Ich fange mal mit ein paar organisatorischen Hinweisen an. Der erste organisatorische Hinweis, den kennen Sie schon. Ab diese Woche Donnerstag sind wir Donnerstags in dem S101A01.

Also es ist unterm Audimax. Zweiter organisatorischer Hinweis ist bezüglich der Prüfung. Dabei hat noch die Frage offen, ob die Diplomstudenten genauso an der schriftlichen Prüfung teilnehmen können wie die Bachelorstudenten. Da hat jetzt letzte Woche der Studienausschuss getagt und dann irgendwie nach drei Stunden Sitzung um 20 Uhr nach kurzer Sitzung beschlossen.

Die Diplomstudenten dürfen das nicht. Also tut mir leid. Ist natürlich ein bisschen blöd, wenn man eine Vorlesung hat und zwei verschiedene Arten von Prüfungen. Passt mir irgendwie nicht. Ich mache es deswegen so, dass ich Prüfungsfragen vorbereiten werde, die Sie im Vorfeld bekommen werden.

Ich habe jetzt mal angefangen für die bisherigen, also bis zur nächsten zwei Wochen waren es glaube ich 25. Also ich nehme an, es werden insgesamt so 60 Fragen ungefähr sein. Und von den 60 Fragen bekommen Sie welche gestellt gemäß einem Zufallsprinzip in den mündlichen Prüfungen. Und von den 60 Fragen bekommen Sie welche jetzt ohne Zufallsprinzip gestellt in der schriftlichen Prüfung.

Ob ich das Ding anstellen kann, das kann ich schon anstellen. Aber das ist schon angestellt, ist schon auf Mute. Also ist nicht mehr auf Mute.

Also ich werde Prüfungsfragen vorbereiten, die Sie im Vorfeld bekommen werden. Wir werden es so machen, also die ersten 25 habe ich jetzt mal aufgeschrieben. Die gebe ich mal der Sekretärin, die muss es abtippen. Dann stellen wir sie ins Internet. Und die, die danach kommen, werde ich Ihnen jeweils live in der Vorlesung noch vorstellen.

Nach jeder Vorlesung die dazu passenden Prüfungsfragen. Können Sie sich dann darauf vorbereiten. In der Prüfung werden dann so drei, vier dran kommen. Oder fünf, so um den Dreh. Und zusätzlich werden wir noch eine Aufgabe zum Auswählen machen. Also ich werde eine Aufgabe aus den Übungen dran bringen, die Sie alternativ wählen können, falls Ihnen eine Prüfungsfrage nicht zusagt.

Bei der schriftlichen und mündlichen Prüfung wird es immer so sein, dass ich eine gewisse Modifikation der Prüfungsfrage mache. Das heißt bei der schriftlichen Prüfung werde ich nachfragen, ob Sie irgendwas verstanden haben. Also ich habe eine Liste von Prüfungsfragen. Und das naheliegendste, was Sie machen, Sie machen sich eine Liste von Prüfungsantworten. Das ist mir aber nicht so recht.

Also wenn Sie mir eine Antwort präsentieren und nicht erklären können, was die Antwort bedeutet, zählt die Antwort eben nicht. Auch wenn die Antwort per se richtig ist. Das heißt ich frage dann in der mündlichen Prüfung entsprechend nach, was ist gemeint bei einzelnen Begriffen und so weiter. Und bei der schriftlichen Prüfung werde ich mir überlegen, ob ich es irgendwie ein bisschen modifizieren kann. Also geringfügig. Also wenn vielleicht eine Prüfungsfrage war, zeigen Sie, erzeugende Funktion von einer

Summe von auf N0 konzentrierten Zufallsvariablen ist das Produkt der erzeugenden Funktion. Und dann könnte ich in der Prüfung zum Beispiel das Ganze nur mit zwei Zufallsvariablen dranbringen. Und wenn Sie die Summe hinschreiben, wäre es nicht so gut. Also allgemein. Okay, also irgend sowas.

Machen wir dann. Okay, ansonsten. Wo waren wir stehen geblieben? Wir hatten beim letzten Mal noch angefangen mit der charakteristischen Funktion.

Zugrunde gelegt ist eine reelle Zufallsvariable x. Dann heißt phi x, Funktion von R nach C, definiert durch phi x an der Stelle u. Also u ist eine reelle Zahl, ist der Erwartungswert von e hoch i u x. Und dieser Erwartungswert von dieser komplexen Zahl ist gemeint als Erwartungswert des Realteils plus i mal Erwartungswert des Imaginärteils.

Das heißt Integral über R Cosinus ux px dx plus i mal Integral über R Sinus ux px dx. Das ist die sogenannte charakteristische Funktion von x bzw. von der Verteilung von x. Wir haben gesehen, die charakteristische Funktion ist gleichmäßig stetig. Und waren dann stehen geblieben bei der folgenden Bemerkung.

Beispiel für eine charakteristische Funktion ist x na Sigma Quadrat verteilt. So gilt phi x von u ist gleich e hoch i u a mal e hoch minus Sigma Quadrat u Quadrat halbe.

Ich habe dann schon argumentiert, es genügt zu zeigen, wenn x n 0 1 verteilt ist, gilt die Formel. Das heißt dann ist phi x von u gleich e hoch minus u Quadrat halbe. Und das wäre auch eine Prüfungsfrage. Warum ist das so? Ja, da müssten Sie argumentieren. Denn ist x n 0 1 verteilt, so ist Sigma x plus a na Sigma Quadrat verteilt. Und es gilt phi von Sigma mal x plus a von u.

Setzen Sie ein. Erwartungswert von e hoch i u, dann Sigma x plus a. Klammern den Faktor e hoch i u a aus. Klammern bei dem Erwartungswert von e hoch i u Sigma x des u und Sigma zusammen. Da kommt raus e hoch i u a mal phi x von u Sigma.

Und wenn Sie jetzt eben für phi x schon wissen, wie es aussieht, können Sie die Formel einsetzen. Und da kommt die entsprechende Formel von da oben raus.

Dann war noch ein Nachtrag offen, nämlich dass Sie einen Betrag in ein komplexes Integral reinziehen können. Das möchte ich vorneweg machen. Also ich hatte beim letzten Mal benutzt, der Betrag vom Erwartungswert f d mu ist leider gleich integral über Betrag von f d mu.

Das ist klar für eine reelle Funktion, ich habe das für komplexe Funktionen benutzt. Und kam irgendwie ein Straucheln bei der Begründung. Und nachdem ich es mir in Ruhe überlegt habe, habe ich auch gemerkt, warum ich ein Straucheln kam, weil die Begründung ist nicht so ganz einfach.

