Präsentiert von OpenLearnWare, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. Ja, einen wunderschönen guten Morgen zusammen. Willkommen zurück zu der Funktiagemetrie. Der Plan für heute und die nächsten Vorlesungen ist wie folgt.

Bis jetzt haben wir uns mit Kurventheorie befasst, Dinge, die durch den RRN gehen und deren Eigenschaften und die verstehen wir jetzt gut. Wir verstehen Eigenschaften wie Hauptsätze, das heißt zu gegebenen Anfangsdaten gibt es eine bestimmte Kurve. Wir verstehen Frennendaten, wir verstehen, wie man aus diversen Ableitungen der Kurve Größen wie Krümung, Torsion und so weiter bestimmt und so weiter.

Und das kennen wir alles gut. Und ab heute machen wir etwas höher Dimensionales. Wir befassen uns mit Flächen, Flächen Dimension zwei im R auch drei, Flächen von Dimensionen zwei im R auch n, Flächen von Dimensionen n im R auch m und generell solche Dinge, wo wir ein höher Dimensionales Objekt haben. Das in einem noch höher Dimensionalen Raum irgendwie eingebettet ist oder so etwas in dieser Art.

Es geht los mit einem Haufen Definitionen und ich zeige auch ein paar Analogien zur Flächentheorie, also Flächentheorie und Kurventheorie, die sind manchmal ähnlich und manchmal auch verschieden. Generell sind die Formen ein wenig komplizierter und weil dies so ist werde ich im Anfang auch noch so ein paar Dinge aus der Analysis eins und zwei und drei wiederholen, die Sie eigentlich schon kennen.

Übrigens das Differenzieren in höher Dimensionalen Räumen, Gradienten und so weiter und den Umgang mit ein klein wenig linearer Algebra. Okay, wir legen los und erstmal bevor es zu den formalen Dingen gibt, fange ich mir ein paar Beispiele an.

Ich zeige ein paar Flächen, von denen manche schon kennen, manche vielleicht auch noch nicht und dann gucken wir uns mal an, wie wir das so beschreiben können. Also Beispiele für Flächen, die Definition folgt den Beispielen, weil es ja immer so in der Mathematik ist, dass man die Definition so anpassen

muss oder so machen muss, dass die Dinge die man verstehen möchte, die Beispiele die man verstehen möchte, dass die gerade gut repräsentiert werden. So ein Beispiel das Sie alle kennen ist die Sphäre.

Zum Beispiel die Zwei-Sphäre S2 als Teilmenge von R hoch drei und S2 ist natürlich gleich, wie Sie längst wissen, die Menge à la x1, x2, x3, so das gilt x1² plus x2² plus x3² gleich eins.

Gut, die Formel kennen Sie alle schon längst, aber wenn wir uns mal das gemäthische Objekt ansehen, so eine Sphäre ist dann so ein Ding, das so von außen gesehen so aussieht. Hier haben wir die äußere Silhouette, hier haben wir irgendwo ein Äquator, zeichnen als Ellipse, irgendwo gibt es

einen Nordpol und irgendwo gibt es einen Südpol und das Ding ist dann sozusagen eine Darstellung der zweidimensionalen Sphäre. Erste Frage, einfachste Frage, wie würden wir das Ding mathematisch beschreiben?

Als Gleichung, wie hier, können wir es tun, das ist implizit, das heißt wir sagen nicht welche Koordinaten da drin sind, sondern nicht, sondern wir sagen gegeben ein Trippel von Koordinaten, diese Bedingung entscheidet ob es Teil der Sphäre ist oder eben nicht. Wir wollen im Folgenden die Dinge mehr explizit haben, das heißt wir wollen eine Darstellung haben, wo wir explizit was sagen können, so eine Art Funktion von der Zeit oder von irgendwas.

Und das machen wir so, wir wollen gerne eine von diesen Koordinaten, zum Beispiel die letzte, als Funktion der anderen schreiben. Geht das so in diesem Fall? Nun Sie werden sagen, natürlich geht das nicht, denn wenn wir hier die x und y-Ebenen betrachten, dann gibt es ja immer zwei, was vielleicht im Rand, zwei z-Werte oder x3-Werte für die Sphäre.

Also mit dem Konzept der Funktion kommen wir schon mal nicht hin und wir werden gleich etwas geringfügig komplizierteres einführen, weil wir werden das lokal parametrisieren. Und wir werden sagen, ja in so ein kleines Stück um den Nordpol herum, vielleicht auch ein größeres Stück, können wir als Funktion schreiben. Ein Stück um den Südpol herum können wir als Funktion schreiben und ein Stück um

diesen Teil hier herum, wo es gerade senkrecht steht, können wir auch als Funktion schreiben. Nur ist die Funktion dann nicht eine von x und y oder x1, x2 nach x3, sondern vielleicht von diesen Koordinaten, der senkrechten und dieser hier, in diese Koordinate oder sowas in diese Art. Und das werden wir jetzt als erstes beschreiben mit dem Konzept der Parametrisierung, parametrisierten Fläche und was so dazu gehört.

Aber erstmal noch ein paar Beispiele, weil wir ja schon ein paar mehr Flächen kennen und die wollen wir uns, wollen uns natürlich den Spaß nicht nehmen, noch ein paar Dinge, die wir schon kennen, noch mal zu betrachten. Also das war die Sphäre hier. Was Sie sich auch kennen, ist der Thorus, zum Beispiel im RO3.

Nun, Tore gibt es eigentlich viele, auch viele verschiedene, die nicht gleich aussehen, aber ich denke da an so ein Ding, das so aussieht wie ein Autoreifen.

Ich lege es mal auf diese Seite, das heißt, wir haben so ein Gebilde. Also so zeichnen dann mal typischerweise einen Thorus. Und der Thorus hat jetzt die Eigenschaft, ich male mal ein paar Koordinatenlinien drauf, dann sehen Sie schon ein paar von den Dingen, die gleich kommen werden. Stellen Sie sich vor einmal hier einen Haufen Kreise, orangefarbene Kreise, die so aussehen, die sozusagen in diese eine Richtung rumgehen.

Und der hier geht dann auch irgendwie weiter. Und blaue Kreise, die so herumgehen.

Okay, ich glaube, Sie sehen schon, was gemeint ist. Dann sehen wir an diesem Muster schon etwas, was wir gleich gebrauchen können. An diesem Muster sehen wir sozusagen zwei Arten von Koordinatenlinien sowie Linien im RO2, die Stande Koordinatenlinien.

Außer vielleicht, dass sich hier ein wenig mehr um das Gebilde drum herum wickeln. Das heißt, wenn Sie diese, diese Gebilde aus blauen und orangen Linien vergrößern und so ein kleines Stück ansehen, dann würden wir sehen, mit so einem kleinen Ausschnitt, diesem Stück hier, das sieht irgendwie aus wie horizontale und wertkale Linien.

Oder beliebige Linien, die einfach irgendwie senkrecht aufeinander stehen. Oder noch nicht mal senkrecht aufeinander, aber zumindest nicht tangential sind. Also zumindest so ein kleines Stück davon. Das sehen wir schon mal, wird irgendwie aussehen wie, naja, wird so aussehen wie ein Stück aus dem RO2 ausgeschnitten, mit horizontalen und vertikalen Linien.

Okay. Das ist also zum Beispiel ein Torus. Und es gibt diverse Formeln dafür. Nehmen wir zum Beispiel den Torus mit großem Radius, R und kleinem Radius R. Dann können wir sagen, wenn wir den Kreis im RO2 nehmen, den können wir schon beschreiben. Und dann alle Punkte, die vom Kreis von Radius R Abstand genau gleich klein R haben,

haben wir so einen Torus. Also das heißt, wir können zum Beispiel sagen, der Torus T ist gleich die Menge der Punkte x1, x2, x3. So das geht. Und ich schreibe es jetzt mal als Wort dahin. Sie können auch eine Formel hinschreiben.

Der Abstand des Kreises, ich mache mir jetzt zwei Parameter,

groß R und klein R, des Kreises in der x1, x2 Ebene. Sie wissen schon, groß R mal Cousinus x1 plus kleine mal Cousinus und Sinus.

Mit Radius R und x1, x2, x3 ist gleich klein R.

Und für diesen Fall ist es besser, dass klein R größer ist als groß R. Aber im Prinzip kann man dieses Gebilde auch ansonsten so hinschreiben. Also insbesondere.

Ansonsten hätten wir so Selbstdurchdringungen. Und die sind zwar nicht unbedingt schädlich, die werden wir sogar später wieder haben, aber ich vermeide sie mal für dieses elementare Beispiel.

Ok, Beispiele von zwei Flächen, jeweils von Dimension 2, jeweils in Dimension 3 drin. Muss nicht so sein. Wir werden später auch höhe dimensionale Objekte betrachten, oder eigentlich auch gleich in der Definition, denn die Definitionen werden allgemein sein. Aber das ist schon mal ein paar Dinge, die wir uns so vorstellen können. Es gibt noch eine andere Beschreibung des Torus. Das ist jetzt ein spezielles geometrisches Objekt.

Sie können auch, wenn Sie zum Beispiel aus der Algebra kommen, oder aus der Topologie, dann würden Sie sagen, den Torus kann man noch viel leichter beschreiben. Wir können auch genauso gut sagen, wir nehmen den R auch 2, so diese Ebene, wie diese Tafelebene. Schneiden Sie dann nach einem rechteckigen Muster in Quadrate. Und in jedem Quadrat sagen wir, wir heften die rechte Seite an die linke Seite an. Also wir nehmen das Quadrat wiegens um.

