präsentiert von Open Learnware, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. Hallo zusammen, mein Name ist Anke Böttcher, ich werde heute die Vorlesung halten. Letzte Woche ging es um den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und

wir machen heute weiter mit Kapitel 5.8 mit Integrationstechniken. Bei der Integration geht es darum, wir wollen eine Stammfunktion finden. Es ist so, bei der Differentiale, lauter, gut, okay, da muss ich hier einstellen. Wir testen mal, auf plus drücken, ne, wo ist mein, hallo, der macht nichts, okay,

wenn da, geht nicht, also es geht nicht lauter, ich versuche ein bisschen lauter zu sprechen.

Also, Differential, Differentiale, die wir davor behandelt haben, da haben wir einen kompletten Satz von Regeln, also das war zum Beispiel die Quotientenregel oder die

Produktregel. Das heißt, wir konnten hier relativ schematisch vorgehen.

Die Integration ist etwas komplizierter, also wenn wir eine Stammfunktion finden wollen,

da gibt es auch verschiedene Rechentechniken, aber man erkennt eventuell nicht auf den ersten Blick, was man am besten nimmt. Wir werden hier einige Rechenregeln besprechen, und zwar zum Beispiel die Partizelle-Integration und die Integration durch Substitution.

Es gibt einige stetige und sogar beliebig stiftbare Funktionen, die laut Hauptsatz

eine Stammfunktion haben, diese ist jedoch nicht immer in geschlossener Form angebbar.

Also, ich habe den Hauptsatz nochmal aufgelegt, der war ja letzte Woche, wurde der besprochen,

der ist sehr relevant. Das heißt, die Stammfunktion f von x, das ist das Integral von C nach x von f von s ds, und wenn phi eine Stammfunktion von f ist, dann kann ich schreiben, phi von x ist phi von c plus dieses Integral der Stammfunktion, das phi von c ist die Integrationskonstante. Wir wollen versuchen, bekannte Rechenregeln der Differenziation

auf die Integration zu übertragen. Also genau zur Erinnerung wollte ich den Hauptsatz

nochmal, den habe ich ja aufgelegt, und wir kommen jetzt zum nächsten Kapitel zur Partizellenintegration. Das ist der Satz 581, also Zeilen f und g auf a, b nach r,

stetig diffbare Funktionen, dann gilt das Integral von a nach b von f' von x, g

von x, dx ist gleich f von x mal g von x in den Grenzen x gleich a bis x gleich

b, minus den Integral a nach b, f von x, g' von x, dx. Zur Erinnerung die Produktregel,

der Differenziation, das war der Satz 519b, der lautete, also Pünktchen, Pünktchen,

Pünktchenvoraussetzung f g' von x null ist gleich f' von x null mal g von x null

plus f von x null mal g' von x null. Wenn man das vergleicht, dann sieht man dieser Term hier, das entspricht dieser Term, das ist dieser Term und dieser Term, das ist

dieser Term. Das heißt, es reicht, wenn Sie die Produktregel der Differenziation

kennen, dann können Sie sich daraus quasi die partielle Integrationsregel für die Integration ableiten. Wieso ist da jetzt so ein Strich? Ich weiß jetzt auch nicht,

wo der herkommt. Also der ist nicht auf meinem Blatt drauf. Vielleicht bin ich hier vielleicht irgendwo drüber gekommen. Genau, jetzt kommt der Beweis. Achso, Entschuldigung, ja, genau, ich muss hier einmal klicken. Nochmal schreiben wahrscheinlich, d y, Doppelpunkt.

Erstmal ist es so, dass alle auftretenden Integrale existieren, denn nach Voraussetzung

sind f und g auf a b nach r stetig diffbar und dann gibt es den Satz 4 7 14, den sage

ich jetzt nur und schreibe mich hier rein. Da drin steht die Verkettung stetiger Funktionen

ist wieder stetig, also auch das Produkt und es gibt den Satz 5 7 10, eine stetige Funktion von f auf a b nach r ist integrierbar. Deswegen sind die halt stetig differenzierbar,

diese Terme, die da stehen. Jetzt nehmen wir uns wieder die Produktregel der Differenziation, also nach der Produkte der Differenziation gilt, das Produkt abgeleitet bildet Strich

mal g plus f mal g Strich. Dann haben wir, das lege ich mal kurz auf, das ist die

Bemerkung 5 7 16 b ist f eine Stammfunktion von f, so erhält man integral von a nach b f von x dx die Stammfunktion an der Stelle a minus die Stammfunktion an der Stelle b

oder kurz geschrieben f von x und dann so ein Strich x gleich b x a. Also Bemerkung 5 7 16 b, also den Text lasse ich weg und ich schreibe nur noch mal ganz kurz von a

nach b, obwohl es da als Folie liegt f von x dx ist gleich Stammfunktion an der Stelle x gleich a und x gleich b. So jetzt nehmen wir uns wieder oben die Produktregel,

also das Integral von a nach b von f Strich von x g von x plus f von x d Strich von

x dx ist gleich Integral von a nach b f g Strich von x dx ist gleich f von x mal g von x an der Stelle x gleich a bis x gleich b. Das heißt, also ich setze quasi

hier die Produktregel ein und bilde das Integral darum und hier steht halt das,

was in der Produktregel hier steht, auch mit dem gleichen Integral und dann kann ich das auffassen wie eine neue Funktion, also f mal g sagen wir mal sei gleich h und wende diese Bemerkung 5 7 16 b an, das heißt schreibe das wieder als Stammfunktion, also wenn f von g Strich die Funktion ist, dann ist f von g die Stammfunktion in den

Grenzen von x gleich b. So, dann haben wir den noch mal, das mache ich mal so, Satz 5 7 7 c, da geht es um die Additivität der Integration, das heißt ich kann jetzt diese Integrale einzeln hinschreiben und kann das Ganze jetzt schreiben als Integral von a nach b

f Strich von x g von x dx ist gleich f von x g von x in den Grenzen von x gleich a bis x gleich b minus Integral a nach b f von x g Strich von x dx, womit die Regel der

partiellen Integration bewiesen wäre. Dann noch eine Bemerkung, wir sind jetzt in der, wir haben jetzt Grenzen a und b, es gibt auch sogenannte unbestimmte Integrale,

da stehen per se keine Grenzen dran, das ist die Bemerkung 5 8 2, dieselbe Regel lautet für

unbestimmte Integrale, also sein f und g aus c1 im Bereich a b, also c1 steht die

Funktion auf dem Intervall a b, dann kann man schreiben Integral f Strich von x g von x dx ist gleich f von x g von x minus Integral f von x g Strich von x dx, also genau das

gleiche nur man lässt die Grenzen a b weg. So dann neue Seite, jetzt kommen wir zu einem

Beispiel, das ist das Beispiel 5 8 3a und zwar wir wollen berechnen das Integral in den Grenzen von 0 bis 1 x mal i hoch x dx. Wir machen folgendes, wir wählen g von x gleich x,

so was brauchen wir, wir brauchen g Strich f und f Strich, das heißt wir leiten gleich mal ab, wenn g von x x ist, dann können wir auch schreiben g Strich von x ist 1 und dann muss f von x e hoch

x sein, die f Strich von x e hoch x und die Stammfunktion von e hoch x, die e Funktion erzeugt sich ja, also beim Ableiten integrieren, erhalte ich immer wieder die

