Präsentiert von Open Learnware, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. Guten Morgen dann erstmal an euch. Man hört es nicht so besser. Ja, ich denke, so ist es wesentlich besser. Also dann guten Morgen an euch. Ich bin von der Fachschaft Informatik und wollte ein bisschen Werbung machen,

dass wir noch Ohrphasen Tutoren suchen für das kommende Wintersemester. Also Tutorenwerbung. Was bedeutet eigentlich Tutor sein? Für euch bedeutet das, ihr betreut eine Kleingruppe. Und helft unter anderem, wenn ihr denn möchtet, beim Ablauf der Ohrphase mit.

Das bedeutet, ihr macht Stationsleiter bei diversen Spielen, die ihr selbst kennt, wie Unirelie, Geländespiel. Habt ihr bestimmt in eurer Ohrphase auch mal mitgemacht. Dann für die Klausuraufsicht und die Korrektur für die Ohrphasenklausur, die wir da schreiben. Dann brauchen wir Frühstückshelfer, die das Frühstück mit aufbauen.

Das impliziert natürlich auch für alle Tutoren gleichzeitig ein kostenloses Frühstück. Dann brauchen wir ganz viele Leute, die auch Workshops halten für unsere Erstsemester. Und wir brauchen auch ein paar Leute, die sich zutrauen, eine Kneipentour zu leiten durch Darmstadt. Dann, was ist toll am Tutor sein? Ganz wichtig ist, ihr lernt ganz viele nette Leute, tolle Leute kennen.

Denn ihr macht der Tutor nicht alleine, sondern zu zweit. Ihr habt sehr viel Spaß in der Ohrphase. Ihr könnt euch selbst darum kümmern, Sachen, die in eurer eigenen Ohrphase nicht so gut waren, besser zu machen. Und besteht auch mal auf der anderen Seite in der Ohrphase.

Und nicht nur als Ersti, sondern auch mal auf der Seite des Tutors. Ich denke mal, jeder nimmt die Ohrphase anders auf, damals seine eigene. Jetzt noch ein paar Einblicke für euch, was ihr so macht. Ihr zeigt den Erstsemestern die Uni. Das ist ein Bild aus der Ohrphase vor zwei Jahren.

Dann macht ihr Kleingruppenarbeit. Das ist der Punkt, wo ihr den Erstsemestern das Studium erklärt, wie es abläuft, was es so gibt. Dann die diversen Spiele. Das ist ein Auszug vom Geländespiel. Auch, ich glaube, von vor zwei Jahren. Was müsst ihr mitbringen? Ganz wichtig, gute Laune und Motivation.

Ihr müsst ein bisschen Zeit mitbringen, nämlich für eine Schulung. In dieser Schulung lernt ihr einmal den Umgang mit Erstsemestern. Ihr bekommt noch mal die Ohrphase-Inhalte beigebracht. Und ihr bekommt auch noch mal die Studienordnung der neuen Erstsemester, erklärt bis ins kleinste Detail, damit ihr dort auch Fragen beantworten könnt.

Und ganz, ganz wichtig natürlich, ihr müsst Zeit haben in der Woche der Ohrphase. Das ist vom 10. Oktober bis 14. Oktober in diesem Jahr. Wenn ihr dann Interesse habt, könnt ihr euch online bewerben dafür. Den Link zu ist www.d120.de slash tutorialanmeldung.

Und ansonsten, falls ihr noch weitere Informationen haben möchtet oder ähnliches, schreibt einfach eine E-Mail an ohrphase.de 120.de. So, dann also auch noch von mir guten Tag und herzlich willkommen.

Wir waren letztes Mal in die Anfangsgründe der gewöhnlichen Differentialgleichung eingestiegen. Und das erste Beispiel, mit dem ich Ihnen ein bisschen erzählen wollte,

was eigentlich eine Differentialgleichung ist, war das einfachste Wachstumsmodell y' von T mit der Idee, dass eine Population von was auch immer umso mehr wächst, je mehr schon da ist. Das Wachstum ist proportional zur Größe der Population.

Und wir hatten gesehen, was sie da rauskriegen dann als Lösungen, sind exponentielle Wachstumsfunktionen. Also, die Wirtschaftsinformatiker denken an ein Zinswachstum. Der Zuwachs ist proportional dazu, wie viel von da ist. Klassisches Zinswachstum und was dabei rauskommt, ist eben exponentielles Wachstum.

Und dann hatte ich gesagt, dass es aber viele Bereiche gibt, wo so ein ungebremstes exponentielles Wachstum einfach unrealistisch ist und dass man jetzt das Wachstumsmodell natürlich beliebig verfeinern kann.

Und ich hatte Ihnen ein anderes mitgebracht. Das war das logistische Wachstumsmodell, bei dem man davon ausgeht, dass es eine Grenzpopulation gibt, die höchstens erreicht werden kann.

Die hatte ich auf 1 gesetzt, wie 100 Prozent. Und dass eben das Wachstum zum einen proportional ist zur Menge der Population, die schon da ist, und dann eben auch proportional zu diesem Abstand vom Sättigungsgrad, also zur maximal möglichen Population.

Und die DGL, die dabei rausgekommen war, war dann y' von t, ist µ, die gleiche Konstante wie gerade eben, mal y von t, mal 1 minus y von t. Und im Gegensatz zu der ersten Gleichung vom exponentiellen Wachstum

fällt es bei der Gleichung jetzt ungleich schwerer, eine Lösung explizit zu raten. Ich weiß nicht, wer es mal probiert hat seit Dienstag, ohne jetzt im Skript vorzublettern, sondern einfach nur per überlegen und raten, kommt man da eigentlich nicht so leicht drauf.

Wir werden nächste Woche ausrechnen, die Lösung, oder vielleicht sogar heute noch. Aber im ersten Moment, ohne Hilfsmittel sieht das schwierig aus. Aber ich will Ihnen zeigen, und das ist was, was ganz wesentlich ist, wenn man mit Differentialgleichung zu tun hat, dass man trotzdem, auch wenn man sie nicht lösen kann,

die wenigsten Differentialgleichungen kann man explizit lösen. Stellen Sie sich vor, das Strudeln von Wasser. Also wenn Sie irgendein See haben, und jetzt fährt da ein Schiff durch, und die Schiffsschraube dreht sich, wie das Wasser sich jetzt bewegt, das ist durch eine Differentialgleichung beschrieben. Aber Sie werden garantiert nicht versuchen wollen, explizit diese Lösung auszurechnen.

Da sind so viele Strudeln und Turbulenzen drin, das ist komplett hoffnungslos. Aber man kann eben der Gleichung sehr oft Eigenschaften der Lösung ansehen, ohne die Lösung auszurechnen. Und das will ich an diesem Beispiel mal ein bisschen mit Ihnen diskutieren.

Dazu schauen wir uns diese Gleichung mal an und stellen fest, das ist eine autonome Differentialgleichung. Was hieß nochmal autonom? Autonom hieß, die hängt von y ab, die rechte Seite, aber nicht von t explizit.

Also die hängt von y von t ab und natürlich auch von t, aber nicht noch von t einzeln. Und in dem Fall lohnt es sich immer, sich die rechte Seite mal anzuschauen, als Funktion von diesem y. Also Sie nehmen sich in die Funktion f von r nach r und die setzen Sie gleich dieser rechten Seite.

Also f von x ist µ mal x mal 1 minus x. Das ist die rechte Seite der Gleichung. Halt überall, wo y von t steht, x eingesetzt. Und die malen wir uns mal hin. Dann haben wir hier 1. Wenn Sie sich die Funktion f angucken, was ist das?

Das haben wir uns mal ausmultipliziert. Das ist eine nach unten geöffnete Parabel. Minus x² plus µx. Minus µx² mit plus µx. Und klar ist an den Stellen 0 und 1 ist das Ding 0. Das sieht man auch. Also das hat qualitativ die Folgen geformt.

Das ist eine nach unten geöffnete Parabel, die 0 und 1 0 ist. So, das ist das f. Und in diesem f sehen Sie ganz, ganz viel über die Gleichung und über die Lösung der Gleichung. Weil man muss sich klar machen, was ist die Gleichung? Die Gleichung ist y' von t ist f von y von t mit diesem f.

Das heißt, das f sagt Ihnen, gegeben die Populationsgröße y ist f von y die Änderung der Populationsgröße in diesem Moment. Und jetzt kann man mal verschiedene Fälle durchspielen.

Zum Beispiel stellen Sie sich mal vor, Ihre Population hat am Anfang die Größe ¼, also 25%. Das heißt nicht, es gibt ein Viertel Individuum, sondern das heißt 25% der Grenzpopulation. So, was passiert jetzt? Ein Viertel liegt ungefähr hier.

Also wenn Ihre Population die Größe ¼ hat, dann ist f von diesem y positiv, das heißt y' ist positiv. y' an der Stelle 0, y' an der Stelle 0 ist y von ¼, ist f von y von ¼.

Die Ableitung an dieser Stelle ist positiv, also hier ist ¼, da ist 1, da ist ¼. Die Funktion ist in 0, ¼ an dieser Stelle, aber mit einer positiven Ableitung, das heißt die steigt. Und wenn jetzt der Wert von y dadurch wächst, dann rutschen Sie auf dem Bild hier oben, von dem ¼ weiter nach rechts.

Und die Ableitung wird, und das f wird noch größer. Die Ableitung von y wird noch größer, das heißt das Wachstum von y verstärkt sich sogar im Laufe der Zeit, bis Ihre Population 50% der Grenzpopulation erreicht hat.

Dann bleibt f von y positiv, das heißt die y' bleibt positiv, aber das y' wird langsam wieder kleiner, das Wachstum schwächt sich ab. Was Sie also kriegen, ist, und das ist jetzt natürlich nur eine qualitative Größe, ich kann Ihnen jetzt keine Formeln schreiben, aber Sie kriegen einen Wachstumsprozess, der sich verstärkt, bis Sie bei ½ sind.

