Ja, begrüße ich Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung, ich mache vielleicht mal die Tür zu.

Wir haben beim letzten Mal behandelt den Begriff der sogenannten Faltung. Faltung 2 am W-Maße P und Q. Wir bilden das direkte Produkt von P und Q oder Produktmaß P Kreuzkreis Q und machen dazu die Bildverteilung bezüglich der Abbildung T von R2 nach R.

T von XY ist gleich X plus Y. Alternativ ist die Faltung einfach die Verteilung der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen, wobei die erste Zufallsvariable die die Verteilung als Verteilung P hat

und die zweite Zufallsvariable als Verteilung Q, also das zweite Maß. Wir haben dann Formeln gesehen für Verteilungsfunktionen, Dichten und so weiter. Wenn wir unabhängige Zufallsvariablen X und Y haben, dann gilt für die Verteilungsfunktion H von der Summe.

Jetzt die Schreiben als Integral über R, Verteilungsfunktion F, das ist die Verteilungsfunktion von X an der Stelle T minus Y, integriert bezüglich der Verteilungsfunktion G von Y. Wenn nun Groß X eine Dichte F hat, so hat auch Groß H eine Dichte und diese Dichte klein H von T kann ich berechnen als Integral über R.

Integral über die Dichte klein F von X an der Stelle T minus Y integriert bezüglich der Verteilung von Y und falls die Verteilung von Y auch noch eine Dichte hat, dann kann ich das wieder umschreiben als Integral über R, F von T minus Y mal Dichte von Y der Y.

Das Ganze führt dann zu Prüfungsfrage Nummer 26, also 1 bis 25, haben Sie vielleicht schon auf der Homepage gesehen von uns. Prüfungsfrage Nummer 26, geben Sie zwei äquivalente Definitionen der Faltung zweier Wahrscheinlichkeitsmaße an.

Welche Formel gilt bei Vorliegen von Dichten? Das wäre mehr eine Frage für eine mündliche Prüfung, da müssten Sie eben nur die Formeln angeben. Was wir jetzt gleich machen, führt zu Frage Nummer 27, zeigen Sie, sind T1, T2 und so weiter unabhängig

von Lambda verteilt, so ist für T größer 0 Nt, das Supremum aus N aus N, T1 plus und so weiter bis Tn kleiner gleich T, Poisson von Lambda t verteilt, wobei das Supremum der leeren Menge gleich 0 ist. Und da würde ich Ihnen einen Hinweis zugeben, der Hinweis wäre,

man kann das Nt gleich K umschreiben als das Ereignis, dass T1 plus und so weiter plus Tk kleiner gleich T ist, und aber nicht gleichzeitig T1 plus und so weiter plus Tk plus 1 kleiner gleich T ist. Und dann ist als Hinweis noch die Dichte der Gamma-Lambda-N-Verteilung gegeben.

All das machen wir gleich, das wäre die Prüfungsfrage dazu. Dann haben wir unabhängige identisch verteilte nicht negative Zufallsvariabeln T1, T2 und so weiter.

Das sind unsere Lebensdauer.

Das T1 sei nicht gerade gleich 0 mit Wahrscheinlichkeit 1, das heißt die Wahrscheinlichkeit, dass T1 gleich 0 sei, sei kleiner als 1. Und wir haben dieses Nt eingeführt. Nt hat gezählt, wie viel, also wenn ich das als Lebensdauer

von Bauelementen betrachte und die Bauelemente unmittelbar nach dem Ausfall wieder austausche, dann zählt Nt, wie viel Bauelemente ich im Zeitintervall von 0 bis T eingebaut habe. Also Nt, Supremum Nelement N,

die Summe der ersten N sei kleiner gleich T,

wobei das Supremum der leeren Menge gleich 0 sei. T1 und so weiter, dieses Folge der Partialsum,

dieses T1 plus und so weiter plus Tn, das ist der sogenannte Erneuerungsprozess. Und dieses Nt indiziert mit T aus R plus,

das ist der sogenannte Zählprozess zum Erneuerungsprozess.

Nt selber gibt die Anzahl der Erneuerungen im Zeitintervall von 0 bis T an. Man kann sich erst mal überlegen, was ist das Nt? Ich mache ja gleich eine Aussage über die Verteilung. Um das machen zu können, soll es eine Zufallsvariable sein? Ist es wirklich eine Zufallsvariable? Ja, ist klar, es nimmt Werte

in der Null an, offenbar noch unendlich ebenfalls. Und um zu überlegen, ob es eine Zufallsvariable ist, muss ich eben überlegen, ob diese Ereignisse, dass Nt einen gewissen Wert k annimmt, in meiner Sigma-Algebra drin liegen.

Also ich habe einen Wahrscheinlichkeitsraum omega ap, auf dem diese ganzen Zufallsvariablen definiert sind. Also Nt ist eine N0-quervertige Zufallsvariable.

Das sei N0 und unendlich wertige Zufallsvariable. Denn wenn wir uns überlegen, Nt gleich k,

das Ereignis, dass Nt einen festen Wert annimmt, das kann ich jetzt wieder umschreiben, dass T1 plus T2 und so weiter bis Tk muss kleiner gleich T sein. Aber diese Summe bis k plus 1

darf nicht mehr kleiner als T sein. Und dann sehen Sie, das da ist in meiner Sigma-Algebra A drin. Also omega ap sei der

zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum. Und das da ist in der Sigma-Algebra A drin. Und damit ist auch die Differenz in A drin.

Dann das U-Bild von der unendlich ist ebenfalls drin, weil Nt gleich unendlich. Das heißt, alle solche Partialsummen müssen kleiner gleich T sein. Also kann ich umschreiben als Vereinigung N aus N, T1 und so weiter bis Tn kleiner

gleich T. Jetzt sind diese einzelnen Ereignisse in A und damit ist auch der unendliche Schnitt in A drin. Und dann sehen Sie, in der Tat,

diese Abbildung ist messbar, weil wenn Sie jetzt zum Beispiel als reelle Abbildung aufgefasst, wenn Sie jetzt ein U-Bild nehmen oder erweitert reellwertige Abbildung, wenn Sie jetzt ein U-Bild nehmen von einer Borelchen Teilmenge von R, dann können Sie dieses U-Bild eben umschreiben als Vereinigung der U-Bilder von allen diesen Einpunktmengen,

wo die Einpunktmengen drin liegen. Also in der Tat, wir haben eine Zufallsvariable vorliegen. Und jetzt machen wir eine Aussage über die Verteilung dieser Zufallsvariable. Es gibt den Satz 6,22. Ist T ein Exponential von

Lambda verteilt, so ist N, T, Poisson von Lambda, T verteilt. Wobei Lambda größer 0 ist,

so ist N, T, die Zufallsvariable N, T, Poisson von Lambda, T verteilt.