Stammfunktion, da muss ich halt gucken, was die Potenz, was da ist, aber hier habe ich die innere Ableitung 1, also wieder e hoch x, also f von x ist vielleicht e hoch x. So und jetzt nehme ich mir die Regel der partiellen Integration, ich schreibe sie noch mal klein drüber, also f Strich mal g, also ohne das x und ohne die Grenzen,

dx ist vielleicht f g in den Grenzen von sowieso, also Stammfunktion minus Integral f g Strich dx. Ok, f Strich ist e hoch x, g ist x, das ist das, was wir da oben stehen haben,

dx ist gleich und die Grenzen schreiben wir auch wieder dran, jetzt muss ich f mal g einsetzen, also f ist e hoch x und g ist x in den Grenzen von 0 bis 1, minus, jetzt kommt das Integral,

f ist wieder e hoch x und g Strich ist 1 und das ist jetzt das Schöne, dass wir das hintere Integral direkt ausrechnen können. Das ist also gleich, jetzt setze ich das vordere Integral schon mal ein, also bekomme ich e hoch 1, minus, e hoch 0 ist 0 und x ist 0,

also minus gar nichts oder minus 0, minus und hier bilde ich noch mal die Stammfunktion, da steht e hoch x, also muss ich e hoch x noch mal in den Grenzen von 0 bis 1 ausrechnen. Kommt also raus, e hoch 1, minus, Klammer auf, wieder die Grenzen einsetzen, gibt wieder e hoch 1, minus e hoch 0, e hoch 0 ist 1 und die e hoch 1 kürzen sich weg, also ist das

Ergebnis von diesem Integral 1. So, was dabei ganz wichtig ist, da geht es jetzt mit b

weiter, das ist dann ein weiteres Beispiel, was aber dann nicht funktioniert, ich schreibe es f von g von x und f von x bei der partiellen Integration. Jetzt mache ich es mal andersrum,

denn dasselbe Integral, also wieder 0 bis 1, x mal e hoch x und andersrum gewählt, das heißt, ich sage, das ist f Strich und das ist g dx, ist gleich. Jetzt muss ich hier f hinschreiben,

das f Strich ist x, also ist das f einhalb x Quadrat, g bleibt e hoch x in den Grenzen von 0 bis 1, kann man ausrechnen, minus und hinten kommt jetzt f, das ist wieder einhalb x Quadrat, mal g Strich e hoch x dx und wie man sieht, wird das komplizierter. Das heißt also,

die Kunst ist einmal überhaupt zu erkennen, dass ich hier partiell integrieren kann, das hilft dieses Integral zu lösen, ist auch nicht immer so ganz leicht, ob ich jetzt partielle Integration oder irgendwelche anderen Sachen noch versuche und das

andere ist halt die richtige Wahl von den beiden Termen. Gut, dann haben wir noch das Beispiel C, da ist noch so ein Kniff, also ich schreibe mal Trick. Manchmal muss man sich

Integration künstlich schaffen. Also wir haben hier die Funktion ln x dx und da habe ich jetzt erstmal kein Produkt, aber ich kann das ganze ja schreiben als einmal ln x dx und dann habe

ich ein Produkt, nämlich die Eins ist dann die zweite Funktion. Gut, versuchen wir mal, ob das klappt. Einmal ln x dx, jetzt brauche ich eigentlich auch gar nicht groß überlegen, was ich wie wähle, weil ich kann natürlich hier nicht f Strich wählen, weil dann würde

das Null, dann komme ich da nicht weiter, also muss ich das hier als g wählen und das als f Strich und die Ableitung vom ln x, die kennen Sie schon aus der Vorlesung, das gab es vor ein paar Wochen schon, wurde das hergeleitet. Also ich schreibe jetzt wieder Stammfunktion g mal f, das ist also dann die Stammfunktion, Entschuldigung,

ich habe es falsch umgemacht. Das muss f Strich sein, weil daraus mache ich ein x und das muss g sein, das leite ich ab. Jetzt schreibe ich hier f mal g hin, das ist x mal ln x, also bestimmt,

ich lasse jetzt einfach die Grenzen weg, weil bei unbestimmten Integralen, wo ich keine Grenzen habe, da brauche ich auch nichts einzusetzen, das heißt diesen ersten Term, da kann ich diesen Strich dann auch weglassen, Minus und jetzt kommt wieder das Integral von f mal g Strich, das ist dann x mal 1 durch x dx und siehe da, das gibt eine 1,

also bekomme ich für dieses Integral x mal ln x minus x plus c und jetzt haben wir im Gegensatz zu dem leckten Beispiel ein c dabei, weil wir ein unbestimmtes Integral haben, das heißt wir haben hier eine Integrationskonstante, die wir letztendlich

eventuell auch ausrechnen könnten, wenn wir irgendwelche Bedingungen hätten dafür. Im Grunde genommen gibt es die bei bestimmten Integralen auch, nur wenn sie das mal aufschreiben mit Integrationskonstanten und die Grenzen einsetzen, dann sehen sie halt, dass die sich rauskürzen und deswegen schreibt man die dann auch gar nicht hin. Ok und das d ist eine reelle Zahl. Letztes Beispiel d, da soll berechnet werden i gleich

Integral von 0 bis Pi halbe von Sinus quadrat von x dx. So jetzt haben wir ja wieder ein Produkt,

das heißt wir können es versuchen mit partieller Integration, wir schreiben das

auch erstmal als Produkt hin, also Sinus x mal Sinus x dx und jetzt ist es egal wie ich es wähle, ich habe ja zweimal den gleichen Term, ich mache hier mal an der Seite eine Nebenrechnung, ich sage jetzt das ist f' und das ist g, f' ist also Sinus x, dann muss f ja minus Cosinus x sein,

kann man dann im Kopf gleich die Probe machen, wenn ich minus Cosinus x ableite, kriege ich Sinus x, stimmt also, g ist wieder Sinus x und g' ist dann plus Cosinus x.

So dann probieren wir das mal, ob das funktioniert, 0 bis Pi halbe von Sinus quadrat x dx ist gleich, jetzt f mal g, dann habe ich erstmal Minuszeichen und habe da ein Produkt Cosinus x

mal Sinus x in den Grenzen von 0 bis Pi halbe minus, jetzt kommt das Integral von 0 bis Pi halbe okay, ich hatte f' mal g, also man kann natürlich auch mit g' mal f anfangen, Hauptsache das eine ist eine Ableitung, das andere ist eine Funktion, also ich hatte hier f' mal g und jetzt muss ich f mal

g Strichen beschreiben, das ist Minus Cosinus Quadrat, also mache ich hier ein Pluszeichen drauf und schreibe hier Cosinus Quadrat x dx. Der Cosinus und der Sinus, also ich setze

einmal 0 in einmal Pi halbe ein, Sinus 0 ist 0 und Cosinus Pi halbe ist 0, das heißt dieser ganze Term gibt 0, das heißt was wir haben ist 0 bis Pi halbe von Sinus Quadrat x dx ist gleich Integral von 0 bis Pi halbe Cosinus Quadrat von x dx. Ich will das mal ganz kurz

skizzieren, wie das ungefähr aussieht, ich bin keine gute Zeichnerin, also ich habe hier die 1, ich habe hier Pi halbe und hier Pi. Der Cosinus Quadrat, das ist Quadrat, das heißt der

geht also nicht mehr in negativen Bereich, weil er quadriert wird, der geht hier runter nach Pi halbe und dann wieder hoch. Das ist der Cosinus Quadrat x und der Sinus Quadrat, der läuft versetzt, also der geht, Pi halbe hängt hinterher, der Sinus Quadrat x. Das heißt,

was wir hier sehen, ist, dass diese Fläche, also von 0 bis Pi halbe gleich dieser Fläche ist und das sieht man an der Zeichnung, das könnte stimmen, nur leider beantwortet nicht die Frage nach dem Wert des Integrals. So jetzt gibt es oft den Trick oder die Methode,

dass man einfach noch mal partiell integriert, also es führt oft zum Erfolg, eventuell sieht man hier schon, dass es vielleicht auch nicht so viel bringt, aber ich mache jetzt trotzdem, also ich mache einfach noch ein zweites Mal partielle Integration auf diesen Termen, den ich jetzt ausgerechnet habe, Cosinus Quadrat x. Also ich sage jetzt, das war ja hier

weiterhin i, also sowohl Sinus Quadrat x als auch Cosinus Quadrat x und jetzt probiere ich das halt noch mal, 0 bis Pi halbe Cosinus Quadrat x dx ist gleich und dann habe ich wieder hier die Nebenrechnung, also f Strich von x ist Cosinus x, dann ist f von x

