Dann machen wir die französische Eisenbahnmetrik. Okay? Nimm noch einen Schluck. Ich hab hier überall getröppelt. Ah, und ich hab jetzt hier nichts zum wegwischen. Mist. Scheiße. Ach, egal.

So, okay. Schauen wir uns mal die französische Eisenbahnmetrik an. Bevor wir das machen, erst mal die Frage, was ist überhaupt eine Metrik? Das ist ein komisches Wort. Hat ja irgendwas, irgendwie, keine Ahnung,

Meter, kommt da vielleicht irgendwie mit drin vor, ein Messen vielleicht und so, ne? Weiß jemand, was eine Metrik ist? Weiß das jemand?

Metrik ist ein Abstandsmaß, genau, Phil. Der KfLiebhaber, eine Metrik müsste eine Funktion sein, die drei Eigenschaften erfüllt, oder? Ja, genau. Zuweisen von realen Zahlen zu zwei Punkten, Martin. Genau, Abbildung kommt reellen.

Genau, nicht realen Zahlen. Richtig, richtig, richtig. Also es geht alles in die richtige Richtung. Eine Metrik ist, also wozu braucht man das? Eine Metrik, man will Abstände messen.

Und in unserer normalen geometrischen Welt, in der euklidischen Geometrie, wenn ich da zwei Punkte hab, machen wir hier so einen Punkt hin, und da einen Punkt.

Mach ich mal das mal da unten hin. Den Platz da oben brauch ich. Also. Also ich hab hier unten einen Punkt A, und da einen Punkt B. So. Was ist der Abstand zwischen den beiden Punkten in der euklidischen Geometrie?

Ne, da gibt's ja auch einen Abstandsmaß, eine Metrik.

Ja, da kommt Vektor als Begriff. Du möchtest wahrscheinlich die Punkte miteinander verbinden

durch ein Vektor. Satz des Pythagoras, genau, könnte, geht in eine ähnliche Richtung vielleicht. Wenn man ein Koordinatensystem hineinlegt, braucht man den Satz des Pythagoras dann, wenn man die Koordinaten verwendet, um das auszurechnen.

Genau, Phil hat das sozusagen schon als Abstandsberechnungsformel hier in den Chat hineingeschrieben. Ziptut, die Länge der Verbindungsstrecke. Genau. Also ich verbinde die beiden Punkte A und B mit einer Strecke. Und die Länge dieser Strecke ist der Abstand von A und B

in der euklidischen Geometrie. So, das ist ein Abstandsmaß. Es gibt auch andere Abstandsmaße. Aber in der euklidischen Geometrie ist das das Abstandsmaß. Der Abstand zweier Punkte ist die Länge der Verbindungsstrecke.

Okay, sehr gut. Das ist eine Metrik. Und was macht die Metrik? Das hat vorhin schon mal jemand im Chat geschrieben. Das ist eine Funktion,

die zwei Punkten im Raum, zwei Punkten im Raum, wir nennen die Mengen mal M, zwei Punkten im Raum,

zuordnet eine reelle Zahl. Und streng genommen, wenn man jetzt in der Mathematik, will man ja immer abstrahieren, muss es sich nicht mal um eine Geometrie handeln mit Punkten. Es können irgendwelche mathematischen Objekte sein.

Und man gibt zwei Objekte in diese Funktion hinein und es kommt eine reelle Zahl raus. Ja, kann man sich auch aus so Maschinen vorstellen. Hier, das ist meine Abstandsfunktion. So, da oben habe ich zwei Eingabegrößen. Und da kommt ein Output raus. Hier stecke ich ein Element aus M rein. Da stecke ich ein Element aus M rein.

Und unten kommt eine reelle Zahl raus. Also hier kommt irgendwie ein X aus M rein und ein Y aus M rein. Und unten kommt ein Z aus den reellen Zahlen raus. Beziehungsweise, man könnte es jetzt auch noch unten hinschreiben.

Da unten kommt natürlich dann D von X und Y aus den reellen Zahlen aus der Maschine raus. Es muss erfüllt sein, dass bei gleichen Eingaben immer die gleiche Ausgabe rauskommt. Genau, das ist so bei Funktionen.