Wir heften dann das obere, jetzt nicht mehr Stück, sondern um den Kreis an, den unteren Kreis an. Und das gibt es auch an Torus. Also alternative Beschreibung. Wir können sagen, der Torus ist gleich, sozusagen mit Anführungszeichen.

Dieses Objekt, und Mathematiker schreiben das oft so. Topologen, ich schreibe das noch nicht mehr, deswegen werde ich das nur kurz so anschreiben. Die sagen dann, man nimmt diese linke Seite, ich nehme also meine rot an, und dieser Fall gibt eine Art Orientierung an. Dies identifizieren wir mit der rechten Seite, so.

Dann nehmen wir also, also wir nehmen sozusagen unser Objekt. Und führen linke und rechte Seite zusammen. Dann haben wir so ein Objekt. Und den nächsten Shirt kann man mit Papier nicht mehr demonstrieren. Da braucht man etwas flexibleres. Im nächsten Shirt geht man hin und heftet dann die Seite, die hier steht,

diese hier, ich mache mal zwei Pfeilspitzen, damit man sich verwechselt, an die Seite, die hier steht, an. Vielleicht haben Sie solche Notationen schon gesehen. Wenn nicht, ist auch nicht schlimm. Das ist kein Problem. Jedenfalls der Torus ist das Innere dieses Objekts, dieses Ding hier. Also alles, was im Inneren steht.

Dieses zweite missionale Gebilde ist der Torus T. Und in dieser Notation wäre das übrigens nicht dasselbe von der Metrik, denn das Ding hätte sozusagen immer die konstante Länge von links nach rechts von jedem Punkt hier zu sich selbst. Oder jede von den geschlossenen Kurven in diese Richtung ist gleich lang.

Jede von diesen geschlossenen Kurven ist gleich lang. Während bei diesem Torus wird durch die Zahlen Groß R und Kleine irgendwas vorgeben, wie lang die eben sind. Das ist nämlich Kreise mit Radius, Kleinerre für die blauen Kreise. Und für die Orangen ist es je nachdem, ob man außen oder innen ist, ein Wert zwischen Groß R minus Kleinerre und Groß R plus Kleinerre.

Gut, jetzt habe ich Ihnen eigentlich nichts erzählt, was Sie nicht schon wussten. Denn all diese schlechten kannten Sie ja bereits. Jetzt wollen wir das Ganze mal formal aufziehen und formal ein paar Definitionen hinschreiben. Bevor es losgeht, noch ein paar kleine Dinge oder eine kleine Erinnerung an etwas, was Sie auch schon wissen, und zwar die Kettenregel im R hoch N. Die werden wir die ganze Zeit brauchen.

Also Defizialgemetrie kommt ja vom Defizieren und im R hoch N werden wir natürlich auch Defizieren. Deswegen eine ganz kurze Erinnerung. Sozusagen Wiederholung von Analysis in höheren Dimensionen. Wiederholung von

zur Kettenregel. Also wir stellen Sie vor, Sie haben jetzt eine Funktion F, die geht vom R hoch N in den R hoch M meinetwegen. Muss nicht dieselbe Dimension sein. Oder Sie haben zwei Funktionen, die verketten Sie. Dann wissen Sie schon, also wenn

z.B. F gleich H nach G ist, dann gilt so als Ableitung DF gleich DH nach DG. Ok, das wissen Sie jetzt alle. Und Sie wissen auch, was diese Notizierung bedeutet. Das heißt, wenn ich F an den Punkt P nehme, dann muss ich den Punkt P in G einsetzen

und in H setze ich den Punkt G von P ein. Ich könnte also im Kleingedruckten hier noch Punkte reinschreiben und dann wäre es ganz präzise. Was Sie auch schon alle längst wissen, ist, wenn Sie hier irgendwelche Funktionen, naja, in Basisdarfstellung schreiben, wissen Sie, wie man partiell ableitet.

Ich mache so noch so ein bisschen Wiederholung von partiellen Ableitungen oder Koordinatenableitungen.

Beziehungsweise es ist auch Notation. Und zwar sage ich im Folgenden, wenn ich eine Funktion habe, F von R hoch N nach irgendwas. R hoch M oder sonst was. Also soll jetzt F geht von manchmal im Gebiet U nach R hoch M und U offen

in R hoch N. Dann schreibe ich ganz kurz für die Ableitung der Funktion in die alle möglichen Richtungen, von denen es abhängt. Also wir schreiben also Notation. Es gibt die Notation Df nach

Dxi. Das heißt, jetzt von der Itenvariable, von der es abhängt, da wird eben sozusagen partiell differenziert. Und das schreibe ich im Folgenden kürzer als D und ein I von F. Es gibt verschiedene Notation, es gibt vielleicht 10. Ich verwende die folgenden Dif und das ist gleich

Dif und das ist auch gleich, wenn Sie so wollen, Df mal E I. Und das, wenn Sie also noch mehr Notation haben wollen, ist auch gleich

Deif. Und diese vier Dinge, die hier stehen, bedeuten diese folgenden vier scheinbar verschiedene, aber dieselben Dinge. Erstes Symbol, Df nach Dxi. Die Funktion hängt von Variablen x1, x2 bis xn ab. Und hier wird einfach nach der Itenvariable abgeleitet.

Okay, partiell abgeleitet. Also keine Hexerei. Die zweite Variable, die zweite Schreibweise, ist nur eine Kurzschreibweise für die erste. Ich benutze hier im Folgenden die Mathematiker-Konvention. Das Funktion, die haben Argumente, die treten immer in genau derselben Reihenfolge auf. Also x1 bis xn treten immer genauso auf.

Das heißt, wenn ich sage, ich leite nach der Itenvariable ab, muss es hier gar keinen Namen geben. Ich kann es ja auch x, y, z oder so nennen, oder x1, x2, x3. Muss es aber nicht. Ich kann einfach sagen, ich leite nach der Itenvariable ab. Und das dann eine kürzere Schreibweise, um dies zu tun. Dies hier ist die partielle Ableitung, oder nicht partielle, sondern eine Richtungsableitung.

Dies wäre die partielle Ableitung. Richtungsableitung in Richtung eines Wektas, der hier steht, und zwar in Richtung des Iten-Koordinateneinheitsvektors. Und dies hier ist die Ableitung df, als Matrix, oder genau in der Linare Abbildung können Sie sich das vorstellen, und die wird multipliziert mit diesem Vektor ei. Denn Sie wissen es schon aus der Analysis, dass so eine Richtungsableitung

gleich ist mit dieser Ableitung, mal der Richtung, in die Sie diffusieren. Dies hier sind alles Dinge, die sollten Sie schon wissen. Wenn nicht, höchste Zeit, heute Abend hinzugehen, Ihren Analysis 1, 2, 3 und so weiter zu wiederholen, und sich noch ein wenig mit solchen Dingen vertraut zu machen. Ganz wichtig, wenn wir Folgenden immer brauchen, dies und die Kettenregel

setzt sich voraus. Ist ja auch keine Hexerei, wenn man es mal gesehen hat. Eigentlich ist dies alles ganz banal, und dies auch, man muss ihn eben einmal gesehen haben. Und ich mach's auch im Folgenden so, hier steht manchmal ein Fußpunkt dabei, manchmal nicht. Wenn ein Fußpunkt da steht, ist natürlich klar, welche gemein ist, denn wenn dies eine Verkettung ist, dann muss der Punkt hier und der Punkt ganz rechts

derselbe sein, und dieser Punkt hier muss natürlich das Bild des Punktes weiter rechts sein. Okay, das sind Dinge, die Sie alle schon wissen. Ich hab Ihnen jetzt gar nichts Neues gesagt. Ende der Wiederholung. Und es ist auch so, wenn Sie das nochmal wiederholen möchten, die Partiellableitung wäre sozusagen gegeben durch den Limes

von F an Punkt P plus T mal EI minus F von P, und das ganze geteilt durch T, und dann so ein Limes gibt eine ganz normale Ableitung. So, und jetzt kommen die neuen Definitionen. Als erstes will ich

sowas wie da oben bei diesem Taurus, diese orangefarben und blauen Linien, das will ich irgendwie beschreiben. Ich will so ein kleines Stück des Taurus zumindest, irgendwas, was uns anguckt, und was sich nicht so rumwickelt, dass es kompliziert wird, sondern ein Stück, das irgendwie so wie ein Stück eben aussieht, das will ich jetzt beschreiben, mit irgendeiner Art Abbildung. Und das tu ich. Ich stelle ein paar Forderungen an die Abbildung, sodass da keine

Knicke drin sind, sodass nicht selbst durch es selbst durchgeht, zumindest nicht allzu schnell, und sodass irgendwie differenzierbar ist. Und das ganze nenne ich dann eine Immersion und vielleicht auch eine Einbettung dieses Stückes Fläche. Ich fange an mit dem Begriff der Immersion.

Also, Definition. Ich nehme im Folgenden Abbildung von R hoch N nach R hoch M, auch wenn sie sich immer n gleich zwei und n gleich drei vorstellen können. Also ich sage einfach, eine Immersion ist einfach so eine Abbildung, die differenzierbar ist und vollen Rang hat. Also,

und es sei u, offenes Gebiet. Manche Leute sagen auch, einfach Gebiet, also offene Menge, in R hoch N. Denken Sie gerne an R hoch 2.