Und ab ½ bleibt es ein Wachstumsprozess, aber das Wachstum wird immer schwächer. Und je näher Sie 1 kommen, desto geringer wird das y-Strich, desto kleiner wird die Ableitung. Die Ableitung geht gegen 0, und Ihre Population nähert sich asymptotisch der 1 an.

Also was Sie kriegen, ist ungefähr so ein Kurvenverlauf, das kann nur ein ungefähr sein, weil wir es natürlich nicht genau ausgerechnet haben im Moment. Und Sie kriegen, wenn Sie die Zeit nach unendlich laufen lassen, wird die Bevölkerung oder die Population sich der Grenzpopulation 1 annähern. Das ist alles nur aus diesem Bild von dem f gezogen, ohne das Ding konkret zu lösen.

Und so kann man jetzt noch ein paar andere Fälle durchspielen. Was passiert, wenn Sie bei ¾ starten, was passiert, wenn Sie y von 0 gleich ¾ setzen,

dann starten Sie hier oben. Bei ¾ ist f von ¾ positiv, das heißt, die Funktion wächst, aber das Wachstum wird immer geringer und Sie kriegen auch wieder so eine asymptotische Entwicklung gegen ein.

Was können Sie noch machen? Sie können mal genau mit der Grenzpopulation starten. Was passiert, wenn Sie y von 0 gleich 1 setzen? Was bedeutet das?

Sie sitzen am Anfang hier in der 1, und was ist die Änderung Ihrer Populationsgröße, wenn ihr y1 ist, f von 1 ist 0, die Population ändert sich nicht, sie bleibt 1. Und dadurch ändert sie sich auch in Zukunft nicht und bleibt 1 und bleibt 1 und bleibt 1

und Sie haben einen sogenannten Gleichgewichtszustand. Wenn Sie genau mit der Grenzpopulation starten, dann bleibt die für alle Ewigkeiten erhalten. Ein Gleichgewichtszustand oder sowas nennt man auch eine stationäre Lösung, weil sie eben in der Zeit stationär ist und sich nicht ändert.

Wenn Sie sich die Gleichung angucken, da stehe ich jetzt nicht mehr da, schreiben wir sie nochmal hin, also y von t mal 1 minus y von t mal µ, dann sehen Sie auch, wenn Sie die Funktion konstant 1 nehmen, dann steht auf der linken Seite der Gleichung y' also die Ableitung der Funktion konstant 1 ist 0

und auf der rechten Seite der Gleichung steht 1 mal 0 mal µ steht auch 0, das ist eine Lösung. So, wenn wir jetzt schon das alles haben, haben wir noch eine Farbe übrig. Können wir nochmal bei 3½ starten. Mag im ersten Moment seltsam erscheinen, aber mathematisch natürlich sinnig.

Also wir starten mit einer Überbevölkerung. Was passiert dann? Schauen Sie sich Ihr f an. Wenn Ihre Population 3½ groß ist, dann ist y' f von 3½. Y von 3½ ist negativ.

Das heißt, die Population nimmt ab. Und zwar nimmt sie immer langsamer ab, je näher sie an 1 kommen. Und Sie kriegen das gleiche Bild wie von unten jetzt von oben. Also die nimmt ab, aber geht langsam auf die 1 zu und nähert sich von oben der 1. Und so sehen Sie, kann man das qualitative Verhalten der Lösung an der Gleichung ablesen,

ohne die Gleichung überhaupt zu lösen. Und wenn die Gleichung komplizierter wird, ist das noch das einzige, was Sie noch machen können. Weil Sie die Gleichung entweder numerisch lösen können oder eben so qualitativ behandeln. Aber Sie werden bei komplizierteren Gleichungen nicht mehr schaffen, die explizit auszurechnen.

Und was man bei dieser Gleichung hier sieht, ist ein Effekt, den man der autonomen Gleichung ganz allgemein eigen ist. Alle Lösungen, die ich Ihnen jetzt hier hingemalt habe, sind monoton. Monoton wachsend oder monoton fallend. Auch diese Konstant-1-Lösung ist in unserem Sinne eine monoton wachsende und eine monoton fallende Funktion.

Und das ist was, was autonome Gleichungen prinzipiell auszeichnet. Und das habe ich Ihnen als Übungsaufgabe mitgebracht. Achtung, die ist aber ein bisschen knackig.

Wenn Sie eine autonome Gleichung haben, also Sie haben eine rechte Seite F der Differential-Gleichung, die von R nach R geht und stetig ist, dann kann man zeigen, dass jede Lösung immer monoton ist. Also jede Lösung der Differential-Gleichung Y' von T gleich F von Y von T, also eine autonome Gleichung,

so wie unsere zum Beispiel da oben, unser logistisches Wachstumsmodell. Jede Lösung dieser Gleichung ist entweder monoton fallend oder monoton wachsend.

Da ist durchaus beinhaltet, dass sie auch konstant sein kann. Das ist dann auch monoton fallend und monoton wachsend sogar. Man kann sogar, wenn man sich wieder das Bild von oben vor Augen führt, ganz allgemein sagen, was sind konstant, was sind stationäre Lösungen von autonomen Gleichungen.

Wenn Sie irgendeine autonome Gleichung haben, können Sie mir das F hinmalen und stationäre Lösungen kriegen Sie an allen Nullstellen von F. Überall da, wo F null ist, haben Sie diesen Effekt, wenn Sie mit einer Größe starten, wenn Sie genau diesen Wert haben, dann ist immer Y' gleich F von Y.

Wenn Sie genau diese Größe haben, ist Y' null und die Lösung bleibt stationär. Also Sie haben bei unserem Beispiel von hier oben, dieses logistische Wachstumsmodell hat genau zwei stationäre Lösungen. Die eine haben wir schon gefunden, nämlich eins. Wenn Sie mit der Grenzpopulation starten, bleibt die für alle Ewigkeiten erhalten

und sie hat noch eine aus der Logik des Modells sehr sinnvolle stationäre Lösung, nämlich null. Wenn Sie mit einer Population null starten, dann kann sie sich so lang vermehren, wie sie will, die bleibt null. Das ist die zweite stationäre Lösung.

So, wie gesagt, wir werden nachher eine explizite Lösung für dieses logistische Wachstumsmodell noch ausrechnen. Das war jetzt nur um Ihnen zu zeigen, man kann auch schon sehr viel sehen, ohne explizit zu rechnen. Und ich will diesen Einführungsabschnitt jetzt abschließen mit der formalen Definition, was eine Differentialgleichung ist.

Genauer gesagt, was ein Anfangswertproblem ist. Wir hatten gesehen, wenn Sie eine Differentialgleichung haben, wie zum Beispiel unser exponentielles Wachstumsmodell am Anfang, dann hat die meistens ziemlich viele Lösungen, im Allgemeinen und Endlich viele.

Hier haben Sie den Effekt auch wieder beim logistischen Wachstumsmodell. Je nachdem, welchen Anfangszustand Ihre Population hat, kriegen Sie verschiedene Lösungen. Das heißt, dieser Anfangszustand ist eine ganz wichtige Größe, wenn Sie Differentialgleichungen haben. Und dementsprechend definieren wir jetzt sogenannte Anfangswertprobleme.

Ein Anfangswertproblem ist immer eine Differentialgleichung zusammen mit einer Anfangsbedingung. So, und das mache ich jetzt einmal in der allgemeinen Form. Also Definition 1, 9.

Wir haben eine Differentialgleichung der Ordnung n. Also n ist eine natürliche Zahl, nab ist da nicht 0. Sie haben ein Intervall, Teilmenge r. Sie haben einen Zeitpunkt t0 im Intervall. Das ist der Zeitpunkt, zu dem Sie den Anfangszustand vorschreiben wollen.

Und Sie haben die rechte Seite der Gleichung, groß f. Ich schreibe jetzt wieder groß f, weil ich eine Gleichung n der Ordnung habe. Also hat es groß f n plus 1 Variable nach r. Und die setzen wir mal wieder von vorneherein stetig voraus.

Und dann brauchen Sie, bei einer Gleichung 1 der Ordnung haben wir gesehen, brauchen Sie einen Anfangswert für die Funktion selbst. Also bei unserem logistischen Werkstumsmodell mussten wir y von 0 vorschreiben. Und dann haben wir eine Lösung gekriegt. Wenn Sie eine Gleichung n der Ordnung haben,

dann haben Sie n Freiheitsgrade, im Prinzip die n Integrationskonstanten, diese einsammeln, wenn Sie die Gleichung n mal integrieren. Sie haben eine Gleichung n der Ordnung. Um an die n der Ableine zu kommen, müssen Sie im Wesentlichen n mal integrieren. Und das gibt jedes Mal eine Integrationskonstante. Und das gibt jeweils ein Freiheitsgrad. Und um die wieder festzutackern, brauchen Sie n Anfangsbedingungen.

Und die sind gegeben durch n reelle Zahlen, y0, y1 bis yn minus 1 aus r. Sie können sich jetzt fragen, warum ich so komisch von 0 bis n minus 1 und nicht von 1 bis n nummeriere.

Im Grunde sehen Sie gleich. So, und jetzt ist das Anfangswertproblem, das oft abgekürzt AWP, gegeben erst mal durch die Differentialgleichung n der Ordnung, also n der Ableitung von y bis gleich rechte Seite f, die darf abhängen von t und von allen niedrigeren Ableitungen von y,

also der ersten, der zweiten bis zur n minus ersten. Das ist irgendeine Funktion in den ersten n minus 1 Ableitungen von y. Das ist Differentialgleichung, die muss für alle t in i gelten. Das hatten wir ganz am Anfang schon mal.