Also ich musste erst irgendwo nachschlagen, dann ist er eigentlich einfach. Aber man braucht halt die Idee. Also ein Nachtrag. Für f Doppelpunkt R nach C.

Und mu W Maß auf B.

Setzen wir das Integral über f d mu. Ist nach Definition das Integral über den Realteil von f. Plus I mal das Integral über den Imaginärteil von f.

Dann gilt, was ich zeigen möchte, ist der Integral über Betrag vom Integral über f d mu ist klarer gleich integral über Betrag von f d mu.

Ich brauche im Beweis erstmal die Linearität von dem Integral. Das heißt, das erste, was ich zeigen möchte, für alle C aus C, gilt Integral über C mal f d mu. C mal Integral f d mu.

Also erste Eigenschaft, die brauche ich nachher gleich im Beweis. Ist auch nicht ganz offensichtlich. Aber Sie sehen es vielleicht so ein bisschen, warum das gelten könnte. Na ja, machen wir es mal.

Ich fange mal mit der rechten Seite an. Und schreibe die rechte Seite zurück einfach auf reelle Integrale. Das heißt, dieses C ist ja Realteil von C plus I mal Imaginärteil von C.

Und das Integral ist auch Integral über Realteil von f.

Plus I mal Integral über den Imaginärteil von f. Und jetzt können wir ausmultiplizieren. Und dann die Realteile und Imaginärteile zusammenfassen. Und dann ausnutzen, dass das Integral über eine reelle Funktion ja linear ist. Das heißt, ich kann die ganzen Realteile im einen Integral zusammenfassen. Plus I mal die ganzen Imaginärteile im einen Integral.

Also hier haben wir Integral linear. Für reellwertige Funktionen, wenn ich das mache, komme ich auf das Integral über D.

Was sind die Realteile? Das ist der Realteil von C mal Realteil von f. Dann müssen Sie abziehen.

Minus Imaginärteil von C mal Imaginärteil von f. Und dann fassen Sie ganze Imaginärteile zusammen in einem Integral. Das gibt Realteil von C mal Imaginärteil von f.

Plus Imaginärteil von C mal Realteil von f.

Und dann sehen Sie, was steht hier. Hier steht gerade der Realteil von C mal f. Und hinten steht der Imaginärteil von C mal f.

Ja, und dann sehen Sie, dann ist das ganze gerade das Integral über C mal f. Also das war einfach. Einfach nur zurückführen auf Realteil und Imaginärteile.

Das zweite, auf was ich eigentlich hinaus möchte, ist die Eigenschaft Betrag von Integral f demü. Ist klarer gleich Integral Betrag von f demü. Wobei auf der linken Seite steht ein Integral von einer komplexwertigen Funktion.

Also das Ding hier. Realteil plus Imaginärteil getrennt integriert mit I dazwischen. Und rechts habe ich einfach den komplexen Betrag von der Funktion genommen. Dann habe ich eine reelle Funktion und die reelle Funktion integriert.

Okay, denn der Trick ist, wir stellen integral f demü in der Polarkoordinatendarstellung dar. Integral über f demü. Setzen wir an als ein R mal e hoch i theta.

Theta ist eine Zahl zwischen 0 und 2 Pi. Und R ist gerade der Betrag von einem Integral. R ist der Betrag vom Integral.

Theta aus 0 bis 2 Pi. Abschätzen wollen wir R. Also interessieren tue ich mich für R. Also der Betrag von f demü, was ich abschätzen will, ist gleich R. Ich kann das R jetzt zurückführen auf das Integral über f demü, indem ich einfach mit e hoch minus i mal theta multipliziere beide Seiten.

Dann sehen Sie, das ist, sehe oben, e hoch minus i mal theta integral f demü. Dann, was mache ich jetzt?

Ja, jetzt nutze ich meine Eigenschaft 1 aus. Diesen konstanten Faktor kann ich reinziehen. Das komplexwertige Faktor haben wir bei 1 gezeigt. Dieses Integral über e hoch minus i mal theta f demü.

Und jetzt habe ich wieder ein komplexwertiges Integral. Oder ein Integral über eine komplexwertige Funktion. Dieses Integral ist gleich dem Integral über ein Realteil plus i mal dem Integral über dem Imaginierteil. Da ich aber weiß, dieses R ist eine reelle Zahl, muss das, was rauskommt, auch eine reelle Zahl sein.

Das heißt, das Integral über den Imaginierteil muss gleich 0 sein. Das heißt, da das R-Element R ist, muss das gleich dem Integral über Realteil von e hoch minus i mal theta f demü sein.

Ja, und der Realteil von der Zahl ist klarer gleich als ihr Betrag. Das heißt, das da ist klarer gleich Integralbetrag von f demü. Da der Realteil von e hoch minus i mal theta f klarer gleich dem Betrag ist von e hoch minus i mal theta f.

Und der Betrag von dem e hoch minus i mal theta ist 1. Das heißt, es ist Betrag von f. Und dieses Integral ist monoton.

Und zwar Integral ist monoton für reelle Funktionen. Wenn f klarer gleich g ist, dann ist Integral über f demü klarer gleich Integral über g demü. Also der Trick war hier, wir haben das Ding hier, was ja eine komplexe Zahl in der Ebene ist, eigentlich so gedreht.

Oder wir können sagen, der Betrag bekommen wir, indem wir die komplexe Zahl drehen. Diese Drehung kann ich genauso gut innen drin machen. Und dabei ändert sich der Betrag nicht. Und dann habe ich hier de facto ein reelles Integral.

Und das reelle Integral ist monoton. Okay, Fragen soweit? Gut, soviel zum Nachtrag vom letzten Mal.

Dann kommen wir zum heutigen Beweis. Also Bemerkung 5.9.

Wir zeigen, ist x Standard normal verteilt?

So gilt, phi x von u ist e hoch minus u Quadrat halbe. Weil da waren wir stehen geblieben.

Das fehlt noch um die charakteristische Funktion von der NA Sigma Quadratverteilung auszurechnen. Dazu, wir gucken uns das phi x von u an.

Phi x von u ist nach Definition der Erwartungswert von Integral e hoch i u x

Mal die Dichte von der Standard Normalverteilung. Dichte von der Standard Normalverteilung ist eins durch Wurzel zwei pi. Mal e hoch minus x Quadrat halbe dx. Das möchte ich im Folgenden ausrechnen.

Okay, soweit? Ich mache das so, also ich brauche jetzt ein bisschen Funktionentheorie. Eigentlich einen koschischen Integralsatz. Ich fülle das auf komplexe Integrale über Streckenzüge zurück.

Und wende dann einen koschischen Integralsatz an. Um es auf was Bekanntes zurückzuführen. Ich ziehe erst mal das eins durch Wurzel zwei pi raus. Dann ergänzt sich quadratisch, sodass oben ein Quadrat dran steht.