Immer bei Funktionen. D ist eine Funktion und wenn ich in eine Funktion etwas reinstecke, ist das Ergebnis determiniert durch die Funktion. Da können keine verschiedenen Sachen rauskommen.

Was passiert, wenn A und B der gleiche Punkt ist? Also kann man das berechnen? Ach so, super. Ganz toll. Das verweist schon auf das erste Axiom. Es ist nämlich nicht jede Funktion, der man zwei Punkte gibt und es kommt eine relle Zahl raus. Eine Metrik. Die muss ein paar Eigenschaften haben.

Und in der Mathematik formuliert man solche Eigenschaften mit Axiomen. Und ein Axiom ist das Folgende. Axiom 1

muss eine Metrik eine skalare Größe rausgeben. Also ich frage ja, es muss eine reelle Zahl rauskommen. Sonst ist es keine Metrik. Es muss eine reelle Zahl rauskommen. Die erste Eigenschaft besagt, die reelle Zahl, die rauskommt, muss größer gleich null sein. Sonst ist es kein Abstand.

Man würde nicht sagen, die beiden Punkte haben den Abstand minus zwei oder minus 1,5 oder irgendwas in dieser Art. Abstände sind immer positiv. Das heißt, positive Definite heißt diese Eigenschaft.

Positive Definite. Das heißt D von X und Y. Diese Eigenschaften gelten immer für alle D von X und Y, habe ich jetzt nicht hingeschrieben.

D von X und Y ist größer gleich null. Martin, es muss positiv sein. Für eine Metrik müssen die Werte positiv sein, die rauskommen. Sonst ist es keine Metrik. Oder man definiert Metrik anders. Okay, kann man natürlich machen.

Wir definieren Metrik jetzt so, Abstandsmaß muss positiv sein. Und was Frohnature vorhin gesagt hat, was passiert denn, wenn A gleich B ist, oder wenn die beiden Punkte identisch sind, was passiert denn dann? Entschuldigung, Ziptoad, nicht negativ.

Ich habe positiv gesagt. Ich meinte natürlich nicht negativ. Genau, geht jetzt genau auf das, worauf ich eigentlich hinaus will. Der Wert, der rauskommt, muss nicht negativ sein. Und Phil Conner sagt, für A gleich B muss D gleich null sein. Wenn A gleich B ist,

dann ist der Abstand null. Und aber auch andersrum, wenn der Abstand von zwei Punkten null ist, dann müssen die beiden Punkte identisch sein. Also, der Wert ist immer nicht negativ, und der Wert ist von,

also D von XY ist genau dann null, genau dann null, wenn X gleich Y ist. Das Zeichen ja bedeutet genau dann, wenn. Wer es noch nicht kennt, der Abstand D XY ist gleich null,

genau dann, wenn X gleich Y ist. Genau, Phil Conner, genau so. Hey, T1 Tesco, herzlich willkommen. Schön, dass du da bist. So, das ist die erste Eigenschaft von einem Abstandsmaß. Könnt ihr euch noch andere Eigenschaften vorstellen,

die so ein Abstandsmaß erfüllen muss? Ich mache mal das Maschinen hier weg, ich brauche ein bisschen Platz. Andere Eigenschaften, die ein Abstandsmaß erfüllen muss? Es gibt noch zwei weitere.

Eine Dreiecksungleichung für mehr als zwei Punkte vielleicht. Der Kaffeeliefer aber sehr gut. Das ist die dritte Eigenschaft. Das ist die sogenannte Dreiecksungleichung.

Und die besagt, genau, Martin hat es schon in den Chat hineingeschrieben, der Abstand zweier Zahlen ist immer kleiner gleich

als die Länge des Weges über einen dritten Punkt. Also, angenommen, ich habe hier einen Punkt C noch. Ich könnte ja, wenn ich von A nach B will, erst zu C laufen und dann zu B. Dann habe ich so einen Dreieck. Der Weg über C ist aber in diesem Fall länger

als der direkte Weg. Und sollte C jetzt hier direkt auf der Verbindungsstrecke liegen, dann ist, wenn ich von A nach C laufe und dann von C nach B, der Gesamtweg genauso lang wie der direkte Weg von A nach B. Das heißt,

D, X, Y, der Abstand zwischen zwei Punkten ist immer kleiner gleich als die Summe der beiden Abstände, wenn ich über einen dritten Punkt laufe.