Darunter können Sie jetzt jede Differentialgleichung n der Ordnung fassen. Und dann kriegen Sie Anfangswerte. Und was Sie machen müssen, ist, Sie müssen die Funktion y an der Stelle t0 vorschreiben, und zwar als y0, aber eben nicht nur den Funktionswert an der Stelle t0,

sondern auch den Wert der ersten Ableitung, der zweiten Ableitung, der dritten Ableitung usw. Also Sie müssen den Wert der J-Ableitung vorschreiben, und der soll yj sein, für j gleich 0, 1, 2 bis n minus 1.

So, das Ding nennt man ein Anfangswertproblem. Ein Anfangswertproblem, also Anfangswert, weil eben die Funktion y zum Anfangszeitpunkt t0 werden die Werte und die Werte der Ableitung vorgeschrieben. Und ein Problem nennt man es, weil es eine DGL ist,

DGLs sind immer Probleme, also das ist ein Anfangswertproblem, und die Zahlen y, j heißen Anfangswerte, also y0 bis y n minus 1. Und was Ihnen normalerweise gegeben ist, ist die Gleichung,

und ist der Anfangszeitpunkt t0, und ist die Anfangswerte von y0 bis y n minus 1, die Ihnen eben beschreiben, wie sieht Ihr System zum Startzeitpunkt aus, und gesucht ist die Funktion y, die Ihnen sagt, wie entwickelt sich das System weiter, wenn Sie jetzt die Zeit von t0 ablaufen lassen.

Und diese Funktion, die sich da entwickelt, wenn Sie die Zeit laufen lassen, das ist natürlich das, was man dann die Lösung des Anfangswertproblems nennt, und auch das will ich Ihnen noch definieren, was heißt genau Lösung, auch da ist nämlich noch eine technische Feinheit drin. Also was ist eine Lösung? Gehen wir es mal ganz logisch an,

der Anfangspass muss eine Lösung sein, die Lösung muss eine Funktion sein, die im Prinzip auf unserem Intervall i lebt und nach r geht und die ganzen Gleichungen da erfüllt, und ich füge jetzt aber trotzdem nochmal ein neues Intervall j ein, also es ist eine Funktion von j nach r, die folgendes erfüllt,

die muss, eigentlich sollte sie auf i definiert sein, sondern wir werden innerhalb kürzester Zeit feststellen, dass es sehr viele Differentialgleichungen gibt, die Sie auf einem großen Intervall i hinschreiben können und sogar auf i gleich ganz r hinschreiben können, und dann machen Sie ein Anfangswertproblem dazu und lösen das und stellen fest,

die ganze Gleichung macht Sinn auf r und die Lösung existiert zwischen minus eins und eins und daraus halt nicht mehr. Kann passieren, dass eine Lösung nur auf einem kleinen Teil Intervalle existiert und deswegen müssen wir hier noch ein kleines j oder ein j einführen, also wir sagen, dass y ist eine Lösung, wenn es auf einem offenen Intervall j definiert ist,

dass eine Teilmenge von i ist natürlich, weil nur auf i gibt es die Gleichung, und was wir noch brauchen, damit der Anfangswert Sinn macht, unser Anfangszeitpunkt t0, der muss natürlich im j liegen, also damit Sie eine Lösung haben,

brauchen Sie ein Intervall, das das t0 enthält, auf dem die Lösung existiert, was brauchen Sie noch? Die Lösung soll die Differentialgleichung lösen, damit sie das tun kann, sollte sie bitte schön n-mal differenzierbar sein. Eine Funktion, die nicht n-mal differenzierbar ist, hat Schwierigkeit, eine Lösung da oben zu sein, weil keiner weiß, was die n-te Ableitung von y soll sonst sein soll,

also wir wollen, dass unsere Lösung n-mal stetig differenzierbar ist auf dem Intervall j, naja und drittens soll sie bitte schön lösen, also sie soll die n-gleichung da oben erfüllen. Das da oben sind n-gleichungen, warum sind das n-gleichungen?

Da ist zum einen die Differentialgleichung, das ist die erste, und dann haben Sie n-1-gleichungen für die Anfangswerte. Sie haben sogar n-gleichungen für die Anfangswerte, also es sind sogar m-plus-1-gleichungen. Und jede solche Funktion nennt man eine Lösung des Anfangswertproblems.

Und das ist jetzt erstmal eine Definition, und es kann Ihnen durchaus passieren, dass Sie sich ein Anfangswertproblem hinschreiben, wenn es überhaupt keine Lösung hat. Nein, in dem Sinne nicht, aber das kommt später. Es kann Ihnen passieren, dass es unendlich viele Lösungen hat.

Das ist damit noch gar nicht gesagt. Das ist mal die Mindestvoraussetzung, die wir an einer Lösung haben. Sie soll so sein, dass die Gleichung zumindest vernünftig definiert ist, dass alles, was in der Gleichung drin steht, für diese Funktion Sinn macht. So, und da hatte ich gesagt, wir brauchen dieses Intervall j, weil Sie im Allgemeinen keine Lösung auf i kriegen.

Wenn Sie eine Lösung auf ganz i kriegen, ist das ein besonders schöner Fall, und deswegen kriegt das einen besonders schönen Namen. Also wenn Sie tatsächlich eine Lösung kriegen, die auf dem ganzen Intervall lebt, auf dem auch die Differenzialgleichung lebt, also wenn Sie j gleich i wählen können, dann heißt die Lösung eine globale Lösung.

Für die Differenzialgleichung ist das i das Universum, in dem sie lebt.

Und zum Teil gibt es nur Lösungen auf Teilintervallen, aber wenn es auf dem ganzen Intervall eine Lösung gibt, dann nennt man die global. So, das mit diesem j mag Ihnen im Moment noch ein bisschen esoterisch erscheinen, aber hoffentlich am Ende dieser Vorlesung, spätestens Anfang der nächsten,

werde ich Ihnen ein Beispiel zeigen, wo das j essenziell wichtig ist. So, das ist so Anfangsgeplänkel zum Thema Differenzialgleichung gewesen. Wir wissen jetzt, was eine Differenzialgleichung ist, wir wissen, dass es ein Anfangswertproblem ist, wir wissen, was eine Lösung ist, aber die drängende Frage ist, wie kommt man an die Lösungen ran?

Und die klare Antwort ist im Allgemeinen gar nicht. Also wenn Sie sich eine gewöhnliche Differenzialgleichung hernehmen und die jetzt nicht gerade zufällig in einer von den drei, vier geschickten Klassen ist, wo es einen Trick gibt, den man ausrechnen kann, dann kriegen Sie die Lösung halt gar nicht.

Es ist ein weites Feld für Numerik, die Lösung von Differenzialgleichung näherungsweise zu bestimmen, ein Bereich, in dem sicher einige von Ihnen auch mal was tun werden, weil das ist klassische Anwendung für die Software, gute Nährungssoftware, gegeben die Gleichung, gegeben der Anfangswert,

spucken wir mal eine gute Näherung für die Lösung aus. Und trotzdem gibt es ein paar Sorten von Differenzialgleichungen, wo man eine Chance hat, eine Lösung auszurechnen. Und damit es am Anfang konkret ist, fangen wir damit an

und schauen uns sogenannte elementare Lösungsmethoden an. Also Methoden, mit denen man auf Differenzialgleichungen losgehen kann, die wirklich dann explizit eine Lösung liefern. Naturgemäß wird es zumindest mit Papier und Bleistift nur klappen,

wenn die Gleichung kürzer ist als eine halbe Seite. Und auch eben nur bei speziellen Formen der Gleichung. So, und das erste, was ich Ihnen zeigen will, sind sogenannte Gleichungen mit getrennten Veränderlichen.

Und ein schönes Beispiel dafür, deswegen passt das jetzt gut, ist unser logistisches Wachstumsmodell. Also legen wir damit los.

Und vielleicht sollte ich erst kurz sagen, was heißt das getrennte Veränderliche? Warum getrennt? Getrennte Veränderliche heißt, Sie haben normalerweise, wenn Sie sich eine DGL erster Ordnung anschauen, dann hatte diese Form y' eine Funktion von T und y von T.

Und jetzt kann diese Funktion beliebig wild sein. Die könnte sein, T mal y von T wäre eine schöne einfache, aber die kann eben auch sein, Sinus von T plus Argus tangens von T mal y von T hoch 7, also irgendeine Funktion von T und y drin auftauchen. Und man sagt, dass diese Funktion eben von getrennten Veränderlichen ist,

wenn Sie diese Abhängigkeit nach T und nach y multiplikativ trennen können. Also wenn Sie das schreiben können als eine Funktion g, die nur von T abhängt, mal eine Funktion h, die nur von y abhängt. Mit einer multiplikativen Verknüpfung dazwischen. Dann haben Sie die Variablen getrennt.

Das ist sozusagen die Idee. Also hier ist die Trennlinie, links ist alles, was von T abhängt und rechts ist alles, was von y abhängt. Das sind getrennte Veränderliche. Und das ist eine große Klasse von Differentialgleichungen, bei denen es einen Standard-Trick gibt, der Ihnen Lösungen liefern kann, wenn Sie die auftretenden Integrale lösen können.

So, und ein Beispiel dafür ist eben unser logistisches Wachstumsmodell. Drehen wir uns die gleich nochmal hin und überlegen uns, warum die von getrennten Veränderlichen ist. y' von T war was?

War µ mal y von T mal 1 minus y von T. Und die ist autonom und damit trivialerweise von getrennten Veränderlichen, weil die Funktion g, die von T abhängt, gibt es einfach nicht. Die hängt nur von y ab.

Also das heißt, Sie nehmen das hier als h von y und g von T ist konstant 1. Also die ist trivialerweise von getrennten Veränderlichen, weil die eine Veränderliche taucht gar nicht auf. Also jede autonome Gleichung ist insbesondere eine von getrennten Veränderlichen.