Für alle T aus R plus. Und diese Familie

der Zufallsvariablen N, T wird dann als sogenannter Poisson Prozess bezeichnet. Es ist ein sogenannter stochastischer Prozess. Das heißt, ich habe Zufallsvariablen, die noch mit einem weiteren Index indiziert sind. Also ich habe Zufallsvariablen, die hier unten, kann ich als Zeitindex deuten, noch mit einem weiteren Index indiziert sind.

Im Prinzip könnte ich sagen, ja, ich könnte ja von Anfang an eigentlich eine Zufallsvariable machen. Zufallsvariable ist eine Abbildung, wo ich eben auch noch dieses R plus in das Omega mit reinstecke. Das heißt, diese Zufallsvariable, dieses N, T ist ja eine Abbildung von Omega nach R oder R quer in dem Fall.

Und das habe ich jetzt für jedes einzelne T. Also kann ich auch sagen, ich habe eigentlich eine Abbildung von Omega Kreuz R plus nach R. Nur, dann würde ich, wenn ich das Ganze als Zufallsvariable so deuten würde, würde ich noch eine stärkere Messbarkeitsanforderung machen,

die ich hier nicht drin habe. Und das wäre ein Beispiel für einen sogenannten Poisson Prozess. Gut, haben Sie Fragen soweit? Dann kommen wir zum Beweis. Wie

machen wir das? Also wir haben die T1, T2 und so weiter unabhängig exponential von Lambda verteilt. Ich rechne mal die Zähldichte von

dem N, T gleich K aus, die Wahrscheinlichkeit, dass N, T gleich K ist. Das mache ich jetzt mit der Beziehung. Dieses Ereignis kann ich umschreiben als Differenz von zwei Ereignissen. Dieses hintere Ereignis

ist im Vorderen enthalten, weil wenn T1 plus und so weiter bis TK plus 1 kleiner gleich T ist, und die TK sind ja alle größer gleich Null, dann ist auch die Summe der ersten K kleiner gleich T. Das heißt, diese Wahrscheinlichkeit

ist dann gerade die Differenz von den beiden Ereignissen. Jetzt haben wir am letzten Mal oder was vorletztes Mal

gesehen Aussage über Verteilung des von der Summe unabhängiger exponential von Lambda verteilte Zufallsvariablen. Das ergibt eine Gamma-Verteilung, und zwar eine Gamma-Lambda-Komma-N-Verteilung, oder Gamma, hier, das ist eine Gamma-Lambda-Komma-K, das ist eine Gamma-Lambda-Komma-K plus 1.

Von der Gamma-Verteilung kennen wir die Dichte. Dann kann ich die Wahrscheinlichkeiten hinschreiben. Das heißt, ich komme auf das Integral von Minus und Endlich bis T über die Dichte von Gamma-Lambda-Komma-K und dann Minus dem Integral über

Minus und Endlich bis T Dichte von Gamma-Lambda-K plus 1. Dichte der Gamma-Verteilung, also Dichte von exponential Lambda war Lambda mal E hoch minus Lambda, und dann haben sie einfach noch so einen Faktor reingemacht. Das heißt, sie kommen hier auf ein Lambda hoch K durch K minus 1 Fakultät mal X hoch

K minus 1 mal E hoch minus Lambda X der X, wenn ich es recht weiß. Stimmen sie zu? Ja, sie stimmen zu.

Hervorragend. Dann machen wir das Ganze jetzt mit K plus 1. Und allerdings nicht von Minus und Endlich. Das wäre nicht so gut. Das muss hier natürlich ab Null losgehen. Und sie haben zugestimmt. Sie haben

nicht zugestimmt, aber ja. Nur bis T. Okay, jetzt schreiben wir das gleiche nochmal hin mit K plus 1 Lambda hoch K plus 1 durch K plus 1 Fakultät mal X hoch K mal E hoch minus Lambda X der X. Und das sieht

nicht so aus, als ob sie es integrieren können. Ja, ja, der zweite stimmt auch nicht. Dankeschön.

Der zweite ist einfach K um eins hoch, wenn der erste richtig war. Okay, das sieht nicht so aus, als man es integrieren könnte, wobei man kann es im Prinzip integrieren kann durch partielle Integration. Also sie leiten den ersten immer ab und den zweiten hoch. Aber ich

mache es jetzt genau andersrum. Ich mache hier eine partielle Integration, wo ich den ersten hoch integriere, den zweiten ableite, damit dieses Integral rauskommt. Das heißt, wir machen hier ein U Strich draus und hier ein V. Dann wäre U gleich, ja, U ist

Lambda hoch K durch Lambda hoch K durch K Fakultät mal X hoch K. V Strich ist gleich minus Lambda mal E hoch minus Lambda X. Und jetzt

sehen Sie, was hinten steht im Integranten. Wenn ich U mal V Strich ausrechne, dann komme ich gerade auf das hintere bis auf das Minuszeichen. Das heißt, das da ist

in der Tat minus U mal V Strich. Und dann sehen Sie, wenn ich jetzt eine partielle Integration mache, dann bekomme ich ja das Integral über die untere Zeile minus Stammfunktion ausgewertet von den

beiden nicht abgeleiteten Funktionen hier. Und das Integral über die untere Zeile wird hinten gerade wieder weg abgezogen. Also wenn ich eine partielle Integration vom ersten Term mache, das heißt, ich habe eine

partielle Integration des ersten Integrals. Ja, dann fliegt das

Integral weg. Das hintere Integral fliegt auch weg. Und es bleibt noch übrig das Produkt der ungestrichenen. Das ist Lambda hoch K durch K Fakultät mal X hoch K mal E hoch minus Lambda X. Ausgewertet an den

Stellen X gleich Null und T. X gleich Null eingesetzt, verschwindet das Ganze. X gleich T eingesetzt, gibt es Lambda T hoch K durch K Fakultät mal E hoch minus Lambda T. Und das ist

geschickterweise gerade die Zelldichte von Poisson Lambda T an der Stelle K. Und jetzt kann man sich noch

überlegen, stimmt das für alle K? Und man sieht eigentlich für K gleich Null stimmt es irgendwie nicht.

