Wir waren stehen geblieben beim Begriff des Erwartungswertes. Ziel dabei ist es, einen mittleren Wert des Ergebnisses eines Zufallsexperiments zu definieren,

das durch eine reelle Zufallvariable x beschrieben wird. Und es dann zu definieren wird als durch ein sogenanntes Maßintegral. Erwartungswert ist E x, also E für Expectation oder Erwartungswert, gleich Integral über x dp. Und dieses Maßintegral führe ich heute ein. Ich hatte Ihnen am letzten Mal schon vorgestellt, erstens Erweiterung von R zu R quer.

Ich nehme die Zahlen plus minus unendlich dazu. Natürliche Rechenregeln wie eine reelle Zahl plus unendlich ist unendlich. Eine Zahl größer 0 mal unendlich gibt unendlich und so weiter. Und eine Besonderheit, ich habe definiert 0 mal unendlich gibt gleich 0.

Ich habe dann eingeführt den Begriff des sogenannten Maßes. Wir hatten einen Messraum, also eine nicht leere Menge und eine Sigma-Algebra drüber. Eine Abbildung mu von dieser Sigma-Algebra nach R quer. Also jetzt erweitert realwertig. Deshalb erweitert realwertig, weil ich auch Sachen zulassen möchte,

wie das sogenannte Lebesque-Borel-Maß, das jedem Intervall seine elementare Länge zuweist und damit im eindimensionalen Ganz-R-Eben den Wert unendlich zuweist. Also Maß ist eine Funktion mit Werten in R quer. Folgende drei Eigenschaften.

A, alle Werte sind größer gleich 0. B, der leeren Menge wird die 0 zugewiesen. C, das Ding ist Sigma-additiv. Und daraus können Sie dann alles weitere noch folgern, was ich beim letzten Mal in die Definition noch mit reingeschrieben hatte. Wir haben da noch kennengelernt den Begriff der ab-messbaren Funktion.

Wir haben einen Messraum Omega a. Wir haben eine Funktion von Omega nach R, die heißt ab-messbar. b ist die borelische Sigma-Algebra, falls das Urbild von jeder Menge b aus der borelischen Sigma-Algebra script b bei f in a drin liegt. Zusammenhang mit den bisherigen Begriffen ist p ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß.

Genau dann, wenn p ein Maß ist und p von Omega gleich 1 ist. Und haben wir einen Wahrscheinlichkeitsraum zugrunde gelegt. So sind die messbaren Abbildungen von Omega nach R gerade die reellen Zufallsvariaten.

Heute definieren wir dann integral über Omega h d mu. Im Falle, dass wir einen allgemeinen Maßraum Omega a mu zugrunde gelegt haben und eine ab-messbare Funktion h von Omega nach R haben. Okay, dann fange ich mal unmittelbar an.

Definition des Integrals erfolgt in drei Schritten. Erster Schritt ist für sogenannte einfache Funktionen. Das sind Funktionen, die nicht negativ sind und nur endlich viele Werte annehmen. Definiere ich in Definition 519.

Wir haben einen Messraum Omega a.

Dann heißt jede Funktion h, die die Bauart hat, das ist die Summe i gleich 1 bis n. Kompizienten alpha i mal Indikatorfunktion zur Menge ai.

Also jedes h gleich Summe i gleich 1 bis n alpha i mal 1 ai. Mit n ist eine natürliche Zahl.

Die alpha 1 bis alpha n sind in R. Okay, ich definiere erst die einfachen Funktionen sind in R. Alpha 1 bis alpha n sind in R.

Und die a 1 bis a n sind aus a und bilden eine Partition von Omega. Und das Letztere heißt, dass die Vereinigung aller dieser ai die Menge Omega ist.

Und dass sie paarweise des Junges sind.

Also a 1 bis a n Element a Partition von Omega. Das heißt Vereinigung i gleich 1 bis n ai gleich Omega. Und ai geschnitten aj ist gleich leere Menge für i und gleich j. Jede solche Funktion heißt einfache Funktion.

Okay, Bemerkungen dazu. Erstens klar, die Funktion nimmt nur endlich viele reelle Werte an. Maximal n. Also nicht genau n, weil die alpha 1.