So, und was wir jetzt machen ist, wir gehen einfach mal, das ist auch so ein ganz typischer Ansatz, wenn Sie versuchen, Lösungen rauszukriegen. Sie gehen mal davon aus, Sie haben eine. Also Sie haben eine Lösung. Ich nehme es mal auf dem Intervall 0 und endlich, nur mit der Idee, dass wir zum Zeitpunkt T gleich 0 eben starten.

Sie haben eine Lösung auf dem Intervall 0 und endlich nach R und das sei eine Lösung von dieser Differentialgleichung. Ohne zu wissen, ob es überhaupt eine gibt, aber Sie gehen mal davon aus, Sie haben eine und wir wollen noch mehr. Also wir haben gesehen, irgendwie der spannende Bereich unserer Lösung ist der zwischen y zwischen 0 und 1.

Und wir haben irgendwie so die Intuition, wenn Sie mit einer Startpopulation zwischen 0 und 1 starten, das war das Bild von vorhin, dann wird auch die Lösung immer zwischen 0 und 1 bleiben. Also gehen wir mal davon aus, wir haben so eine Lösung.

Die Intervall 0, 1 ist für alle T, die größer gleich 0 sind. Das ist natürlich eine freche Annahme. Weil es ist irgendwie aus der Überlegung von vorher plausibel, dass eine Lösung, die zwischen 0 und 1 startet, da bleibt. Aber bewiesen ist da gar nichts und ob es überhaupt eine Lösung gibt, wissen wir auch nicht.

Aber, und das ist so ein wesentlicher Spruch beim Umgang mit Differentialgleichung, wenn Sie mit Differentialgleichung zu tun haben, heiligt der Zweck die Mittel. Sie brauchen irgendwoher eine Lösung. Das ist das ganze Drama und Dilemma, Sie brauchen eine Lösung.

Sobald Sie eine Idee für eine Lösung haben, ist alles gut, weil nachweisen, das was wirklich eine Lösung ist, ist pumperleinfach. Also setzen Sie in die Gleichung ein und entweder löst es oder es löst nicht. Das Schwierige ist eine, das Schwierige ist ein Orake, eine Idee für eine Lösung zu kriegen. Sobald Sie mal eine Idee haben und sei die noch so vage oder noch so absurd entstanden,

mit noch so viel mathematischer, nicht zulässiger Schweinerei, wenn Sie den Kandidaten haben, dann können Sie es einfach ausprobieren, ob es tut. Und wenn es dann tut, haben Sie gewonnen, weil dann haben Sie eine Lösung. Deswegen, Sie dürfen alles machen, was dazu dient, eine Idee zu kriegen und wenn es nicht mathematisch sauber war, machen Sie halt am Ende eine Probe.

Und das ist etwas, was, wenn man sozusagen aus einer ganz strengen Analysisschule kommt, wenn man mit Differenzärgleichen am Anfang zu tun kriegt, einem irgendwie die Haare aufstellen lässt zum Teil. Aber man muss immer bedenken, was wir hier machen muss nicht sauber sein, wir brauchen nur eine Idee.

Und eine Möglichkeit ist, wir gehen jetzt mal davon aus, wir haben so eine Lösung und gucken mal, was erfüllt die denn dann. Und vielleicht kriegen wir ja was raus, wenn wir eine haben, muss die so aussehen und dann können wir gucken, ob sie es obstitut. Und das ist das, was wir hier machen.

So, also wenn wir so eine Lösung haben, dann ist das Schöne, dann ist die nie 0 und nie 1. Und dann darf ich das, was da rechts steht, y mal 1 minus y, mal durchdividieren. Dann so dient diese ganze Kiste.

Also y' durch y mal 1 minus y. Und das Schöne an diesem Termin ist, wenn y eine Lösung ist, dann ist dieser Ausdruck konstant µ. Der hängt von y gar nicht mehr ab, der ist konstant µ. Und zwar für jedes t größer gleich 0.

So, was müssen wir machen, wir brauchen y. Wir haben eine Differenzärgleichung, wir integrieren das Ding mal. Integrieren Sie mal diese Funktion von 0 bis t.

Wenn Sie die rechte Seite integrieren, das ist der einfache Teil. Wenn Sie die rechte Seite von 0 bis t integrieren, also 0 bis t über µ d tau. Da ist es einfach, konstante mal Intervallänge ist µ mal t.

Ist das tau schon mal aufgetaucht? Wahrscheinlich nicht. Wieder ein neuer griechischer Schnirps. Das ist das griechische t. Weil da sollte sofort der interne Parser anspringen.

Ein Integral von 0 bis t dt macht keinen Sinn. Hinten im Integral, wenn hier ein t steht, die Integrationsvariable ist eine lokale Variable der Prozedur integrieren. Das Außen ist eine globale Variable der Funktion Vorlesung.

Macht keinen Sinn. Das kann nicht gut gehen. Das ist sowas, wo man immer auch selber drauf gucken kann, weil es einem nämlich oft passiert, dass wenn die Integrationsvariable in der Grenze steht, ist irgendwo ein Fehler. Kann nicht sein. Und wenn Sie integriert haben und die Integrationsvariable steht immer noch,

also wenn Sie bestimmt integriert haben mit Grenzen und die Integrationsvariable ist danach immer noch da, auch garantiert ein Fehler. Weil die Integrationsvariable ist eine lokale Variable im Integral, die ist danach weg. Also auch gest oder vorgestern hat jemand im Forum gepostet, dass er irgendwelche Fourier-Koeffizienten ausgerechnet hat und die sei so schrecklich und die würden von n und x abhängen.

Kann nicht sein, ein Fourier-Koeffizient kann nie von x abhängen, weil wenn das x integriert, sind sie weg. Also derjenige, der das gepostet hat, guckt nur seine Fourier-Koeffizienten an. Das kann nicht stimmen, weil ein x kann da nicht mehr drin sein. So, gut. Also deswegen hier die tau.

So, und jetzt wissen wir aber, nu ist gleich diesem Schlorum auf der rechten Seite. Den integrieren wir jetzt auch von 0 bis t. Also das ist dasselbe wie das Integral von 0 bis t. y' von tau durch y von tau 1 minus y von tau d tau.

Das ist einfach die Gleichung genutzt. So, damit es vielleicht ein bisschen übersichtlicher ist, führen wir mal eine Funktion ein. Und zwar die Funktion f von x 1 durch x mal 1 minus x.

Und wenn Sie die hier verwenden, dann wird die Sache etwas übersichtlicher. Dann steht hier Integral von 0 bis t f von y von t mal y' von t. Jetzt mache ich selber hier t von tau, von tau, hier tau.

So, und wenn das so dasteht, Integral über f von Funktion mal Funktion Strich, dann muss ein Reflex anlaufen. Dann muss der Stift schon von selber anfangen, das Wort Substitution hinzuschreiben,

ohne dass das Gehirn überhaupt einspringt. Also was substituieren wir? Wir substituieren x gleich y von tau. Warum? Das ist dann dx nach d tau, ist dann y Strich von tau. Also ist dx gleich y Strich von tau d tau.

Das ist doch perfekt. y Strich von tau d tau steht da oben drin. Also haben wir was? Wir haben mu mal t. Das ist natürlich oben rausgerutscht. Also mu mal t ist gleich diesen Integral, das Sie gerade noch sehen,

wobei bis t integriert wird. Und jetzt substituieren Sie x gleich y von tau. Dann kriegen wir unten, müssen wir die untere Grenze substituieren. Wenn tau 0 ist, dann ist x y von 0. Wenn tau t ist, dann ist x y von t.

Dann haben Sie f von y von t, also f von x. Und y Strich von tau d tau ist einfach dx. Also was jetzt da steht, ist einfach die Stammfunktion von f an den richtigen Grenzen. Dann messen wir das f wieder ein.

y von 0 schreibe ich mal y0. Das ist das, was nachher unser Anfangswert der Gleichung ist. Das y0 bis y von t, was war das f? Das f war 1 durch x mal 1 minus x.

So, jetzt muss man das nur noch integrieren. Jetzt sind wir aus dem Kapitel Differential Gleichung raus. Jetzt sind wir im Kapitel integrieren. Wir integrieren so ein Ding. Und da gibt es einen freundlichen Trick. Und zwar stellen Sie sich vor, dieser blöde Bruch mit dem quadratischen Polynom

da unten, der ist entstanden, als Sie das Zeug auf den Hauptländer gebracht haben. Also was wir jetzt machen müssen, ist das Hauptländer rückwärts. Also die Idee ist, schreibe das Ding irgendwie als eine Summe von einem Bruch mit einem x unten und einem Bruch mit einem 1 minus x unten.

Na ja, jetzt muss man sowieso rumprobieren, dann stellt man fest, in dem Fall tut es das. Wenn Sie es nicht glauben, denken Sie es rückwärts, bringen Sie es wieder auf den Hauptländer. Hauptländer ist x mal 1 minus x. Auf der linken Seite müssen Sie erweitern mit 1 minus x, auf der rechten Seite mit x.

Gibt oben 1 minus x plus x, gibt 1. Der Vorteil davon ist, dass Sie die Summe jetzt beim Integral an der Summe auseinander ziehen können. Und die Stammfunktion von 1 durch x und die Stammfunktion von 1 durch 1 minus x, die kennen Sie.

Also das ist die Stammfunktion von 1 durch x ist der Degrythmus von Betrag x zwischen y0 und y von t. Achtung bei der Stammfunktion von 1 durch x. Die Stammfunktion von 1 durch x ist im Allgemeinen nicht ln von x, sondern ln von Betrag x.

Das geht gern vergessen und führt zu sehr seltsamen Ergebnissen, wenn der Anfangswert falsch liegt. Das Gleiche gilt hier hinten für den 1 durch 1 minus x. Die Stammfunktion davon ist ln von Betrag 1 minus x.