Sinus x, g von x ist auch Cosinus x und g Strich von x ist dann Minus Sinus x. Gut, also wir schreiben das ruhig noch mal als Produkt 0 bis Pi halbe Cosinus x Cosinus

x dx und schreiben auch die Terme wieder drunter, f Strich und g, dann mache ich hier weiter, dann schreibe ich jetzt quasi die rechte Seite hin, also erstmal die Standfunktion,

das Produkt der Standfunktion, das ist dann Sinus x mal Cosinus x in den Grenzen von 0 bis Pi halbe, Minus und dann wieder das Integral von 0 bis Pi halbe jetzt von f mal g Strich, das ist dann Sinus mal g Strich mal Sinus, also bekomme ich wieder

ein Pluszeichen und mit der gleichen Argumentation wie eben gibt dieser Termen 0, ich habe also gezeigt, i ist gleich Cosinus Quadrat x dx Integral von 0 bis Pi halbe ist

gleich Sinus Quadrat Pi halbe von x dx beziehungsweise ich hätte oben anfangen sollen, also nochmal hier Sinus Quadrat von x dx Integral 0 bis Pi halbe, das machen wir hier mal rein,

ist gleich. Also im ersten Schritt habe ich halt Sinus Quadrat x als Cosinus Quadrat x ausgerechnet, dann wieder Sinus, ich habe also jetzt gezeigt, Sinus Quadrat x ist Sinus Quadrat x. Hilft mir also nicht so viel weiter, wir machen jetzt gleich

weiter und kommen trotzdem zum Erfolg, ich will einfach nur mal sagen, es ist oft so, also bei Cosinus Sinus bei so trigonometrischen Funktionen, die man integriert, dass das wirklich zum Erfolg führt, wenn die Funktion ein bisschen anders kombiniert ist. Dann hat man nämlich manchmal dann wieder rechts den gleichen Integralterm stehen kann, den auf die andere Seite bringt, hat dann zweimal das Integral, kann durch zwei teilen und bricht das dann raus, weil rechts die Standfunktion steht, eventuell

haben sie es in der Schule auch schon mal gemacht, also das muss nicht immer so laufen wie hier. So was machen wir aber hier, was wir ja wissen, ist, dass, jetzt muss ich mal hier das nächste Blatt mit nehmen, genau, wir machen jetzt folgendes,

also hier kommen wir erstmal nicht weiter, wir haben jetzt folgende Idee, ich meine bei Integration ist immer so, da muss man einfach die Ideen haben und man braucht auch Übung, das macht halt auch wirklich viel, wenn man viel rechnet, dann wird es auch leichter zu erkennen, was man da machen muss. Also in diesem Fall kann man einfach mal den trigonometrischen Pythagoras einsetzen, und zwar, das kennen

Sie wahrscheinlich eher als Additionstheorien, also begrifflich, Suscosinusquadrat x gleich 1. Und das setze ich jetzt in meinen Integral ein,

i ist light, ich schreibe es noch mal hin, 0 bis Pi halbe, Sinusquadrat von x, und schreibe jetzt statt Sinusquadrat 1 minus Cosinusquadrat, das kann man gar nicht mehr richtig lesen, darf ich nicht so weit am Rand schreiben. Okay, also das schreibe ich

jetzt als 0 bis Pi halbe von, also egal, kann ich auch so schreiben, 1 minus Cosinusquadrat x, d x, und das kann ich jetzt wieder nach der Additivität auseinander ziehen, das heißt,

ich habe das Integral von 0 bis Pi halbe, 1 d x, minus das Integral 0 bis Pi halbe, Cosinusquadrat x, so das hier, ich schreibe es noch mal ausbillig, i ist dann gleich,

wenn ich hier die Standfunktion bilde, dann habe ich x in den Grenzen von 0 bis Pi halbe, und hier, da weiß ich ja, das ist i, ich hatte ja i so ausgerechnet, also entweder als Sinus oder als Cosinusquadrat x von 0 bis Pi halbe, also kann ich sagen, das ist i, also ich schreibe es jetzt einfach so, und wenn ich das x einsetze,

dann bekomme ich Pi halbe minus i, jetzt steht da, i ist gleich Pi halbe minus i, also ich habe jetzt nur das als nicht unso erkannt, also i ist Pi halbe minus i,

und ich bringe das i einfach auf die andere Seite, und dann steht da 2i ist gleich Pi halbe und teile durch 2, und dann habe ich wirklich den Wert des Integrals ausgerechnet. Also da sieht man einfach, dass man manchmal auch T-Fantasy braucht oder gute Ideen, wie man so Integrale

rechnet, aber wie gesagt, partielle Integration ist ein Standardding, manchmal auch zwei oder dreimal anwenden, und ja, die Funktionstheorie kann man immer ganz gut benutzen, wenn die sich anbieten. Ein bisschen schneller als vermutet, um 25 ist Pause, da machen wir halt schon mal

weiter mit dem nächsten Kapitel, und zwar war das jetzt die partielle Integration, jetzt kommt die zweite wichtige Integrationsregel, das ist die Kettenregel. Also die zweite

wichtige Regel, Integrationsregel, ergibt sich aus der Kettenregel, der Kettenregel,

der Differentialrechnung. Ich gehe nochmal zurück auf den Satz 5.1c, lasse die Voraussetzung

weg und schreibe einfach nur die Kettenregel, und zwar ist das f verkettet g, dafür schreibt man aber auch oft f von g von x, Strich, wenn ich diese Verkettung ableite an der Stelle x0, dann kann ich das berechnen unter den Voraussetzungen als f Strich

von g von x0 mal g Strich von x0. Genau, und da Integration und Differentialrechnung ja verknüpft sind über den Hauptsatz, dann kann man halt aus diesen Regeln der Differentialrechnung jetzt auch wieder in der Integration sich erzeugen. Und da

kommen wir, also das ist nur Rückblick, sag ich mal, das ist keine Integralrückblick, das ist also Differentialrechnung. Machen wir mal so, und jetzt haben wir die Substitutionsregel, das ist der Satz 5.8.4, Substitutionsregel, also es sei ein Intervall a bis b aus

r und ein Intervall c bis d aus r, und es soll nicht Elemente, es soll auch enthalten inhalten, kompakte Intervalle, die erinnern sich kompakt abgeschlossen und beschränkt,

sowie f aus dem Bereich stetiger Funktionen im Intervall a b und g aus dem Bereich c