F F von oder sagen wir F Element sei mindestens einmal differenzierbar, besser noch mehr, aber einmal reicht für diese Definition von u nach R hoch M.

Also, F bildet dieses u ab in einen M-dimensionalen Raum. Im Folgenden wird m übrigens immer die Größe gleich n sein. So, der Definition, dann sage ich dieses F. F heißt

Immersion, also zu gut Deutsch eintauchen. Immersion ist dasselbe wie eintauchen. Das ist ein bisschen fremdwortig. Wenn gilt F hat sozusagen, bildet nicht

alles auf einen Punkt ab, komprimiert nichts, sondern hat irgendwie vollen Rang. Also wenn der Rang von dF überall maximal ist, Konstant n ist auf

u. Was soll das heißen? Das heißt, wenn Sie sozusagen in die eine Richtung gehen, dann bewegen Sie sich auch wirklich vorwärts. Wenn Sie in die andere Richtung gehen, bewegen Sie sich auch wirklich vorwärts. Sie bilden nicht alles auf eine kleinere Teilmenge ab. Sie können eine konstante Abbildung nehmen. Die will ich nicht. Ich will eine Abbildung, wo Sie, wenn Sie die eine Koordinat ändern, wo sich irgendwas ändert, wo Sie die andere Koordinat ändern,

irgendwas tut sich und so weiter und sofort. Und hier steht, es soll auch noch differenzierbar sein. Das ist jetzt eine Immersion, sozusagen eine Einbettung eines Stückes u in den R hoch m. Es gibt noch gleich die fortgestimmte Definition Einbettung statt Immersion, wo wir dann auch noch fordern, das Ding soll ein Homomorphismus

auf sein Bild sein. Bevor ich zur Einbettung komme, mache ich noch ein paar Definitionen hierzu. Diese Immersion, die können wir benutzen als, nein, vielleicht nicht die ganze Fläche, aber zumindest ein Stück der Fläche. Ich habe vorhin gesagt, den Taurus kann man nicht schreiben als Graf oder die Sphäre. Wir können nicht sagen, ich nehme so ein Stück R hoch 2 und

bilde es komplett auf die Sphäre. Geht nicht, da muss ich irgendwie was überlappen oder vielleicht noch die Ableitung 0 machen, das will ich nicht. Aber ich sage, das kann ich mal als vielleicht ein Stück betrachten. Und das, was hier steht, diese Immersion, würde ich im Folgenden einfach als parametrisiertes Flächenstück schreiben.

Das ist das allererste, was ich brauche. Ein Stück Fläche. Weitere Definitionen, oder auch dieselbe. Ein Immersion

hier oben heißt parametrisiertes Flächenstück.

Parametrisiert, weil das sozusagen die Parametrisierung mitliefert, das ist das, die Parametrisierung. Fläche, weil es eben so ein Ding ist wie da oben die Sphäre und Tours. Und Flächenstück.

Deswegen, weil es so nicht die ganze Fläche erreichen wird, das wird nur einen kleinen Teil der Fläche nehmen. Also für die Sphäre brauchen wir mindestens zwei von diesen Dingern. Vielleicht auch mehr. Also wir sagen oben und links, rechts, vorne, hinten, so weiter. Das wären zum Beispiel sechs Stück. Man kann es wenn es etwas klüger angeht, ein Stück oben machen, dass etwas über den Äquator rausgeht und ein Stück unten, dass etwas über den Äquator rausgeht.

Aber jedenfalls braucht man mehr als ein Stück. Ok, das ist jetzt so eine Art parametrisiertes Stück. Ist so ähnlich wie die parametrisierte Kurve, die wir am Anfang der Kurbentheorie gesehen haben. Da gibt es ja Kurven irgendwie so beliebig parametrisiert oder mit einer bestimmten Parametrisierung. Und da hatten wir gesehen, naja wenn wir eine Kurve haben, können wir sie vielleicht nach Bogenlänge parametrisieren. Also es gibt eine spezielle

Parametrisierung und es gibt so eine Äquivalenzklasse von Kurven, die alle äquivalent sind eben, wenn sie durch eine parametrisierte Transformation auseinander hervorgehen. Erinnern Sie sich noch, war ganz am Anfang der Vorlesung. Und genau dasselbe machen wir jetzt nochmal mit Flächen. Das heißt, dieses parametrisierte Flächenstück werden wir versuchen umzuparametrisieren oder zumindest sagen, wann sind zwei Flächenstücke

gleich. Sozusagen als das eine mehr oder weniger dasselbe wie das andere. Zum Beispiel, wenn ich sage, ich nehme jetzt zwei Stück eben im RN. Also ich nehme jetzt so zwei Stück Papier oder so etwas. Wann ist eigentlich eine Abbildung vom RN2 oder am Stück des RN2 hier hin? Und dort wenn das irgendwie dasselbe ist.

Wenn ich anders herum schreibe, aber es kommt dasselbe Bild heraus. Ich bilde beides auf dieselbe Menge ab. Das ist vielleicht manchmal so. Vielleicht will ich manchmal gar nicht die Parametrisierung, ich will nur das Stück. Vielleicht wird das dann rauskommt. Und deswegen kommt jetzt das Konzept von Parameterwechsel, Parametertransformation oder Unparametrisierung.

Also als nächste Definition. Also wir haben hier noch ein kleines Diagramm. Hier ist irgendwo der R hoch N. Ich mal zweidimensional. Und das U, das sitzt hier drin. Hier ist unsere Menge U. Teilenmenge hiervon. Meint wegen einer

Kreißscheibe. Das hier ist U. Und was macht das F? Das F bildet dies Ding ab auf etwas anderes. In diesem Fall in den R hoch M. Ich habe jetzt nicht so viele Koordinaten auf der Tafel frei, deswegen male ich das mal so. Hier zum Beispiel in den R hoch 1. Kann aber auch in den R hoch 3, wenn Sie so wollen. Hier ist also so ein

Graf, eine Funktion und hier habe ich dann solche Koordinatenlinien und habe dann so ein Objekt. Okay. Das F geht also von hier, vom U, in den R hoch M.

Also das hier ist der R hoch M. In diesem Fall war der R hoch 2 Teilenmenge des R hoch 3. Kann auch so gehen. So sieht das immer aus. Und ich will jetzt dieses Stück oben beschreiben. Das da unten, dieses Parametergebiet U, das interessiert mich eigentlich weniger. Denn was ich da oben gezeichnet habe, diese zwei

Beispiele, das waren irgendwelche Flächen. Und ich habe nicht gesagt, die Fläche und noch irgendwelche Koordinatengebiete drunter. Ich habe einfach die Fläche gezeichnet. Und im Falle will ich dies orange Ding da beschreiben. Und dies hier kann sich meint wegen ändern. Also wenn jemand anders hingeht und sagt, ich will nicht dieses U, sondern ein anderes U, kann ich nur sagen, mir ist das recht, denn dann machen wir es so. Und um dieses Konzept der

Änderung des U's, Umparameterisierung zu definieren, machen wir es so. Wir gucken uns jetzt an, was passiert, wenn ich noch eine zweite Kopie eines U's habe. Und meinetwegen auch am R hoch N. Hier mache ich eine zweite Kopie des gesamten R hoch N. Vielleicht ein endliches Stück, damit ich mit dem Zeichen fertig werde.

Und jetzt sage ich, ich mache hier ein Gebiet U, was weiß ich, irgendwas anderes. Kann auch ein bisschen deformiert sein, das sollte aber ungefähr gleich aussehen. Vielleicht ungefähr dieselben Konvexitätseigenschaften. Muss aber eigentlich auch nicht sein. Hier habe ich jetzt ein Gebiet, nennen wir es mal U tilde.

Und jetzt könnte ja jemand sagen, na gut, eigentlich kann ich ja statt diesem F hier, also den kann ich nicht nur schreiben als F, Abbildung von diesem Gebiet dahin, sondern vielleicht kann ich schreiben von einer Abbildung von diesem U tilde dahin. Es gibt also vielleicht in dem Fall ein F tilde. Eine Funktion, die das tut.

Und das werde ich jetzt in mathematischen Größen irgendwie fassen. Und wie tue ich das? Ich sage, dieses Gebiet hier und dieses Gebiet da sind vielleicht irgendwie zuordnbar. Oder eben auch nicht. Und dieses Konzept der Zuordnung, das kommt jetzt. Das ist dann die Frage, wie kann ich diese beiden Gebiete irgendwie aufeinander abbilden? Ich könnte jetzt eine Abbildung hier von links nach rechts oder rechts nach links schreiben.

Und im Folgenden will ich, die Reihenfolge ist eigentlich egal, aber das eine sagen wir ja, F ist dies Gebilde sei F tilde nach diesem Ding. Dann muss ich hier also sozusagen einen Phi schreiben. Ich muss mal sehen, dass ich meine Notation konstant bleibe.