Und auch das x gleich y0 bis x gleich y von t. So, jetzt ist uns natürlich dieser Betrag zu doof und wir müssen uns über den Betrag Gedanken machen. Wir haben gesagt, unser y liegt nach Annahme oder nach unserer Vorstellung immer zwischen 0 und 1.

Das ist immer positiv. Das heißt, egal was wir in diese Logarithmen gleich einsetzen, alles was wir da einsetzen ist positiv zwischen 0 und 1 und damit werden die Beträge in dem Fall wieder weg. Aber wichtig ist eben, sich erst mal hinzuschreiben.

Machen Sie sich das zum Reflex. Wenn Sie die Stammfunktion von 1 durch x hinschreiben, schreiben Sie erst mal ln von Betrag x hin und dann überlegen Sie, warum Sie im Service-Fall eine Betrag weglassen können. Aber diesen Betrag einfach mal so zu vergessen, kann zu unangenehmen Begleiterscheinungen führen.

So, also in dem Fall haben wir keinen Betrag wegen unserer Annahme an das y. Und Sie kriegen ln von y von t minus ln von y0 plus ln von 1 minus y von t. 1 minus y von t ist auch positiv, weil wir gesagt haben, unsere Funktion y ist immer zwischen 0 und 1.

Also ist auch 1 minus y immer positiv und auch hier ist der Betrag nicht mehr da. Minus ln von 1 minus y0. So, jetzt haben wir hier eine lange Schlange von Logarithmen. Die kann man noch sehr schön zusammenfassen, wenn man sich an Rechenregeln für Logarithmen erinnert.

Logarithmus von a plus b ist Logarithmus von a mal b und so weiter. Und dann kriegen wir das alles auf einen großen Logarithmus. Das ist der Logarithmus von y von t.

Da ist ein Minuszeichen verschüttet gegangen. Und zwar hier. Das ist ein Minus. Warum ist das ein Minus?

Wenn Sie die Stammfunktion von 1 durch 1 minus x bilden, kommt der Logarithmus von dem Ding raus mal minus 1 für die innere Ableitung. Da stehen Minuszeichen vor dem x. Wenn Sie es umgekehrt anschauen, leiten Sie ln von 1 minus x ab. Kriegen Sie 1 durch 1 minus x mal minus 1 für die innere Ableitung.

Und dieses minus 1 müssen wir korrigieren. Also habe ich hier geschluss. Muss ich das Minuszeichen durchziehen? Gibt es hier ein Minuszeichen und da ein Pluszeichen. Und jetzt macht das, wo ich hin will. Also ist das der ln von y mal 1 minus y0. Durch im Nenner steht y0 mal 1 minus y von t.

So. Also ich schreibe das, was wir jetzt damit rausgekriegt haben, gerade am Anfang der ersten, nächsten Seite noch mal hin.

Also unser Zwischenstand ist, μ mal t ist der Logarithmus von y von t mal 1 minus y0 durch y0 mal 1 minus y von t.

Was wir aber hier haben wollten, ist das y von t. Und da sieht es noch nicht so gut aus, aber es sieht doch deutlich besser aus als vorher. Wir haben keinen y-Strich mehr. Was wir jetzt nur noch machen müssen, ist diese gleichen nach y auflösen. Und das geht in dem Fall glücklicherweise.

Also machen wir uns dran. Auf beiden Seiten die Exponentialfunktion drauf werfen. e hoch μt ist damit y von t mal 1 minus y durch y0 mal 1 minus y von t. Na ja, dann können Sie den Nenner hochmultiplizieren.

e hoch μt mal y0 mal 1 minus y von t ist y von t mal 1 minus y0. Alles, was mit y von t zu tun hat, auf eine Seite. e hoch μt mal y0 ist gleich y von t mal, von rechts kommt 1 minus y0.

Und was kommt von links dazu? Also e hoch μt y0 steht links und dann gibt es minus e hoch μt y0 mal y von t.

Ich darf die andere Seite bringen, ist das ein Plus? Plus e hoch μt mal y0. So, und jetzt sind wir doch schon nah dran. Jetzt kriegen Sie, was ist y von t? y von t ist e hoch μt mal y0.

Geteilt durch 1 plus y0 mal e hoch μt minus 1. Und wenn sich der Rauch gehoben hat, dann haben Sie jetzt eine explizite Formel für Ihre Lösung y.

y von t ist das, was da rechts steht. Da steht noch y0 drin, das ist aber ganz natürlich und normal, das ist der Anfangszustand. Um die Lösung Ihrer DGL eindeutig festzulegen, müssen Sie sagen, wie viel Population zum Zeitpunkt 0 da ist. Und wenn y0 die Population zum Zeitpunkt 0 da ist, dann ist y von t die Population zum Zeitpunkt t, entsprechend diesem Gesetz.

Das ist die Lösung des logistischen Wachstumsmodells. Zwei Kommentare dazu, also drei. Der erste ist, was man jetzt natürlich checken muss, ist, dass das Ding wirklich eine Lösung ist.

Haben Sie zwei Möglichkeiten zu, entweder Sie setzen es einfach ein und rechnen aus, oder Sie checken, dass diese Funktion echt zwischen 0 und 1 liegt. Weil solange diese Funktion echt zwischen 0 und 1 liegt, war alles, was wir gemacht haben rigoros.

Das sind die zwei Möglichkeiten. Zu checken, dass die echt zwischen 0 und 1 liegt, geht relativ schnell, also das kann man ganz gut machen. Zweiter Kommentar ist der von vorhin. Das Ding raten wäre jetzt nicht mehr so leicht gewesen. Ich weiß nicht, ob jemand da so direkt drauf gekommen wäre.

Und dritter Kommentar, und das ist, finde ich, was sehr bemerkenswert ist. Anhand der Gleichung haben wir so sehr schön und einfach und schnell mit einem Grafen sehen können, was passiert mit dieser Funktion, was passiert mit dieser Lösung?

Wächst die, fällt die? Wir haben gesehen, wenn sie zwischen 0 und 1 startet, dann wird immer der Limes für t gegen unendlich von y von t wird 1 sein. Das ist hier auch so. Aber bis Sie das hier wirklich nachgerechnet haben, haben Sie einige Zeilen geschrieben. Also anhand der Lösung, die Eigenschaften der Lösung zu sehen,

ist im Service Fall schwieriger als anhand des Grafen, der zur Gleichung gehört. Wenn man diese Bilder ein bisschen häufiger angeguckt hat und lesen kann, sieht man sehr viele qualitative Eigenschaften der Lösung am Grafen von der Funktion f, die zum Teil dann sogar schwer anhand der Lösung, wenn man sie explizit hat, nachzurechnen sind.

So, ich habe Ihnen das vorgerechnet als ein Beispiel für eine DGL von getrennten Veränderlichen. Und diese Methode, die ich Ihnen hier vorgerechnet habe, die können Sie im Prinzip ganz allgemein durchxen.

Und das, was dabei herauskommt, zeige ich Ihnen dann jetzt gleich nach der Pause. Keine Sorge, ich xe das jetzt nicht ganz allgemein durch, sondern ich zeige Ihnen, was dabei herauskommt. Aber die Methodik ist genau die, die wir hier hatten. Und da machen wir danach lieber noch ein zweites Beispiel.

Aber jetzt vielleicht erst mal eine kurze Verschnaufspause. So, ich würde dann gern die zweite Hälfte anfangen. Und wie gesagt, das erste Ziel ist jetzt, diese Idee hier zu übertragen,

auf den allgemeinen Fall von Differenzia-Gleichen mit getrennten Veränderlichen. Also nochmal, was ist das? Das ist ein Differenzia-Gleichung der Form y' von t. Die allgemeine Form ist immer y' von t, ist f von t, y von t. Die erste Ableitung ist eine Funktion von der Variable t und der Funktion y.

Und getrennte Veränderliche heißt, Sie können das f schreiben als eine Funktion, die nur von t abhängt, mal eine Funktion, die nur von y abhängt. Die eine nennen wir g, die andere h. Das kann durchaus versteckt sein. Also das f kann kompliziert aussehen.

Und wenn Sie ein bisschen umformen, stellen Sie fest, Sie kriegen das so auseinandergezogen. So, und wenn man das so auseinanderziehen kann, dann kommt jetzt der große Satz 2,2 zum Thema Trennung der Variablen, der im Prinzip eine explizite Lösungsformel angibt für solche Gleichungen.

Und warum sage ich im Prinzip? Wenn Sie sich an das Beispiel von vorhin erinnern, was wir unterwegs machen mussten, war zweimal integrieren. Wir mussten diese Funktion konstant mu integrieren, das war einfach. Und wir mussten diese Funktion 1 durch x mal 1 minus x integrieren. Das mu war im Prinzip die Funktion g, bei g im letzten Beispiel so total banal war das einfach,

und das andere war im Prinzip die Funktion h. Und je nachdem, wie kompliziert g und h sind, kann es halt sein, dass Sie diese Integrale nicht explizit hinschreiben können, die Lösung, also die Stammfunktion. Dann haben Sie trotzdem eine Formel für die Lösung, aber die enthält halt noch diese Integrale, die Sie nicht aufrechnen können.

Aber es gibt eben eine Lösung modulo integrale Ausrechenprobleme. So, also wir haben wieder ein Intervall i, und wir haben diese beiden Funktionen g und h. Das g hängt nur von t ab, also es geht von i nach r. Und das h hängt nur von y ab, geht von r nach r.