Warum stimmt es für K gleich Null nicht? Weil ich da hinten nichts abziehe, richtig? Also wenn Nt gleich Null ist, ja doch, eigentlich stimmt es auch für K

gleich Null. Also Nt gleich K heißt, naja, für K gleich Null stimmt es nicht, weil diese Summe kann ja nicht Gamma Lambda Komma Null verteilt

sein. Also für K größer Null. Element M. Das heißt, wir müssen im Fall K gleich Null noch separat untersuchen. Also uns überlegen, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass Nt gleich Null ist? Die Wahrscheinlichkeit,

dass Nt gleich Null ist, dieser Zeltprozess ist gleich Null, wenn, ja, wenn diese

Supremum die leere Menge ist. Das heißt, T1 muss schon größer als T sein. T1 ist exponential von Lambda verteilt. Das heißt, es ist integral von, das ist da,

exponential von Lambda verteilt. Das heißt, es ist integral von T bis und endlich über Lambda mal E auch minus Lambda t, dt. Stammfunktion ist minus E auch minus Lambda t, dx dx, x gleich t bis

und endlich, führend endlich fährt es weg, bleibt noch E auch minus Lambda t übrig. Okay, Fragen soweit? Also

Fragen? Sie starren so ein bisschen unglaublich an, aber können auch gerne Fragen. Also wir haben die

Zeltdichte nachgerechnet. Und jetzt kam der Poisson von Lambda t Verteilung raus. Also es war die gleiche Zeltdichte wie den Poisson von Lambda t Verteilung. Dieses Nt gleich und endlich muss ich gar nicht mehr ausrechnen, weil die ganzen davor summieren ja schon zu eins. Also ich bin fertig. Und es war

irgendwie, ja es war irgendwie ein fieser Dreck. Aber ich habe Sie als Prüfungsfrage draufgesetzt und ich habe Ihnen ja den Hinweis gegeben. Also der Hinweis steht drauf und die Dichte steht auch drauf und damit können Sie es eigentlich runterrechnen. Theoretisch. Und Sie sehen halt ein

weiterer Zusammenhang zwischen der oder Sie sehen einen Zusammenhang zwischen der Poisson Verteilung und der Exponential Verteilung. Die Poisson Verteilung kann ich auffassen als kommt raus als Zählprozess zu Exponential verteilten Wartezeiten. Also wenn die Kunden gemäß einer Exponential Verteilung eintreffen,

die Zeiten zwischen zwei Kunden, dann ist die Anzahl Kunden im gewissen Intervall eben Poisson verteilt. Gut, noch Fragen? Okay,

dann kommen wir zum neuen Begriff. Es gibt Kapitel 7 bedingte Erwartungen. Also Erwartungswert

kennen Sie alle. Anschauliche Bedeutung vom Erwartungswert wäre eine Art Mittelwert. Sie gucken an,

was kommt im Mittel raus? Bedingte Erwartung ist, wir gucken jetzt an, was kommt im Mittel raus, wenn wir irgendwas festhalten. Also einen Teil haben wir schon beobachtet, ein bisschen Zusatzinformation haben wir. Wie ändert sich dann der Erwartungswert? Und das fängt jetzt an mit einer Definition oder das Ganze führt auf eine Definition, die völlig abstrakt

ist, völlig allgemein, wo man nicht mehr sieht, was der Zusammenhang damit ist. Aber dann werden wir Rechenträgeln dafür herleiten. Dann werden wir die Definition immer wieder modifizieren und am Schluss kommen wir auf eine Definition, nämlich den faktorisierten bedingten Erwartungswert, wo man noch am ehesten sieht, dass es das ist, was ich eigentlich behaupte, was es ist, nämlich ein Erwartungswert bei festgehaltenen

Werten und anderen Sachen. Okay. Ich brauche nochmal ein bisschen Maßtheorie oder aus der Integrationstheorie. Und zwar brauche ich den Satz von Radonukidim, den ich Ihnen vorstellen werde.

Also was ist bekannt? Wir haben Messraum omega a. Ich habe dann

zwei Maße oder ich habe ein Maß drauf, mu und nu. Maße mu, nu auf a. Dieses nu

habe eine Dichte bezüglich mu, eine Dichte f. Und das f ist jetzt eine Funktion von omega a nach r plus b plus

mu. Und das definiere ich mir naheliegenderweise so, dass ich sage, ich kann eben die Werte von nu als Integral über f ausdrücken bezüglich dem Maß nu. Also nu für

alle a aus a fordere ich nu von a ist gleich Integral über a f f d mu. Kennen Sie von der Dichte bezüglich des Lebesmaßes, wo wir eben sagen, Maß hat eine Dichte bezüglich dem Lebesmaß, wenn ich

eben den Maßwert schreiben kann als ein Integral über die Funktion f bezüglich dem Lebesmaß. Wenn wir das jetzt angucken, dann gibt es eine ganz klare Aussage, nämlich wenn a die Eigenschaft hat, dass es eine Nullmenge bezüglich mu ist, also

wenn mu von a gleich Null, dann ist mu von a auch gleich Null. Also in diesem Falle gilt für alle a aus a

mu von a gleich Null, dann ist auch mu von a gleich Null. Und was ich jetzt brauche, ist der Satz von Radon-Nycodym. Und der Satz von Radon-Dycodym, also wir haben hier eine Implikation, wenn eine Dichte vorliegt, dann gilt, wenn mu von a

gleich Null, das ist immer auch mu von a gleich Null. Der Satz von Radon-Dycodym. Das heißt, wenn diese Beziehung vorgilt, wenn also immer wenn mu von a gleich Null ist, auch mu von a gleich Null ist, dann kann ich mu von a so schreiben. Das heißt, ich finde eine Funktion f mit dieser Eigenschaft. Also wenn Sie es

abstrakt angucken, dann sehen Sie, das ist eine Existenzaussage. Und Sie wissen vermutlich aus der Mathematik, Existenzaussagen sind immer irgendwie tiefgehend. Existenzaussagen sind nicht einfach zu zeigen. Aber das Satz von Radon- Dycodym, ich formuliere ihn mal ein bisschen allgemeiner, als hier steht,

allerdings nur für ein Spezial von Wahrscheinlichkeitsmaßen. Der Satz von Radon-Dycodym

vereinfacht. Ich weiß nicht, für die, die in der Integrationstheorie waren,

haben Sie den gemacht? Wir sehen, aber nie bewiesen. Also Sie finden den Beweis in meinem Maßstheorieskript, wenn Sie wollen. Allerdings auch nicht von der Fassung, die ich hier angebe, weil ich die Fassung gleich für sogenannte Differenz von 2 auf Maße habe. Das heißt, das signierte Maß kann auf einmal auch negativ werden.