Ich sage mal, F tilde ist gleich F nach Phi, dann gehe ich mal zum Beispiel in diese Richtung. Ja, wann kann dies vorkommen? Dies ist sozusagen die Definition, die ich gleich hinschreiben will. Die ist nicht schwer, aber da muss man sich ein wenig angucken,

wann kann ich das die Fläche oben als zwei Dinge schreiben, die so aussehen? Vermutlich genau dann, wenn ich das eine Gebiet U tilde auf das andere Gebiet U abbilden kann, sodass es irgendwie invertierbar ist und nichts verloren geht. Ich will im Folgenden differenzieren, das heißt, Ableitung soll enthalten bleiben. Und deswegen mache ich so, diese Transformation,

die muss, damit im Folgenden alles klappt, mindestens differenzierbar sein. Sie soll bijektiv sein. Und die Umkehrung, die soll auch differenzierbar sein, weil irgendwie sind die beide gleich, das heißt, differenzierbar von hier nach da oder da nach hier, da wollen wir gar nicht so unterscheiden. Und jetzt machen wir eine Definition für dieses Phi,

genauso wie wir es bei der Kurventheorie hatten, eine Definition von Unparametrisierung für Änderung dieses Definitionsbereichs oder diese Fs. Also, nächste Definition ist dann wie folgt def

eine Abbildung Phi U tilde nach U und zwar zwischen zwei solchen Gebieten mit derselben Eigenschaft. Zwischen

M oder sagen wir mal sagen wir mal offenen Gebieten, damit es keine Missverständnisse gibt, damit der nicht die Obwohl, ich kann eigentlich nur Gebiete sagen, das reicht aber, aber ich denke an offene. Im R auch N

heißt Parametertransformation

oder meinetwegen auch Unparametrisierung oder Parameterwechsel.

Wenn gilt, erstens mal, ich will alle Koordinaten, die ich in einem habe, auch in einem anderen haben, das muss also bijektiv sein. Phi

ist bijektiv. Zweitens, ich will im Folgenden differenzieren und Tangentialvektoren betrachten, das heißt ich muss die Tangentialvektoren, die ich hier bekomme, auch hier bekommen, ich will also, dass Phi ist

C1 eine C1-Abbildung von dem einen U zum anderen, in diesem Fall von U tilde nach U ohne tilde und drittens Phi hoch minus eins, das heißt die Umkehrabbildung, die ist auch C1 C1 Das brauchen wir heute immer. Diese Begriffe, so wie sie hier stehen, nennen wir auch C1-Differomorphismus.

Also müssen Sie sich nicht merken, aber das kann man so sagen. C1 Differomorphismus.

Differomorphismus, das ist wie Homomorphismus, wo Sie sagen, die Struktur wird irgendwie erhalten, also homogleich. Differomorphismus, da wird irgendwie Differior, die differenzierbare Struktur erhalten. Differomorphismus, das ist immer irgendwie Struktur und so weiter und so fort. Wenn Sie sich das Wort nicht merken, merken Sie sich einfach, das Ding ist biöktiv und differenzierbar in beiden Richtungen.

Es gibt nebenbei auch gesagt auch CK-Differomorphismen, aber ich habe hier nur von C1-Funktionen gesprochen, deswegen reicht das fürs weitere aus. Okay, die ist also eine Parameter Transformation und wir sagen jetzt zwei Abbildungen F oder F und F tilde, so wie hier, die heißen jetzt equivalent, wenn sie um Parametrisierung voneinander sind.

Das heißt wir können sozusagen Äquivalenzklassen betrachten, exakt wie in der Kurventheorie. Nichts ändert sich in der Definition und das ist dann sozusagen eine neue Art von Flächenstücke, nämlich die ohne Parametrisierung. Eine kleine Bemerkung, diese Parameter

Wechsel oder Transformation oder Umparametrisierung,

eine Äquivalenzrelation. Und deswegen kann ich auch im Folgenden Äquivalenzklassen davon betrachten.

So, im Folgenden definiere ich das unparametrisierte, also nicht parametrisierte Flächenstück und nicht um. Deswegen vermeide ich auch das Wort unparametrisiert im Folgenden, weil es so klingt wie unparametrisiert, das meine ich eigentlich nicht. Jedenfalls ein solches nicht-parametrisiertes Flächenstück

oder einfach mit anderen Worten, wenn ich Flächenstück sage

und nicht das Wort parametrisierter zusage, meine ich in der Regel nicht-parametrisiert. Also das, was ich hier definiere, ist eine Äquivalenzklasse

dieser Äquivalenzrelation.

Es gibt noch eine Schreibweise. Bei den Kurven in der Ansicht habe ich einfach geschrieben C für die Kurve. Und ich hatte das C mit den eckigen Klammern für diese Äquivalenzklasse in der Umparametrisierung. Und ich hatte auch noch ein C mit den schwitzen Klammern für die Äquivalenzklasse bei orientierungserhaltender Umparametrisierung. Kann ich euch jetzt einführen? Die Notation ist nicht

eine Notation. Wie bei Äquivalenzklassen üblich, eckige Klammern. Ich kann also sowas schreiben. So. Und eben wie bei Kurven auch bei Kurven, die kann man mit zwei

Richtungen durchlaufen, vorwärts oder rückwärts, wenn sie regulär sind. Anhalten war ja nicht erlaubt bei regulären Kurven, deswegen kann man die Richtung auch nicht ändern. Bei Flächenstücken gibt es jetzt keine Richtung, von links nach rechts oder oben nach unten oder so weiter, weil es hier mehrere Koordinaten gibt. Aber sie können unterscheiden, ob sie ein links beim anderen orientierungserhaltend Abbilden, also nehmen sie es einfach, drehen und verschieben oder ob sie nochmal eine Spiegelung

durchführen. Und diese bei Äquivalenzklassen können sie auch noch unterscheiden. Und die ersten orientierungserhaltenden, also Determinanten sind immer positiv, die können sie als eigene Unteräquivalenzklasse nochmal herausschreiben. Also nochmal als Definition.

Orientiertes vielleicht ein Stück ist

wieder eine Äquivalenzklasse, der Relation.

Also das von war die Äquivalenzklasse in den Relationen, wo die Relation ist gegeben, F steht in der Relation zu F tilde, wenn F gleich F tilde nach Phi oder F tilde gleich F nach Phi mit Phi, so ein Deformophismus, das hier oben steht. Jetzt kann ich auch sagen, in dieser Relation lasse ich nur noch orientierungserhaltende zu, also

Determinante positiv. Relation orientierungserhaltend orientierungserhaltend

unparametosiert. Das sind also kurze Einwohner. Was heißt orientierungserhaltend unparametosiert? Wahrscheinlich muss ich das nicht extra hinschreiben, aber falls doch, was ich meine,

das heißt Det d Phi soll positiv sein. Denn d Phi, wenn es ein Deformophismus ist, kann d Phi niemals null sein. Es ist also entweder positiv oder negativ, und ich fordere das immer positiv. Nebenbei

merkt man, wenn es einmal positiv ist, ist es überall positiv. Und hier gibt es auch eine Notation, ich nenne das F. Okay, bis jetzt habe ich nichts getan, als neue Notation eingeführt,

aber das ist auch nicht schlecht, denn jetzt können wir jetzt solche Dinge wie Torus oder Sere oder andere Dinge schon mal beschreiben. Das ist auch gar nicht von der Hand zu weisen. Und jetzt überlegen wir uns, wie differenzieren wir denn auf solchen Flächen? Das heißt, ich habe irgendwelche Vektoren, und die will ich beschreiben. Ich wähle Vektoren, Skalarprodukte, vielleicht Längen von Kurven

und solche Dinge, die will ich alle bekommen. Und dann fangen wir an mit den Vektoren an, und dann sehen wir, wie wir da weiterkommen. nebenbei bemerkt, zwei Bemerkungen stehen noch auf. Erstens mal bei dieser Definition von Flächenstück, parametrisiert oder auch nicht. Ich nehme eine Abbildung

vom R hoch N, in den R hoch M. Und die soll sozusagen einen konstanten Rang haben. Wie ist das? Also der Rang soll konstant N sein. Erste Frage, ist das N oder das M größer oder gleich?

Und jetzt sagen sie, na gut, wenn ich eine Abbildung von R hoch N in den R hoch M habe, wird Rang N, dann kann es ja nur in einem größeren oder gleichgroßen Raum abgebildet worden sein, denn der Matrix hat immer Rang, das ist das Minimum aus Teilenrang und Schwaltenrang. Das heißt, wenn ich ein N Kreuz M Matrix habe, dann ist der Rang

maximal so groß wie die Kleine von den beiden Größen. Das heißt, hier gilt immer M da oben, Größe gleich N. Irgendwie ganz klar, aber muss man nochmal gesagt haben. Okay. Und dann am Folgenden habe ich nicht gesagt, und hier habe ich nicht gesagt, dass die Fläche nicht irgendwie wiederkehren soll. Im Allgemeinen ist es möglich, bei dieser Definition zulässig, dass die

zweimal denselben Punkt hat. Bei Kurven war es ja auch so, wenn ich eine Kurve habe von den reellen Zahlen, in R hoch 2 zum Beispiel, die kann dann wie der Kreis zu sich selbst zurückkommen, das erlaubt. Sie kann auch sozusagen durch sich selbst irgendwie durchgehen, wie die Figur 8 oder Figuren N, das ist auch erlaubt. Und das wird auch bei diesen Flächen der Fall sein, denn hier ist hier nur eine Definition über die

Ableitung und nicht darüber, dass ein Punkt nicht nochmal vorkommen kann. Manchmal brauchen wir aber Kurven, die sich nicht selbst kreuzen, und manchmal brauchen wir Flächen, die sich nicht selbst kreuzen. Und dafür gibt es eine extra Definition, die heißt Immersion, also wenn sie sich kreuzen darf oder auch nicht, und Einbettung, wenn es kreuzen verboten ist.