Beide stetig. Wir haben einen Wert t0 in i, an dem wir den Anfangswert vorschreiben, und wir haben den Anfangswert y0. Jetzt haben wir eine Gleichung erster Ordnung, deswegen haben wir nur einen Anfangswert. So, und was man noch voraussetzen muss, damit das ganze Verfahren funktioniert,

die Funktion h darf an der Stelle, Quatsch, darf an der Stelle 0 nicht 0 sein. Also an der Stelle y0 muss die Funktion h von y, h ungleich 0 sein. Wenn h von y0 0 ist, das entspräche da oben so einem Fall, dass das y0 0,

also bei dem logistischen Wachstum, das y0 0 oder y0 1 ist. Das sind die Stellen, an denen die rechte Seite 0 Stellen hat. Das sind im Wesentlichen stationäre Lösungen und solche Dinge.

Die kann dieser Satz nicht auflösen. Also wenn Sie h von y0 ungleich 0 haben, dann kriegen Sie immer eine Lösung, und zwar sogar eine eindeutige. Und wenn Sie sich an die Definition von Lösung erinnern, dann heißt das was, dann existiert ein offenes Intervall j in i.

Das muss eben nicht ganz i sein, das kann ganz i sein, muss aber nicht. Das diesen Anfangszeitpunkt t0 enthält und auf dem das Anfangswertproblem, das wir hier angucken, also y' von t gleich g von t mal h von y von t,

t aus i, y von t0 gleich y0, genau eine Lösung besitzt. Also es ist das Schönste, was Ihnen bei DGL oder bei Anfangswertproblemen passieren kann.

Es gibt eine Lösung und die ist eindeutig. Und man kann in dem Fall, das ist sozusagen das Paradies auf Erden, noch eine Formel angeben, wie man die Lösung kriegt. Und zwar kriegt man sie als h hoch minus 1 nach groß g.

Und die Buchstaben sollen entsprechend sein. Wir haben gesehen, als wir vorhin das Beispiel durch Gx haben, was wir brauchen, sind die Stammfunktionen von klein g und die Stammfunktionen von klein h und das sind eben die Stammfunktionen von groß g und groß h. Also das groß g an der Stelle t ist das Integral von t0 bis t,

g von tau d tau und das groß h an der Stelle y ist das Integral vom Anfangswert y0 bis y der Funktion 1 durch h. Jetzt brauchen wir eine Integrationsvariable statt y.

Wie gesagt, wenn Sie den y griechisch ersetzen, kommt das meistens in eta dabei raus. Also 1 durch h von eta d eta. Also das groß g ist die Stammfunktion vom klein g und das groß h ist die Stammfunktion von 1 durch klein h. Und wenn Sie die beiden Integrale ausrechnen können, kriegen Sie die Lösung, indem Sie das groß h nochmal die Umkehrfunktion bilden

und dann mit g verketten. Dann sieht man, man muss ein bisschen rechnen, man muss zwei Integrale lösen, man muss eine Umkehrfunktion bilden und zwei Funktionen ineinander einsetzen, aber dann hat man eine Lösung. So, und das machen wir einfach mal in einem Beispiel.

Beispiel 2.3, noch eine DGL von getrennten Veränderlichen. Und diesmal eine, wo das g und das h beide auftauchen, aber zugegebenermaßen auch möglichst einfach,

damit man nicht so viel rechnen muss. Also wir betrachten folgendes Anfangswertproblem. y' von t ist t mal y von t. t aus r und y von 0 ist 1. Das ist jetzt eins, was sozusagen per Holzhammer von getrennten Veränderlichen ist.

t mal y. Und sieht man auch gleich, was das g und was das h ist. Also hier ist das g von t ist gleich t. Das h von y ist y.

Das t0 ist 0. Das y0 ist 1. Und insbesondere haben wir damit schon mal die erste Klippe um shift. Was ist h von y0? h von 1 ist 1 und das ist nicht 0. Also unseren Satz von oben können wir anwenden.

So, jetzt schreibe ich Ihnen nochmal kurz hin, was war die, also nach unserem Satz von oben. 2, 2 ist die Lösung also. Jetzt können wir auch wirklich die Lösung schreiben, weil wir wissen, die ist eindeutig. y ist die Umkehrfunktion von groß h nach groß g.

Und das groß g ist die Stammfunktion von klein g, die an der Stelle t00 ist. Und das groß h ist die Stammfunktion von 1 durch klein h, die an der Stelle y00 ist.

Das sind zwei spezielle Wahlen der Stammfunktion, und zwar jeweils halt die, die an den entscheidenden Stellen 0 sind. So, jetzt muss man nur noch ausrechnen.

Also was brauchen wir? Wir brauchen groß g und groß h. Was ist groß g in unserem Fall? Integral von t0 ist 0. Integral von 0 bis t, ja, man sieht so gerade eben noch, von 0 bis t, t dt, tau dt.

Das kriegen wir hin. Das ist ein halb Tau-Quadrat in den Grenzen Tau gleich 0 bis Tau gleich t, also ein halb t-Quadrat. Gut, dann brauchen wir das Groß h. Das ist meistens der aufwendigere Teil. Das ist das Integral von y0 bis y1 durch h von eta d eta.

Also was ist das hier? y0 war 1. 1 bis y1 durch h von eta war eta d eta. Na, das geht auch noch. Das ist der Logarithmus von Betrag eta in den Grenzen eta gleich 1 bis eta gleich y.

So, wir haben unseren Anfangswert y von 0 gleich 1. Also zum Zeitpunkt 0, wo wir anfangen, ist unsere Funktion y1.

Die Lösung wird eine stetige Funktion sein, weil sie sogar stetig differenzierbar sein muss. Dementsprechend wird sie eine Zeit lang größer 0 bleiben. Und wir können hier davon ausgehen, dass y größer 0 ist.

Wenn sie über die 0 weggeht, hat unsere Gleichung eh ein Problem. Aber das wird nicht passieren. Und dann bleibt übrig Logarithmus von y minus Logarithmus von 1. Und das ist Logarithmus von y.

So, damit haben wir das h von y. Und was wir jetzt eigentlich brauchen ist nicht das h, sondern ist die Umkehrfunktion von h. Aber die Umkehrfunktion von Logarithmus kennen wir zum Glück. Die e-Funktion. So, jetzt müssen wir noch alles zusammenbauen.

Was ist also y von t? y von t ist h hoch minus 1 von g von t. Das sagt uns der Satz. h hoch minus 1 ist e hoch und g von t ist eine halb t-Quadrat, also e hoch eine halb t-Quadrat.

Und das sieht jetzt so aus wie Magie, dass man das erstmal nicht glaubt. Und dann rechnet man sich es halt nach. Wie gesagt, das Schöne bei Defensiallgleichung ist immer nachzuweisen, dass was, was man irgendwo her hat eine Lösung ist, ist einfach.

Nur auf die Lösung zu kommen, das ist das mühsame. Also, jetzt haben wir aus irgendeinem dubiosen Satz e hoch eine halb t-Quadrat gekriegt. Probieren wir es aus, ob es stimmt. Also, was ist mit y von 0? Ist e hoch 0, ist 1. Das sieht gut aus. Was ist mit y? Wenn wir e hoch eine halb t-Quadrat ableiten, kommt erstmal wieder e hoch eine halb t-Quadrat raus.

Mal die innere Ableitung, eine halb t-Quadrat abgeleitet, gibt genau t. Naja, und das ist t mal y.

Also, dieser Satz liefert uns tatsächlich in dem Fall eine Lösung. Und das ist kein Zufall, sondern, wie gesagt, allgemein bei getrennten Veränderlichen so. Das ganze Verfahren hängt aber natürlich dran, dass sie das Groß g und das Groß h ausrechnen können und dass sie die Umkehrfunktion bestimmen können. Jetzt ist die nächste Frage, das ist ja hübsch, aber wie um Himmels willen soll ich mir den Quatsch merken?

Und dann sage ich ihnen, sie brauchen sich den Quatsch überhaupt nicht merken. Weil meistens, also das ist das saubere und schöne Resultat, und meistens ist es schneller und einfacher, bevor man das Skript durchgewühlt hat, bis man die blöde Formel wieder hat,

einfach selber nochmal die Rechnung zu machen, die dahinter steckt. Und das mache ich ihnen an dem Beispiel einmal vor. Also, wir gehen davon aus, sie sitzen auf einer einsamen Insel und haben das Skript vergessen, wissen aber noch, dabei irgendwas mit dem getrennten Veränderlichen,

aber die Formel fällt ihnen partout nicht ein. Also, da macht man folgende Schmierrechnung. Und das jetzt kommt, sind ja zum Glück keine Mathematiker anwesend. Also, das ist die Gleichung, die schreiben sie sich mal ein bisschen lax hin, y' ist t mal y.

Und dann erinnern wir uns, es gab diese andere komische Schreibweise für die Ableitung, dy nach dt ist t mal y. Sie sehen schon, ich benutze schon gar keine Folgepfeile mehr, denn was jetzt kommt, ist unerhört.

Das heißt nämlich, dy ist das Gleiche wie t mal y dt. Und jetzt dividieren sie das y auf die andere Seite, eins durch y dy ist dasselbe wie t dt. Das ist jetzt rein formal, das ist keine Mathematik, das ist Quatsch.

Aber das Tolle ist, es funktioniert. Weil was sie jetzt machen ist, was jetzt da steht, ist kompletter Quatsch, aber das können sie ganz leicht wieder zu was Sinnvollem machen. Das was jetzt da steht, ist wie eine ganz sinnvolle mathematische Gleichung. Und mit der rechnen sie weiter.

Was kriegen wir dann raus? Dann kriegen wir raus ln von Betrag y oder ln von y ist ein halbt Quadrat plus Konstante. Und Sie sehen, was Sie hier als ausrechnen sind genau die Integrale, die wir gerade auch ausgerechnet haben. Was Sie jetzt noch machen müssen, ist h hoch minus eins bilden die Umkehrfunktion da,

weil Sie müssen das y aus dem Logarithmus schälen. Also was kriegen wir da? Wir kriegen y von t ist e hoch t Quadrat halbe plus Konstante. Damit haben wir jetzt alle Lösungen von der Gleichung.