Ich fordere ja nicht, dass die alpha 1 bis alpha n alle verschieden sind. Also maximal n. Zweite Bemerkung, die Funktion ist messbar. Das folgt daraus, dass die Indikatorfunktion messbar sind. Und so eine Linealkombination von messbaren Funktionen wieder messbar ist. Die Indikatorfunktionen sind messbar, weil die ai in a drin ist. Das heißt, ich habe hier als einfache Funktion betrachte ich messbare Funktionen.

Funktionen, die nur endlich viele reelle Werte annimmt. Also nicht erweitert reellwertig, sondern endlich viele reelle Werte. Ich habe gleich noch das Ganze ein bisschen komplizierter hingeschrieben.

Ich habe hier gleich eine spezielle Darstellung ausgewählt für diese einfachen Funktionen. Nämlich eine Darstellung, wo diese zugrunde liegenden Mengen bei den Indikatorfunktionen eine Partition von Omega bilden. Also im Folgenden, wenn ich eine einfache Funktion hinschreibe als summe i gleich 1 bis n alpha i mal 1 ai, werde ich immer davon ausgehen, dass die alpha i in R sind und die a1 bis a n aus a eine Partition bilden.

Ohne das dazuzuschreiben. Okay, erster Schritt. Ist H eine solche einfache Funktion?

Ist H also gleich summe i gleich 1 bis n alpha i mal 1 ai? Eine nicht negative einfache Funktion, also die alpha i sind alle größer gleich null.

So setzen wir an. Die Definition ist eigentlich klar, wie Sie jetzt hier ein Integral definieren.

Also Integral h d mu an der Stelle. Werden Sie sich mal überlegen, deswegen habe ich da oben ein bisschen Platz gelassen.

Sie können es auch mal anders hinschreiben. Sie haben diese nicht negative einfache Funktion. Ich gehe vereinfach davon aus, die a1 bis a n wären Intervalle. Damit ich es hinzeichnen kann, wenn die a1 bis a n Intervalle sind, dann haben Sie eine schöne stückweise konstante Funktion, die immer wieder springt.

Vielleicht hier nochmal ein Intervall. Dann haben Sie vielleicht irgendwas. Also ich mache mal hier x. Mal ich h von x. Dann sieht es vielleicht irgendwie so aus. Dann haben Sie hier vielleicht eine Sprungstelle.

Hier Konstant Null.

Dann haben Sie vielleicht so eine Funktion. Und wenn Sie sich jetzt überlegen, ja, wie würden Sie ein normales Integral, was Sie kennen, als Riemann Integral definieren? Das Riemann Integral wäre der Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse. Das heißt für das Riemann Integral würde ich diese einzelnen Balken hier berechnen.

Flächeninhalt dieser Balken. Und aufaddieren. Das wäre ein Riemann Integral. Jetzt mache ich so etwas Ähnliches. Nur ich habe jetzt hier unten noch auf der x-Achse ein Maß zugrunde gelegt. Und dieses Maß deute ich als Massenverteilung.

Und mit diesem Maß messe ich die Länge von diesen Grundseiten hier. Das heißt statt Grundseite mal Höhe mache ich Maß von der Grundseite mal Höhe. Das heißt ich definiere das ganze Ding als Summe.

Summe i gleich 1 bis n. Alpha i mal mu von ai. Also Riemann Integral würden Sie hier unten einfach schreiben. Okay, das ist Länge der Grundseite. Und ich anstelle von Länge der Grundseite, da ich ein allgemeines Maß zugrunde gelegt habe, nehme ich dieses Maß um diese Länge der Grundseite zu messen.

Okay, Fragen soweit?

Fragen? Das ist der erste Schritt in der Definition von unserem Integral. Das erste was wir aufpassen müssen ist, wenn Sie eine Definition hinschreiben, müssen Sie sich immer überlegen, ist die Definition auch sinnvoll.

Man spricht hier von wohl definiert. Also Sie können sich überlegen, ist die Definition so wie ich sie gemacht habe, wohl definiert. Das erste was Sie sich überlegen können, das was rechts steht, steht da überhaupt irgendwie eine reelle Zahl, die ich da was dem zuweise. Und dann zweitens kann ich mir überlegen,

ist diese reelle Zahl eindeutig abhängig von der Funktion, die da steht. Okay, erste Bemerkung, steht da wirklich eine reelle Zahl? Na ja, wenn Sie sich überlegen, ist eine endliche Summe, was soll da schief gehen? Da ganz einfach, ich bin gerade im R quer, im Prinzip, ich bin deswegen im R quer, weil mein Maß ja auch Zahlen, Wertebereich R quer hat.