Guck mal, ob ich hier nicht hinter den Chat schreibe. So, ja. Ich habe jetzt hier unten A, B, C und da X, Y, Z. Spielt ja keine Rolle. Also, ein Umweg über einen dritten Punkt ist in der Regel länger als der Abstand

der beiden Punkte, manchmal aber auch gleich lang, wenn der Punkt direkt auf der Verbindungslinie liegt. Dagstun sagt Transitivität. Ja, man nennt es nicht Transitivität,

weil Transitivität ist eine Eigenschaft von Relationen. Natürlich sind Funktionen auch eine Relation. Ja, nee, nee. Es ist nicht in dem Sinne Transitivität, weil hier hat man ja eine Ungleichung.

Transitivität besagt, wenn eine Relation für die Elemente A und B gilt, wenn A und B in Relation stehen und B und C in Relation stehen, dann steht auch A und C in Relation. Und hier haben wir ja eine Ungleichung. Das heißt, das würde ich jetzt nicht mit Transitivität bezeichnen. Aber du hast schon recht. Die Idee

ist natürlich ein Mittelelement zu haben, über das man rüberschreitet, ist bei beiden Situationen gleich. Martin Kohler hat es noch länger als der Umweg. Genau. Und vorhin hat schon jemand, ich weiß gar nicht

mehr, wo es war. Ah ja, genau, doch. Zipto hat geschrieben, der Abstand zwischen X und Y müsste selbe sein wie der zwischen Y und X. Genau, das ist die Symmetrie. Der Abstand von X und Y ist genauso groß wie der Abstand von Y und X.

Ob ich erst von A nach B laufe oder von B nach A, nicht erst, ob ich von A nach B laufe, von B nach A, ganz egal. Der Abstand ist der gleiche. Terence Tesco sagt jetzt,

das gilt sowieso, was anderes kann es doch gar nicht geben, Abstand zwischen X und Y ist doch equivalent zu Abstand zwischen Y und X. Ja, genau, weil es ein Abstand ist. Bei Abständen ist das immer so. Das ist die Definition von Metrik oder Abstandsmaß. Die Symmetrie muss erfüllt sein. Es sind aber auch Funktionen D von M

Kreuz M nach R denkbar, in denen die Symmetrie nicht erfüllt ist. Dann ist es aber halt keine Metrik. Okay, also wir haben Metrik definiert. Sehr schön. Metrik ist eine Funktion, der man zwei Objekte gibt

und eine reelle Zahl ausspuckt. Und diese reelle Zahl muss auf jeden Fall nicht negativ sein, größer gleich Null. Und gleich Null ist sie genau dann, wenn die beiden Objekte gleich sind. Symmetrie, es ist egal, in welcher Reihenfolge ich die Objekte in die Funktion hineinstopfe. Es kommt immer das Gleiche

raus. Und die Dreiecksungleichung gilt. Ich formuliere es jetzt nochmal mit Abstand. Der Abstand zwischen zwei Punkten. Jetzt in dem Fall ist immer kleiner gleich als die beiden Abstände. Summiert über einen Weg, der über einen dritten Punkt

Z läuft. Ja, genau. So, das sind die Eigenschaften einer Metrik. Tiancesco, gibt es ein einfaches

Konzept oder ähnliches, was du aber immer wieder nachschlagen musst, um dir sicher zu gehen? Die Frage verstehe ich jetzt nicht den Zusammenhang. Meinst du allgemein, ob ich irgendwas habe, was ich immer wieder nachschlagen muss, weil ich es vergesse? Da gibt es einiges.

Mach mir darüber Gedanken. Vielleicht habe ich nachher noch eine Idee, was ich immer nachschlagen muss. Machen wir jetzt nach der Metrik-Geschichte.