Ja, sehen Sie das? Wir ziehen mal eine Zeit tiefer. Wir ziehen eins durch Wurzel zwei pi raus. Wir schreiben um. Ich will da oben Integral haben. Das muss dann einen Betrag haben. E hoch minus x und irgendwas halbe und zum Quadrat.

Und dann sieht man eigentlich, das muss x minus i u sein. Zum Quadrat. Die x, wenn ich so hinschreibe, dann steht jetzt als im Integranten. E hoch minus x minus i u halbe i u in Klammern zum Quadrat halbe.

Wenn ich das Quadrat ausklamme, komme ich auf ein E hoch minus x Quadrat halbe. Steht hier auch. Dann habe ich ein E hoch minus dann zwei mal x mal minus i u halbe. Es gibt insgesamt ein E hoch plus x i u.

Steht hier auch. Und dann steht noch eins zu viel. Das zu viel ist das E hoch minus i u in Klammern zum Quadrat halbe. Und das i u Quadrat gibt ein Minus u Quadrat. Mit dem Minuszeichen davor gibt ein Plus u Quadrat.

Also E hoch plus u Quadrat halbe steht davor. Das heißt, was zu viel ist, ist das... Oder motivieren muss ich noch mit E hoch minus u Quadrat halbe. Und das ist auch ein Integral über R.

Okay? Also ich habe nur quadratisch ergänzt hier. Also theoretisch sehen Sie es von hier nach hier einfacher. Dann sehen Sie auch, was ich zeigen muss.

Was ich zeigen muss ist... Also phi x von u soll gleich das da sein. Das heißt, der ganze Faktor, der hier ist, soll gleich eins sein. Als zu zeigen ist dieses Integral über R.

E hoch minus x minus i u zum Quadrat halbe d x soll Wurzel aus zwei Pi sein.

Und das deute ich im Folgenden als...

Komplexes Kurvenintegral. Ein bisschen störend tut mich noch dieses Integral über ganz R. Da mache ich einfach ein Limes für t gegen Endlich. Vom Minus t bis t von einem Integral. Also für t größer Null gilt.

Also dazu. Wir betrachten mal das Integral von Minus t bis t. Über E hoch minus x minus i u zum Quadrat halbe d u.

Und was ich gerne machen möchte... Ich möchte dieses Integral umschreiben. Das hier ist eine 2. Also ein Integral über einen Streckenzug C1. E hoch minus z Quadrat halbe d z.

Ist vollständig richtig. Ich will nach x integrieren. Die u wäre schlecht. Okay, wir haben da x, da x. Dankeschön. Und jetzt ist die Frage, wie muss ich C1 wählen?

Damit das das Gleiche ist. Also ich möchte eigentlich die Funktion E hoch minus z Quadrat halbe d z. Das ist eine 2, das andere war ein z. Über eine komplexe Kurve integrieren.

Vorschläge? Von wo bis wo integrieren Sie?

Wir nehmen das Minus t bis t als Parametrisierung. Und das wird hier auch durchlaufen. Das heißt ich nehme gerade Minus t minus i u, laufe ich bis t minus i u. Und wenn Sie das Kurvenintegral nachträglich ausrechnen, dann wäre die Ableitung von der Parametrisierung 1.

Das heißt, was wir machen ist, wir haben irgendwo Minus t, irgendwo t. Ich habe den Realteil von z. Ich habe den imaginär Teil von z.

Und ich nehme an u wäre größer als 0. u könnte aber auch kleiner als 0 sein. Dann wäre Minus u hier unten. Und dann wäre mein Weg C1 geht von hier nach hier.

Also C1 geht von Minus t minus i u bis plus t minus i u parallel zur reellen Aktie. Und was ich jetzt ausnütze ist, das ist eine wunderschöne holomorphische Funktion.

Wenn ich da über geschlossene Kurvenzüge integriere, dann kommt 0 raus. Koschischer Integralsatz. Das heißt ich gehe hier weiter und laufe hier einmal drum herum. Ab hier ein C2, C3, C4.

Also nach koschischem Integralsatz, wenn ich die Summe bilde von i gleich 1 bis 4

integral über ci e hoch minus z quadrat halbe dz, dann ist das gleich 0. Also anstelle dieses Integral über die geschlossene Kurve zu integrieren, kann ich auch dann die Integrale in die einzelnen Kurven aufspalten.

Ja, dann sehen Sie, das Integral über C1 ist Minus die Integrale über C2, C3, C4 zusammen. Ich zeige jetzt die Integrale über C4 und C2 und C4 verschwinden asymptotisch.

Spielen keine Rolle, dann stimmt das Integral über C1 asymptotisch für t gegen endlich mit dem Integral über C3 zusammen. Und das Integral über C3 werden wir direkt hinschreiben können. Weil das Integral über C3 wird letzten Endes nur ein reelles Integral geben. Es gibt ja ein e hoch minus, ja nennen wir x quadrat halbe, aber x läuft von t bis minus t.

Ok, klar soweit? Oder Fragen soweit?

Also Sie haben mal Funktionentheorie gemacht? Nein? Ja? Nein? Also nicht alle. Ok, also ich brauche ein bisschen Funktionentheorie an der Stelle, nicht arg viel. Sie haben mal Kurvenintegrale gemacht, oder? Wahrscheinlich im Analys ist noch.

Kurvenintegrale haben Sie auch nie gemacht. Im Prinzip ist es hier relativ einfach, Sie machen so ein Kurvenintegral, Sie laufen halt die Kurve durch, setzen die ein. Also Sie haben schon mal Kurve gehört? Also eine Kurve war eine Funktion Abbildung von R nach Rn ausgehend vom Intervall.

Also hier gehen wir vom R in R2 von irgendeiner Parametermenge und dann durchlaufen wir so langsam das Ding durch. Und wenn wir darüber integrieren wollen, dann setzen wir das einfach hier in den Integranten ein. Also normalerweise, also ich kann das jetzt deuten als Funktion auf R2, aber ich rechne ja

hier im Komplexen, da kann ich sagen, meine R2 sind eben der Realteil und der Imaginärteil. Das setze ich einfach ein und multipliziere hinten noch mit dem Betrag der Ableitung, muss ich noch multiplizieren, um das Kurvenintegral in reales Integral umzuschreiben. So was mache ich. Und hier oben war eben die Parametrisierung, da läuft, mein Parameter s läuft vielleicht von minus

t bis t und an der Stelle s ist dann der Punkt s minus i mal u der komplexe Punkt. Der läuft so langsam durch und wenn ich das Integral eben hier parametrisiere, dann würde ich das s einsetzen, also, oder ich habe es hier als x genannt, x minus i mal u einsetzen.