Da könnte es insofern schief gehen, dass ich ja auch mit Plus oder Minus unendlich rechne und ein Problem wäre, wenn in dieser Summe irgendwo unendlich Minus unendlich auftauchen würde. Dann hätte ich irgendwas, was nicht definiert wäre.

Ich sehe klar, warum in dieser Summe kein Plus unendlich Minus unendlich auftaucht. Also warum keine Differenz zwischen unendlich und unendlich auftaucht.

Vorschläge?

Maß ist immer positiv und die Alpha I's haben wir auch als positiv definiert. Das war der kleine Trick, dass ich an der Stelle nicht negativ geschrieben habe. Wenn ich dieses nicht negativ weggelassen hätte, hätte ich hier unter Umständen ein Problem. Dann könnte nämlich sein, dass ich zwei Mengen habe, den ich Maßwert und Endlich zuweise. Und einmal mit Plus eins, einmal mit Minus eins zum Beispiel.

Dann hätte ich hier ein Problem. Aber da die Alpha I größer gleich alle größer gleich Null sind, tritt in der Summe oben eben nicht Plus unendlich Minus unendlich auf. Also Bemerkung. Integral in Schritt eins ist wohl definiert.

Erster Punkt.

Wegen Alpha I größer gleich Null tritt in der Summe nicht der Fall unendlich Minus unendlich auf.

Aber das war schon mal gut. Zweitens. Was kann noch schief gehen? Noch kann schief gehen. Ich definiere gerade das Integral in Abhängigkeit der Funktion H.

Ich definiere das in Abhängigkeit der obigen Darstellung hier. Und jetzt ist klar, die gleiche Funktion kann mehrere Darstellungen dieser Bauart haben. Sie können eine dieser Mengen unterteilen und die entsprechenden Alpha Is gleich groß wählen.

Dann haben Sie aber hier nicht einen möglichen Wert, sondern viele möglichen Werte. Und Sie müssen nun zeigen, alle diese möglichen Werte stimmen überein. Das heißt, Sie müssen sich zeigen, wenn Sie H2 Darstellung von H von dieser Bauart haben, kommt beides mal der gleiche Wert raus. Also ist Summe I gleich 1 bis N Alpha I mal 1 Ai gleich Summe J gleich 1 bis M Beta J mal 1 Bj.

Mit, jetzt brauche ich die ganzen Voraussetzungen. Also die N Alpha I Ai müssen die Voraussetzungen erfüllen. Von der einfachen Funktion genauso mit dem M Beta J Bj. Also N,M Element M.

Alpha I bis Alpha N und Alpha Beta I bis Beta M sind reelle Zahlen. Ich mache nicht negative reelle Zahlen. Und A1 bis AN aus A und B1 bis BN sind Partitionen von Omega.

Also ich kürze das von mit V ab, damit es noch hinpasst. Partitionen von Omega. So gilt diese Summe I gleich 1 bis N Alpha I mal 1 Ai ist die Summe J gleich 1 bis M Beta J mal 1 Bj.

Und das muss ich im Folgenden begründen.

Okay, wie machen wir das? Naja, ich nutze erst mal aus, also ich schreibe beides Summen eben komplizierter um. Ich nutze aus B1 bis BN ist eine Partition. Deswegen kann ich die AIs entsprechend den B1 bis BN aufteilen. Also B1 bis BN ist eine Partition von Omega.

Ai ist gleich. Naja, jetzt kommt das Gleiche, was Sie eigentlich schon bei Beweis von der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit gesehen haben.

Ich schreibe das Ai um als Ai geschnitten mit Omega. Ai ist ja eine Teilmenge von Omega. Omega schreibe ich um als Vereinigung der Bjs und ziehe dann den Schnitt rein. Also Ai ist gleich Ai geschnitten Omega geschnitten Bj ist gleich Ai geschnitten Ej.

Und hierbei sind diese Mengen, die da stehen, die sind paarweise disjungt, weil die B1 bis BN paarweise disjungt sind.

Daraus folgt das Mu von Ai. Mu war ein Maß. Maß ist Sigma-Additiv, insbesondere deswegen auch Endlich-Additiv. Mu von Ai ist die Summe der Mu-Werte von den Mengen Ai geschnitten Bj, da Mu eben Maß ist.