So, wir haben aber ja begonnen eigentlich, weil wir die französische Eisenbahn Metrik uns anschauen wollten. Entschuldigung. So, was ist denn die französische Eisenbahn Metrik? Also, wir haben ja oben, das hier war ja der Abstand in

der euklidischen Geometrie. Ich habe zwei Punkte und der Abstand ist die Länge der Verbindungsstrecke der beiden Punkte. In Frankreich, ich ziele es mal so hier irgendwie, das soll Frankreich sein, gibt es ein Eisenbahn Netz. Und hier ist eine Stadt,

die nennen wir mal A, und da ist eine Stadt, die nennen wir B. Und wir wollen den Abstand der beiden Städte haben, wenn man mit der Bahn fährt. Und jetzt ist es so, das ist eben nicht wie in der euklidischen Geometrie, der Abstand der beiden Punkte ist die Länge der Verbindungsstrecke, weil vielleicht gibt es keinen direkten Weg mit der Straßenbahn oder mit der Eisenbahn

von A nach B. Und warum heißt das jetzt die französische Eisenbahnmetrik? Weil in Frankreich insbesondere zu früheren Zeiten die allermeisten Eisenbahnstrecken immer über Paris gingen. Frankreich war immer schon zentralistisch

organisiert. Das heißt, ich muss erstmal nach Paris fahren und dann nach B. Und das ist mit allen möglichen Punkten in Frankreich so. Die Strecken sind nicht ganz so gerade wahrscheinlich, aber mathematische Modellierung, wir dürfen das jetzt hier gerade machen.

Das ist wie so ein Stern, mit Paris in der Mitte. Was ist denn jetzt die französische Eisenbahnmetrik? Also wir haben hier Paris in der Mitte. Was ist denn der Abstand von... Ah, jetzt endet hier schon wieder meine Folie. Was mache ich denn da?

Das geht jetzt hier nur mal auf einer zweiten Seite. So. Okay. Also ich mach mal Paris, mach mal Frankreich ein bisschen kleiner. Das soll jetzt Frankreich sein. Hier habe ich Paris. Und da habe ich jetzt gerade durchlaufen. So. Die alle durch

Paris gehen. Ah, weil Paris keinen Platz hatte, endeten die Bahnhöfe alle am Rand von Paris. Man muss den Fuhrwerk und später Straßmann umsteigen, um die andere Bahn zu kommen. Ah, interessant. Auch noch Schwierigkeit

innerhalb von Paris. Aber das ist sozusagen in der französischen Eisenbahnmetrik nicht diskutiert, würde ich sagen. Ja, Meistertyp geht genau sehr gut. Der Abstand von D, A, B. Also wenn ich zwei Punkte habe, hier A und da B.

Der Abstand von D, A und B ist, ich schreib's mal ein bisschen weiter runter, weil wir müssen eine Fallunterscheidung machen, das kann ich schon mal verraten, ist D, der Abstand von A nach Paris plus der Abstand oder warte mal, das schreib ich gerade mal anders hin.

Natürlich nicht der, also wir machen jetzt hier gerade den französische Eisenbahnmetrik Abstand D. So, das heißt, ich muss die Länge der Strecke AP nehmen. Ja, das soll das mal jetzt bedeuten. Die Länge der Strecke AP macht man so in Betragsstriche rein.

Plus die Länge der Strecke PB. Das hat Meistertyp gerade vorgeschlagen. Genau. Eine Ausnahme brauchen wir. Was

passiert denn, wenn ich von A nach C will?

Christo Matisse, sind das da metrische Räume, weil es um Abstände geht? Sehr gut. Genau. Ein Raum, in dem es ein Abstandsmaß gibt. Eine Metrik heißt metrischer Raum. Super. Großartig. Phil Conner, wenn P nicht zwischen A und B

liegt, genau, das müssen wir prüfen. Genau. Also wir müssen sozusagen unterscheiden, liegt A und C auf der selben Gerade. Angenommen, die Geraden gehen alle durch P durch. So ein Stern. Wenn A und C auf derselben Gerade sind, naja, dann brauche ich einfach den Abstand von A und C. Oder jetzt in unserem Fall hier oben,

weil wir definieren den Abstand von A und B. Also es ist einfach die Länge der Strecke A und B, wenn jetzt habe ich hier keinen Platz, weil der Chat da ist. Ich schreibe es mal hier hin. So, wenn A

und B auf derselben Gerade liegen. Ja, wenn A und B auf derselben Gerade liegen, das ist einfach der Abstand von A und B. Und wenn A und B nicht auf derselben Gerade liegen, muss ich über Paris

fahren. Und dann ist es der Abstand von A nach Paris und plus der Abstand von Paris nach B. So, das ist die Eisenbandenmetrik.