Ich müsste noch die Ableitung dran machen, Betrag von der Ableitung, aber die ist hier eins. Weil das x läuft ja nur, das Komplexe stört nicht bei der Ableitung. Okay, also das ist die eine und jetzt mache ich das gleiche mit der zweiten, dritten, vierten. Und dann gibt es, wenn Sie so eine relativ schöne Funktion haben, gibt es einen berühmten kochischen Integralsatz, der sagt, wenn

Sie geschlossene Kurven, das über geschlossene Kurven integrieren, dann kommt da immer Null raus im Komplexen und das nütze ich gerade aus. Okay, jetzt schätzen wir auf C2 und C4 ab.

Auf C2 und C4 gilt, gilt für den Integranten, oder ist der Integrant beschränkt durch? Betragsmäßig beschränkt durch.

Ja, wie sieht der Integrant aus? Also der ist ja ein e hoch minus z Quadrat halbe. Ich lasse davor noch ein bisschen Platz, e hoch minus, jetzt ist die Frage, was ist das z? Das z ist ein plus minus t und dann, ne, was ist das z?

Na gut, jetzt müssen wir das parametrisieren von diesem, es geht ja los bei, naja, es geht los bei t minus iu und läuft bis t. Und an der anderen Stelle geht es los bei minus t minus iu und läuft bis t.

Das heißt, es ist ein plus minus t minus i mal v und v läuft zwischen null und u.

Null kleiner gleich v kleiner gleich u. Und u kann dummerweise positiv oder negativ sein, also machen wir Betrag von v und Betrag von u.

Und dann bin ich wohl auf der sicheren Seite. Also das Ganze will ich jetzt abschätzen, das ist der Maximalwert des Integranten in diesem Bereich. Das kann ich jetzt ausmultipizieren, also wir lassen es so bremo mal stehen. Null kleiner gleich Betrag von v kleiner gleich Betrag von u. Dann multiplizieren wir oben aus, dann sehen Sie, da kommt ein e hoch minus t Quadrat halbe schon mal raus.

Ich ziehe dann gleich auseinander, e hoch minus t Quadrat halbe. Dann kommt vom gemischten Glied ein, können Sie das? Kann ich das? Also irgendwas e hoch i noch mal was. Also irgendwas mit e hoch i auf alle Fälle.

Und dann ein Produkt von v mal t und noch irgendwelche Vorzeichen dran. Und v mal plus minus t würde ich mal raten. Irgendso was stimmt auf alle Fälle. Und dann haben wir noch ein Mal vom Letzten.

Da bekommen wir ein e hoch minus iv zum Quadrat halbe, es gibt da so ein e hoch v Quadrat halbe. Also ich habe das hier ausmultipiziert, gibt drei Terme nach der binomischen Formel und die drei Terme hier einzeln reingeschrieben.

Und die Faktor zwei hier verschwindet, weil das ja zweimal das gemischte Glied ist. Das sind die beiden Quadrate und das ist der gemischte Term. Und dann habe ich den Betrag noch vergessen. Hier ist er wieder.

Ja, jetzt sehen Sie, der Betrag von e hoch ivt, v und t sind reelle Zahlen, der ist eins. Das heißt, das Ding fällt weg. Dann das andere gibt ein e hoch minus t Quadrat, das ist einfach konstant.

Und dann das zweite, ja, das wird eben maximal, wenn Betrag von v maximal ist. Also maximal u Quadrat. Es gibt ein e hoch u Quadrat. U Quadrat halbe. Okay?

Also habe ich den Integranten betragsmäßig beschränkt. Und jetzt nutze ich einfach aus, das ganze Integral ist dann kleiner gleich Maximum des Integranten mal die Länge des Integrationsweges. Also gucken wir uns integral über ci an.

e hoch minus z Quadrat halbe dz. i ist entweder zwei oder vier.

Dann ist es kleiner gleich maximal im Wert vom Integranten. Das ist das e hoch minus t Quadrat halbe mal e hoch u Quadrat halbe. Und dann Länge des Integrationsweges. Wie lange ist der Integrationsweg? Na ja, der Integrationsweg geht von t, also bei c2 von t plus oder t minus i mal u bis t.

Und bei c4 von minus t minus i mal u bis minus t. Dann sehen Sie, die Länge ist gerade u. Das heißt, es ist noch Betrag von u dran.

Und dann sehen Sie, u ist eine Konstante. u ist fest. Wenn ich t gegen Endlich gehen lasse, geht das Ganze gegen Null. Also gegen Null, wird t gegen Unendlich.

Okay, dann verschwinden die Teile über c2, c4. Und ich kann weiter folgen aus dem Oberen. Das ist das, was mich interessiert. Das Integral über r e hoch minus x minus i u halbe zum Quadrat.

Quadrat halbe. dx. Das interessiert mich. Das ist jetzt das gleiche wie Limes t gegen Unendlich.

Unendlich von Integral über c1. E hoch minus z Quadrat halbe dz. Das Integral über c1 kann ich umschreiben als Minus das Integral über c2,

Minus das Integral über c3, Minus das Integral über c4. Dann kann ich den Limes auseinanderziehen. Die Integrale über c2 und c4 verschwinden. Bleibt nur das Integral über c3 übrig. Also Limes t gegen Unendlich. Integral über Minus.

C3. E hoch minus z Quadrat halbe dz. Und damit verlassen wir das Komplexe wieder und sind im Reellen. Weil wir deuten das jetzt als reales Integral. Wenn Sie sich überlegen.

Integral über c3. Das ist ja das schöne Integral von t bis Minus t. Die Funktion integriert. Wenn ich da ein Minus davor schreibe, dann kann ich genauso den Integrationsweg umkehren. Das heißt ich kann von Minus t bis t laufen. Und wenn ich von Minus t bis t laufe, dann kommt einfach das Integral von Minus t bis t raus.

Über E hoch Minus t Quadrat halbe dt. Das heißt wir bekommen hier den Limes von t gegen Unendlich. Von Minus t bis t. E hoch Minus t Quadrat halbe dt.

Also das ist das Integral von Minus und Endlich. E hoch Minus t Quadrat halbe dt. Und wie groß ist dieses Integral?

Ich höre den Vorschlag. Wurzel 2 Pi Begründung. Man kann irgendwie ergänzen. Wurzel 2 Pi durch Minus Wurzel 2 Pi. Durch Wurzel 2 Pi durch Wurzel 2 Pi. Das ist 1 durch Wurzel 2 Pi reinziehen.