1 stetiger Funktionen aus dem Intervall c d. Das heißt, die erste Ableitung ist stetig. Mit g von c d enthalten in, also liegt im Intervall a b, das heißt einfach

die Werte von g liegen im Intervall von c d. Dann ist das Integral von c nach d von f von g von t mal g Strich von t dt gleich das Integral von g von c bis g

von b von f von x dx. Bei diesen beiden Regeln, achso ich müsste das hochschieben,

also die Kettenregel der Differenziation ist schon wieder zu weit oben, aber wenn Sie die beiden Regeln vergleichen, dann kann man es nicht so schön wie bei der partiellen Integration direkt zuordnen, aber wir sehen gleich beim Beweis, dass das eine aus dem

anderen folgt. Gut, also wir beweisen das. Wir sollen ja immer erstmal die Behauptung hinschreiben. Die Behauptung ist nämlich genau das, was hier steht. Ich mach das jetzt ganz kurz. Jetzt kommt der Beweis, oder man sagt auch zu zeigen ist, also in den Hausaufgaben

wurde der Wert drauf gelegt. Also, als stetige Funktion, das war ja die Voraussetzung aus c von a b, Funktion für siebf auf a b, eine Stammfunktion. Das war der

Funktion, den ich vorhin schon mal am Anfang noch erwähnt habe. Wir betrachten, also

wir definieren uns eine Funktion h, die soll eine Verkettung von f und g darstellen auf cd. Dann gilt alle t aus t und d nach der Kettenregel, der Differenzialrechnung

jetzt wieder. Also diese Funktion ist ja eine Verkettung, wenn ich die ableite, dann kann ich schreiben h Strich von t ist gleich f Strich von g von t mal g Strich von t und das ist

gleich f von g von t mal g Strich von t. Weil ja das f die Stammfunktion von f ist und das f

abgeleitet, gibt wieder die Funktion. Kann ich die wahrscheinlich? Gut, leider muss ich auf der nächsten Seite weitermachen. Ich schreibe die letzten Teile noch mal hin, sonst wird unübersichtlich.

Also ich hatte gesagt h Strich von t ist gleich f Strich von g von t mal g Strich von t ist gleich f von g von t mal g Strich von t. Und jetzt werden wir den Hauptsatz zweimal anwenden.

Zweimalige Anwendung des Hauptsatzes der Integral- und Differentialrechnung. Also er liegt noch auf, zwar nur als

Bemerkung, aber das heißt einfach eine Funktion in Grenzen von a und b hat eine Stammfunktion, also unter den Voraussetzungen der Städtigkeit groß f von x in den Grenzen von x gleich a und das benutzen wir hier. Dann können wir schreiben Integral von d nach d f von g von t mal g Strich von t

dt ist gleich und jetzt wird zum ersten Mal benutzt, deswegen schreibe ich hier mal so eine kleine 1 hin. Also das hier sieht man ja da oben ist h Strich von t. Das ist nämlich genau dieser

Term hier oben. Also da das h Strich von t ist in den Grenzen von c nach b können wir nach dieser Bemerkung b auch schreiben h von d minus h von c, also Grenzen schon eingesetzt. Und das ist

nichts anderes als f von g von d minus f von g von c. Das hatten wir in der Voraussetzung so geschrieben als f verknüpft mit g. Und jetzt, das kriege ich jetzt hier wieder nicht hin, ich mach

es jetzt gleich, also es geht hier weiter, nehme ich ein zweites Mal den Hauptsatz und schreibe das ist das Integral von g von c bis g von d von f von x d x. Also jetzt mache ich es wieder anders rum, ich lese das quasi von rechts nach links und sage also wenn die

Stammfunktion von Oberer minus Unterer Grenze, das ist wieder das Integral über die Funktion. Und damit bin ich fertig. Das heißt hier steht jetzt f von g von t, die Strich von t,

dt in den Grenzen von c und d ist die Funktion f von x in den Grenzen, also Integral über die Funktion f von x von g nach g von c bis g von d d x. Und das ist genau die Substitutionsregel, die ich eingangs angeschrieben hatte. So jetzt ist es denke ich fast 25 und als Nächstes,

ich muss mal ganz kurz gucken. Gut eine Bemerkung schreibe ich noch hin. Ich würde sagen wir machen Pause, dann machen wir einfach eine Minute früher weiter, dann kommen jetzt Beispiele und

noch eine Bemerkung. Also eben kam hier die Frage bezüglich jetzt nächsten Montag, das ist ja Pfingsten, also ich glaube im Tukan steht schon eine E-Mail, dass sie sich auf die anderen Gruppen verteilen, weil das betrifft nur zwei Gruppen, das heißt das kann man ein bisschen umverteilen. Und ich würde einfach vorschlagen, ich werde den Montags tutoren, also diesen beiden Gruppen sagen, dass sie ihre Hausaufgaben auch eine Woche später dann

noch annehmen. Das heißt sie können sie dann den Montag drauf dann abgeben. Ja, so dann machen wir mal weiter. Ich versuche also noch ein bisschen lauter zu sprechen. Ich kann es leider nicht lauter stellen hier. Also wir haben jetzt den Satz 584, die

sind bewiesen und das ganze kann man auf die unbestimmte Integrale hinschreiben, also Version für unbestimmte Integrale seien i und j aus R und f aus dem Bereich

stetiger Funktionen auf i und g, c1 stetig auf j, Funktionen mit i von j gleich i,

also die Werte von g liegen in i. Dann gilt Integral f von g von t mal g Strich

von t dt ist Integral f von x dx an der Stelle x gleich g von t auf j. Bis auf die

Grenzen steht also das gleiche da wie vorher und die Grenzen die stehen hier quasi

durch diesen Strich symbolisiert x an der Stelle g von t. Was bedeutet das? Also dieser Strich x an der Stelle g von t bedeutet zuerst muss man das Integral ausrechnen und

am Ende für x den Wert g von t einsetzen. Wir werden da auch gleich noch ein Beispiel

zu rechnen. Der zweite Punkt bezieht sich auf die intuitive Schreibweise. Also man sagt ja auch

y Strich ist gleich dy nach dx und spricht das halt als dy nach dx. Dann ist für

x gleich g von t die Ableitung g Strich von t die Ableitung der linken Seite von dem x nämlich genau das dx nach dt und das kann man dann umformen aber in Anführungsstrichen zu

dx gleich g Strich von t dt. Jetzt sieht man dieser Term den habe ich hier und dieser Term den habe ich hier. Also ich habe quasi das dx so begründet sage ich mal. Allerdings muss man dazu sagen,

dass so rechnen mit Differentialen, weil dieses dx und das dt das sind Differentiale, ist keine

saubere Mathematik und plammt man aber praktisch. Also diese sich das so zu merken also ich würde

jetzt einfach mal so als Merkregel nehmen das kann schon manchmal auch helfen wenn man hinter auch Differential Gleichung löst. Nächste Seite. Jetzt geht es weiter mit einem Beispiel. Das