Und was wir jetzt nur noch machen müssen, ist den Anfangswert einstellen. Der Anfangswert ist was? 1 soll dasselbe sein wie y von 0. Was ist y von 0 mit unserem Ansatz e hoch 0 plus c? Also e hoch c, naja das heißt c ist 0.

Wenn e hoch c gleich 1 sein soll, dann muss c wohl hoffentlich 0 sein. Und was kriegen wir? Wir kriegen die Lösung y von t ist e hoch ein halbt Quadrat. War jetzt fixer als das ganze Skript durchwühlen und die blöde Formel suchen und Sie brauchen die Formel nicht. Das einzige was Sie machen müssen ist, Sie müssen sich trauen mit dt zu multiplizieren.

Was im ersten Moment etwas dubios ist. Aber die Methode ist eine super Schmierrechnung und die tut. Das tut und dabei kommt was raus. Das einzig absolut Wichtige ist, wenn Sie das machen, dann ist eine Probe fällig.

Weil natürlich ist das was Sie da unterwegs machen keine saubere Mathematik. Und niemand garantiert Ihnen, dass das was Sie da machen zum Ziel führt. Also zumindest ist es kein Beweis, dass das eine Lösung ist. Das ist einfach ein Orakel, wo man eine Lösung herkriegt.

Das heißt, wenn Sie sich auf diese Weise kriegen, dann setzen Sie sich am Schluss hin und schreiben noch schnell in zwei Zeilen hin, warum das Ding löst. Weil das ist immer das Gleiche bei Differentialgleichungen. Woher Sie Ihre Orakel haben, woher Sie Ihre Lösung haben, ist nicht Ihr Problem. Wenn Sie eine haben, dann ist es ganz leicht nachzuweisen, die tut es. Machen Sie es und sind Sie fertig. Aber ohne Probe geht bei der Schmierrechnung gar nichts.

Wir haben die Probe vorhin gemacht und schon festgestellt, das stimmt so. So, das war das erste Beispiel. Machen wir noch ein zweites. Das war jetzt das Einfachstmögliche.

y' ist t mal y. Das ist die einfachste Nicht-Triviale von getrennten Veränderlichen. Also y' gleich 1 ist auch von getrennten Veränderlichen. Aber das ist dann endgültig langweilig. Wenn man noch ein bisschen komplizierter aussieht, der suchende Funktion, sodass Ihre Ableitung das Gleiche ist,

wie der Cosinus von t mal e hoch die Funktion. Wenn Sie darüber ein bisschen nachdenken, stellen Sie fest, schon mit minimalen Mitteln, also mit relativ kurzen Differentialgleichungen, keine Chance mehr, irgendwas zu raten, irgendwas hin und her zu rechnen. Jetzt da braucht man wirklich Methodik, da braucht man Ideen,

da braucht man einen Satz über die Trennung der Variable. Brauchen wir noch einen Anfangswert. Den sucht man natürlich vor der Volllesung so aus, dass die Konstanten nachher nicht 3 siebzehntel sind. Also y' von 0 ist 2. Und dann gucken wir uns die Gleichung an und stellen fest,

ist wieder eine von getrennten Veränderlichen. Wir haben eine Funktion Cosinus von t mal eine Funktion e hoch y. Also machen wir Trennung der Variablen.

Also was haben wir? Unsere Gleichung, schreiben wir es wieder gleich in der Schmierversion. dy nach dt ist Cosinus von t mal e hoch y. Man muss bei der Rechnung immer ein bisschen aufpassen, dass man daran denkt, dass y hängt noch eigentlich von t ab. Aber das vergessen wir im Moment.

Also was machen wir? Wir trennen die Variablen, da kommt der Name auch her. Wir schmeißen alles, was mit y zu tun hat, auf die linke Seite und alles, was mit t zu tun hat, auf die rechte Seite. Also kriegen wir e hoch minus y dy gleich Cosinus von t dt.

Und damit alle Mathematiker wieder einschalten können, schreiben wir wieder ein Integral davor und decken alles, was davor steht, zu. Und dann steht wieder was da, was Sinn macht. Also wir suchen, wir müssen diese beiden Integrale lösen.

Integral e hoch minus y dy gleich Integral Cosinus t dt. Und dann kommt das, was bei Differential-Gleichungen immer ist, gewöhnlich Differential-Gleichungen lösen, ist am Schluss immer Integrale ausrechnen. Ist so. Egal. Jede Gleichung führt wieder auf ein Integral. Es ist auch irgendwie logisch, sie haben eine Aussage über y'

und um dann an y zu kommen, müssen sie halt integrieren. So, also haben wir hier zwei Integrale, die zum Glück nicht allzu schrecklich sind. Die Stammfunktion von e hoch minus y ist minus e hoch minus y. Weil, leiten Sie es ab, gibt e hoch minus y.

Stammfunktion vom Cosinus, was ist eine Funktion, die eine Ableitung der Cosinus ist? Na, das ist der Sinus. Und die Integrationskonstante nicht vergessen. Also wenn man diese Schmierrechnung bei den getrennten Variablen macht, rechnet man üblicherweise erst mit unbestimmten Integralen, also mit diesen Schreibweisen für die Stammfunktion.

Handelt sich Integrationskonstanten ein und stellt dann am Schluss anhand der Integrationskonstanten den Anfangswert ein. Jede dieser Funktion, für jedes C kommt hier eine Lösung raus. Aber natürlich erfüllt nur eine dieser Lösungen den Anfangswert und das kann man dann am Schluss einstellen, dass man das richtige C findet.

Noch ein Kommentar, Sie würden hier natürlich, eigentlich müssten Sie hier zwei Konstanten kriegen. Auf der linken Seite und auf der rechten Seite eine. Das sind ja zwei unbestimmte Integrale. Aber die können Sie natürlich zu einer neuen dritten Konstante zusammenfassen. Also wenn da steht, minus E und minus Y plus D gleich Sinus von T plus E,

dann setzen Sie C halt gleich E minus D. Insofern reicht es ja eine hinzuschreiben. So, was Sie jetzt nur noch machen müssen, ist das Ding nach Y auflösen. Das geht wieder ganz gut. Also minus Y ist der Logarithmus von minus Sinus von T minus C.

Viele, viele Minuszeichen. Das eine Minus können Sie noch nach drüben schieben und dann kriegen Sie Y von T ist minus der Logarithmus von minus Sinus von T minus C. Das ist die Lösung. Die hätte man jetzt so nicht unbedingt erwartet,

aber gut, die Lösung. Was jetzt noch fehlt, ist der Anfangswert. Und wie gesagt, wenn man die Y von T-Abhängigkeit mal hat, dann kann man gut jetzt anhand des Anfangswerts die Konstante einstellen.

Das ist der nächste Schritt. Also ich schreihe nochmal hin, was unsere Lösung war. Also die Lösung der DGL ohne Anfangswert waren Y von T ist Minus der natürliche Logarithmus von minus Sinus von T minus C.

Und jetzt stellen wir den Anfangswert ein. Also der Anfangswert muss man sich jetzt nicht mehr dran erinnern. Ich schreibe nochmal hin. Ich hatte gefordert, Y von Null soll Zwei sein. Naja, Y haben wir da oben stehen.

Setzen wir Null ein. Minus Logarithmus Sinus von Null ist Null. Also Minus Logarithmus von Minus C. Also ist der Ln von Minus C gleich Minus Zwei. Und das heißt E hoch Minus C gleich E hoch Minus Zwei.

Nee, irgendwas stimmt nicht. Minus C gleich E hoch Minus Zwei. Und das heißt jetzt wiederum C gleich Minus E hoch Minus Zwei. Wenn Sie das da oben einsetzen,

haben Sie die endgültige Lösung. Y von T gleich Minus Ln von Minus Sinus von T plus E hoch Minus Zwei.

Und damit das Anfangswertproblem gelöst. Wobei, Achtung! Wir haben wieder unerlaubte Dinge getan. Also auch hier die Probe zu machen. Und dann sehen Sie, Differenzialgleichung ist ein wunderbares Thema,

um alles abzuprüfen, was man abprüfen will, weil da müssen Sie integrieren, da müssen Sie alles machen, was wir die letzten Wochen gemacht haben. Also, wir haben jetzt integriert, um die Lösung zu kriegen. Jetzt differenzieren wir, um Probe zu machen. Das erste ist für die Probe, der Anfangswert muss stimmen, aber so war es gerade gemacht. Also wenn Sie null einsetzen,

kriegen Sie den Logarithmus von E hoch Minus Zwei. Minus den Logarithmus von E hoch Minus Zwei. Das ist Zwei. Und was wir dann noch machen müssen, ist mal Y ableiten. Das wird jetzt lustig. Also Minuszeichen. Ableitung vom Logarithmus ist eins durch das, was drin steht.

Minus Sinus von T plus E hoch Minus Zwei. Und dann Ableitung von dem, was drin steht. Sinus ableiten gibt Kosinus, aber Sinus ableiten gibt Minus Kosinus. Und zum Glück, wenn Sie das E hoch Minus Zwei ableiten, kommt nichts mehr dazu. Also, das war's. Können Sie mal ein paar Minuszeichen

wegjagen und dann bleibt übrig Kosinus von T durch Minus Sinus von T plus E hoch Minus Zwei. Und das soll jetzt sein gleich Kosinus mal E hoch Y. Also rechnen wir mal aus, was ist Kosinus von T mal E hoch Y von T. Die Y haben Sie da oben noch. Das ist Kosinus von T

E hoch des Y. Also E hoch Minus natürlicher Logarithmus von Minus Sinus von T plus E hoch Minus Zwei. Naja, und jetzt E hoch Minus irgendwas ist eins durch E hoch das irgendwas.