Also noch eine kleine Bemerkung, also Selbstkreuzungen sind im Allgemeinen erlaubt.

Ebenso wie es bei Kurven erlaubt war, dass ich so eine Kurve nehme, sehen Sie hier, diese Figur unendlich oder 8, wie Sie es betrachten, das war ja eine absolut legitime, reguläre Kurve, manchmal auch nach Bogenlänge parametosiert.

Und wenn wir so ein Ding jetzt nehmen und das hier fortsetzen, also wir nehmen einfach dieses Ding und machen jetzt diese Fläche draus, vielleicht nicht mehr drinnen abgestimmt, vielleicht gehen die Rände irgendwie weiter, damit es nicht irgendwie

Gedanken macht, ob das irgendwie zu Ende ist, aber ich meine jedenfalls dieses Ding, das immer so aussieht, hier haben Sie immer diese Struktur. Das hier ist eine astrale Fläche, bestens immersiert, überall an jedem Punkt ist sozusagen der Rang voll, das heißt, wenn Sie ein kleines Stück R auf 2

nehmen, das Bild davon angucken, haben Sie auch wieder ein kleines Stück R auf 2 im R auf 3. Aber das Ding schneidet sich hier eben und diese Menge der Punkte, wo Selbstschritte sind, hier und hier und eigentlich überall in diesen Punkten, die können manchmal stören. Deswegen kommt jetzt gleich eine restriktive Definition, die dies

noch ausschließt. Also weitere Definition, def f heißt Einbettung,

wenn f Immersion ist und f

ein U nach Bild von f ein Homomorphismus ist.

Was war gleich ein Homomorphismus? Das war so ähnlich wie bei den Kurven, eine Abbildung, die ist biaktiv und stetig in beiden Richtungen. Also das hier bedeutet f, also

stetig und die Umkehrabbildung stetig. So ähnlich wie dieser Z1-Diffomomorphismus, außer dass

Z1-Diffonzieren nicht nötig ist. Was jetzt die Einschränkung, also Immersion muss sowieso sein. Insbesondere, wenn so eine Abbildung biaktiv ist, können nicht zwei Punkte, zwei verschiedene Punkte auf denselben einen Punkt abgebildet werden. Das heißt, bei einer Einbettung können solche Punkte wie diese Routen im Unterdiagramm, die können nicht vorkommen. Alles darf nur einmal getroffen werden.

Obwohl, also wir befassen uns meistens mit solchen Immersionen und weniger mit Einbettungen, aber das ist, es gibt die beiden Unterscheidungen. So eine kleine Bemerkung ist nicht so, dass hier das Bild so wäre, dass ein kleines Stück Ebene auf ein geknicktes Stück immer auf zwei abgebildet wurde. Ein kleines

Stück Ebene wird abgebildet, wenn es hier oben ist, auf so ein Stück. Okay. Wo es so richtig schön wie ein kleines Stück Ebene aussieht. Und wenn ich ein kleines Stück Ebene längs dieser roten Linie nehme, in der Nähe davon, dann würde das so aussehen. Entweder würde es abgebildet wie hier auf so ein Stück,

bestens differenzierbar, hier geht es auf die untere Schicht, deswegen mache ich es mal gestrichelt. Das sieht also bestens differenzierbar aus. Oder es ging auf so ein Stück, dass hier oben losgeht und dann hier auf die untere Schicht geht,

ist auch bestens differenzierbar. Das heißt, egal was ich hier mache, differenzierbar ist das Ding so oder so. Und ein kleines Stück Ebene sieht immer aus wie eine gekrümmt, aber glatte Fläche bei der Immersion. Und bei der Einbettung gibt es zusätzlich noch keine solchen Selbstverschneidungen. Gut, das waren jetzt eine Haufen Definitionen.

Und jetzt können wir mal ein paar Dinge betrachten. Bis jetzt haben wir noch keine besonders schwierigen oder neuen Beispiele betrachtet. Das können wir vielleicht auch mal so langsam machen. Ein Ding noch, ich habe hier gesagt, diese Dinge sind schön glatt. Was meine ich eigentlich, wenn ich damit sage, so eine Abbildung ist glatt oder da ist irgendwie alles schön differenzierbar. Vielleicht sollten wir uns ein wenig über den tangentialen Raumgedanken machen. Also den

Raum, der in einem Punkt im Bild von F sozusagen das Ding wiedergibt. Das sollten wir vielleicht mal tun. Okay, also neue Definitionen, tangentialen Raum von F.

Tangentialen Raum. So ein Tangentialen Raum ist eigentlich eine ganz simple Sache. Eigentlich kennen Sie das

alles schon. Sie kennen es schon aus dem Analysis im R. Tangentialen Raum an das eine Ding, an das andere Ding, zum Beispiel an den R auch ein selbst. Und jetzt machen wir den tangentialen Raum an den Graphen von F. Also vor allem betrachten wir dieses Ding, das nehmen wir mal TPF. Also erstmal die Definition. Wir sagen

hier das T am Punkt P von F. Das, was ich definieren will. F ist diese Immersion von vorhin. T wie tangential und P wie ein Punkt. Das soll jetzt im Folgenden dieses Objekt sein. Die Menge à la dF mal

x. So das gilt x Element F, wie gesagt, eine Abbildung vom U im R hoch N. Also N-dimensionale Vektoren kann ich da dran multiplizieren an das dF. R hoch N. Und wo ist das P gebliebt? Von dem tangentialen Raum. Das ist der Punkt, an dem ich das

dF differenziere. Also ich habe hier dF und ein P. Ich will sagen dF an der Stelle P. Übrigens schreibe ich niemals partielle Ableitung da unten hin. Deswegen ist das immer ein Punkt, den ich einsetze. Okay? Und das ist jetzt der tangentiale Raum an F.

Das Bild von F. Okay. Deswegen betrachte ich im Folgenden ausführlich ein kleines Wort zur tangentialen Raum. Was ist so ein tangentialer Raum? Das ist die Menge à la

Vektoren, die eben, wenn man so will, tangential ist, wie das Wort schon sagt. Und in der Schreibweise von vorhin war es so. Hier unten war unser Koordinatengebiet U. Ich mache mal ein Raster für die Koordinateneinheitslinien. Teilmenge R hoch N. Da ist die unten.

Drüber war der Graph der Funktion. So etwas. Das F ging von unten nach oben. Und diese Tangentiale Vektoren, die können wir uns jetzt so vorstellen.

Wir können ja hier unten, in diesem Gebiet, da können wir natürlich Vektoren haben. Das ist ja ein R. Auf zwei, da gibt es ja Vektoren drin. Zum Beispiel den ersten Vektor hier. Das zum Beispiel E1. Und einen anderen Vektor E2. Und wenn ich jetzt dieses Raster, ich habe unten und oben ein Raster hingemalt,

einfach sehe, was daraus passiert. Also ich habe zum Beispiel diese Kurven, die von links nach rechts gehen, die gehen auf solche Kurven über. Und diese Punkt hier wird abgebildet auf einen Punkt hier. Dann habe ich hier einen Vektor. Das wäre der erste Vektor. Das wäre für dieses E1, für dieses DF nach E1.

Und der andere wäre vielleicht hier. DF mal meinetwegen E2. Und so die Menge aller solchen Vektoren, die bilden den Tangentialraum an die Fläche. Keine große Hexerei, ganz simpel.

Tangentialraum ist der Spann dieser ganzen Vektoren. Also die Menge der Vektoren ist ein linearer Unterraum. Und wir stellen uns den Tangentialraum vor. Diesen hier stellen wir uns vor als Vektorraum. Und hier durch die Null. Diesen stellen wir uns vor als Tangentialraum durch diesen Punkt F von P. Oder vielmehr P gleich Bild von irgendwas da unten. Wir stellen uns vor, den gesamten Raum,

der aus diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Und der wird dann tatsächlich tangential an die Fläche sein. T, P, F. Klein wenig rechnen müssen wir damit doch noch. Kurze Bemerkungen

F ist eine Immersion, hat vollen Rang. Ein voller Rang. Ist sozusagen ein Isomorphismus auf diesen infinite Raum drauf. Also ein paar kleine Bemerkungen. Die Abbildung F oder DF vielmehr

vom R hoch N. U liegt im R hoch N und ist offen. Das heißt der Tangentialraum an U ist gleich das gesamte R hoch N. Deswegen schreibe ich mal das DF geht vom R hoch N in irgendwas. Und das geht in T, P, F. Vielleicht sollte ich noch sagen, dass ich in einem bestimmten Punkt, zum Beispiel diesem Punkt P

rede. Dies hier ist ein Vektorraum Isomorphismus.