Wir haben einen Messraum omega a. Wir haben ein endliches Maß. Darauf beziehe ich es vereinfacht.

Endliches Maß µ auf a. Wir haben ein signiertes endliches Maß µ auf a.

Das heißt, dieses µ ist Differenz von 2er endlicher Maße.

Es gelte die Beziehung von

gerade eben. Also für alle a aus a, wenn µ von a gleich 0 ist, dann ist µ von a gleich 0.

Dann existiert eine integrierbare, und zwar bezüglich µ integrierbare Funktion f von omega a nach rb, mit der

Eigenschaft, für alle a aus a, das µ von a

kann ich schreiben als ein Integral über a f de µ. Und f ist eindeutig bis auf die Äquivalenz µ fast überall.

Also µ fast überall die Gleichheit. Ja, passt irgendwie nicht mehr drunter. Das heißt, ich muss irgendwie wischen. Andersseits. Oder machen wir Pause, und ich wische alles? Ja, machen wir vielleicht Pause, und ich wische alles. Okay, vielleicht vorher noch kurz das Wort dazu. Was haben wir jetzt hier? Wir haben genau die Umkehrung.

Also wir haben die Umkehrung von gerade eben. Sie haben gesehen, wenn so eine Dichte existiert, dann gilt diese Beziehung. Also wenn µ von a gleich 0 ist, dann ist auch µ von a gleich 0. Man spricht da dann davon, dass dieses µ µ stetig ist. Und der Satz von Radon Nikotym sagt, es gilt sogar die Umkehrung. Wenn diese Beziehung wiederum gilt, finde ich ein f.

Und wie gesagt, das ist eine Existenzaufsage. Nicht ganz einfach zu beweisen. Brauchen Sie ungefähr zwei Vorlesenstunden dafür. Für das Ding. Aber wir machen es hier nicht, sondern Sie glauben es mir vielleicht einfach. Fragen sonst soweit? Gut, dann machen wir 5 Minuten

Pause zum Tafelwischen. Und ich mache dann um 10.29 weiter.

Okay. Ja, das, was ich noch gesagt habe, mache ich noch als Bemerkung dazu. Dieses f ist eindeutig bis auf Äquivalenz gleich µ fast überall.

Das sehen Sie eigentlich fast.

Weil wenn Sie zwei Funktionen f und g haben mit dieser Eigenschaft, dann ist eben das Integral über a f de µ gleich Integral über g f de µ für alle a aus a. Dann ist das Integral über a über Differenz f minus g de µ gleich 0 für alle Mengen. Und daraus können Sie folgern, sehen Sie gleich am Ende vom nächsten Beweis,

dass f gleich g µ fast überall ist. Und das Ganze ist die sogenannte Radon-Nykodym-Ableitung von µ nach µ.

Radon-Nykodym-Ableitung. Da gibt es auch eine Schreibweise dafür.

f gleich de µ nach de µ von µ.

Okay. Das brauche ich jetzt, um den folgenden zentralen Satz hinzuschreiben. Wobei ich den vielleicht unter Verschwendung von Platz hier hinschreibe, damit er untereinander steht. Es gibt den Satz 7.1.

Also was ich jetzt mache, ist ein Existenzsatz, der aus diesem Existenzsatz da oben folgt. Wo ich zeige, wenn ich eine integrierbare Zufallsvariable habe, ich gebe eine Unter-Sigma-Algebra vom Definitionsbereich vor, dann existiert eine weitere

Zufallsvariable mit gewissen Eigenschaften. Also wir haben Wahrscheinlichkeitsraum µ ap, wir haben eine integrierbare Zufallsvariable x,

die erweitert reellwertig sein kann. Also von µ ap nach µ p quer. Und ich habe eine

Unter-Sigma-Algebra c Teilmenge a. Also ich habe eine Sigma-Algebra c Teilmenge a. Also c ist kleiner als a. Und dann behaupte ich, es existiert eine Zufallsvariable x von µ ap nach µ rb

mit den folgenden zwei Eigenschaften. Die nenne ich nicht x, sondern die nenne ich z.

Und was ich mache, ich mache eine Art Vergröberung von einer ursprünglichen Zufallsvariable. Diese Vergröberung mache ich durch zwei Forderungen.

Die erste Forderung ist, dieses ursprüngliche x war ja a, b quer messbar. Ich fordere jetzt für das z, dass es c b messbar ist. Weil c kleiner als a ist, ist es eine Einschränkung. Also wenn Sie eine kleinere Sigma-Algebra im Definitionsbereich haben, dann wird die Zufallsvariable irgendwie,

die kann weniger variieren. Da gibt es eben weniger davon. Also erste Eigenschaft, Stern. Dieses z ist c b messbar.

Und zwei Stern fordere ich, diese Verteilung von z soll was zu tun haben mit der Verteilung von x. Und was das ist, was das zu tun haben soll, für alle c aus

c soll gelten. Wenn ich x über c integriere, dann soll das das gleiche sein, wie wenn ich z über c integriere.

Und ich mache noch eine Eindeutigkeitsaussage dafür. Dieses z ist eindeutig bis auf die Equalenz.

Und eigentlich könnte ich einen p fast überall schreiben, aber da ich ja eine c b Messbarkeit machen will, und es ist p fast überall gleich und die andere soll auch noch c b messbar sein, dann muss die Zemenge, auf der sie gleich ist, auch noch aus c sein. Das heißt, ich kann genauso gut

ein gleich und mache dann die Restriktion auf c von p fast überall. Also eigentlich könnte ich einen p fast überall machen, aber da

die beiden Abbildungen, oder zwei solche Abbildungen ja beide c b Messbar sein soll, muss eben diese Ausnahmemenge, wo sie nicht übereinstimmen, auch noch aus c sein.

Also sie sehen sieht irgendwie komisch aus. Gebe ich zu. Nochmal was ist es? Ich habe eine Zufallsvariable gegeben. Ich behaupte, es existiert eine neue Zufallsvariable, die einerseits was zu tun hat, deren Verteilung was zu tun hat mit der alten.