Ich mache mal die Beschriftung hier ein bisschen mehr

synchron zu der Beschriftung, die wir in unserer Geometrieveranstaltung nehmen. Da sind Strecken immer mit einem Strich drüber. Das sind die Strecken und die Betragsstriche, das sind die Längen der Strecken. Okay. Ist das eine Metrik?

Also ich habe einfach behauptet, das ist die französische Eisenbandenmetrik, aber ist das überhaupt eine? Ist das eine Metrik? Was müssen wir prüfen?

Okay Martin, wir können auch über Symmetrie noch diskutieren am Schluss gerne. Martin, alle drei Eigenschaften prüfen. Der Kaffee-Liebhaber, natürlich die drei Eigenschaften. Genau, ja, lasst uns mal alle drei Eigenschaften prüfen. Positive Definite.

War die eine Eigenschaft? Zeige ich nochmal hier. Erinnern wir uns nochmal. Positive Definite, Symmetrie und Dreiecksungleichung. Okay, das können wir uns merken. Positive Definite ist D A

D, A, B immer größer gleich 0. Was meint ihr? Erfüllt? Ja, genau, das ist

erfüllt. Wir müssen immer die Fallunterscheidung oben natürlich separat betrachten. Im ersten Fall geht es einfach um die Länge einer Strecke. Das ist die Länge einer Strecke hier.

Und die ist immer nicht negativ. Entschuldigung. Und hier haben wir die Summe von zwei Strecken. Die Summe von zwei nicht negativen Zahlen ist nicht negativ. Okay. Christo Marti, man sieht eine Linie. Die Länge einer Linie ist eine Streckenzuge.

Das müsste man sagen. Und die ist natürlich immer nicht negativ. Okay. Ja, aber ist es auch so? Positive Definite hatte noch einen zweiten Aspekt. Ist denn die französische Eisenbahnmetrik immer

gleich 0, genau dann, wenn die beiden Punkte gleich sind? Ja, sagt der Martin.

Ja, genau. Also wenn die beiden Punkte gleich sind, welche der beiden Fälle tritt dann ein? Der obere. Die beiden Punkte liegen ja, also wenn der Punkt A und der Punkt A liegen ja auf derselben

Geraden. Also tritt der erste Fall ein Punkt A. der Abstand von A nach A, also die Länge der Verbindungsstrecke von A und A ist 0. Okay. Andersrum

genauso, wenn die Verbindungsstrecke der beiden Punkte, wenn die französische Eisenbahnmetrik 0 ist, dann darf die Eisenbahn ja nicht gefahren sein. Dann darf die keinen Millimeter gefahren sein. Und dann ist der Start und der Endpunkt eben der gleiche Punkt. Okay, also Eigenschaft 1, check. Ist gegeben. Okay.

Eigenschaft 2. Eigenschaft 2, Symmetrie. Wenn ich von A nach B fahre, in der französischen Eisenbahnmetrik ist das der gleiche Abstand

wie, wenn ich von B nach A fahre. Korrekt wird hier geschrieben. Auch müssen wir da beide Fälle A und B auf derselben Geraden liegen. Also wenn A und B auf derselben Geraden liegen.

Also wir müssen zeigen DAB ist gleich DBA. Fragezeichen, ist das so. Fall 1, die liegen beide auf derselben Geraden, dann ist ja DAB der Abstand die Länge der Verbindungsstrecke

von A und B. Ist das gleich die Länge der Verbindungsstrecke von BA? Weil wir brauchen hier letzten Endes den öktischen Abstand und der ist symmetrisch. Okay.

Das war Fall 1 und Fall 2. Wenn die nicht auf derselben Strecke liegen, nicht auf derselben Geraden liegen, dann müssen wir prüfen, ist AP plus PB das gleiche, als würde ich andersrum fahren.

BP plus PA. Ist das das gleiche? Ich fahre von A nach Paris, von Paris nach B und andersrum von B nach Paris und von Paris nach A. Ja genau, Phil hat es auch schon hier in Chat geschrieben.

Ja, die Summe der öktischen Abstand ist auch symmetrisch, daher erfüllt. Okay, genau. Also der Abstand von B nach B ist ja dasselbe wie der Abstand von der Abstand von die Länge der Verbindungsstrecke von P und B. Ist derselbe wie die Verbindungsstrecke von B und P. Und diese beiden Verbindungsstrecken sind auch gleich.

