Hallo und herzlich willkommen zum Lernvideo über bedingte Wahrscheinlichkeiten. In diesem Video lernen wir die Motivation für die Verwendung bedingter Wahrscheinlichkeiten kennen. Wir leiten mit Hilfe der Häufigkeitsinterpretation von Wahrscheinlichkeiten eine formale Definition

her und führen anhand dieser beispielhafte Berechnungen durch. Beginnen wir mit einem konkreten Zahlenbeispiel, in dem wir bedingte und unbedingte Wahrscheinlichkeiten

anschaulich und intuitiv berechnen können. An einer Mathematikklausur nehmen Studierende der Mathematik, der Physik und der Informatik teil. Für alle Studierenden können wir das Studienfach und das Klausurergebnis festhalten und die jeweiligen Anzahlen in einer Mehrfelder-Tafel zusammenfassen.

Insgesamt haben 144 Studierende teilgenommen. 38 Mathematikstudierende haben die Klausur bestanden, 7 Mathematikstudierende haben sie nicht bestanden. Bei den Physikstudierenden haben 10 die Klausur bestanden und 3 haben sie nicht bestanden. Bei den Informatikstudierenden sind es 70 bzw. 16.

Durch die Zahlensummen wenden wir heraus, dass an der Klausur 45 Mathematikerinnen, 13 Physikerinnen und 86 Informatikerinnen teilgenommen haben. An den Spaltensummen sehen wir, dass 118 Studierende die Klausur bestanden und 26 Studierende die

Klausur nicht bestanden haben. Wir können nun zum Beispiel fragen, mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person aus dem Studiengang Mathematik die Klausur bestanden oder wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte bestandene Klausur von einer Person aus dem Studiengang

Mathematik stammt. Beide Fragestellungen klingen ähnlich, entsprechen aber unterschiedlichen Sichtweisen, da wir uns auf eine jeweils andere Grundgesamtheit beziehen. Einmal sind es die Mathematikerinnen, nach deren Klausurergebnis wir fragen. Und dann sind es die in der Klausur erfolgreichen Studierenden, nach deren Studienfach wir fragen.

Wie lassen sich unterschiedliche Vorinformationen dieser Art in einem Wahrscheinlichkeitsbegriff berücksichtigen und mit einer allgemeinen Formel ausdrücken? Bleiben wir zunächst bei der zweiten Fragestellung und übersetzen die Mehrfelder-Tafel in ein dazu passendes Baumdiagramm.

In der ersten Stufe unterscheiden wir zwischen bestandenen und nicht bestandenen Klausuren. In der zweiten Stufe unterscheiden wir dann jeweils noch einmal zwischen den drei Studienfächern.

Der relative Anteil der Mathematikerinnen unter den bestandenen Klausuren lässt sich nun leicht berechnen. Erst gleich der Anzahl der Studierenden im Fach Mathematik und bestandener Klausuren geteilt durch die Anzahl der Studierenden mit bestandener Klausur, also 38 hundertachtzentel.

Grundet ist das ungefähr gleich 0,322. Der Häufigkeitsinterpretation von Wahrscheinlichkeiten folgend, können wir den berechneten Wert als Wahrscheinlichkeit auffassen. Genauer sprechen wir in diesem Fall von einer bedingten Wahrscheinlichkeit, weil wir uns explizit auf die bestandenen Klausuren beziehen und nur unter dieser Vorinformation bzw. Bedingung

nach dem Studienfach Mathematik fragen. Wir schreiben dazu einen senkrechten Strich zwischen die beiden Ereignisse um das interessierende Ereignis Studienfach Mathematik von der bekannten Vorinformation Klausur bestanden abzugrenzen.

Indem wir nun den erhaltenen Bruch mit der Gesamtanzahl der Klausurteilnehmerinnen erweitern, können wir den Zähler und Nenner ebenfalls als relative Häufigkeiten schreiben. Im Zähler steht dann die relative Häufigkeit der Studierenden, die Mathematik studieren

und die Klausur bestehen. Im Nenner steht die relative Häufigkeit der Studierenden, die die Klausur bestehen. Wieder mit der Häufigkeitsinterpretation von Wahrscheinlichkeiten erhalten wir gewöhnliche, also unbedingte Wahrscheinlichkeiten. Im Zähler die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person das Studienfach

Mathematik belegt und die Klausur besteht und im Nenner die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person die Klausur besteht. Diese Überlegung lässt sich auch auf andere Situationen als das Klausurbeispiel übertragen. Ersetzen wir dabei allgemein das Studienfach Mathematik durch ein Ereignis A und das Bestehen

der Klausur durch ein Ereignis B, so haben wir mit der Formel P von A gegeben B ist gleich P von A geschnitten B, geteilt durch P von B eine allgemeine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A bei bekannter Vormformation über ein anderes Ereignis B zu berechnen.