Das ist die Bedingung hier. Das können Sie ja umschreiben als ein Integral bezüglich der Verteilung b x. Dann sehen Sie, das ist eine Aussage über die Verteilung letzten Endes. Also die Verteilung von x hat was zu tun mit der Verteilung von z. Punkt eins. Und zwar in dem Sinne, dass wenn ich über Mengen aus c integriere, also darüber mittel, dann kommt beides mal das gleiche raus.

Und zweitens, sie ist irgendwie gröber als die alte Zufallsvariable, weil sie hier messbar ist bezüglich einer Zufallsvariable oder bezüglich Sigma-Algebren, wo die Sigma-Algebra im Definitionsbereich kleiner ist. Ich meine zusätzlich habe ich sie noch reellwertig gemacht.

Aber das ist kein großes Ding, weil die alte war ja integrierbar. Wenn die integrierbar ist, dann können diese erweiterten Werte, also plus und minusendlich, nur mit Wahrscheinlichkeit null angenommen werden. Das heißt, ich habe sie erst einmal auf eine Nullmenge abgeändert, habe dann eine reellwertige Zufallsvariable draus gemacht und dann

kommen diese beiden Bedingungen rein. Fragen soweit?

Das ist unser technischer Satz. Den werde ich mit dem Satz da oben beweisen. Wird relativ einfach gehen. Sie werden nicht argviel erkennen am Beweis, weil letzten Endes steckt der andere einfach dahinter. Und dann wird das da unsere Definition der bedingten Erwartungen geben.

Reden wir vielleicht nachher nochmal darüber, was es eigentlich ist. All diese bedingte Erwartungen wird komischerweise irgendwie eine Zufallsvariable sein, die eine Messbarkeitsbedingung erfüllt und eine Integralbedingung erfüllt. Gut, dann können wir hier glaube ich mal anfangen mit einem Beweis.

Ich mache das Ganze, indem ich so eine Radonukodym-Ableitung mache. Ich definiere mir ein Phi von C nach R,

sei definiert als Phi von C ist ein Integral über C x dp und das kann ich umschreiben als Integral über x plus minus Integral über x minus.

Dann sehen Sie, diese Integrale über die nicht negativen Funktionen sind jeweils Maße. Und zwar eigentlich sogar endliche Maße, weil die ursprüngliche Funktion ja integrierbar ist.

Das heißt, was ich hier habe, ist ein endliches signiertes Maß. Erster Punkt. Und dieses endliche signierte Maß nehme ich dann als mein Maß nu da oben. Daraus folgt,

Phi ist endliches signiertes Maß. Und was ich jetzt machen möchte, ich möchte dieses Phi von C darstellen als ein Integral über eine andere Funktion z dp.

Wobei das dann, das nehme ich als meine Art Dichte. Und das wird meine Radonukodym-Ableitung sein. Ja, und da muss ich die Voraussetzungen überprüfen.

Mit, was haben wir hier? Für alle C aus C haben wir, wenn P von C gleich null ist,

dann ist natürlich auch Phi von C als Integral über C x dp gleich null. Jetzt wende ich den Satz von Radonukodym an. Und zwar

angewendet mit Nu gleich Phi

und Mu gleich P.

Existiert jetzt ja, eine Funktion was haben wir hier? F, die nenne ich jetzt Z. Von Omega A nach Rb

ist die Frage, was ist mein Omega A? Naja, mein Omega ist mein Omega, aber statt A nehme ich C. Existiert ein Z von Omega C nach Omega C

nach Rb

mit.

Erstens, unser Z ist Cb messbar. Na gut, habe ich in der oberen Schreibweise schon reingeschrieben.

Zweitens, unser Z ist integrierbar

bezüglich dem Maß. Und das Maß ist eigentlich P. Und meine Sigma-Algebra ist C. Also P eingeschränkt auf C. Und drittens,

für alle C aus C weiß ich mein Phi von C ist gleich Integral über C eingeschränkt auf C. Und das kann ich jetzt umschreiben. Was war mein Phi von C? Mein Phi von C

war das Integral CxdP. Und dann bekomme ich hier das Integral über CzdP eingeschränkt auf C. da ja

Zcb messbar ist, ist es egal, ob ich bezüglich P eingeschränkt auf C integriere oder bezüglich P. Das ist so eine fiese kleine Sache. Aber das ist das gleiche. Ist Integral ZdP über C, da

Zcb messbar. Ja, das machen sich klar, indem sich erstmal Z als einfache Funktion vorgeben. Oder vielleicht als Indikatorfunktion.

Dann wäre es gerade in der Indikatorfunktion von einer Menge aus C. Dann wäre dieses Pmaß eingeschränkt auf C das gleiche wie das Pmaß von der ursprünglichen Menge. Dann nehmen Sie Z als nicht negativ einfache Funktion. Die können Sie dann schreiben als so eine Linearkombination mit

Mengen, die alle aus C sind, wenn sie messbar ist. Also Z ist ja cb messbar. Dann wenden Sie die Linearität an, haben die Beziehung dann. Dann nehmen Sie Z als nicht negative Funktion. Dann können Sie es als Grenzwert schreiben bezüglich von Cb messbaren, einfachen Funktionen, die punktweise von unten kontergieren. Wir ziehen es entsprechend

hoch und dann am Schluss als allgemeinen Teil zerlegen diesen Positivteil, Negativteil. Also eigentlich müssen Sie so eine Beziehung nur sehen für eine Indikatorfunktion. Und für eine Indikatorfunktion ist es trivial.

Ja, und damit haben wir eigentlich Stern, Z ist cb messbar. Und wir haben auch zwei Stern, diese Integralbedingungen. Und habe ich irgendwie integriert bei einem Satz vergessen, reinzuschreiben. Das kann sein.

Ja, das ist... Da muss ich eigentlich noch einen integrierbar dazu schreiben. An der Stelle.

Und integrierbar.

Und diese Integrierbarkeit haben wir gleich auch noch. Und damit haben wir eigentlich alles bis auf die Eindeutigkeit. Okay, Fragen soweit?

Keine Fragen, dann machen wir noch schnell die Eindeutigkeit. Also, was machen Sie

zur Eindeutigkeit? Sie nehmen an, Sie haben zwei solche Funktionen, z1 und z2. Dann haben Sie Sternstern. Sternstern impliziert Ihnen dann, wenn Sie

für alle c aus c, wenn Sie das Integral über c, z1 dp betrachten, dann kommt das Integral über c, z2 dp raus. Für zwei cb messbare Funktionen.