Und damit kann ich den ersten Term, den ich habe, Summe i gleich 1 bis N, Alpha

i mal Mu von Ai, kann ich umschreiben, indem ich für Mu von Ai einfach die Summe einsetze.

Und dann können Sie das Alpha i in die Summe reinmultiplizieren. Sie sehen, da steht eine Doppelsumme, Summe i gleich 1 bis M.

Und hier steht am Schluss die Summe i gleich 1 bis N, j gleich 1 bis M, Alpha i mal Mu von Ai geschnitten Bj.

Okay, ist das klar oder haben Sie Fragen?

Fragen? Gut, wenn Sie mir das soweit glauben, dann können Sie mir sicher auch sagen, wie ich entsprechend die Summe j gleich 1 bis M, Beta j mal Mu von Bj umschreiben kann.

Also wenn ich das analoge mache, komme ich auf j gleich 1 bis M. Wenn ich auf Summe j gleich 1 bis M, Beta j mal Mu von Bj komme,

wenn Sie jetzt einfach die Rolle von A mit dem B vertauschen, auf was kommen Sie dann?

Vorschläge? Okay, das wäre der Punkt, wo Sie wieder was sagen könnten.

Genau, also es wäre die Summe j gleich 1 bis M. Dann entsprechen die Summe i gleich 1 bis N, dann Beta j mal Mu von Bj geschnitten Ai.

Wenn Sie einfach systematisch alle As mit Bs, alle Alphas mit Betas, N mit M vertauschen, kommen Sie mit dem genau gleichen Argumentation auf diese Formel.

Und das können Sie jetzt genauso in eine Summe von i gleich 1 bis N umschreiben, j gleich 1 bis M, weil das ist ja eine endliche Summe. Da spielt die Summationsreihenfolge keine Rolle. Also ich vertausche die Summationsreihenfolge und dieses Bj geschnitten Ai ist das gleiche wie das Ai geschnitten Bj. Das heißt, ich komme dann auf genau die gleiche Formel wie da oben, nur Alpha i ersetzt durch Beta j.

Also ich komme dann auf gleich Summe i gleich 1 bis N, j gleich 1 bis M, dann kommt Beta j mal Mu von Ai geschnitten Bj.

Und dann sehen Sie, wenn ich zeigen möchte, dass diese beiden Summen gleich sind, dann genügt es zu zeigen, dass diese Koffizienten oder diese Summanden, die hier auftauchen,

Beta j mal Mu von Ai geschnitten Bj, immer mit Alpha i mal Mu von Ai geschnitten Bj einstimmen. Und das machen wir im Folgenden.

Also im Folgenden argumentiere ich, dass für jedes i, j, i zwischen 1 und N, j zwischen 1 und N, dieses Alpha i mal Mu von Ai geschnitten Bj gleich den Beta j mal Mu von Ai geschnitten Bj ist.

Okay, wie machen wir das? Na ja, wir betrachten erstmal den Fall, dass diese Menge, die da steht, nicht leer ist. Also ist Ai geschnitten Bj ungleich der leeren Menge.

Und ich nehme vielleicht noch eine andere Bezeichnung für i und j. Ich schreibe i0 und j0, weil es gleich auch noch i und j braucht. Also ist Ai geschnitten Bj0 ungleich der leeren Menge.

So finde ich ein Element daraus. So existiert ein kleiner Omega aus der Menge Bj0 mit.

Und jetzt setze ich dieses Omega in die Darstellung von H ein. H war ja eigentlich diese. Das ist mein H.

Und da setze ich das Omega ein. Und dann sehen Sie, dann bleibt eben auf der linken Seite eigentlich ist nur die Indikatorfunktion zu dem Index i0 ungleich 0. Alle anderen sind gleich 0. Das heißt hier bleibt Alpha i0 um. Rechts bleibt die Indikatorfunktion zum Index j0 ungleich 0.

Das heißt rechts kommt Beta j0 raus. Das heißt, ich habe gesehen Alpha i0 ist gleich Beta j0. Und ich sehe dieses Mittels überflüssig. So existiert Omega.

Und es gilt, sollte ich eher schreiben. Also wenn Sie Alpha i0 angucken, dann ist es eben das Gleiche, wie wenn Sie dieses Omega in diese Summe i gleich 1 bis n Alpha i mal 1 Ai einsetzen.

Und das gilt eben, weil dieses Omega dann in dem Ai0 drin ist.