Und linear sowieso, denn die Abbildung DF ist ja immer linear. Das ist vielleicht noch ein bisschen noch nicht alles. Unten habe ich schon ein paar Koordinateneinheitsvektoren gezeichnet. Die sind natürlich unabhängig, weil es Koordinatenvektoren sind. Oben habe ich jetzt linear unabhängig gezeichnet. Muss es immer so sein? Ja, denn sonst hätte die Abbildung ja nicht

folgende Rang. Das heißt, ich kann als zweite Bemerkung dazuschreiben. Die Basis DF, also diese Basis E1 mit DF mal genommen. DF mal E1. Bis DF mal EN ist eine Basis. Und ich habe benutzt diese so oft, dass ich da eine neue Schreibweise einführe. Ich nenne sie im Folgenden D1F.

Also die D1F soll heißen DF mal

E1. An Punkte P, wenn Sie so wollen. D1F oder DNF DF mal EN. Wenn Sie den Punkt dazuschreiben wollen, dann kommt das F dran. Ich tue es mal hier hin. P

P, P, P. Obwohl das wie gesagt für jeden Punkt P gilt. Die sind linear und bilden eine Basis.

PF Okay. Im Folgenden später werden wir zwei verschiedene Notationen betrachten. Eine für den Punkt unten, eine für den Punkt oben. Aber momentan ist das noch nicht so wichtig. Momentan schreibe ich nur P und meine damit den Punkt, in dem wir es gerade betrachten. Okay. Mit anderen Worten. Jetzt können wir schon mal

den Tangezweiflung schreiben, als den der Akkumulation oder Spann von ein paar ganz konkreten Vektoren, die nicht sind, als die Standardeinlassvektoren, die wir schon kennen. Und die Ableitung der Funktion F, die wir da hatten. Das ist auch so ein Standardkonzept in der Differentialgemetrie, also eine Funktion, die Fläche kann man auf verschiedene Weisen beschreiben. Wir wollen uns jetzt um tangentiale Vektoren

und den Längen von Kurven und sowas kümmern. Und die machen wir, die nehmen wir einfach daher, dass wir Vektoren unten im Basisraum nehmen, die nach oben transportieren mit DF. Und dann haben wir schöne Vektoren tangential an unsere Fläche. Und generell wird es auch so sein, bei einer Fläche, zum Beispiel einer parametrisierten Fläche, brauchen wir uns gar nicht über komplizierte

Gebiete im R auch N zu unterhalten, obwohl wir das letztendlich natürlich tun werden, sondern wir sagen, wir nehmen einfach diese Koordinaten im R auch 2 oder R auch N, was auch immer das ist, die wir schon gut kennen. Vektoren im R auch 2 oder R auch N, die wir schon gut kennen. Und deren Skalarprodukt definieren wir jetzt auch in eine geschickte Weise und dann haben wir die Fläche, das

auch mit der Analyse vom R auch N oder R auch 2 oder 3 und so weiter, können wir Analyse auf diesen krummen Flächen machen. Auf der Sphäre, auf dem Torus, auf Grafen, das werden wir alle hinbekommen. Indem wir sagen, die Analyse oben, die Vektoren oben sind nicht viel anders als die Vektoren unten.

Ganz elementar, ist eigentlich nicht das Satz oder Lämmer oder auch nur Bemerkung zu nennen, aber sehr wichtig zum Verstehen, dass wir im Folgenden immer, wenn wir tangentiale Vektoren hier angucken wollen, können wir genauso gut Vektoren unten betrachten und die kennen wir ja, da sind wir im R auch N. Das ist einfach linearer Algebra und vielleicht Analyse.

Und nach diesem Prinzip fahren wir so ein bisschen weiter. Das ist ein bisschen abstrakt, wie wäre es mit einem kleinen Beispiel, ein Beispiel, das wir noch nicht hatten. Hier kommen wir an ein Stück Fläche, die wir noch mit zwei Koordinaten global parametrisieren können, die aber schon neu ist. Ich zeige mal das Helikoid und betrachte mal ein paar Dinge davon, also

ein Beispiel, das Helikoid. Helikoid, das klingt so wie Helix, aber OI, das ist immer so ein typischer Zusatz für Flächen. Und wir sagen

jetzt Folgendes, wir haben die Abbildung F, manchmal von R auch 2, manchmal auch dem Ganzen, in den R auch 3. Und wir sagen XY wird abgebildet auf irgendeine Kombination von Sinus und Cosinus in der

entsprechenden Schreibweise. Das ist glaube ich die Standardschreibweise Sinus, Y, X minus X, Cosinus, Y und Y. Ich mache jetzt keine große Unterscheidung zwischen Zeilen und Spaltenvektoren. Wir müssen aber trotzdem ein paar mal differenzieren, deswegen schreibe ich die Ableitung nach X und nach Y als

Spaltenvektoren gleich. Das ist das Helikoid. Ganz kurz, warum soll das so sein? Wenn Sie dieses Ding betrachten, hängt von zwei Variablen ab. Nehmen wir an, Sie halten eine von den Variablen fest. Nehmen wir zum Beispiel an, Sie halten das Y fest. Das hier ist eine Funktion von X und Y ist eine Konstante.

Wie sieht dann dieses Ding aus? Wenn Y eine Konstante ist, dann ist dies also konstant, dies konstant und dies auch. Sie haben also so eine Art lineare Kurve. X mal Konstante, andere Konstante mal X und dritte Konstante bleibt einfach so. Das heißt, Sie haben in der Ebene

Letzte Kornate gleich dieser konstante Wert, haben sie eine Gerade, die gebildet wird, deren Steigung sich aus diesen Zahlen zusammensetzt. Also für y-Konstant ist x wird abgebildet auf f von xy, das Bild eine Gerade.

Das heißt, wenn ich das Ding gleich zeichnen will oder wenn Sie es mit einem Computer zeichnen wollten, dann käme raus eine von diesen Höhenlinien, also wenn Sie diese Linien horizontalen

vertikal in R2 nehmen, dann wird das Bild von einem davon, also von den zweiten in diesem Fall, werden wieder gerade Linien sein. Das kommt selten vor, in diesem Fall ist es aber so. Und was machen wir, wenn x konstant ist? Also wenn wir das als Funktion von y betrachten, dann steht hier Konstante mal Sinus y, Konstante mal Cosus y oder Minus und y.

Und das kennen wir schon, das ist nämlich die Helix, die wir immer schon betrachtet haben. Also wenn der Helix hat hier keine Konstante, sondern da drüben, kommt er aber auf selbe raus. Das heißt, eine Helix, die immer alle zwei Pi denselben wieder zurückkommt, Ganghöhe y hat

und wo hier der Radius, das hier ist eine Art Radius, der davor steht, eingeschrieben wird. Für x konstant ist die Abbildung y, wird abgebildet auf f von xy, eine Helix und zwar eine Helix,

wo nicht die Helix so geschrieben wird, dass der Kreis konstanten Radius hat und konstante Umlaufgeschwindigkeit und die Ganghöhe haben wir variiert. Hier ist jetzt die Ganghöhe

konstant und der Radius wird variiert. Ganghöhe also sagen, wie hoch kommen sie höher raus, wenn sie einmal herumgelaufen sind. Ganghöhe 2 Pi und Radius wenn. Das hier ist so eine Art Kreis

und das hier gibt dann den Radius x vor. Okay, das ist ein Beispiel für eine Fläche und dann werden wir jetzt gleich mal uns angucken, wie können wir das schön differenzieren? Kann ich auf diese Fläche vielleicht ein paar Vektoren hinschreiben, Standardvektoren und in welche

Richtung müssen die dann zeigen? Das Helicoid ist nebenbei das erste Beispiel von der Sache,

wo die Zeichnung per Computer sehr viel besser sein wird als eine Zeichnung per Hand, aber ich kann es versuchen, so ein klein wenig elementar da ranzugehen. Wir machen also sozusagen einen Haufen Helices, also der Helicoid und da fangen wir sozusagen an mit

diesen Helices, also ich mache mal eine Helix. Okay, so ungefähr sieht das dann aus und naja, die Radius sind vielleicht nicht besonders konstant, aber sie sehen so ungefähr wie es geht und das

ist jetzt eine Kurve, die geht immer durch, naja bei x gleich 0 geht sie da durch, das heißt ich nehme einen Haufen Geraden, die sozusagen da durchgehen. Also von jedem Punkt, zum Beispiel eine Gerade hier hin und hätte ich sozusagen ein, von tiefer liegenden Punkten,

hätte ich solche Verbindungsstücke, also das heißt, wenn ich hier senkrecht runtergehe, diese Kante, die aber nicht eine Kante sein wird, dann habe ich hier diese Stücke, die sich so durch diese Gerade durchgehen und das ganze Stück wird dann letztlich

etwas schöner gestaltet sein, das hat dann so eine einhüllende Kurve, das wird dann so aussehen, dass es hier so schön eingehüllt ist und hier ist dann die Fläche auf der einen Seite dieser einhüllenden Kurve und hier wird es auch so sein, dass hier sozusagen so eine Kurve

langgeht. Also jedenfalls haben wir verschiedene Helices und die Helices werden so sein, wenn ich jetzt eine zweite Helix da rein zeichne, die wird dann genauso sein wie die erste, nur eben sozusagen die wird sich schneller drehen und hier habe ich dann eine

ganze Familie von Helices, alle ineinander verschachtelt, die alle hier herumgehen und

das liefern dann die einen Koordinaten und die anderen sind durch diese anderen Linien gegeben. Okay, bei Hand zu zeichnen ist das schon relativ schwierig, aber jedenfalls sieht das generell so aus. Schwierig wäre es in höheren Dimensionen, wenn Computers

auch nicht mehr schaffen, weil da irgendwie keine explizite Formel für eine Fläche da ist oder sowas, dann guckt man komplett ins nichts und weiß gar nicht, wie das Ding aussehen soll, was man da gerade betrachtet. Kommt in höheren Dimensionen, kommt das gelegentlich vor,

momentan aber zum Glück noch nicht. Okay, noch mal zu diesem Helicoid. Wir wollten hier irgendwie sowas wie Skalarprodukte betrachten, also für Tangentialvektoren an diesen Helicoid, an dieses Ding. Wie machen wir das jetzt mit Skalarprodukten? Bis jetzt haben wir Vektoren und Skalar multiplizieren können wir noch nicht so richtig und wenn

wir es können, was ist der Zusammenhang zwischen einem Skalarprodukt auf dieser Fläche hier und im Gebiet U, in diesem Gebiet im R auch zwei. Darum müssen wir uns noch irgendwie kümmern. Vielleicht noch ein bisschen eine Rechnung zum Helicoid. Wenn ich das berechne, habe ich die Basenbasis für oder von tpf und beim Helicoid habe ich jetzt

d1f. Ich müsste also sagen nach der ersten Koordinator ableiten, nach x1 oder in diesem Fall einfach nach x und bekomme dann raus den Vektor Sinus y minus Cosinus y null und ich habe den