Dann steht hier eine Dichte da. Weil das eine Dichte ist, kommt dann über das Integral 1 raus. Das heißt das hier ist Wurzel 2 Pi. Dichte von N und 1 Dichte. Ich weiß gar nicht, habe ich das mal irgendwann gezeigt? Wo die Dichte ist? Ich glaube in der Einführung Stochastik nicht. Oder? Haben wir es gemacht?

Im Anhang. Im Anhang vom Buch habe ich es gezeigt. Also vielleicht reiche ich es hier nochmal nach. Es gab einen relativ einfachen Beweis dafür. Wenn Sie zweidimensionale Integration nehmen. Okay. Daraus folgt die Behauptung.

Gut. Fragen soweit? Haben Sie eine Frage? Keine Frage? Also es war halt, wir müssen halt irgendwelche komplexen Integrale ausrechnen.

Und es bietet sich manchmal an, Funktionentheorie dazu zu nehmen. Und das ist so eine Sache, wenn Sie Funktionentheorie mal gemacht haben. Da haben Sie vielleicht schon mal gesehen. Wenn Sie es noch nicht gemacht haben, verstehen Sie es natürlich irgendwie nicht. Dann glauben Sie es in der Stelle einfach. Es kommt glaube ich noch einmalig.

Wir werden noch ein weiteres Integral so ähnlich ausrechnen. Das war es dann, was ich an Funktionentheorie brauche. Okay. Fragen soweit? Keine Fragen. Dann machen wir 5 Minuten Pause. Und ich mache dann um 10 Uhr 37 weiter. Ja, würde ich ganz gern weitermachen.

Gucken wir uns die nächste Verteilung an. Einerseits die charakteristische Funktion. Die wird relativ schnell gehen. Wir gucken uns jetzt als nächstes die Exponentialverteilung an. Da wird die charakteristische Funktion relativ schnell gehen. Und dann beschäftigen wir uns ein bisschen mit der Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung.

5 Punkt 10. Bemerkungen. Sei x-Exponential von lambda verteilt.

Das heißt, x hat eine Dichte, die ich hinschreiben kann. x hat Dichte von x gleich lambda mal e hoch minus lambda x, für x größer gleich 0 und 0 sonst.

Was gilt dann für die charakteristische Funktion? Also wie berechnen Sie die charakteristische Funktion von x an der Stelle u?

Vorschläge?

Sie nehmen die Definition. Das heißt, es ist der Erwartungswert von i u mal x.

Und da müssen Sie diesen Erwartungswert ausrechnen. Wie machen Sie das? Okay. Also wir schreiben das Ummaßen integral bezüglich dem Bildmaß,

eigentlich getrennt nach realem Imaginierteil. Dann nutzen wir aus integral bezüglich dem Bildmaß. Da muss ich einfach die Dichte ran multiply und integriere bezüglich dem Lebesmaß. Dann kann ich wieder realen Imaginierteil zusammenfassen. Dann komme ich auf das Integral über e hoch i u klein x mal f von x,

f von x dx über r. Ich setze ein, also komme ich auf das Integral von 0 bis und endlich e hoch i u x mal lambda mal e hoch minus lambda x dx.

Und dann will ich dieses Integral ausrechnen. Wie machen Sie das? Aber diesmal ohne Funktionentheorie würde ich vorschlagen.

Komplexe Funktionen bezüglich dem reellen Integrieren. Vorschläge?

Ja, vielleicht mal weiter von hinten oder so. Sonst hält das immer die vordere rechte Ecke von mir aus. Also wie integrieren Sie diese Funktion? Oder wie rechnen Sie dieses Integral aus? Vorschlag? Haben Sie Vorschlag?

Oder können wir vielleicht alle mitdiskutieren? Okay. Sie schieben es auf ihn. Und sein Vorschlag kann wahrscheinlich auch irgendwo anders her.

Ja, wir modifizieren die beiden E's zusammen. Das ist eine hervorragende Idee. Lambda klammern wir vielleicht noch aus. 0 bis und endlich. Dann steht da ein e hoch i u minus lambda mal x dx.

Und dann haben Sie einfach, und was machen Sie dann? Jetzt integrieren Sie elementar. Also Sie bilden eine Stammfunktion. Nicht durieren völlig, dass da etwas Komplexes dasteht. Stammfunktion wäre der gleiche E-Term nur noch durch die innere Ableitung geteilt. Das heißt wir bekommen auf lambda durch, ich lasse lambda mal stehen.

Dann kann man den gleichen E-Term e hoch i u minus lambda mal x. Wir teilen durch die innere Ableitung i u minus lambda. Und setzen x ein von 0 bis und endlich. Und, ja, zu Not müssen Sie es halt getrennt für realen Imaginierteil machen.

Das können Sie hinterher auch wieder zusammenfassen. Aber ich mache es in einen Schlag mit dem Komplexen. Okay, was passiert jetzt? Jetzt müssen wir x gleich und endlich einsetzen. Beziehungsweise x gegen endlich gehen lassen und x gleich 0 einsetzen. x gleich 0 einsetzen ist einfach.

Was passiert, wenn x gegen endlich geht? Also formal bilden wir hier jetzt den Limes von x gegen endlich von e hoch i u minus lambda mal x. Was passiert mit dem Limes?

Es geht gegen 0, weil Sie machen zum Beispiel den Betrag drum. Dann fällt das e hoch i u x weg, weil das betragsmäßig 1 ist. Dann bleibt noch ein e hoch minus lambda x übrig. Lambda war eine Zahl größer als 0. Ja, eigentlich ist lambda immer größer als 0 bei der Exponentialverteilung.

Und damit geht das Ganze gegen 0. Das heißt der Fall x gleich und endlich fällt weg. Es bleibt der Fall noch x gleich 0 übrig mit Minuszeichen. Das heißt, wenn ich da 0 einsetze, kommt hier insgesamt 1 raus. Das heißt, ich bekomme Minus lambda durch i u minus lambda oder lambda durch lambda minus i u.

Dann hätte die charakteristische Funktion ausgerechnet. Ja, und ich habe hier das Gleiche. Okay, also das war eigentlich einfach. Es ist nur ein bisschen ungewohnt, dass wir eigentlich mit dem Komplexen so rechnen, als wäre es reelle Funktionen. Aber zur Not könnten Sie es zerlegen, einen realen Imaginärteil die Rechnungen getrennt machen,

dann wieder einen realen Imaginärteil zusammenfassen. Wäre halt umständlich, aber geht genauso. Gut, jetzt möchte ich ein bisschen was erzählen über die Exponentialverteilung. Und das charakteristische von der Exponentialverteilung ist die sogenannte Gedächtnislosigkeit.

Also die Exponentialverteilung ist gedächtnislos.

In dem Sinne, das gilt für eine Exponential von lambda verteilte Zufallsvariable in Beziehung Stern,

die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als T plus S ist, unter Bedingungen, dass X größer als S ist, ist gleich die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als T ist.