Weil wenn Omega in Ai0 geschnitten B j0 drin ist, muss es insbesondere in Ai0 drin sein. Weil die Ais eine Partition sind, ist es dann in keinem anderen mehr drin. Das heißt nur noch diese eine Indikatorfunktion mit Index i0 ist gleich 1. Alle anderen sind gleich 0. Es kommt also Alpha i0 raus. Nach Annahme ist es aber das Gleiche.

Und nach Voraussetzung. Also diese Funktion Summe i gleich 1 bis n Alpha i mal 1 Ai stimmt ja überein mit das Summe j gleich 1 bis m Beta j mal 1 Bj. Und es ist Beta j0.

Ja, damit sehen Sie aber ist insbesondere Alpha i0 mal Mu von Ai0 geschnitten B j0 gleich Beta j0 mal Mu von Ai0 geschnitten B j0.

Damit sehen Sie die Summanden, wo diese Menge nicht leer ist, die stimmen schon mal überein.

Jetzt müssen wir uns nur noch überlegen, was ist mit den Summanden, wo die Menge leer ist. Oder fragen. Können Sie irgendwas nicht lesen? Doch, Sie können was nicht lesen.

Oder fragen soweit. Bei dem Alpha i fehlt eine Null. Herzlichen Dank. Also keine Fragen, sondern Korrekturen. Korrekturvorschläge.

Okay, war der einzige. Ja gut. Also jetzt sehen Sie im Fall, dass die Menge ungleich Null ist, stimmen die Summanden überein. Was ist, wenn die Menge gleich der leeren Menge ist?

Dann ist das Maß gleich. Dann ist das Maß gleich Null. Also bei der Voraussetzung, bei unserem Maß der leeren Menge wird die Null zugewiesen. Das heißt, wenn die Menge gleich der leeren Menge ist, ist das Maß gleich Null. Das heißt, dann stimmen diese beiden Produkte natürlich auch trivialerweise überein, weil der zweite Faktor gleich Null ist.

Also Letzteres gilt auch für Ai0 geschnitten B j0 gleich Leerenmenge, da dann Mu von Ai0 geschnitten B j0 Null ist.

Und damit haben wir unsere Behauptung.

Okay, Fragen soweit zu dem Beweis?

Also was ich machen will, ich möchte ein allgemeines Maßintegral einführen. Integral h d mu. Und ich habe es jetzt schon mal für eine spezielle Klasse von Funktionen. Nämlich diese Klasse von Funktionen, die nicht negativ sind und nur endlich viele Werte annehmen und nur noch reelle Werte annehmen.

Das ist meine erste Klasse von Funktionen, die ich habe. Jetzt möchte ich es erweitern auf mehr Funktionen. Sie kennen es vom Riemann Integral. Da haben Sie Ober- und Unter-Summen gebildet. Die Idee hier ist eine andere. Die Idee hier ist, wir approximieren. Also beim Riemann Integral kann man sagen, Sie haben Ober- und Unter-Summen gebildet.

Damit haben Sie auch diese Integrale von diesen simplen, einfachen Funktionen hier erweitert auf allgemeine Funktionen. So was machen wir jetzt auch. Wir erweitern diesen Integralbegriff von den einfachen Funktionen hier auf allgemeinere Funktionen. Indem wir eben diese allgemeineren Funktionen mit diesen einfachen Funktionen approximieren, machen Sie beim Riemann Integral auch.

Nur machen wir jetzt eine andere Art der Approximation. Wir approximieren jetzt erstens nur von unten. Das heißt, wir werden nur mit Funktionen approximieren, die alle kleiner gleich sind. Und zweitens, wir approximieren so, dass eine punktweise Konvergenz vorliegt. Das heißt, ich nehme Funktionen folgen, wo für jeden einzelnen Punkt die Funktionswerte immer näher rücken.

Und drittens, ich mache das monoton. Das heißt, für jeden einzelnen Punkt sollen die Funktionswerte der approximierenden Funktionen immer mehr ansteigen, bis sie sich dem wahren Wert immer mehr annähern. Das gibt die Konvergenz von unten, definiere ich in Definition 520.

520 Definition. Eine Folge Fn von Funktionen f von omega nach r konvergiert von unten gegen f von omega nach r.

Eine Folge Fn von Funktionen fn von omega nach r konvergiert von unten gegen f.