Weil beide Integrale sollen ja gleich dem Integral über x dp integriert über die Menge c sein. Bilde ich die Differenz. Dann sehen Sie für alle c aus c,

das c habe ich integral über c, z1 minus z2 dp, ist die Differenz der Integrale, ist gleich 0.

Oder wir machen mal einen anderen. Vielleicht eine analoge Folgerung. Daraus folgt jetzt, wenn ich speziell z als Menge einsetze, wo z1 größer als z2 ist. Dann komme ich auf das Integral über z1 minus z2. Mal Indikator

vom Ereignis, dass z1 minus z2 größer 0 ist. dp. Das ist ja gerade das Integral über z1 minus z2 größer 0. z1 minus z2,

ja, das ist dann 0 nach oben. Der Integrant, den ich hier habe, ist jetzt aber größer gleich 0. entweder der Indikator ist gleich 0. Oder aber der erste Faktor

ist größer gleich 0 und der Indikator gleich 1. Ist größer gleich 0. Dann wissen wir schon, wenn eine Funktion über ganz Omega integriert gleich 0 ergibt und nicht negativ ist, dann muss der Integrant p fast sicher gleich 0 sein.

Daraus folgt z1 minus z2 mal 1 z1 minus z2 größer 0 ist gleich 0, p fast sicher. Analog bekommen wir das auch für kleiner 0.

Ich wische erst noch und dann sind wir fertig.

Ja, und damit ist eigentlich z1 minus z2 mal die Indikatorfunktion, dass z1 ungleich z2 ist p fast sicher gleich 0. Ja, aber damit muss z1 gleich z2 p fast sicher sein.

Daraus folgt z1 gleich z2 p fast sicher. Fragen soweit?

Moment jetzt nochmal langsam. Sie wollen an welcher Stelle hier?

Also was ich jetzt hier gemacht habe, also die Frage ist, was ich hier genau gemacht habe. Ich habe hier ein Integral

über ganz Omega hingeschrieben, ist richtig. Und nütze aus, dieses Integral ist eigentlich, oder dieses Integral ist das gleiche wie dieses Integral. Das ist im Prinzip egal. Also dieses Integral ist so definiert. Und jetzt bezeichne ich das als meine Menge C. Und was ich argumentieren muss,

ist diese Menge C muss in der Sigma-Algebra-Script drin liegen. Das tut sie aber, weil z1 und z2 als Cb messbar angenommen sind. Diesen Übergang haben wir im Prinzip schon hier vorne gemacht. An der Stelle. Also hier musste ich ihn einmal machen und damit hatte ich das da jetzt nicht nur bezüglich p eingeschränkt auf C,

sondern Integral p eingeschränkt auf C, sondern bezüglich einen beliebigen Integral. Weitere Fragen? Also was haben wir

bisher gemacht? Ich hatte Ihnen einen Satz hingeschrieben, ohne Beweis, der war irgendwie schwierig, aber es war einigermaßen plausibel, war ein Existenzsatz. Ich habe Ihnen dann daraus eine Folgerung hingeschrieben, die irgendwie komisch aussah, gebe ich zu, und ich habe einen Beweis

gemacht, der genauso komisch aussah. Also war nicht irgendwie besser. Und der Hammer ist, jetzt kommt im gleichen Stil noch die Definition dazu. Und dann überlegen wir uns nochmal, ob Sie vielleicht nicht doch ein paar Fragen haben. Okay.

Also man hätte ja im Prinzip denken können, man hat so einen komischen Satz, und aus dem Beweis sieht man dann, was der komische Satz bedeutet, aber dummerweise war der Beweis genauso komisch. Da sieht leider nichts dran. Achso, ich habe noch gerade eben eine Sache vergessen. Ich habe hier ein P fast sicher gezeigt.

Eigentlich wollte ich ja eine Restriktion P eingeschränkt auf C fast sicher zeigen, das ist aber das Gleiche, weil Z1 und Z2 C B messbar sind. Also ich werde im Folgenden immer wieder zwischen diese Restriktion C

P fast sicher und P fast sicher hin und her wechseln, was nichts ausmacht bei bei messbaren Funktionen. Ich mache das gleich, weil ich da oben von dieser Zufallsvariable, die wir da oben in dem Satz drin haben, gleich nicht nur die einzelne Zufallsvariable, sondern die ganze Äquivalenzklasse

als bedingte Erwartungswert definiere und da macht es dann Sinn, diese Restriktion C P fast überall zu verwenden, weil ich die ja nur auf Nullmengen, die in meinem C drin sind, abändern möchte und nicht auf anderen Mengen.

Also ich möchte die Messbarkeit irgendwie erhalten. Okay, es gibt Definition 7.2. Wir haben Wahrscheinlichkeitsraum Omega A P.

Wir haben eine integrierbare Zufallsvariable X von Omega A P nach R quer B quer.

Wir haben eine Sigma-Algebra C Teilmenge A. Die Äquivalenzklasse der Zufallsvariable Z, also Äquivalenzklasse im oberen Sinne, also im Sinne von dem Satz oben,

also im Sinne von diesen Restriktionen C P fast überall, der Zufallsvariable Z von Omega A P nach R B oder auch ein

Repräsentant dieser Äquivalenzklasse heißt bedingte Erwartung, also ich schreibe dieses oder ein Repräsentant nicht hin, weil mir geht der Platz aus.

Bedingte Erwartung von X bei gegebenem C. Und die Schreibweise dafür

Erwartungswert X, gegeben C. Und häufig würden wir eben, wie so oft in der Mathematik, die Äquivalenzklasse mit einem ihrer Vertreter identifizieren.

Das heißt, ich würde nur von Funktionen aus dieser Äquivalenzklasse würde ich auch schon als bedingte Erwartung von X bei gegebenem C sprechen. Jetzt könnte ich öfter mal probieren, ob ich hier auf die Seite projizieren kann.

Weil, wenn ich Sie jetzt frage, ob Sie Fragen haben, behaupten Sie sicher, Sie haben keine? Aber ich habe ein Stoppschild mitgebracht. Der eingeführte Begriff ist schwierig. Bitte fragen Sie, sofern etwas unkleist.

