise am Parallelogramm
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Formale Metadaten
| Titel |
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| Serientitel | ||
| Teil | 39 | |
| Anzahl der Teile | 44 | |
| Autor | 0000-0002-7299-4943 (ORCID) | |
| Lizenz | CC-Namensnennung 3.0 Unported: Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen. | |
| Identifikatoren | 10.5446/66081 (DOI) | |
| Herausgeber | 0044w3h23 (ROR) 0000-0002-7299-4943 (ORCID) | |
| Erscheinungsjahr | ||
| Sprache |
Inhaltliche Metadaten
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| Abstract |
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| Schlagwörter |
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StreckeSierpinski-DichtungWürfelAnalogieschlussEckeDiagonale <Geometrie>GeradeWinkelLinieParallelogrammParallelenMachsches PrinzipBetafunktionSupremum <Mathematik>SchnittpunktMengenlehreDreieckOrdnung <Mathematik>QuadratzahlGammafunktionHochdruckVerschlingungBeweistheorieMultifunktionJensen-MaßLängeZweiMathematikPunktRechter WinkelSchnitt <Mathematik>ParametersystemAuswahlverfahrenBetrag <Mathematik>Vorlesung/Konferenz
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Computeranimation
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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Okay, herzlich willkommen. Ihr habt heute vorbereitet ein paar Beweise am Parallelogramm. Das würde ich gerne mit euch zusammen machen. Und wir haben es gerade schon besprochen. Ich würde gerne mal mit unserem neuen Wurf-Mikrofon experimentieren. Da gibt es so eine 3D-Druckanleitung beim KIT. Die habe ich ausgedruckt. Und dann hat ein Kollege von mir, der Matthias, hat das im 3D-Drucker gedruckt.
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Da ist so ein kleines Mikro drin. Ich zeige das mal hier. Na, hier in dem Würfel hier ist so ein kleines Mikro drin. Da. Die Druckanleitung verlinke ich euch in der Beschreibung, falls jemand haben möchte. Wir testen das jetzt heute mal.
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Also Beweis am Parallelogramm. Ich skizziere hier mal ein Parallelogramm hin. Okay. So grob skizziert.
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Um die Beweise zu führen, müssen wir erst mal wissen, woran wir ausgehen dürfen. Und das ist in diesem Fall die Definition von Parallelogramm. Wie war nochmal Parallelogramm definiert in der Aufgabe? Steht es drin?
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Als ein Viereck mit zwei paar parallelen Seiten. Genau. Viereck mit zwei paar parallelen Seiten. Das heißt, wir dürfen nur davon ausgehen, dass die Seiten parallel sind, die gegenüberliegenden. Wir wissen nicht mehr. Unter anderem wissen wir nicht.
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Und das wird zu beweisen sein, ob die gegenüberliegenden Seiten auch gleich lang sind. Sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Wie seid ihr da vorgegangen? Was habt ihr als allererstes gemacht? Was ist der erste Schritt?
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Ich habe das Parallelogramm erst mal beschriftet. Beschriftet, okay. Was hast du da beschriftet? Mit A, B, C, D. Die Punkte, die Ecken. Okay, das macht Sinn. A, B, C und D.
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Okay. Dann können wir nämlich besser reden über Punkte. Was ist der nächste Schritt? Was habt ihr dann gemacht? Ich habe da eine Diagonale von A nach C gezogen. Eine Diagonale eingezogen, genau.
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Zum Beispiel die von A nach C. Warum? Was bringt uns das? Da haben wir zwei Dreiecke. Und da können wir vielleicht Dinge verwenden, die wir schon bewiesen haben für Dreiecke. Okay. Was jetzt? Was ist der nächste Schritt? Wir können jetzt den Wechselwinkelsatz benutzen,
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weil wir wissen ja, dass die Strecke A, B parallel zu D, C ist. Und somit weiß ich, dass ich beim Punkt A, Alpha,
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mit dem Wechselwinkelsatz genauso groß ist wie der Winkel bei C. Genau hier, genau. So, okay. Diese beiden Winkel sind gleich groß, weil wir eine Gerade haben, die zwei Parallele gerade schneidet. Also wenn wir jetzt hier uns das als geraden Wort gesetzt denken,
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die Strecken. Okay, die beiden Winkel Alphas sind gleich groß. Machst du weiter? Das Gleiche gilt auch für Wetter und den anliegenden Winkel. Diese hier? Genau.