Beispiel 586a. Also ich habe jetzt eine neue Folie noch mal aufgelegt mit der partiellen Integrationsregel. Da kann man immer noch mal gucken wie die heißt. Obwohl da sind wir ja

gar nicht mehr. Wir sind ja bei der Kettenregel. Augenblick ich wechsle die Folie. Also wir rechnen

das Beispiel 586a. Ok zu berechnen ist folgendes Integral in den Grenzen von 1 bis 2 so integriert

werden. Die Funktion heißt 1 e hoch 2x plus 1 durch e hoch x dx. Ist gleich. So ich mache hier mal wieder so eine kleine Nebenrechnung an der Seite. Also wir haben jetzt die Kunst ist jetzt,

also wir sind bei der Substitutionsregel und da steht ja, ich schreibe die noch mal kurz hin,

ganz oben von C nach D. F von G von T mal G Strich von T dt ist gleich. Das kriege ich jetzt

nicht mehr so richtig. Ok Sie wissen was auf der rechten Seite steht. Also jetzt muss man sich immer erstmal überlegen, habe ich jetzt den Ausdruck rechts oder habe ich den Ausdruck links. In diesem Fall ist es ziemlich eindeutig, weil dahin steht ein dx. Das heißt, was wir jetzt

machen müssen, wir brauchen das G von T, weil das steht nicht da. Wir haben eine Funktion, die ist abhängig von x. Und jetzt ist halt auch die Kunst, eine geeignete Substitution zu finden. Und dann ist es so, wir haben hier E-Funktion, ich schreibe das mal hin. Bei E-Funktionen

hilft oft, aber nicht immer, die Verwendung des Ln. Weil Ln ist ja die Umkehrfunktion von Be-Funktionen. Also probieren wir das jetzt einfach mal aus. Das wäre jetzt also die Idee.

Wir probieren, x soll sein gleich Ln x, ne Ln T, Entschuldigung, wir haben ja ein G von T,

was wir suchen. Und das nenne ich jetzt G von T. Also ich substituiere x durch Ln T. Das ist meine Idee. Was muss ich da machen? Ich habe hier auf der linken Seite ein G Strich von T drinstehen. Das heißt, ich brauche auf jeden Fall schon mal das G Strich. G Strich von T,

Ln T ableiten können wir 1 durch T. Die Formel steht da oben, allerdings unleserlich. Ich schreibe das mal hin, auch wenn es doppelt ist. Also von C nach D, F von G von T mal G Strich von T,

dT ist gleich, ich mache es hier unten weiter, ich weiß nicht, wie weit man das sonst sieht. Integral G von C bis G von D von F von x d x. So, was wir jetzt machen müssen, wir müssen quasi

auch die Grenzen substituieren. Jetzt muss man sich wieder überlegen, was ist was. Wir haben die Grenzen von 1 bis 2. Aber das ist in diesem Fall, also hier, ich sag mal, das ist der Punkt 3, die Grenzen. Das ist in diesem Fall die 1, ist, wenn man sich das jetzt von der Struktur der

Formel anguckt, das G von C. Und das G von C ist Ln C, weil wir haben ja hier oben G von T als Ln T definiert, also ist das Ln C. So, und für welches C wird der Ln C 1, für C gleich E.

Da haben wir die erste Grenze für die andere Seite. Das Gleiche machen wir mit der anderen Grenze. 2 ist also G von D, ist also Ln D. Für welches D kriege ich eine 2 für D gleich E². Zur Erinnerung, Rechenregeln für Logarithmen. Logarithmen muss beliebige Basis

A nach X hoch R ist gleich R mal Log A von X, habe ich jetzt verwendet. Jetzt noch mal in ganz großen Klammern, weil das braucht man jetzt nicht mehr, aber man kann es einfach mal testen. Dieses Rechnen mit

den Differentialen. X war ja Ln T. Jetzt bilde ich mal dieses Dx, was ich da in der Formel erklärt hatte. Also Dx nach Dt ist gleich 1 durch T und das mache ich in Anführungsstrichen auch wieder. Daraus folgt Dx ist gleich 1 durch T Dt. Wie gesagt, das ist in Klammern, das brauchen

Sie nicht, um das Integral zu substituieren. Nur als wir gucken uns das gleich mal an, ob das ungefähr da steht. Jetzt geht man erst mal nach der Formel. Also ich habe F von X, das ist hier, das F von X. Ich habe meine Grenzen und zwar G von C und G von D und jetzt habe ich

alles und kann die rechte Seite hinschreiben. Ist also gleich. Jetzt kommen die Grenzen nach dieser Formel von C nach D, also E nach E². Dann steht hier in der Formel F von G von T,

das heißt statt dem X muss ich das G von T einsetzen. Also E hoch 2 und jetzt nicht X, sondern L und T plus 1 und auch unten wird das E durch L und T ersetzt. So und jetzt brauche ich G-Strich, das steht hier, 1 durch T und die Formel schließt dann mit Dt und was ich hier

gerade gezeigt habe, diese Umformung, was man eigentlich nicht machen darf, was keine saubere Mathematik ist, aber praktisch, da sieht man halt das Dx stand hier und hier steht das 1 durch T dt, also das scheint richtig zu sein oder sieht richtig aus. Und jetzt brauche ich nur noch

ausrechnen. Das heißt, ist gleich, also ich schreibe jetzt einfach hier, das rechne ich jetzt aus, E bis E². Dann habe ich hier, also wieder mit diesem Logarithmusgesetz bekomme ich hier ein T², E und Ln. Also erstmal muss ich das E als Potenz vom L und T

geteilt durch T mal 1 durch T, also durch T² dt. Das kann ich auseinander ziehen als E und E² von 1 dt plus Integral von E bis E² 1 durch T² dt und kann es ausrechnen. Also das erste ist das T in den Grenzen von T

gleich E² bis T gleich E plus und jetzt brauche ich hier die Standfunktion. Also ich denke, sie können das im Grunde

alle aus der Schule, aber ich will es trotzdem noch mal ganz zeigen für die, wo es ein bisschen in Vergessenheit geraten ist. Also ich schreibe das 1 durch T² als T hoch minus 2 dt. Dann gibt es die Rechenregel, also Potenz 1 erhöhen und der Kehrwert der neuen Potenz, der kommt dann davor. Also ich muss

hier das T, da steht da minus 2, positiv um 1 erhöhen und den Kehrwert davor schreiben. Okay und das gibt dann T hoch minus 1 und das ist wiederum 1 durch T mit Minuszeichen, das habe ich hier vergessen. Das ist die Regel, also kriege ich hier minus 1 durch T in den Grenzen von

E bis E². Gut, dann bin ich fertig. Das ist E² minus E minus 1 durch E² plus 1 durch E.

Gut, dann gibt es ein weiteres Beispiel. Das ist das Beispiel 586b. Da ist zu berechnen das Integral

von 0 bis 1 von Wurzel 1 minus x² dx, wobei das x im Intervall 0 bis 1 liegt.

So das ist ein Viertelkreis. Ich mal das mal kurz hin als Bild und zwar in den Grenzen von 1 bis, also bei x gleich 1 und y gleich 1.

der geht um Null und hat den Radius 1. Und mit dem Integral berechnen wir die Fläche, also berechne das A und dann wissen wir, die Kreisformel ist ein Viertel pi r², r ist gleich 1, a ist also pi Viertel. Das heißt, wir wissen, was rauskommen soll und müssen es jetzt irgendwie ausrechnen.

Okay, ich mach das mal auf der nächsten Seite, weil ich will das ordentlich hinschreiben, dann steht das alles auf einer Seite. Das Bild können Sie sich einfach merken, also wir wissen, da kommt pi Viertel raus. Und ich schreibe nur das Integral noch mal hin,

die ist gleich Integral von Null bis 1, Viertel 1 minus x² dx, x aus Null, 1, das lass ich jetzt auch weg. Und jetzt mach ich wieder meine Überlegungen.