Für alle S, T größer 0. Größer 0, größer gleich 0. Ich habe hier größer 0 geschrieben.

Also Exponentialverteilungen werden häufig aufgrund dieser Eigenschaft für Wattesysteme eingesetzt. Diese Eigenschaft sagt, wenn sie an so einem Wattesystem, wo die Wartezeit exponential verteilt ist, schon mal eine gewisse Zeit S gewartet haben, dann nützt ihnen das eigentlich gar nichts,

weil sie anschließend genauso wieder los warten, als von sich ganz von Beginn los warten. Aber das ist eigentlich eine Boos auf der Eigenschaft. Stellen Sie sich vor, die Zeit bis der Aufzug kommt, der wirklich exponential verteilt, und Sie stehen schon eine Stunde, dann bringt Ihnen nichts, weil es geht eigentlich wieder von vorne los.

Okay, das sieht man eigentlich, oder das sehen Sie eigentlich sofort. Eine Begründung. Also Nachweis von Stern. Eigentlich nicht interessant, aber ich rechne es trotzdem nochmal nach. Da geht es über elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, die linke Seite,

linke Seite ist ja die Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis X größer T plus S unter der Bedingung, dass X größer als S ist, zweites Ereignis. Das ist nach Definition die Wahrscheinlichkeit vom Schnitt durch die Wahrscheinlichkeit von der Bedingung. Die Wahrscheinlichkeit vom Schnitt, wenn das X größer als T plus S ist, und gleichzeitig X größer als S,

ist gerade die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als T plus S ist, durch die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als S ist. Das können Sie jetzt elementar ausrechnen über die Dichte. Dann integrieren Sie von T plus S bis unendlich die Dichte.

Lambda mal e hoch minus Lambda x dx. Und integrieren noch von S bis unendlich die Dichte. Lambda mal e hoch minus Lambda x dx. Stammfunktion können Sie sofort hinschreiben. Das ist minus e hoch minus Lambda x.

Ja, wir machen vielleicht noch einen Zwischenschritt. Also Stammfunktion hinschreiben. Minus e hoch minus Lambda x. X gleich T plus S bis unendlich durch minus e hoch minus Lambda x. X gleich S bis unendlich.

Für X gegen unendlich geht der Integrant gegen Null. Bleibt da nur der Wert an der Stelle T plus S übrig. Entsprechend mit Minuszeichen. Das heißt da kommt e hoch T plus S raus. E hoch Lambda mal T plus S. Durch e hoch Lambda mal S.

Dann sehen Sie, e hoch Lambda mal S kürzt sich weg. Es bleibt e hoch Lambda mal T übrig. Und e hoch Lambda mal T. E hoch Lambda mal T ist jetzt das Integral von T bis unendlich über Lambda mal e hoch minus Lambda x. Das heißt, das ist gerade die Wahrscheinlichkeit.

Oder wir machen es so nochmal. T bis unendlich. Lambda mal e hoch minus Lambda x. Der x ist die Wahrscheinlichkeit, dass x größer als T ist. Und damit haben wir Stamm begründet.

All das war eigentlich... Ja, ja, ja, ja, ja, ja. Da ist ein Exponent ein paar Mal Minus fehlt. Hier, hier, hier. Dreimal? Okay.

Zufriedener? Okay. Also wollte ich gerade sagen, das ist die triviale Rechnung. Aber okay. War auch die triviale Rechnung. Das hätten wir ja schon in der Einführung die Stochastik machen können. Oder haben wir vielleicht auch mal gemacht. Also es ist die auszeichnende Eigenschaft der Exponentialverteilung.

Auf was ich jetzt eigentlich hinaus möchte. Es ist wirklich die auszeichnende Eigenschaft. Es gibt keine andere Verteilung, die diese Eigenschaft hat. Das heißt, wenn ich umgekehrt Stern vorgebe. Und noch eine kleine Zusatzbedingung. Nämlich, dass die Wahrscheinlichkeit, dass x größer als Null ist, größer als Null ist. Also ich habe eine nicht negative Zufallsvariable.

Die Wahrscheinlichkeit, dass x größer als Null soll größer als Null sein. Oder ich brauche nicht mehr nicht negativ. Nur die Wahrscheinlichkeit, dass x größer als Null ist, muss größer als Null sein. Dann ist die Exponentialverteilung die einzige Verteilung, die diese Eigenschaft der Stern erfüllt.

Okay. Wollen wir am Folgenden begründen. Ist umgekehrt x eine realwertige Zufallsvariable.

Mit Wahrscheinlichkeit, dass x größer als Null ist, größer als Null. Für die Stern, für alle s,t größer als Null gilt.

So ist x-Exponentialverteilung verteilt.

Kommen wir zur Begründung.

Ich setze mal, glaube ich genannt, s von t oder setze s von x.

S von x ist die Wahrscheinlichkeit, dass groß x größer als x ist. Also gleich eins minus die Wahrscheinlichkeit, dass es kleiner gleich ist. F von x. Aus Stern, wenn Sie sich jetzt angucken, was ist Stern?

Was bedeutet Stern? Stern war die Beziehung, die haben wir hier umgeschrieben. Das da, gleich den da. Dann kann ich mit der Wahrscheinlichkeit, dass x größer als s durchmultiplizieren. Dann sehen Sie, die Wahrscheinlichkeit, dass x größer als t plus s ist, ist gleich Wahrscheinlichkeit, dass x größer als t, bei Wahrscheinlichkeit, dass x größer als s ist.

Das kann ich jetzt mit meinem s umschreiben und komme auf ein s von t plus s, gleich s von t mal s von s. Aus Stern folgt s von t plus s.

Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass x größer als t plus s ist. Das ist gleich die Wahrscheinlichkeit, dass x größer als t ist. Das ist s von t. Mal die Wahrscheinlichkeit, dass x größer als s ist. Das ist s von s. St größer als 0.

Und jetzt folge ich daraus Eigenschaften von s. Okay, was folge ich daraus?

Wir gucken uns mal s von k mal t an. Für t größer als 0, k aus n. Was würden Sie sagen? Wie kann ich s von k mal t ausdrücken? Mit Hilfe von s von t.

S von t hoch k. Genau. Was will ich noch?

Ich will jetzt als nächstes haben, ich schreibe es besser ab, s von 1 durch m ist gleich s von 1 hoch 1 durch m. Und als drittes möchte ich dann haben, s von k durch m ist gleich s von 1 hoch k durch m.

Wie sehen Sie zweitens und drittens?

Weil das da wäre für alle m aus m. Dann bräuchte ich eine Begründung. 1 ist m mal 1 durch m.