Wir benötigen nur Kenntnisse über die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten und über die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis, welches die Vornformation beschreibt, bereits eingetreten ist. Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B definieren wir daher formal über genau diese Formel.

Anhand unseres Beispiels können wir sehen, dass es bei bedingten Wahrscheinlichkeiten darauf ankommt, was die bekannte Vormformation ist und welches Ereignis danach noch eintreten soll.

Stellen wir uns dazu noch einmal die erste Frage, die wir zu Beginn des Videos formuliert haben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person mit Studienfach Mathematik die Klausur bestanden? Hier bedingen wir darauf, dass das Studienfach Mathematik ist und fragen dann nach dem Klausurergebnis.

Hilfreich ist erneut die Übertragung der Mehrfelder-Tafel in ein passendes Baumdiagramm. In der ersten Stufe unterscheiden wir nun zwischen den drei Studienfächern. In der zweiten Stufe unterscheiden wir dann für jedes Fach zwischen den bestandenen und den nicht bestandenen Klausuren.

In der Häufigkeitsinterpretation ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit diesmal der Quotient aus der Anzahl der Studierenden mit bestandener Klausur und Fach Mathematik und der Anzahl der Studierenden mit Fach Mathematik, also 0,3845 oder gerundet ungefähr gleich 0,844.

Durch Erweitern mit der Anzahl aller Klausur-TeilnehmerInnen erhalten wir auch hier den Quotienten zweier relative Häufigkeiten. Die wir jeweils als Wahrscheinlichkeiten interpretieren können. Ersetzen wir erneut allgemein das Bestehen der Klausur durch ein Ereignis B und das Studienfach Mathematik durch ein Ereignis A,

so erhalten wir die Formel P von B gegeben A ist gleich P von B geschnitten A geteilt durch P von A.

Anhand unseres Beispiels sehen wir, dass es bei bedingten Wahrscheinlichkeiten darauf ankommt, auf welches Ereignis bedingt wird. Je nachdem über welche Vorinformation wir verfügen, müssen wir den Grundraum auf einen anderen Teilraum einschränken, der dann die neue Grundgesamtheit für das interessierende Ereignis bildet.

In diesem Sinne treten bedingte Wahrscheinlichkeiten natürlicherweise in zwei- oder mehrstufigen Zufallsexperimenten auf. Grafisch wird das deutlich, wenn wir ein zweistufiges Zufallsexperiment mit einem Baumdiagramm darstellen, denn die Übergangswahrscheinlichkeiten von der ersten zur zweiten Stufe sind dann gerade bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Mit der Häufigkeitsinterpretation konnten wir eine allgemeine Formel zur Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten herleiten, die gleichzeitig als formale Definition in allgemeineren Situationen dient. Wir erkennen, dass lediglich zwei unbedingte Wahrscheinlichkeiten bekannt sein müssen.

Auch hier sehen wir den Unterschied zwischen den bedingten Wahrscheinlichkeiten P von A unter B und P von B unter A. Die Zähler der rechten Seite sind zwar identisch, da der Durchschnitt von Mengen kommutativ ist, aber im Nenner steht einerseits P von B und andererseits P von A.

Einen mathematischen Zusammenhang zwischen diesen beiden Ausdrücken stellt der Satz von Bayes her, den wir in einem anderen Video behandeln werden. Auch für zahlreiche Anwendungsprobleme, in denen bedingte Wahrscheinlichkeiten nicht gesucht, sondern bereits gegeben sind, ist die Gleichung nützlich. Durch Umformen erhalten wir nämlich eine Gleichung für die Wahrscheinlichkeit von A geschnitten B

oder eine Gleichung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von A bzw. B. Fassen wir noch einmal zusammen, was wir in diesem Video gelernt haben. Bedingte Wahrscheinlichkeiten treten auf, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses unter bekannter Vorinformation bewertet werden muss.

Hierbei muss zwischen den Rollen der bekannten Vorinformation und des interessierenden Ereignisses klar unterschieden werden, da sich jeweils andere bedingte Wahrscheinlichkeiten ergeben. Mithilfe der Häufigkeitsinterpretation von Wahrscheinlichkeiten lässt sich eine Formel herleiten, die die bedingte Wahrscheinlichkeit formal definiert und gleichzeitig eine Berechnungsmöglichkeit bietet.

In Sachkontexten mit bekannten bedingten Wahrscheinlichkeiten kann diese Formel auch zur Berechnung unbedingter Wahrscheinlichkeiten verwendet werden. Dankeschön und bis zum nächsten Mal. Copyright MDR 2021