Also erstens braucht Idee. Substituiere. Mit ein bisschen Erfahrung könnte man darauf kommen, dass man da x gleich q sin t substituiert. Warum? Weil da steht 1 minus etwas zum Quadrat

und dieses ganz bekannte Additionstheorie, was wirklich jeder kennt, q sin² plus sin² gleich 1, führt dann dazu, dass ich dann halt den sin² da bekomme und da kann ich die Wurzel daraus ziehen. Also da denkt man vielleicht erst mal, wie kommt man da drauf, aber wenn man das ein paar Mal gesehen hat und das taucht halt,

also das wird halt oft so gemacht für solche Funktionen, dass da solche Sachen verwendet werden, also da kriegt man mit der Zeit auch ein bisschen Übung dann. Also wenn ich das so mache, also das ist eigentlich nur das, was ich brauche. Ich brauche eigentlich nur die Idee, alles andere ist auch mehr oder weniger Schema f. Dann sage ich halt, das cosinus t ist mein g von t. Dann muss ich wiederum ableiten,

weil das ja in der Formel steht. Also ich brauche das g Strich von t. Das ist dann minus sinus t. Dann brauche ich wieder die Grenzen. Ich schreibe es einfach noch mal kurz hin. Dann kann man das besser nachvollziehen.

g von c. Jetzt mal die Seiten hier vertauscht. f von x dx ist gleich integral von c bis d. f von g von t mal g Strich von t dt.

Bringe ich wieder nicht damit rein, leider. Sie können es glaube ich erkennen. So, also jetzt muss ich wieder überlegen, auf welcher Seite ich bin. Ich bin wieder links. Also ich habe wieder eine Funktion von x. Also ist mein g von c. Das g von t habe ich als cosinus t definiert. Also das g von c cosinus c. Und das muss hier die untere Grenze sein.

Nämlich gleich 0. Jetzt sind wir ja in einem bestimmten Intervall. Und wir haben den Kreis, habe ich ja gezeigt. Da kann man sagen, das ist der Winkel von 0 bis pi halbe. Das heißt, man kann natürlich sagen pi halbe plus k mal pi. Aber wir sagen jetzt, wir nehmen einfach das aus dem Intervall, in dem wir uns hier befinden.

csp halbe. Analog machen wir das mit g von d. Ist dann also auch cosinus von d. Das soll 1 sein. Nämlich hier die obere Grenze. Und daraus folgt dann, dass das d gleich 0 ist. Ja, dann könnte man das wieder testen. Das mache ich jetzt nicht. Also x ist gleich g von t. dx nach dt ist minus sinus t.

Und dx ist dann minus sinus t dt. Das sollte dann hinterher da auch hinten dranstehen. Also ich wende jetzt wieder die Formel an. Die neuen Grenzen c und d sind pi halbe bis 0. Und ich schreibe das hier so als 1 minus cosinus quadrat von t.

So, das ist jetzt das f von g von t. Jetzt kommt das g Strich. Das war minus sinus t und dt. Und jetzt wird es ganz einfach. Das hier ist sinus quadrat t.

Dann ist die Wurzel des sinus t. Und mit dem anderen zusammen ist das einfach nur noch das Integral von 0 bis pi halbe. Quadrat von t dt. Das kennen wir schon. Das haben wir vorhin ausgerechnet. Und zwar siehe Beispiel 5, 8, 3, d.

Also wie man sieht, wenn man die richtige d hat und ein geeignetes Integral, dann kann man das manchmal ganz schnell lösen. Gut, dann als letztes Beispiel. Es werden in den Übungsaufgaben natürlich noch weitere Beispiele gemacht.

Gab es Fragen? Okay. Wollen wir nochmal ein unbestimmtes Integral in einer recht allgemeinen Form bestimmen? Und diesmal geht es auch andersrum. Integral. Also, wir haben als Voraussetzung gegeben eine stetig gissbare Funktion.

pi, die geht von r nach r ausgenommen der 0. Und wir wollen berechnen das Integral t dt.

So, und jetzt befinden wir uns halt auf der anderen Seite von dieser Formel. Da wir hier dieses dt drin haben, daran sieht man das. Und wir haben im Grunde auch schon sowas wie g' von t dt.

Das heißt, man muss jetzt irgendwie die Terme sich ein bisschen anders überlegen. Es sind auch keine Grenzen mehr zu substituieren. Dann nochmal die Substitutionsregel für unbestimmte Integrale.

Sieht ja im Grunde genauso aus wie die für bestimmte. Also war f von g mal g' von t dt ist integral, aber halt nur ohne die Grenzen. Aber dafür macht man hier den Strich und sagt x gleich g von t.

So, jetzt nochmal zurück zu Beispiel a und b. Zurück zu Beispiel a und b. So, da hatten wir halt g von c bis g von d, f von x, dx bis gleich c bis d, pünktchen, pünktchen, pünktchen.

Und wir hatten hier die Funktion gegeben und wir brauchten eine Idee für die Substitution.

Und dann konnten wir das hier berechnen. Jetzt ist es andersrum. Und zwar kann ich mir jetzt überlegen, also Namen sind ja Schall und Rauch,

das g' von t ist das phi' von t, dass ich das so zuordne. Wenn also phi' von t g von t ist, dann ist phi von t gleich g von t. Und was ich noch brauche ist das f von phi von t, also die Funktion.

Das kann ich mir aber auch sofort hinschreiben, wenn ich mir diese Funktion ansehe. Also g' dt, das ist das, was hier steht und ich brauche noch f von g von t, also f von phi. Und f von phi, da steht halt 1 durch phi. Also, ich schreibe es mal formal hin, f von phi von t ist gleich 1 durch phi von t

mit phi von t ist g von t. Wenn wir gucken, wie wir hier oben immer andersrum ersetzt haben, dann war das g von t ja immer das x. Also folgt daraus, f von x ist gleich 1 durch x.

Dann muss man aber bei x die Null halt rausnehmen. Also wenn f von x 1 durch x ist und x ist phi von t, dann ist f von phi von t 1 durch phi von t.

Also 1 durch phi von t und hier steht dann halt das g' dt. Und dann habe ich genau das, was hier auf der linken Seite steht. Und das ist wirklich hier die Hauptarbeit. Jetzt muss man halt, ich versuche es noch hier unten hinzukriegen.

Ich schreibe ein bisschen kleiner. Also das Integral phi' von t durch phi von t dt war zu berechnen. Das ist das Integral, also jetzt formal laut Formel, phi von t mal phi' von t dt.

Das ist laut Formel f von x dx an der Stelle x gleich phi von t. Also hier habe ich eigentlich nur die Formel der Substitution dazwischen gequetscht.

Und habe dann halt die Überlegungen, die ich hier gemacht habe, da wieder einfließen. Die schreibe ich zum Schluss dann 1 durch x dx an der Stelle x gleich phi von t. Also jetzt muss ich das nur noch ausrechnen. Das heißt phi' von t durch phi von t dt.

Jetzt muss ich das integrieren. Wir wissen 1 durch x. Die Standfunktion heißt ln x und zwar ln Betrag von x. Das ist auch in einem Beispiel weiter vorne ausgerechnet. Also auch wo der Betrag herkommt, da können Sie einfach im Skript ein paar Beispiele davor bei Differentialgerechnung noch mal nachgucken. Und ich brauche eine Integrationskonstante.