Und dass nichts unkleist, kann nicht sein. Okay, also fragen Sie mal. Die Frage war, warum ich hier ein R quer B quer zulasse?

Warum ich nicht nur Rb zulasse? Ja, weil eben manchmal in Anwendungen notwendigerweise oder automatisch R quer B quer auftaucht. Sie haben zum Beispiel vorhin diesen Passortprozess gesehen. Diesen Zählprozess zum Erneuerungsprozess, der war per se eigentlich R quer wertig.

Und wenn ich das ausschließen würde, dann wäre es eben weniger allgemein. Aber da das integrierbar ist, kommt es sowieso nur mit Wahrscheinlichkeit 0 vor. Aber um eben vorher, bevor ich den bedingten Erwartungswert zu bilden, vermeiden zu müssen, dass ich da erst mal das Ding reell wertig machen muss. Deswegen schreibe ich es gleich allgemein.

Okay, gut. Weitere Frage. Die Frage ist, ist die Äquivalenzklasse, die unten steht, die der Zufallsvariablen Z oder die der Integrale über diese Zufallsvariablen?

Nein, es ist die der Zufallsvariablen. Das heißt, unser bedingter Erwartungswert ist per se eine Zufallsvariable oder eine Äquivalenzklasse von Zufallsvariablen.

Ja, Frage. Sie verstehen den Sinn nicht, weil der Erwartungswert war früher immer ein Wert. Ich würde sagen, es ist wie bei XXX. Wir sind beim Next Level oder so.

Okay, also es ist schon, ich gebe vollständig zu, Sie haben es vollständig gutes Problem erkannt. Das ist ganz komisch. Der Erwartungswert war früher ein Mittelwert und das Ding ist auf einmal eine Zufallsvariable. Das versteht man so nicht in dem Sinne eines Mittelwertes.

Das kommt aber später. Wir werden später bedingen. Also ist die Frage, was setzt sich hier ein? Später werde ich einsetzen eine Zufallsvariable, die Sigma-Algebra, die von einer anderen Zufallsvariable erzeugt wird. Das heißt, die kleinste Sigma-Algebra, die derbezüglich dieser andere Zufallsvariable messbar ist.

Das wird ein Erwartungswert von X gegeben, eine andere Zufallsvariable Y sein. Wird immer noch als Zufallsvariable rauskommen. Allerdings wird der Wert dann so deutlich sein, dass wir sagen, der Wert bei, also wenn Sie Klein-Omega einsetzen, dann hat Y von Omega einen Wert. Und dann kommt der Mittelwert raus, als hier als zufälliger Wert oder als Wert

für dieses Omega, den das X annimmt, wenn Y diesen Wert Y von Omega annimmt. Und später werden wir ja noch weiter gehen, nach Weihnachten. Ich werde genau auf Werte von Zufallsvariablen bedingen. Das heißt, ich werde einen bedingten Erwartungswert von X gegeben, Groß-Y gleich Wert von Klein-Y bilden. Und das wird das sein, was Sie sich vorstellen.

Also das wird der Mittelwert sein von X sein, wenn Groß-Y den Wert Klein-Y annimmt. Nur, um das Ganze oder um die ganzen Eigenschaften herleiten zu können, bietet sich eben diese abstrakte Definition an. Okay, noch Fragen?

Vielleicht noch vom rechten Teil? Noch keine Fragen gestellt? Der linke Teil war schon ganz gut vertreten.

Also Fragen? Sie wollen fragen, was eine gute Frage wäre, die Sie dazu stellen kann.

Ja, das ist jetzt Ihre Aufgabe. Ganz so einfach ist es nicht. Sie können ja auch in der Prüfung fragen, was soll ich antworten. Aber was genau wollen Sie jetzt hören, Herr Kohler? Ja, ich will das hören.

Also man könnte nochmal darauf hinausgehen. Also das Entscheidende waren ja diese beiden Bedingungen, die wir haben. Also das eine war die Messbarkeit.

Die Messbarkeit war eben bezüglich einer kleineren Sigma-Algebra und das schränkt automatisch die Funktion ein. Weil das entspricht... Also Sie sehen, wenn ich hier zum Beispiel jetzt eine als Sigma-Algebra gerade die Leeremenge in Omega nur einsetzen würde, dann müsste die Zufallsvariable Z konstant sein.

Und dann wäre man wahrscheinlich beim nächsten Mal als Beispiel sehen, dann kommt gerade raus, diese Zufallsvariable nimmt als konstanten Wert den Erwartungswert an. Sehen Sie eigentlich auch schon fast, weil damit die Zufallsvariable konstant, diese Zufallsvariable ist konstant, dann setzen Sie hier ganz Omega ein.

Für C setzen Sie Omega ein, das ist ja eine Sigma-Algebra, Omega ist drin. Dann das Integral über Omega x dp, der Erwartungswert von x, soll gleich das Integral über diese Konstante sein. Das Integral über die Konstante ist die Konstante. Das heißt, die Konstante muss der Erwartungswert sein. Und das Zweite, hier wird eben zwischen den Funktionswerten von Z und den Funktionswerten von X besteht diese Beziehung.

Das werden Sie über die Mengen aus C mitteln, dann sehen Sie keinen Unterschied drin. Okay, vielleicht noch eine Frage, bevor ich weiter mache.

Okay, die Frage ist, warum heißt diese Radon-Nykodin, diese Funktion, die da in der Radon-Nykodin, im Satz von Radon-Nykodin auftaucht, Ableitung von dem Maß Nü bezüglich Mu.

Naja, ich habe Ihnen vorhin eine Formel noch unterschlagen aus dem Skript. Ich hätte auch sowas hinschreiben können, also dPhi nach dMu und dann könnten wir erst mal dPhi nach dNu ableiten und dann dNu nach dMu ableiten.

Solche Formeln gelten zum Beispiel. Und damit können Sie sagen, ja, da gelten so analoge Formeln wie Ableitung. Und da solche Formeln gelten, das sind so Analogen zu so Sachen, wie wenn Px eine Dichte hat, dann können Sie

das Integral über h von klein x dPx von x umschreiben als h von klein x mal f von x dx. Und dann sehen Sie, da kommt gerade so ein Produkt von den beiden Sachen aus. Aber so richtig, warum das eine Ableitung sein soll, was das wirklich mit Ableitung zu tun hat, das sehe ich per se auch nicht.