Und kurz schreibe ich dafür Fn, dann Pfeil nach oben gegen f.

Genau dann, wenn gilt. Für alle omega aus omega ist f1 von omega kleiner gleich f2 von omega und so weiter.

Und weiterhin der Limes von n gegen endlich von Fn von omega soll gleich f von omega sein.

Okay, man kann jetzt zeigen, dass zu jeder nicht negativen messbaren Funktion f von omega nach r existiert, eigentlich f von omega nach r quer, existiert eine, ne wir wollten nach r, okay f von omega nach r,

existiert eine Folge von nicht negativen einfachen Funktionen mit Fn, mit Fn konvergiert von unten gegen f.

Man kann zeigen, zu jeder nicht negativen messbaren Funktion f von omega nach r existieren nicht negative einfache Funktionen,

sondern Fn von omega nach r mit Fn konvergiert gegen f.

Also Fn konvergiert punktweise von unten gegen f. Oder Fn konvergiert von unten gegen f, wie ich es definiert habe.

Okay, also A, ich könnte Ihnen jetzt eine Formel hinschreiben, indem ich Ihnen das Fn einfach hinschreibe.

Also ich könnte einfach zum Beispiel Fn gleich und ich steppe Ihnen die Definition an. Wäre eine Möglichkeit, ja, wäre eine Möglichkeit, machen wir so.

Okay, also mein Dilemma ist gerade, mein Platz geht aus. Und eigentlich würde ich jetzt noch ganz keine Definition hinschreiben. Und dann würde ich Pause machen, das wäre ideal. Oder ich schreibe Ihnen eine Formel hin.

Sie meinen, das ist völlig egal, ich soll eins und beiden nur machen. Ja, das ist eine gute Idee. Aber Sie haben das Problem noch nicht gesehen, oder? Also ja. Sie wünschen mir die Tafel. Ja, und was von beiden soll ich jetzt machen?

Also Sie wünschen mir in Zukunft immer die Tafel. Wer war es? Okay, nee, war ein Witz, ne? Okay, also bei dem Angebot bleibt mir gar nichts anderes übrig, als alles hinzuschreiben, ne? Also wir schreiben mal Fn hin. Aber ich habe Ihnen noch gar nicht alle Alternativen aufgelistet.

Also wir fangen mal an mit der ein, ne? Fn ist eine standardmögliche Definition, also eine Standardformel. Sie werden erstmal nicht sehen, was ich mache, aber danach werden Sie es vielleicht sehen. N mal Indikatorfunktion von der Menge aller Omega an Omega, wo F von Omega größer gleich N ist.

Dann kommt eine Summe von K gleich 0 bis N mal 2 hoch N minus 1.

Dann nehme ich als Funktionswert K durch 2 hoch N. Und das mache ich auf der Indikatorfunktion von der Menge aller Omega an Omega,

wo F von Omega größer gleich als K durch 2 hoch N ist und kleiner gleich K plus 1 durch 2 hoch N. Also K durch 2 hoch N, kleiner gleich F von Omega, kleiner gleich K plus 1 durch 2 hoch N.

Kleiner als K plus 1 durch 2 hoch N. Okay, was machen wir hier? Das zweite, wie man es erklären kann, eigentlich erklärt man es viel besser mit dem Bild.

Das wäre die zweite Option gewesen, die ich auch hätte machen können statt der Formel, ne? Also Sie machen ein Bild, Sie haben eine nicht negativ messbare Funktion. Ich mache es immer irgendwie so, dass sie unimodal ist. Das heißt, sie hat nur einen Hochpunkt, dann kann ich es leichter zeichnen.

Ich unterteile jetzt hier den Wertebereich in Mengen der Größenordnung 1 oder im Abstand von 1 durch 2 hoch N. Und das mache ich bis N. Also wir machen es mal hier. Wir unterteilen den Wertebereich.

Dann gucke ich mir die Zugehörigen. Also hier wäre N. Und ab dieser Menge ist die Funktion konstant. Da wo sie größer gleich ist, approximationiere ich einfach durch N. Dann partitioniere ich meine Omega-Achse.

Hier wäre ja Omega. Hier F von FN. Ich partitioniere meine Omega-Achse entsprechend den Mengen, wo die Funktion Werte in diesen einzelnen Intervallen annimmt. Das heißt, hier habe ich das erste.