Wir nehmen das als erstes und setzen, Sie wollen s von 1 durch m hoch m gleich s von 1 setzen, dann setzen Sie k gleich m.

1 mit k gleich m. Und was nehmen wir für t? T nehmen Sie 1 durch m. Richtig?

Wenn ich in 1 k gleich m einsetze und t gleich 1 durch m, dann steht auf der linken Seite s von 1. Auf der rechten Seite steht s von 1 durch m hoch m. Dann ziehe ich die m-te Wurzel, dann steht s von 1 durch m gleich s von 1 hoch 1 durch m.

Okay, jetzt brauchen wir das da für alle k,m Element n. Ja, das sehen Sie jetzt eigentlich direkt.

Das folgt aus 1 und 2. Also Sie schreiben erst dieses s von k durch m mit Hilfe von 1 um als s von 1 durch m hoch k und dann das s von 1 durch m als s von 1 hoch 1 durch m.

Also folgt aus 1 und 2. Ok, was ich jetzt machen möchte, ich möchte dieses, also was gilt denn bei der Exponentialverteilung?

Überlegen wir uns mal, was ist bei der Exponentialverteilung? Ja, was ist 1 minus f und x bei der Exponentialverteilung? Also auf was würde ich denn hinaus?

Na ja, im Prinzip, das ist die Wahrscheinlichkeit, dass x größer x ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass x größer x ist, haben wir davor mal ausgerechnet, nämlich die Wahrscheinlichkeit, dass x größer s ist, zum Beispiel, das war e hoch minus lambda mal s.

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass x größer x ist, ist e hoch minus lambda x. Ich will hier auf den e hoch minus lambda x hinaus, wenn ich das Ding jetzt umschreibe, das ist s von 1 in e hoch minus lambda, dann steht da s von k durch m ist gleich e hoch minus lambda mal k durch m. Das heißt, ich habe das schon mal für rationale Zahlen, dann habe ich eine Verteilung,

das ist ja 1 minus eine Verteilungsfunktion, die Verteilungsfunktion ist rechtseitig stetig. Also, damit habe ich die Verteilungsfunktion, stimmt an den rationalen Zahlen mit der exponentiellen Verteilung überein, die Verteilungsfunktion ist rechtseitig stetig, fertig. Das heißt, was mir jetzt noch fehlt, ist, ich muss das hier umschreiben, ein e hoch minus lambda, ja, das s von 1 ist e hoch, ja, also s von 1 war erst mal e hoch ln von s von 1,

dann schreiben Sie es um als e hoch minus minus ln von s von 1.

Nur, damit ich hier ln von s von 1 hinschreiben kann, sollte mein s von 1 nicht 0 sein, und mein s von 1 sollte auch nicht 1 sein, sonst wäre mein lambda gleich 0. Das wäre beides mal schlecht. Also, das müssen wir jetzt argumentieren.

Schlechte Sache.

Also, es gilt.

Also, erst mal behaupte ich, s von 1 kann nicht 1 sein. Na, wenn Sie sich überlegen, was wäre, wenn s von 1 gleich 1 wäre,

wenn s von 1 gleich 1 wäre, also, wenn s von 1 gleich 1 wäre, dann wäre nach erstens auch s von k gleich 1 für alle k,

und warum ist es nicht möglich, dass s von k gleich 1 ist für alle k,

dann wäre x fast sicher größer als jede natürliche Zahl. Dann wäre die Wahrscheinlichkeit, dass x größer k ist, gleich 1 für jedes k aus n, was nicht sein kann, weil die Wahrscheinlichkeit, dass x größer k ist,

konvergiert ja gegen 0. Also, Widerspruch zu s von k, ist ja die Wahrscheinlichkeit, dass x größer k ist, und ich behaupte, die konvergiert gegen 0,

für k gegen n endlich. Sehen Sie, warum die Wahrscheinlichkeit, dass x größer k ist, gegen 0 konvergiert für k gegen n endlich?

Also, wie können wir das begründen? Ja, genau, richtig. Die Verteilungsfunktion konvergiert gegen 1, wir haben s definiert als 1 minus die Verteilungsfunktion.

Alternativ könnten Sie auch in den Beweis reingehen, warum konvergiert die Verteilungsfunktion gegen 1? Das Ding, also das Ereignis hier, konvergiert von oben gegen die leere Menge. Und ich behaupte auch, s von 1 ist ungleich 0,

denn sehen Sie das? Warum kann s von 1 nicht gleich 0 sein?

Die Wahrscheinlichkeit, dass x größer 0 ist,

ist größer als 0, und x größer 1 ist eine Teilmenge von x größer 0. Daraus folgt aber nur, dass die Wahrscheinlichkeit von x größer 1 kleiner gleich der Wahrscheinlichkeit von x größer 0 ist. Falsch rum, ja.

Aber Sie können sich mal überlegen, ob Sie eine der Beziehungen, die wir schon haben, 1, 2, 3, verwenden können, um genau auf das hinauszukommen. Also, ich möchte den Widerspruch schon zu dem machen, was Sie vorgeschlagen haben.

Okay, wenn Sie die Voraussetzung 2 nehmen, dann sehen Sie, wenn s von 1 gleich 0 ist, dann müsste s von 1 durch m gleich 0 sein, für jedes m. Und das passt nicht zusammen mit der Voraussetzung, denn,

also, s von 1 gleich 0, daraus folgt s von 1 durch m gleich 0, aufgrund von 2, für alle m, aus n. Und daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit

von x größer 0, das ist ja der Niemes, von der Wahrscheinlichkeit, dass x größer als 1 durch m ist, für m gegen unendlich, das ist jetzt gleich dem, die Wahrscheinlichkeit, dass x größer als 1 durch m ist, ist s von 1 durch m, das heißt, hier steht s von 1 durch m,

dann wäre das gleich 0, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass x größer 0 ist, größer als 0. Okay.

Jetzt setzen wir lambda als minus ln von s von 1,

daraus folgt unser s von k durch m. Also, minus ln von s von 1, erst mal wohl definiert, weil s von 1 ja ungleich 0 ist,

und ist auch eine Zahl größer als 0, weil s von 1 ist ja eine Wahrscheinlichkeit, und wir haben gerade gezeigt, sie liegt echt zwischen 0 und 1. Das ist eine Zahl größer 0. Das ist aber nach 3 gleich s von 1

durch k durch m. s von 1 kann ich umschreiben als e hoch ln s von 1, also e hoch minus lambda, das heißt, ich komme auf e hoch minus lambda mal k durch m.