Okay, mir scheint, Sie haben keine Fragen mehr oder Sie wollen keine mehr ausspucken. Aber immerhin, wir hatten ja einige. Dann könnte man noch ein bisschen. Okay, was habe ich hier noch? Ja, also ich habe Ihnen schon ein paar Mal gesagt oder wir kamen auch schon ein paar Mal drauf.

Dieser bedingte Erwartungswert von Xc ist eigentlich sogar gar eine ganze Menge von Zufallsvariablen. Aber wenn wir nur einen Repräsentanten aus der Äquivalenzklasse nehmen, ist es eine einzige Zufallsvariabel. Also es ist nicht mehr so wie bisher, dass es irgendwie ein konstanter Wert war.

Und wir können dieses Ex gegeben c als eine Vergröberung der Zufallsvariable x auffassen. Und jetzt kommt noch eine Bemerkung, also aus dem Satz folgt unmittelbar. Dieses Exc ist ja nichts anderes, wenn ich die Radonykodin-Ableitung von dem Phi bezüglich p eingeschränkt auf c bilde.

Mit unserem Phi von c war eben das Integral über c x dp.

All das habe ich eigentlich gemacht. Dann kommen Beispiele. Erstes triviales Beispiel, wenn wir c gleich a nehmen.

Also c ist die gleiche Sigma-Algebra bezüglich der auch x messbar ist. Was kommt dann raus als bedingter Erwartungswert?

Also vielleicht soll ich die hintere noch mal hochschieben. Ich habe eigentlich die beiden Bedingungen schon weggewischt.

Also wir hatten ja. Ich habe es irgendwie weggewischt. Also was wir als Eigenschaften bräuchten von dieser neuen Zufallsvariabel z war eine c b Messbarkeit. Und das Integral über Mengen c aus Skript c von z dp soll das gleiche sein wie das Integral über x dp.

Wenn Sie jetzt c gleich a wählen, was kommt dann hier raus? Da kommt wieder x raus. Genau. Es war noch ein Unterschied. Dieses dieser bedingte Erwartungswert sollte realwertig sein. Das heißt, wir müssen es auf der Nullmenge, wo x den Wert plus oder minusen endlich annimmt, abändern.

Das heißt, da kommt nur ein x p fast sicher raus. Und die Begründung wäre ja ist klar.

Dieses x erfüllt ja die Messbarkeitsbedingungen, weil es ist ja a b Messbar oder a b Quermessbar. Also es muss soll a b Messbar sein. Deswegen muss ich es auf der Nullmenge abändern und es erfüllt natürlich die Integral Bedingung. Zweites Trivialfall, der von gerade eben. Wenn ich c gleich leere Menge Omega setze, habe ich schon gesagt, was kommt dann raus?

Dann kommt der Erwartungswert raus und eigentlich auch wieder. Fast sicher, oder?

Und die Begründung dazu, dieses e x c soll ja c b Messbar sein und deswegen ist e x c konstant.

Und dann sehen Sie, Integral über Omega x dp soll gleich Integral über Omega e x gegeben c dp sein.

Und daraus folgt die Behauptung. Weil damit dieses Integral, also das da wäre dann die Konstante mal Integral über Omega dp, was gerade die Konstante wäre.

Und was ich jetzt eigentlich gerade nachgerechnet habe, ist, wenn es überhaupt eine Zufallsvariable ist, dann muss es die Konstante sein. Aber da ich ja in dem Beweis eigentlich eine Existenzaussage und Eindeutigkeitssatz hatte, hätte es eigentlich auch genügt. Und das machen wir dann ab sofort so, dass ich eigentlich zeige, diese konstante Funktion erfüllt die Bedingungen aus dem Satz. Diese konstante Funktion ist reellwertig, sie ist messbar und sie erfüllt die Integralbedingungen.

Und so sehen Sie unmittelbar, weil das Integral über die leere Menge, über x oder über eine Funktion ist beides mal gleich Null. Und das Integral über den gesamten Raum ergibt eben hier auch den Erwartungswert, wie hier.

Okay, das war auch noch einfach. Kommen wir zum c-Teil. Schon interessanter. Wir machen c gleich die von einer Menge b erzeugte Sigma-Algebra. Die muss enthalten, leere Menge Omega, die Menge b und muss eine Sigma-Algebra sein. Also ich brauche leere Menge Omega, ich brauche b.

Und damit ich jetzt eine Sigma-Algebra brauche, brauche ich auch noch das Komplement von b. Oder hab, brauche ich das Komplement von b auch noch.

Wobei Null kleiner p von b kleiner eins sei. Ja, wie sehen die cb-messbaren Funktionen aus, wenn ich c so wähle?

Sie nehmen maximal zwei Werte an, einen auf b und einen auf b-Komplement.

Also sie müssen konstant sein auf b und auf konstant sein auf b-Komplement. Weil das Urbild von jedem einzelnen Wert muss ja entweder die leere Menge Omega, b oder b-Komplement sein. Das heißt, Sie sehen, ich hab einen Fall Omega aus b. Und ich hab einen Fall Omega nicht aus b.

Und dann ist die Frage, was kommt da aus? Naja, bei Omega aus b, ich mittel einfach mal x über b und teile dann durch p von b. Und bei Omega nicht aus b, mittel ich x über b-Komplement und teile durch p von b-Komplement.

Und das Ding hier könnten wir jetzt noch einführen als elementaren bedingten Erwartungswert von x gegeben b. Das heißt, Sie mitteln dieses x über die Menge b nur.

Ja, vielleicht noch mündlich. Wie sehen wir, dass das stimmt, was ich da hingeschrieben hab?

Also wie zeigen Sie das?

Okay, also die Antwort ist, Sie machen das so, Sie prüfen eben die Bedingungen von dem Satz nach. Das waren zwei Bedingungen. Die eine die Messbarkeit. Die Messbarkeit ist klar, weil die Funktion da konstant ist auf b und b-Komplement. Und das zweite die Integralbedingungen.

Und da müssen Sie jetzt eben separat integrieren. Einmal über die leere Menge, einmal über Omega, über b und über b-Komplement. Über die leere Menge ist klar. Über b und b-Komplement rechne ich Ihnen beim nächsten Mal vor, dass genau das Richtige rauskommt. Und dann kommt aber auch das Richtige raus, wenn Sie über ganz Omega integrieren. Und damit wären Sie fertig.

Gut, damit bin ich für heute fertig und wir sehen uns dann am Donnerstag.