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Diese beiden Winkel sind mit dem gleichen Argument gleich groß, genau. Jetzt werden halt diese beiden Geraden durch eine Dritte gerade geschnitten. Auch wieder Wechselwinkel. Und was wissen wir noch? Hinter dir? Dass der Gamma jetzt auch gleich groß sein muss?
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Dass dieser Winkel auch gleich groß sein muss? Genau, das wissen wir auch. Können wir mal reinschreiben? Warum wissen wir das? Warum meinst du, sind die gleich groß? Einmal eine gleiche Linie im Dreieck, einfach mal ein Wetterjebel, dann müsste die Dritte Winkelgamma eben so sein,
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dass auch die Hände noch nicht stark passen. Genau. So und jetzt? Wir hatten auch mit den anderen beiden Winkeln und der gemeinsamen Seite aber auch den WSW-Satz. Aha, okay. Also wir haben noch diese Seite,
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ich nenne sie mal kleinen S, die Strecke. Nicht Seite, die Strecke. Oder Seite der Dreiecke. Ja, und da haben wir jetzt welchen Konkurrenzsatz? WSW. Winkel-Seite-Winkel, genau. Winkel-Seite-Winkel, Winkel-Seite-Winkel. Die beiden Dreiecke sind Konkurrent. Gamma bräuchten wir eigentlich gar nicht.
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Die beiden Dreiecke sind Konkurrent. Und was gilt dann als Folgerung? Dass die Dreiecke Konkurrent miteinander sind. Und somit weiß ich ja, dass auch die Strecke A, B Konkurrent zu DC ist. Genau. Also es sind die entsprechenden
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analogen Dreieckseiten Konkurrent. Und das ist diese Seite, diese. Also die an Alpha angrenzende Seite ist zu dieser an Alpha angrenzende Seite Konkurrent. Und die an Beta angrenzende Seite ist zu dieser Seite hier Konkurrent. Okay, genau. Super.
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Also gegenüberliegende Seite im Parallelogramm sind gleich lang. Gibt es dazu noch Fragen? Zweite Aufgabe.
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Schriften wir gleich mal wieder. A, B, C, D. Die zweite Aufgabe war zu beweisen, dass sich die Diagonalen im Parallelogramm in der Mitte schneiden oder gegenseitig halbieren.
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Ich glaube, so war die Formulierung. Ja, was kann man jetzt machen? Vielleicht nennen wir den Punkt in der Mitte auch mal M oder so. Wir wissen noch nicht genau, ob es die Mitte ist. Also machen wir S wie Schnittpunkt.
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Was können wir jetzt machen? Wieso halbieren die sich?
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Ja, ja. Ich habe auch wieder zwei Dreiecke konstruiert oder betrachtet in dem Parallelogramm zur A, B, S und D, C, S. Du betrachtest zwei Dreiecke, nehme ich A. Also ich brauche es ja nicht wiederholen.
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Dieses Dreieck und dieses Dreieck. Genau, okay. Ja, und dann kann man wieder den Wechselwinkelsatz anwenden. Und wir haben ja jetzt auch die Voraussetzungen, also so, dass wir den Beweis von vorher mit genutzt haben, dass die Seite gleich lang ist, also A.
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Genau. Und dann voll glas. Ja, machst du eine? Ja, mit WSW wieder, dass die beiden Dreiecke beim einen sind. WSW, ja genau und? Und damit dann auch, dass die Strecken, also A, S und S, C, gleich lang sind.
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Warum sind diese beiden gleich lang hier? Ja, und die entsprechenden Seiten natürlich auch, ja? Hinter dir? Ja, weil die jeweiligen Seiten an den gleichen Winkeln anliegen. Genau, das ist die Seite, die hier an Alpha anliegt,
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an beiden Seiten. Das heißt, diese Seite, diese Strecke A, S ist gleich S, C und die Strecke D, S ist gleich S, B. Genau, sehr schön. Okay, jetzt konnten wir sogar die Konkurrenzsätze am Dreieck mal richtig einsetzen.
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Nur zwei Beweise am Parallelogramm. Gibt es dazu noch Fragen?