Vektor d2f. Gleich jetzt leite ich alles nach y ab, das x ist eine Konstante. Ich habe also

Cosinus y, Sinus y und 1. Die Vektoren können wir gleich noch brauchen, denn aus denen bilden wir eine Matrix von allen vier Skalarprodukten und das gibt uns dann auch eine Information über über die Fläche und wie senkrecht diese Koordinaten liegen aufeinander stehen.

Kurze Bemerkung, gleich werde ich eine Matrix von allen möglichen Senkrechtsstehungen definieren. Gleich werden wir uns darum kümmern, stehen diese Linien senkrecht aufeinander oder vielleicht unter einem bestimmten anderen Winkel. Das werden wir gleich zu beschreiben versuchen. Vorher noch eine kleine Bemerkung. Nehmen wir an, ich habe zwei Parametrisierungen f und f tilde

derselben Fläche und ich habe zwei Koordinaten Vektoren x und x tilde. In welchem Zusammenhang, das ist die Frage, stehen dann der eine Vektor und der andere Vektor df nach x und df tilde Das können wir uns noch ganz kurz überlegen, weil wir es später noch brauchen und zwar ist

das so. Generelle Bemerkung. Ich habe den folgenden f als Parameter Transformation von f tilde und x als Parameter Transformation von x tilde, vielleicht mit df. War da eine Frage? Wo ist

das x hin? Das habe ich vergessen. Vielen Dank. Besten Dank. Okay zurück zu diesen Umparametrisierungen. Wenn wir schreiben f tilde und f sind Umparametrisierungen mit

so einem Phi und zwei Vektoren Umparametrisierungen mit so einem d Phi. Dann kümmern wir uns ganz kurz um den Zusammenhang. Das heißt, wenn f tilde gleich f nach Phi ist, Umparametrisierung und für Vektoren dasselbe und x gleich, entweder der eine ist d Phi mal dem anderen oder der

andere mal dem einen und ich schraub es mal so, dass es gerade richtig hinkommt. d Phi mal x tilde

ist df mal x. Jetzt können wir sozusagen die Kettenregel benutzen. df oder df tilde wäre df nach d Phi und das steht gerade hier und dann kommt heraus, wenn wir das ganze kürzen, df tilde mal x tilde. Können Sie einfach nachrechnen, das ist einfach die Kettenregel und das

heißt, mit allen Worten, wir können nach Belieben das Parametergebiet ändern, f Umparametrisieren so wie hier und dann müssen wir nun die Vektoren auch umparametrisieren mit demselben Phi oder genauer gesagt mit dessen Ableitung. Mit anderen Worten, Sie dürfen im

folgenden jederzeit von einem Parametergebiet u zum anderen u tilde übergehen, das ist erlaubt. Abbildung des Phi geht von einem zum anderen und alle Vektoren, die Sie betrachten, müssen auch mit d Phi oder genau d Phi auch minus eins, je nachdem wie Sie es schreiben, auch umparametrisieren und dann kommt alles wieder richtig hin. Das werden wir manchmal

so implizit benutzen, ohne es so richtig zu sagen. Und jetzt zurück zum Thema des Senkrechtsstehens. Hier habe ich jetzt blaue und orange Linien gezeichnet. Welchen Winkel haben die miteinander? Das sind ja jetzt gekrümmte Linien und Sie könnten, wenn Sie wollten, wenn Sie es wirklich wollten, diese Linien, jede einzelne als Kurve schreiben,

jede orange Linie ist eine Kurve, da stehen sie auch schon, jede blaue Linie ist eine Kurve. Dann können Sie Tangentiale Vektoren betrachten, indem Sie einfach differenzieren und dann können Sie das Skalarprodukt zwischen diesen Vektoren betrachten. Und dann wüssten Sie zum Beispiel, welchen Winkel diese Kurven haben. Geht. Im Folgenden werden wir es aber so oft machen, dass wir gar nicht jedes Mal einzelne Kurven hinschreiben

wollen und differenzieren, sondern wir betrachten die Flächen gleich als Ganzes und wollen diese Art der Winkel oder der Skalarprodukt gleich auf der ganzen Fläche haben. Und deswegen kommt ein neues Konzept. Neues Konzept der Fundamentalform oder der Metrik, die Eigenschaften für Fläche und Eigenschaften im Parametergebiet in Verbindung setzt. Und das nennen wir die erste Fundamentalform. Also wir werden

im Folgenden sagen, ob wir oben sind oder unten, ist dasselbe bis auf eine Notation, die wir jetzt gleich mal einführen. Also jetzt kommt folgende Definition. Ich schreib jetzt im Folgenden mal zwei Arten von Skalarprodukt, zwei Arten von Länge und

Norm für oben und unten, also auf der Fläche und im U, damit wir die nicht nicht unbedingt verwechseln. Weil wir sagen jetzt einfach, dass die erste Fundamentalform, damit fange ich mal an, will sagen, es kommt schwerer noch

ein zweiter, aber das dauert noch ein paar Vorlesungen, ist und dass im

Wesentlichen das Skalarprodukt, außer dass wir sagen, na ja, wenn wir Vektoren in U haben, die werden wir gleich Skalar multiplizieren, indem wir erst mal DF auf beide anwenden und dann ein Skalarprodukt, eben auch N, drauf anwenden. Das ist also so, g, meinetwegen am Punkt p von x und y, große Vektoren sind in diesem Fall, also Großbuchstaben sind in diesem Fall Vektoren,

ist gleich Skalarprodukt DF mal x, DF mal y. Und damit wir uns nicht vertun, schreiben wir mal das p noch dazu, können Sie später weglassen. Und damit

ist gemeint für x, y, Tangentiale Vektoren in p. x, y, Element, na ja, diesmal Element noch r hoch n, denn da brauche ich gar keine Fußpunkte mitzunehmen.

Also bei Tangentiale Vektoren in der Fläche, wie zum Beispiel hier, ist es vielleicht ganz gut, so ein p hinzuschreiben. Wenn ich im r hoch 2 bin, ist es eigentlich und wehrlich. Das ist also die erste Fundamentalform, eine Art neues Skalarprodukt oder Verbindung zwischen dem Skalarprodukt hier auf der Fläche und dem enormen Skalarprodukt hier auf dem Gebiet u oder dessen Tangentialgebilde.

Ja, dann vielleicht noch, wo es ein Skalarprodukt gibt, gibt es auch meist eine Länge von Vektoren oder eine Norm von Vektoren und die definieren wir auch. Also wir sagen jetzt die Norm von x soll sein die Norm df mal x, das die

wir schon kennen. Also diese Norm hier ist gebildet aus diesem hier und diese wird gebildet sein aus dem. Das heißt wir nehmen sozusagen Wurzel aus diesem Termin hier, also Wurzel aus g und g. Also dfx und sich selbst.

Beliebter Trick der df und df, wenn Sie nebenbei bemerkt, immer wenn Sie ein Skalarprodukt haben, haben Sie automatisch eine Norm, Länge von Vektoren. Umgekehrt

geht das mehr oder weniger auch, aber so ist ganz leicht. Und hier ist die Formel, Normquadrat ist gleich Skalarprodukt mit sich selbst oder Norm ohne Quadrat ist gleich Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst. Kennen Sie alles schon aus der Analysis 2. Wo ist der Unterschied zwischen diesen Normbalken und diesen hier? Einfachen und doppelten. Hier sind sie

im Gebiet u oder genau gesagt in tu. Hier sind sie in tf. Deswegen auch die verschiedenen Notationen, um das momentan noch formal zu unterscheiden. Ja generell, was ist das für ein Objekt, das ich hier definiert habe, diese Fundamentalform? Ich habe gesagt Skalarprodukt. Ein Skalarprodukt hat immer ein paar Eigenschaften, bilinear, symmetrisch und positiv definiert.