Und das Ganze muss ich dann, das ist ja die Regel, rechne erst das Integral aus und setze dann zum Schluss ein. Also zum Schluss setze ich dann wieder ein x gleich phi von t. Also ist das ln Betrag von phi von t plus c und das c ist aus R.

Und Sie können es jetzt einfach noch mal testen. Also einfach noch mal ableiten und von da aus wieder die andere Seite sich ausrechnen. Das sagte die Nader ja letzte Vorlesung auch schon. Es ist immer gut, wenn man integral sich berechnet hat, dass man einfach den Test macht, noch mal ableitet und guckt, komme ich wieder dahin, von wo ich ausgegangen bin.

Gut. Also ich bin schneller als gedacht. Eigentlich dachte ich, jetzt wäre 20 nach. Ich mache jetzt einfach weiter mit dem nächsten Kapitel. Ich hoffe, ich bin nicht so schnell. Oder wir können folgen. Weil, dann kommen wir jetzt zum nächsten Kapitel,

was auch die Integralrechnung betrifft. Und zwar zum Differenzieren von Parameterintegralen. Das ist der Satz 5, 8, 9. Es geht hier ziemlich schnell voran. Alles wird mal kurz so gezeigt. Mit einem Beispiel.

Es kommen halt in den Übungsaufgaben auch noch Beispiele. Und teilweise kennen Sie die Techniken ja hoffentlich auch aus der Schule. Also wir sind jetzt im nächsten etwas schwierigeren Kapitel, was Differenziationstechniken betrifft. Und das heißt Differenzieren von Parameterintegralen. Okay.

Der Satz ist folgender. Sei g aus R2 offen mit dem Gebiet alpha, beta, Kreuz a, b enthalten in g und f.

Also wir sind jetzt hier zweidimensional. G nach R sei total differenzierbar.

Sowie die partielle Ableitung g1, f. Das ist nichts anderes als die partielle Ableitung der Funktion f nach der ersten Koordinator.

Also in diesem Fall f von x, y. D nach dx. Und das sei stetig. Partielle Ableitung hatten wir ja gehabt. Dann ist die Funktion g von x ist gleich integral von a bis b, f von x, y, dy.

Wobei x aus alpha, beta ist differenzierbar.

Und es gilt, g' von x ist gleich d, g nach dx von x ist gleich integral von a nach b.

Partielle Ableitung nach der ersten Komponente, f von x, y, dy. Und ich schreibe es auch nochmal so hin. Von a nach b, d, f nach dx von x, y, dy.

Das heißt, man leitet hier nach x ab und integriert diesen abgelittenen Term dann nach dy. Das heißt, einmal ist das y wie eine Konstanz zu behandeln und das andere mal das x.

Gut, dann gibt es dazu ein Beispiel. Und zwar ist es das Beispiel 5, 8, 10. Da sieht man einfach wie es geht. Das ist jetzt ein relativ leichtes Beispiel.

f von x, y ist gleich e hoch x, y minus e hoch y, geteilt durch y. Das ist, jetzt muss das natürlich erstmal geprüft sein, ob die Voraussetzung stimmt. Total diffbar auf R.

R und 0 bis unendlich. Mit stetigen partiellen Ableitungen.

Mal ganz kurz gucken, was hier im Script nochmal stimmt. 5, 8, 10. Ach so, hier steht nämlich, damit beantworten wir obige Frage. Da will ich einfach nur mal, damit ihr wisst, was damit gemeint ist.

Also Sie das wissen. Das war auf Seite 253. Das war die Übungsaufgabe 5, 8, 8. Und die hatte die Nummer 5, 3 ist diffbar. Und dann wurde da aber nicht weiter gerechnet, sondern nur gefragt, was kommt da wohl raus.

Und das machen wir halt jetzt, dass wir das ausrechnen. Und dadurch erklärt sich jetzt auch, warum ich das jetzt so hinschreibe. Da sind nämlich Grenzen angegeben. Also genau in dieser Übungsaufgabe, da war das in den Grenzen von 1 bis 2.

Seite 253 stimmt das überhaupt? 5, 8, 8. 5, 8, 8. Nee, die Seitenzahl war falsch. Also 2, 5, 5.

Entschuldigung. Seite 255. Genau, also da war einfach nur zum Abschluss dieses Abschnittes, und jetzt wollen wir uns mit dem Problem des Differenzierens unter einem Integralzeichen beschäftigen. Die Problematik ergibt sich aus dem folgenden Beispiel. Da steht erst die Funktion g von x und dann in den Grenzen von 1 bis 2. Und dann genau die, die hier steht.

Also ich schreibe es deswegen nochmal hin. Dann machen wir das Strich mal weg. Ich schreibe jetzt erst nochmal das Integral so hin. Wie es da steht in der Aufgabe. E hoch xy. Minus E hoch y durch y. Also genau wie da oben auch. Nur halt jetzt mit Grenzen. D y und x ist aus R. Und jetzt gehen wir halt nach der Vorschrift, die wir hier haben, vor.

Das heißt wir bekommen g Strich von x. Ist gleich 1 bis 2. Das sind die Grenzen a nach b. Und jetzt die erste Ableitung. Ist die Ableitung df nach dx. Angewandt auf die Funktion f von xy. Oder ich könnte auch schreiben d nach dx von f von xy.

Also einfach f von xy ist das hier. Das ist jetzt erstmal formal dahingeschrieben. Jetzt setze ich es ein. Das ist also 1 bis 2. D nach dx. Von E hoch xy. Minus E hoch y.

Durch y. D y. So und wenn man partiell ableitet. Dann ist halt alles aus der Variable nach der man ableitet. Wie eine Konstante zu behandeln. Das heißt das y bleibt einfach so da stehen. Das heißt hier geht es weiter. Ich rechne jetzt erstmal das hier aus.

Und lasse das Integral stehen. 1 durch 2. So das ist ja hier 1 durch y. Mal Klammer auf. E hoch xy minus E hoch y. Das 1 durch y ist jetzt wie eine Konstante. Das lasse ich also stehen. Also bleibt da einfach der Bruchstrich bestehen. Das ist wie eine Konstante die ich vor die Klammer ziehen kann. Dann E hoch xy.

Da spielt jetzt nur das x eine Rolle. Aber ich muss mir die innere Ableitung überlegen. Und das y ist halt wie eine Zahl. Das ist als ständiger 3y. Dann wäre ja auch die innere Ableitung 3. Und so ist jetzt die innere Ableitung. Die ich davor schreibe. Y mal E hoch xy. Und das hier das hängt ja gar nicht von x ab. Also wird es 0. Ich schreibe das der Vollständigkeit zweimal noch mal hin.

Und das ganze ist dy. Und jetzt sehe ich das ich das y hier wegkürzen kann. Also habe ich ein relativ einfaches Integral. 1 bis 2. E hoch xy dy. Da kann ich die Stammfunktion bilden. Also es ist g Strich von x gleich 1 durch x.

E hoch xy. Also wieder die Stammfunktion. Muss man sich immer überlegen. Ist die Umkehrung des Ableitens. Das heißt wenn ich das hier ableiten würde. Dann würde ich halt wenn ich es nach y ableite. Ein x als innere Ableitung kriegen. Das würde sich mit dem 1 durch x wegkürzen. Und ich wäre wieder da. Also man muss dann halt so ein bisschen andersrum denken.

Und das ganze in den Grenzen von y gleich 1. 1 bis y gleich 2. Jetzt ergibt sich hier ein Problem. Und zwar für x gleich 0. x war ja aus R. Das heißt ich muss eine Fallunterscheidung machen. Betrachten wir jetzt einfach mal erstmal den Fall x ist nicht 0.