Und das E hoch Logarithmus lebt sich weg und es bleibt unten stehen Minus Sinus von T plus E hoch Minus Zwei. Und wenn man mal scharf hinguckt, passt das tatsächlich. Also das da und das da ist das gleiche. Ist tatsächlich eine Lösung

und wir sind fertig. Und anhand dieser Lösung will ich jetzt nochmal zurückkommen auf was ich vorhin gesagt habe. Schauen Sie sich die Differentialgleichung nochmal an. Die Differentialgleichung war Y Strich von T gleich Kosinus von T E hoch Y von T. So, was nehmen Sie jetzt hier als Intervall I?

Intervall I wird man normalerweise nehmen. So, dass die rechte Seite natürlich Sinn macht. Also wenn da auf der rechten Seite Wurzel von T steht, dann sollten bitte negative T nicht erlaubt sein. Aber wenn Sie sich jetzt hier die rechte Seite angucken, die macht für jedes T Sinn. Die macht für jedes Y Sinn, die macht immer Sinn. Die rechte Seite

ist beliebig oft differenzierbar auf ganz R Kreuz R. Da kann überhaupt nichts passieren. Also schreibt man mal sofort hin T aus R. I ist R. Schöner kann die rechte Seite ja gar nicht mehr sein. Keine Definitionslücken, keine Pole, kein I, glatt. Glatt und überall definiert. Und jetzt schauen Sie sich die Lösung nochmal an.

Steht noch da um. Logarithmus von minus Sinus T plus E hoch minus 2. E hoch minus 2 ist relativ klein. Ist positiv, aber relativ klein. Also E ist 2,7. E Quadrat ist dann irgendwo bei 8. Das heißt ungefähr ein Achtel.

Und von diesem Achtel ziehen Sie jetzt den Sinus von T ab. Das ist dann auch okay, aber dann bilden Sie einen Logarithmus. Und dann fängt die Sache an weh zu tun. Das geht nur so lange gut, wie der Sinus kleiner ist als das E hoch minus 2. Sobald der Sinus größer wird, als dies ungefähr ein Achtel, fliegt Ihnen das Ding um die Ohren.

Und es ist tatsächlich so, also wenn Sie sich die Funktion mal plotten, dann sieht die so aus. Das ist die Lösung von der Gleichung. Sie sehen, das passt gut, weil y von 0 ist super 2. Also der Anfangsblatt ist erfüllt. Dass die Gleichung erfüllt ist, das haben wir gerade auch ausgerechnet.

Und die Funktion existiert einfach nur von ein bisschen weiter unten als minus 3 bis ein bisschen über 0. Und danach ist die Funktion weg. Und das ist der Effekt, den ich vorhin angesprochen habe. Es kann Ihnen passieren, dass Sie eine noch so schöne Gleichung haben und die blöde Lösung existiert nur auf einem endlichen Intervall j, das eine Teilmenge von e ist.

Und das ist das, was hier passiert. Und worauf man immer wieder achten muss, das ist eine Gleichung, die hat nach dem selbstbedingten Renten Veränderlichen genau eine Lösung. Also das Anfangsblatt hat genau eine Lösung, aber diese Lösung ist nicht global, sondern sie explodiert nach dem,

wenn Sie 0 anfangen und in der Zeit vorwärts laufen, dann haben Sie von der Lösung nicht lange Spaß. Nach 0,1 Sekunden ist die in Nirwana verschwunden. Woran liegt das? Das liegt daran, dass diese Differential-Gleichung einen extremen Wachstumseffekt hat,

eine extreme Verstärkung. Wenn Sie mal schauen, was passiert, wenn die Größe y stark sehr groß wird. Also wenn Ihre Funktion groß wird. Das ist hier auf dem Bild. Nach rechts wird sie schnell groß. Was passiert dann mit Ihrer Ableitung? Der Cosinus macht da irgendwas,

aber die Ableitung der Größe ist dann im Wesentlichen wie e hoch, diese Zahl. Das heißt, wenn y sehr groß ist, dann ist die Ableitung noch viel größer, weil exponentielles Wachstum. Wenn die Ableitung sehr groß ist, wird die Funktion schnell größer, dadurch wird sie noch größer, dadurch wird die Ableitung noch größer, die Funktion wieder größer,

die Ableitung schaukelt sich auf und die Funktion macht den Abgang. Also was Sie hier haben, ist ein extremer Resonanzeffekt. Je größer die Funktion, umso exponentiell größer wird die Ableitung und das Ding explodiert, ihn umfliegt um die Ohren. Das ist das, was hier passiert.

So, das war das Thema getrennte veränderliche. Ein Beispiel von Gleichungen, wo man explizit was ausrechnen kann. Und das ganze Kapitel sind Gleichungen, die man explizit ausrechnen kann. Und die nächste Sorte, die ich Ihnen zeigen will, sind sogenannte homogene Differentialgleichungen.

Und die Homogen sind was, was man jetzt auf die getrennten veränderlichen zurückspielen kann. Lang nicht so wichtig, wie die getrennten veränderlichen.

Aber ich will sie hier machen, um Ihnen zu zeigen, die stehen als ein Beispiel dafür, dass Substitutionsmethoden oft helfen. Was ist eine homogene Differentialgleichung? Sie haben wieder eine Gleichung y' von t, ist f von t und y von t.

Und was man für eine Homogene braucht, ist, dass das f nur vom Quotienten der beiden abhängt. Also hängt nur von y von t durch t ab. Also was soll das heißen?

Es gibt eine Funktion g von r nach r. Die sei wieder stetig. Sodass sie ihre Gleichung y' von t ist f von t und y von t

schreiben können als g von y von t durch t. Das nennt man eine homogene Differentialgleichung. Wo der Name herkommt, keine Ahnung. Die Dinger heißen so. Also wichtig ist, sie haben einen ganz sehr komplizierten

Funktionalen Ausdruck auf der rechten Seite. Aber in dem steht immer nur y von t durch t. Überall da, wo y's und t's stehen, stehen die in dieser Kombination. Und warum ist das was Schönes? Weil sie jetzt substituieren können.

Also die Lösungsidee ist Substitution. Und die Gleichung liefert die richtige Substitution gleich mit. Sie machen sich eine neue Funktion u

und das ist genau dieses y von t durch t. Wenn Sie sich jetzt wieder vorstellen, ihr y sei eine Lösung von der Gleichung. Also y ist eine Lösung von von y' von t gleich g

gleich g von y von t durch t. Das war unsere Gleichung. Was gilt dann fürs u? Sie gehen davon aus, sie haben eine Lösung und gucken mal, wie sieht die dann aus. Und jetzt gucken Sie mal, wenn Sie so eine Lösung y haben

und Sie definieren das u als y durch t. Was gilt dann für das u? Dann schauen wir uns mal an, was für eine Gleichung das u löst. Wir leiten mal u ab. Das ist jetzt eine Quotientenregel. Also das müssen wir machen. Oben ableiten mal unten. t mal y' von t. Minus oben mal unten ableiten.

Minus y von t. Weil wenn Sie t ableiten, kommt eins raus. Durch Nenner Quadrat. Was ist das? Das ist, da können Sie erstmal vorne einen t kürzen, das y' von t durch t. Minus y von t durch t war u.

Also hier steht u von t durch t. Weil y von t durch t ist u und y von t durch t Quadrat ist dann u von t durch t. Also was ist das? Das ist eins durch t mal y'. Y' ist aber g von y von t durch t. Minus u von t.

Also das ist eins durch t mal g von u von t minus u von t. Das sieht jetzt erstmal nicht nach einem großen Gewinn aus. Jetzt haben wir eine Differenziagelung für u. Wenn Sie jetzt natürlich die Differenziagelung für u lösen können, dann setzen Sie,

nehmen Sie u mit t, malen wir y. Aber wie sollen wir jetzt die Differenziagelung für u lösen? Das sieht ja noch schlimmer aus als die davor. Nein, die sieht nicht schlimmer aus, die sieht viel einfacher aus. Man muss sie nur genau angucken. Die ist von getrennten veränderlich. Die ist eine Funktion in t, mal eine Funktion in u.

Das ist der ganze Trick bei der Sache. Wir haben auf diese Weise eine Funktion, die nicht von getrennten veränderlichen ist. Y' gleich g von dem Quotient können Sie nicht als Produkt auseinanderziehen. Aber wir haben das in eine Gleichung umgeschrieben, die Sie in ein Produkt auseinanderziehen können und die man dann lösen kann.

Diese DGL ist von getrennten veränderlichen. Und das ist die Idee für Homogene. Und was man da natürlich noch machen muss, ist die DGL von getrennten veränderlichen lösen für u. Dann hat man u, dann nimmt man u mit t, malen, dann hat man y.

Und dann macht man im Normalfall eine Probe, weil man bei den getrennten veränderlichen so viel geschmiert hat, dass sich das lohnt. Das machen wir nächstes Mal an einem Beispiel. Diese Methode Substitution und damit die Zurückführung auf eine andere Gleichung, die man schon kennt,

ist eine weit verbreitete. Ich mache das an diesem Beispiel der Homogenen. In der Übung machen wir, glaube ich, noch Bernoulli-Gleichung. Das ist auch so was. Deswegen nehmen Sie das als ein Beispiel für eine ganze Gruppe von Möglichkeiten. Wenn Sie eine Gleichung haben, in der irgendein Term besonders oft auftaucht, dann versuchen Sie den mal substituieren

und schauen, ob die Gleichung dadurch freundlicher wird. Aber wir schauen uns das eben am nächsten Dienstag noch mal genauer an. Bis dahin schönes Wochenende. Vielen Dank für die für das Komm-trotz-Brückentag und vielen Dank für die Aufmerksamkeit.