Was meinen Sie, ist das hier erfüllt oder nicht? Nun wir gucken uns das an und stellen fest eigentlich ja. Also Bemerkung, dieses g ist oder ich habe mal gp,

bilinear, symmetrisch und positiv definiert. Wieso ist es so und wieso ist das

bilinear? Naja, die Skalarprodukt hier, das war ja schon bilinear. Die Abbildung df, die ist linear, das heißt in jedem Argument hier steht etwas lineares, deswegen ist die Abbildung insgesamt bilinear. Symmetrisch ist auch klar,

die Skalarprodukt hier ist ja schon symmetrisch und hier steht es genau dasselbe und positiv definiert. Wieso ist das so? Wenn Sie den Vektor ungleich 0 einsetzen, dann kommt hier derselbe Vektor zweimal in dieses Skalarprodukt hier rein und weil das ein Skalarprodukt ist, kommt was positives heraus. Also ist hier schon mal klar, dass dies so ist. Was ist jetzt

mit diesem p? Also irgendwie hängt das Skalarprodukt noch von p ab und das ist für jedes p ist es ein Skalarprodukt, in diesem Tangenzahlraum tpf und insgesamt ist das eine ganze Familie von Skalarprodukten. Also gp ist jetzt eine bilinear Abbildung für ein bestimmtes p, aber es ist auch noch eine

Funktion von p und als Funktion von p ist es irgendwie ein Objekt der Analysis, differenzierbar, da gibt es Ableitungen und so weiter und sofort. Und dies ist auch noch, im folgenden soll es immer so sein, dass dies Ding schön stetig und glatt von p abhängt. Also ist g ein und zwar

von p abhängiges Skalarprodukt und das war eigentlich überhaupt keine

Hexerei, denn was ich gemacht habe ist nicht mehr und nicht weniger als das schon vorhandene Skalarprodukt im Tangenzahlraum zu nehmen und ein neues Skalarprodukt im Gebiet von u daraus zu machen. Ja, nichts besonderes geschehen. Ich habe nur die, sagen die, den

Defensionsbereich geändert, deswegen auch die Schreibweise ein wenig. Mathematisch gesehen, das eine Objekt dasselbe wie das andere. Okay, das ist also sozusagen eine kleine Schreibweisenänderung und wozu soll ich das Ganze jetzt gut sagen? Sie werden jetzt sagen, na gut, ich habe mir eigentlich dieselben Objekte, die oben waren, unten hinten noch mal hingeschrieben. Das nützt uns aber gleich was, denn gleich können wir in

Koordinaten mit expliziten Zahlen schreiben, wie senkrecht diese Familien aufeinander stehen, zum Beispiel. Ob diese Kurvenfamilien horizontal und vertikal wirklich senkrecht sind oder welchen Winkel sie bilden, wie auch immer das geht. Das brauchen wir uns auch, weil bei der Flächentheorie gibt es nicht wie bei der Kurventheorie so eine Art Bogenlänge-Promptusierung, womit immer schöne senkrechte

Koordinaten hat, die gibt es nicht. Da können sich beide Sphäre schon überlegen und deswegen ist so eine Fundamentalform, die die Winkel angebt, immer gut zu haben. Okay, jetzt im Folgenden werde ich mal für

diese Gs, die können Sie sozusagen als Matrix ansehen, so eine

bilinär Form, stellen Sie sich mal mit bestimmt das P vor, denn das G I J oder G ist so ein Ding, das hängt von zwei Vektoren ab und ist deswegen eine lineare Abbildung oder bilinär Form und die können Sie schreiben als Matrix. Ich werde es im Folgenden mal machen, weil es auch die passende Schreibweise ist für Rechnungen und dann nehmen wir mal folgende Matrixnotation oder Schreibweise,

also Definition oder Schreibweise. Wir schreiben, die ist hier G I und J, nehmen wir mal das I zuerst und die für

schreiben wir per Definition G von E I und E J. Also in die bilinär Form setze

ich koordinateneinheits Vektoren in U ein, also in R auch N. Es gibt also ein Stück

davon jeweils, deswegen habe ich N mal N gleich N Quadrat Einträge G I J und dann habe ich sozusagen die allgemeine Linie Abbildung gleich als Matrix geschrieben. Sie wissen ja schon immer, wenn Sie eine Basis haben,

können Sie die Linie abbilden als Matrix schreiben und umgekehrt, wenn Sie keine Basis haben, das ist vielleicht komplizierter, momentan ist eine Basis gewählt und im R auch N haben wir eine Basis immer, deswegen können wir das einfach so schreiben. Das sind die koordinateneinheits Vektoren und dann haben wir diese G I J. Und die erste Fundamentalform können wir deswegen schreiben als N Kreuz N Zahlen oder vielleicht Zahlen, die von P abhängen. Für

verschiedene P's bekommen Sie vielleicht verschiedene Zahlen, aber für einen P gibt es genau N mal N Zahlen. Zum Beispiel von der 2 mal, also eine Fläche der Dimension 2 in R auch 3, wie diesem Helikoi zum Beispiel, haben Sie eine 2 Kreuz 2 Matrix. Okay, die wollen wir mal

beispielsweise ausrechnen, zum Beispiel für dieses Helikoid, da kommt da eben so etwas raus wie, naja, wir müssen einfach diese Vektoren, die da oben stehen, dieses miteinander multiplizieren und sehen was rauskommt. Also mehr ein Beispiel beim Helikoid. Wie bekomme ich aus den Vektoren, die

da oben stehen, diese Zahlen hier. Na, das ist so, ich sage jetzt, dass x ist der gleiche erste Vektor, groß x oder x 1. Und da habe ich den Vektor, der oben steht, Sinus Y minus Cosus Y und 0. Und der Vektor x 2 ist der

Vektor, der drunter steht. Klein x, Cosus Y, klein x, Sinus Y und 1. Und jetzt ist es so, wenn ich diese beiden Vektoren skala multipliziere, mit

sich selbst oder mit dem anderen, dann bekomme ich gerade dieses E G I J heraus. Also dann gilt G I J ist gleich das Skalarprodukt von x I und x J,

wenn Sie so wollen. Jetzt habe ich hier Ecke-Klammern oder Spitze-Klammern, weil wir auch drei sind. Okay, mit deiner Worten, wenn Sie solche Ableitung Geschwindigkeits-Vektoren haben, können Sie auch diese Matrix-Einträge bekommen. Das mache ich mal schnell. Diese Rechnung ist zum Glück in diesem Fall leicht. Hier haben wir jetzt G 1 1, gleich Skalarprodukt von x 1 mit

sich selbst ist gleich. Sie haben jetzt hier Sinus Quadrat plus Cosus Quadrat ist gleich 1 für alle, klein x, klein y. Dann machen wir mal das

G 2 2, das ist immer noch halbwegs leicht. G 2 2, gleich Skalarprodukt x 2 x 2 und jetzt haben Sie hier, abgesehen vom Faktor x, den Sie herausziehen können, Cosus Quadrat plus Sinus Quadrat ist gleich 1, also x Quadrat mal 1 plus

1 mal 1 ist 1, also 1 plus x Quadrat, klein x zum Quadrat. Das ist schon mal interessant. Sie haben eine Matrix, aber der Eintrag der Matrix, dieser hier, hängt von den Koordinaten oder zumindest von einer der beiden Koordinaten ab. Das ist mal gar nicht so trivial. Das heißt, das ist eine Linearabbildung als Funktion

von dem, was da drin steht, aber eine nicht notwendige Linearabbildung von diesen Koordinatenabbildungen, also von den Koordinateneinträgen selbst. Bleibt noch G 1 2 zu berechnen, das ist dann die Skalarprodukt x 1 x 2 und in diesem Fall stehen die senkrecht aufeinander. Sinus mal Cosus minus Cosus mal

Sinus plus 0 ist gleich 0 und dies ist dann automatisch auch gleich G 2 1, denn ich habe gesagt, G ist symmetrisch, deswegen ist auch die Matrix G symmetrisch und wenn ich G 1 2 habe, habe ich automatisch auch G 2 1. Wir können

das als Matrix Schreibweise schreiben und können dann so schreiben, Matrix Schreibweise, G ist gleich, die 2 Kreuz 2 Matrix, wo der 1 1 Eintrag ist 1,

der andere ist 1 plus x Quadrat und hier haben wir die Zahlen 0. Okay, das ist die Matrix für G und was ich jetzt nicht hingeschrieben habe, was implizit ist, dass dies G von einem Punkt abhängt, diese Punkt bei zwei Koordinaten x und y und das x und y, das kann und tut es auch hier

entstehen. Und das hier ist eigentlich nicht viel Neues als das, was wir unten schon hatten. Ich hätte all dieses, was ich hier mit Matrizen geschrieben habe, auch so hinschreiben können, aber mit dieser neuen Latation ist es sozusagen kürzer. So viel zum Thema Flächentheorie und wie man Flächen schreibt. Nächstes Mal kümmern wir uns um das Thema, was

die längere Kurve, wenn ich jetzt zwei verschiedene Kurven habe, wie lang sind die? Wollen sie zwei Kurven gleich lang, verschieden lang? Und um die Frage, wenn zwei Kurven immer gleich lang sind, in der einen oder anderen Darstellung, sind dann auch vielleicht diese Gs gleich oder wenn diese Gs gleich sind für zwei verschiedene Parametrisierungen, sind da vielleicht

auch Kurven immer gleich lang. Also das wird uns nächstes Mal umtreiben, Zusammenhang zwischen Länge und Gleichheit von Gs und das würde ich sagen, das war's für heute. Vielen Dank fürs Zuhören.