Von hier bis hier mache ich eine Partitionierung. Dann gehen wir hier noch runter. Das dritte, wir gehen hier runter. Viertes, wir gehen hier runter. Und genauso gehe ich hier runter.

Okay, und jetzt wähle ich auf jeden dieser einzelnen Intervalle einen konstanten Funktionswert. Und ich mache den konstanten Funktionswert so, dass er einerseits kleiner gleich dem Funktionswert ist in dem ganzen Intervall.

Zweitens maximal groß. Und drittens nur als Wert einen dieser Gitterwerte hier annimmt. Das heißt, sie machen eigentlich eine Rundung. Sie machen eine Abrundung der Funktionswerte zu diesen blauen Punkten hin. Also im Prinzip, man kann sich das anschaulich vorstellen, ich runde überall diese Funktionswerte

zum nächstgelegenen blauen Punkt an, der drunter liegt. Das heißt, ich bin hier da. Hier bin ich da. Hier bin ich da. Und da bin ich auf Konstant Null.

Mit den Übergängen überlege ich mir nicht genau, wo ich positiv und negativ bin oder wo die Punkte angenommen werden. Lassen wir mal weg im Moment. Dann habe ich diese Approximation. Und dann ist die Aussage. Erstens, was da rauskommt, ist eine nicht negativ einfache Funktion.

Also meine gelbe Funktion ist eine nicht negativ einfache Funktion. Ja, aber das ist trivial. Modulo, wenn Sie sich ein bisschen mit Messbarkeit auskennen, ist eigentlich klar, diese ganzen Mengen sind in der Sigma-Algebra enthalten, weil das Urbilder bei dem F sind und F ist messbar. Damit haben wir hier die Indikatorfunktionen sind messbar.

Dann haben wir eine Linearkombination von messbaren Funktionen ist messbar. Das ganze Ding ist messbar. Und B, Sie sehen sofort, es nimmt nur endlich viele Werte an, alle größer als Null. Okay, also nicht negativ einfache Funktionen haben wir. Zweite Sache, die ich behaupte, und das ist das, was schwierig zu sehen ist, die Funktionswerte wachsen.

Punktweise, an jedem einzelnen Punkt wachsen sie. Aber das machen Sie sich eigentlich auch klar. Das Gitter vom einen Schritt zum nächsten Schritt, was ich hier mache, da wird es einfach halbiert. Es wird ein bisschen größer und dann wird es halbiert. Und wenn ich dann bezüglich so einem halbierten Gitter eine Abrundung mache der Funktionswerte, dann wird dieser abgerundete Wert größer gleich sein, als wenn ich das bezüglich dem größeren Gitter mache.

Also ich runde ja immer ab. Jeden einzelnen Funktionswert runde ich ab zum nächsten Gitterpunkt, der drunter liegt. Aber wenn das Gitter halbiert ist, dann ist dieses abrunden Lick größer gleich. Das heißt, in der Tat, es ist größer gleich. Und drittens, was Sie auch sehen, ja,

Linie ist N gegen endlich, Fn von Omega ist gleich F von Omega. Na klar, irgendwann, wenn Sie in Omega festhalten, ist F von Omega kleiner gleich N, N genügend groß. Das heißt, Sie sind in diesem Teil und da haben Sie einen Abstand zum Funktionswert von kleiner gleich als 1 durch 2 hoch N. Und dieser Abstand geht für N gegen endlich gegen Null.

Also in der Tat, man sieht, diese nicht negativen, einfachen Funktionen, da sind sie existieren. Okay, oder Fragen?

Gut, jetzt wollte ich eigentlich die eigentliche Definition hinschreiben. Das ist Schritt zwei. Und dann können wir Pause machen.

Schritt zwei, ist F von Omega nach R nicht negativ messbar, so wählen wir nicht negative einfache Funktionen Fn mit Fn gegen F Okay, vielleicht, bevor ich die Tafel wische, noch ein Hinweis auf die erste Definition, müsste hier auch irgendwo stehen, ist F von Omega nach R nicht negativ messbar,

so wählen wir nicht negative einfache Funktionen Fn,

Fn mit Fn konvergiert von unten gegen F

und setzen Integral Omega Fn, ist gleich N gegen endlich Integral Omega Fn.