Ja das kriege ich hier noch hin. Unterscheidung. x und gleich 0. Dann kann ich das berechnen. G Strich von x ist gleich 1 durch x.

Und dann setze ich einmal für das. Genau. Für das y die 2 ein. Also e hoch 2y. Minus e hoch einmal y. Also e hoch y. Quatsch e hoch x. Entschuldigung e hoch 2x.

Jetzt bin ich auch schon durcheinander. Also ich soll ja für das y hier 2 und 1 einsetzen. Also e hoch 2x. Da bin ich fertig. Und für x gleich 0. Da muss ich nochmal einen Schritt zurück gehen. Und zwar muss ich da nochmal hier an diese Stelle gehen. Also ich berechne nochmal 1 durch 2.

Und setze hier jetzt schonmal das x gleich 0 ein. Dann habe ich e hoch 0 dy. Das gibt 1. Stammfunktion von 1 ist y. Wenn ich es nach y integriere. Von 1 nach 2. Und da kommt raus 2 minus 1 ist also gleich 1. Jetzt an diesem einfachen Beispiel nochmal.

Wenn ich jetzt eine Konstante hätte. Also eine Integrationskonstante y plus c. Kann ich ja hinschreiben. Dann stellen wir hier 2 plus c. Minus 1 minus c. Und dann ist das c wieder weg. Okay. Soweit Fragen?

Gut, dann haben wir noch fast 10 Minuten Zeit. Und ich kann noch das weitere Beispiel machen. Das ist jetzt ein bisschen schwieriger. Nachzuvollziehen. Ich versuche das zu erklären.

Beispiel 5. 8. 11. Sieht eigentlich erstmal ganz harmlos aus. Und zwar g von x ist genau die gleiche Funktion. Wie eben. E hoch x. Y. Minus e hoch y.

Durch y. D y. Aber jetzt steht hier nicht von 1 nach 2. Sondern hier steht x plus 1. Und hier steht x² als Grenze. Und x sei aus 0 bis unendlich. So, was kommt da raus? Jetzt ist halt das Problem,

dass ich das jetzt nicht mehr so machen kann. Dass ich einfach die partielle Ableitung bilde. Und dann integriere. Weil halt diese Grenzen. Also wenn man das so versuchen würde. Dann hätte man das Problem, dass dann hinterher was steht, was man nach dy integriert. Wo man dann halt x-Grenzen einsetzt.

Also das geht so nicht. Und da gibt es jetzt folgende Vorgehensweise. Definiere. G. Das soll eine Funktion sein. Aus 0 bis unendlich hoch 3 nach r. Also das heißt einfach, ich habe hier drei Parameter, die von 0 bis unendlich gehen.

Oder wenn es sich um ein Koordinatensystem, ein dreidimensionales Koordinatensystem, dann ist das ein unendlicher Würfel, der in einem Quadrant liegt. Ja, genau. Also dreidimensional. Und zwar, jetzt schreibe ich G als, das soll U sein. G, U, V.

Als. Und jetzt nenne ich die Grenzen U und V. Also ich substituiere quasi die Grenzen mit anderen Variablen. Damit ich erstmal formal rechnen kann. E hoch xy, minus E hoch y durch y, dy.

So, jetzt muss ich nochmal die Formel... Gut. Dann ist G von x und, also ich habe ja jetzt statt x plus 1

U geschrieben und statt x Quadrat V. Ich kann also entweder schreiben G von x, x plus 1 und x Quadrat. Oder ich schreibe G von x, U und V. Das Äquivalent. Und das ist ein verkettetes G, nämlich ein G von einem F von x

mit F von x ist gleich... Also x, ich mache mal einen Strich drunter. Das ist halt jetzt ein Vektor. x, U, V. Beziehungsweise, wenn man das wieder mit dem Prolinom schreibt, x, x plus 1 und x Quadrat. Warum mache ich das? Weil ich hier

jetzt mit der mehrdimensionalen Kettenregel arbeite. Und zwar, wenn ich ableite. Die will ich nochmal wiederholen. Das war, also Wiederholung. Das war der Satz 5-5-13.

Das ist die mehrdimensionale Kettenregel. Und zwar D

F verkettet mit G an der Stelle x, 0. Also natürlich wieder Voraussetzung, stetig und so weiter. Ist gleich D, F von G von x, 0 mal D, G von x, 0. Also dieses D ist halt die Ableitung. Das heißt, das ist wieder einfach

nur äußere Funktionen ableiten, mal die Funktion, die innen steht, ableiten. So, das ist die Wiederholung aus dem Kapitel der Differenziation. So, hier haben wir jetzt ein G-Strich, was wir ja ausrechnen sollen. Also es geht darum hier

oben nochmal G-Strich von x ist gleich Fragezeichen. Das suche ich. Oder, ja doch, kann ich so schreiben.

Nee, nee, also das suche ich nicht. Das ist falsch. Ich suche das halt in der Regel. Also in der Regel selber, da muss ich halt, die steht jetzt hier auch nochmal nicht mehr, die sollte ich vielleicht nochmal kurz hinschreiben. Also machen wir das hier mal weg und schreiben einfach die Regel nochmal hin. Also das war der Satz

589, Differenzierung von Parameterintegralen. x-Strich ist gleich D, G von x nach D, x ist gleich Integral und ich schreibe jetzt nur ich schreibe das jetzt nicht mit dem partiellen 1, sondern ich schreibe gleich D nach D, x F von

x, y D, y Also hier ist jetzt G-Strich von x ist gleich D, G nach D, x von x ist gleich

und jetzt kommt halt hier diese mehrdimensionale Kettenregel D, G von x D, F von x und ich unterstreiche die x, weil das Vektoren sind und das ist gleich dem Gradienten der Funktion und jetzt schreibe ich mal die Argumente

als u, v und w x, u, v x, u, v war das x, u und v genau, also 3 Argumente und dann halt, wir wissen ja eine Funktion also x1, x2, x3 oder x, y, z oder wie auch immer

das ist der Gradient der Funktion mal die Ableitung von dem D, F von x und das hier das ist halt das D, G von F von x beziehungsweise das D von G verknüpft mit F

was hier oben in diesem Satz steht das ist das G-Strich das schreibe ich also so hin so was muss ich jetzt machen, also wie gesagt das ist wirklich ein etwas schwieriges Beispiel ich muss halt diesen Term hier ausrechnen und diesen Term, also das Schwierige sage ich jetzt mal vorab ist dieser Term und da muss ich es ausrechnen

ich nehme mal ein neues Blatt mit F aus 0 bis unendlich nach

R3 ist F von x gleich x und x plus 1 und x2 also das ist das was ich dann in das G hinter einsetze und jetzt berechnen wir halt diesen schwierigeren Term den Gradienten von x u und v da schreibe ich jetzt erstmal formal hin, das ist kein Problem

das ist nämlich D nach dx von G von x u und v und D nach du von G von ich sehe die Zeit läuft weg ich habe gedacht ich schaffe das noch ich schreibe eben diesen Term zu Ende

und bitte den Herrn Haller-Dindlmann, der nächste Woche wieder weitermacht das hier an dieser Stelle weiterzurechnen vielleicht schreibt er dann noch die zwei Schritte davor nochmal an weil es würde jetzt nochmal 10 Minuten dauern bis ich das richtig erklärt habe, also vielen Dank