Ja, damit können wir, also hier stehen alle

rationalen Zahlen. Damit gilt für x aus q plus die Wahrscheinlichkeit, dass x größer x ist. Das ist ja nach Definition gerade

unser s von x. Das ist nach dem obrigen grade e hoch minus lambda x. Und jetzt kann ich umschreiben die Verteilungsfunktion, beziehungsweise

f x von x, Wahrscheinlichkeit, dass x kleiner gleich x ist, ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit, dass x größer als x ist, ist 1 minus e hoch minus lambda x. Und da die Verteilungsfunktion

als rechtzeitig stetige Funktion auf jeder dichten Teilmenge von R bereits eindeutig bestimmt ist, gilt es sogar für alle x aus R. Also da f x rechtzeitig stetig ist, folgt sogar

f x von x

1 minus e hoch minus lambda x für alle x aus R plus. Ja, und dann sehen Sie, dann handelt es sich um eine Exponentialverteilung, weil

wenn ich mit x nahe an Null rankomme, kommt ja hier letzten Endes die Null raus. Das heißt, also eigentlich habe ich ja für Null nicht gezeigt. Ich hätte ja die Null vorhin rausgenommen. Also f von Null muss auch noch gleich Null sein. Wenn f von Null gleich Null ist, dann sind auch alle anderen gleich Null. Aufgrund der Monotonie der Verteilungsfunktion.

Weil daraus folgt, x ist exponentiell voneinander verteilt. Okay, Fragen soweit?

Genau, also eigentlich habe ich ja hier, also die Frage war gerade, was mache ich mit x gleich Null? Ich bin mir gar nicht sicher, ob ich es für x gleich Null mitgezeigt habe. Ich müsste oben mal nachgucken, ob ich die,

ne, für Null habe ich es ganz klar nicht, weil die erste Beziehung gilt ja nicht für k gleich Null. Also ich kann auch nicht sagen, dass s von Null gleich s von t hoch Null ist. Aber ich habe hier eigentlich x aus R plus ohne die Null, aber dann habe ich nochmal die rechtzeitige Städtigkeit und

kann sagen, fx an der Stelle Null ist ja der Limes von fx von x für x gegen Null. Und damit steht es da. Okay, Fragen sonst noch?

Dann muss ich noch kurz was hinschreiben, dann sind wir fertig. Also aufgrund

der Gedächtnislosigkeit wurde die Exponentialverteilung häufig bei der Modellierung von Watte-System eingesetzt. Das heißt, aufgrund von

STERM wurde die Exponentialverteilung häufig bei der Modellierung

von Watte-System eingesetzt.

Also auch das wäre eine Prüfungsfrage von mir dann. Warum wird die Exponentialverteilung häufig bei der Modellierung von Watte-System eingesetzt? Und dann würden Sie die Antworten ja, weil es eine Gedächtnislosigkeit ist. Sie würden die Gedächtnislosigkeit formulieren. Sie könnten noch nachweisen,

dass die Gedächtnislosigkeit vorliegt. Sie müssten nicht unbedingt zeigen können, dass es die einzige Verteilung ist. Das würde darüber hinausgehen. Also vielleicht, Sie wissen ja auch noch, Sie würden vielleicht auch den Satz wissen, dass es die einzige Verteilung ist, aber also eine mündliche Prüfung, eine schriftliche. Da kann ich die Frage natürlich nicht stellen, nicht wirklich. Da müsste ich irgendwas genauer

formulieren dazu. Dann würde ich noch hinschreiben, was ist Erwartungswert Varianz? Ex Integral von 0 bis und endlich

x mal lambda mal e hoch minus lambda x dx Sie integrieren partiell. Haben wir in der Einführung die Stochastik gemacht. Kommt eins durch lambda raus.

Varianz wäre Erwartungswert von x² minus ex in Klammern zum Quadrat. Den Erwartungswert von x² integrieren Sie genauso partiell. Das müssen Sie eben zweimal machen. Haben wir auch in der Einführung in die Stochastik gemacht. Wissen Sie noch, was für die Varianz rauskommt?

Exponential von lambda Verteilung? 1 durch lambda Quadrat. Ja, ich glaube eigentlich, glaube ich das auch. Ja, ich glaube das auch. 1 durch lambda Quadrat. Okay.

Also die Frage ist, warum ist die

Gedächtnislosigkeit überhaupt sinnvoll bei Wartesystemen? Also man kann sich insbesondere vorstellen, bei Lebensdauer. Also wenn Sie die Lebensdauer einer Persönlichkeit angucken, eines Menschen, oder vielleicht auch die Lebensdauer von irgendeinem technischen Gerät, würden Sie eigentlich keine Gedächtnislosigkeit erwarten. Also vielleicht eine Autobatterie,

sondern Sie würden eher sagen, nach so und so vielen Jahren schmeißen Sie vielleicht die Autobatterie eher vorsichtig weg. Was Sie nicht machen sollten, wenn das Gedächtnislos wäre. Und jetzt wäre die Frage, bei Wartesystemen ist immer das gleiche. Also Sie würden sagen, wenn Sie lang gewartet haben, also wenn ich irgendwo lang an der Schlange stehe, dann wechsle ich einfach die Schlange.

Ich würde eher warten, wenn Sie schon lang warten, dann müssen Sie einfach noch viel länger warten. Also ich weiß nicht, ob Sie es mal bei Supermarktkassen beobachtet haben. Sie stellen sich so in die Kasse hin, drei verschiedene, und meistens ist Ihre dann die langsamste, aber das liegt da meistens an der Verkäuferin.

Dann können Sie rückschließen, die ist auch weiterhin die langsamste. Also es geht auch unter Umständen in die Gegenrichtung. Also ich kann es nicht genau sagen, warum Sie jetzt Wartesysteme sagen, das sollte eigentlich gedächtnislos sein. Das macht eigentlich Sinn. Wenn der eine weg ist und

oder Sie haben schon eine Stunde gewartet, dann ist es genauso wahrscheinlich, dass Sie in den nächsten 5 Minuten fertig werden, wie wenn Sie ganz neu hinkommen. Ja, vielleicht schon. Ich meine, wenn Sie wenn ein Kunde ganz neu hinkommt, der braucht dafür vielleicht nur ganz kurz. Wenn der die Stunde gewartet hat, der braucht schon sehr lange. Das hat vielleicht noch weitere Fragen.

Aber es ist nicht ganz plausibel, Gedechnislosigkeit. Aber es ist irgendwie naheliegende Eigenschaft, die Sie im Zusammenhang mit Wartesystemen bringen würden. Man könnte es sich noch vorstellen. Es könnte Wartesysteme geben, die gedächtnislos sind. Okay.

Nachdem ich die Frage so fundamental beantwortet habe, haben Sie vielleicht noch einen. Okay, wünsche ich Ihnen noch einen schönen Tag soweit. Wir sehen uns am Donnerstag dann in den anderen Hörsaal. S101, A101.