Also habe ich auf der linken Seite letzten Endes X plus Y stehen und auf der rechten Y plus X. Und weil die Addition in den reellen Zahlen kommutativ ist, gilt das auch. Okay. Sehr schön. Also Eigenschaft 2 ist auch erfüllt.

Und jetzt kommt die Dreiecksundgleichung. Ist die erfüllt. Jetzt müssen wir einen dritten Punkt einführen.

Das mache ich jetzt noch mal größer, weil ich glaube, jetzt müssen wir uns ein paar Fälle überlegen. Wir machen das jetzt nicht systematisch bis zum Ende. Aber ein paar Fälle können wir uns überlegen. Wir haben drei Punkte A, B, C. Was wäre denn da so ein Fall, den man untersuchen müsste? Genau, der

der Kaffee-Liebhaber möchte, schlägt einen Fall vor. Die Punkte A, B und C liegen auf unterschiedlichen Geraden. Das wäre deine erste Falsuntersuchung. Die liegen alle drei auf unterschiedlichen Geraden. Okay, das ist doch cool.

Nehmen wir mal diesen Fall. Also hier liegt A. Da liegt B. Und da liegt C. So. Die Frage ist jetzt, ordentlich das jetzt an. Gucken wir mal so. Also,

ist D, A, B, der Abstand von A und B in der französischen Eisenbahnmetrik kleiner gleich als D, A, C, plus D, C, B? Wenn ich jetzt von A erst nach C reise und dann von C nach B.

Ja, wie ist es denn? Der Abstand von A und B. Welcher der beiden Fälle tritt ein? Von der Definition der französischen Eisenbahnmetrik. Naja, ich muss über Paris fahren.

Das heißt, die linke Seite ist ja die Länge der Verbindungsstrecke von A, B plus die Länge der Verbindungsstrecke von B. Entschuldigung, finde ich ja A, B. A, P plus die Länge der Verbindungsstrecke P, B. Das steht auf

der linken Seite. Genau, einfach die Werte einsetzen oder die Definition einsetzen. Richtig. So, wie sieht es mit

A und C aus? Genau das gleiche. Die liegen auch nicht auf derselben gerade. Das heißt, hier muss ich auch erstmal bei Paris fahren. Das ist also A, A, P

plus P, C. Und dann muss ich hinten erstmal von C wieder nach Paris. Und dann von Paris nach B. Weil auch C und B nicht auf derselben gerade liegen. Ja, und da sieht man auch A, P plus

P, B. Das steckt ja auch hier hinten drin. Und hier mittendrin bin ich halt umständlich erstmal von Paris nach C gefahren, um von C wieder nach Paris zu fahren. Das heißt, kann man ja oben auch mal visualisieren,

ich fahre also von A nach Paris und von Paris nach B. Das ist die französische Eisenbahnmetrik zu den beiden Punkten. Und der Abstand ist kleiner gleich, als wenn ich von A nach Paris fahre, dann von Paris

zu C hoch, von C wieder runter, um dann nach B zu fahren. Offensichtlich ist dieser Weg länger oder gleich lang, nämlich wenn C

naja, obwohl C nicht auf derselben gerade liegt, ist auf jeden Fall länger. Ja, ich würde vorschlagen, die anderen Fälle könnt ihr euch mal selbst überlegen. Und schauen, ob alle Fälle

je nachdem wie die Punkte liegen, alle drei liegen auf unterschiedlichen Geraden, alle drei liegen auf derselben Gerade, A und C liegen auf einer Gerade, B aber nicht, B und C liegen auf einer Gerade, A aber nicht, und so weiter und so weiter. Da gibt es unterschiedliche Fälle. Ob denn immer in allen Fällen die Dreiecksungleichung erfüllt ist.

Wir haben auf Discord einen Aftershow-Kanal, in dem ihr das auch gemeinsam weiter diskutieren könnt, wenn ihr wollt. Also, ich verrate euch das Ergebnis. Natürlich ist das immer so, denn das würde man ja nicht von französischer Eisenbahnmetrik sprechen. Aber

es macht schon Sinn, sich das zu überlegen, ob das wirklich für alle Fälle so ist, um auch zu verstehen, warum ist es so.