Okay, vielleicht, bevor ich die Tafel wische, noch ein Hinweis auf die erste Definition, müsste hier auch irgendwo stehen, oder, beziehungsweise irgendwo war die erste Definition, ah, rechts, ja, direkt daneben, herzlichen Dank,

auf der gleichen Tafel. Sie haben gesehen, ich habe diese Definition schon mal ungemein kompliziert gemacht, indem ich nämlich nicht gefordert habe, dass die Alpha 1 bis Alpha n paarweise verschieden sind. Wenn ich gefordert hätte, dass die Alpha 1 bis Alpha n paarweise verschieden sind, dann wäre die Darstellung eindeutig gewesen, der A1 bis A n,

und dann hätte ich mir die ganzen Begründungen da hinten eigentlich sparen können, also inzwischen den B-Teil, den A-Teil nicht, aber den B-Teil hätte ich mir sparen können. Habe ich nicht gemacht, weil man mit dieser allgemeinen Definition später die Beweise einfacher führen kann. Genauso habe ich hier jetzt auch wieder ein Problem,

weil eigentlich muss ich zeigen, das Ding ist wohl definiert. Um zu zeigen, dass es wohl definiert ist, gleicher Trick A, Sie müssen zeigen, dieser Limes existiert überhaupt. Limes existiert, Sie müssen gewisse Eigenschaften haben von dem Integral von nicht negativen einfachen Funktionen, nämlich eine Monotonie. Wenn f und g nicht negativ einfach sind, f ist kleiner als g,

soll das Integral von f minus g größer als Integral über f kleiner als Integral über g sein. Das ist das Erste, was Sie zeigen müssten. Machen wir nicht, also wir nehmen an intuitiv klar. Und zweitens, Hauptteil, Sie müssen zeigen, dieser Limes, der hier rauskommt, ist unabhängig von der Wahl der Folge f n.

Das hätte ich mir eigentlich sparen können, wenn ich gesagt hätte, ich nehme einfach dieses f n. Dann wäre es eindeutig gewesen, fertig. Aber wieder, die ganzen Beweise später wären schwieriger geworden. Das heißt, dadurch, dass ich hier eine freie Wahl der Folge habe, wären später, nächste Vorlesungsstunde, die Beweise deutlich einfacher. Aber was wir hier in dieser Vorlesung nicht machen werden, ich werde Ihnen nicht an diesem Schritt zwei zeigen, wohl definiert.

Ich müsste A zeigen, eine gewisse Monotonie-Eigenschaft, das ist noch relativ einfach. Da werden wir die entsprechenden Hilfsmittel auch in der nächsten Vorlesung eigentlich haben. Aber B, was wirklich aufwendig wäre, wäre zu zeigen, der Grenzwert, der hier rauskommt, ist unabhängig von der Wahl der Funktionenfolge f n,

die nicht negativ einfach ist und die das von unten approximiert, von unten gegen f konfigiert. Das ist meine Vorstufe zum Satz von der monotonen Konvergenz, den ich in der Vorlesung nicht behandle. Kriegen Sie mal in der Integrationstheorie, da werden Sie sowas wohl machen, nehme ich an.

Okay, Fragen soweit? Keine Fragen, dann würde ich wischen und wir machen dann um 10.50 Uhr weiter. Okay, also erstmal als Bemerkung, was ich gerade gesagt habe,

man kann zeigen, der Grenzwert oben existiert und hängt nicht von der Wahl der f n mit f n gegen f ab.

Und damit ist auch der Schritt zwei wohl definiert.

Den entsprechenden Beweis für euch hier aber nicht, würde mich so ca. eine Zeitstunde kosten, das zu machen. Oder eine Vorlesungsstunde, das kann man sagen, würde man ungefähr für Schritt zwei brauchen, wenn man es sauber und ausführlich macht. Kommen wir noch zum Abschließen, Schritt drei an. Nimmt die messbare Funktion f von Omega,

so zerlegen wir f in ihren positiven und negativen Teil an, also den Teil, der größer gleich Null ist und den Teil, der kleiner als Null ist. Den Teil, der kleiner als Null ist, multiplizieren wir mit minus eins, dann haben wir zwei nicht-negativ messbare Funktionen, von beiden bilden wir das Integral und definieren dann das Integral von f als Differenz der beiden Integrale.

Also Schritt drei, nimmt die messbare Funktion f von Omega r

auch negative Werte an,

so zerlegen wir f gemäß, f ist gleich f plus minus f minus mit

f plus von Omega ist das Maximum von f von Omega und Null,

f minus von Omega ist der Negativteil, aber den mit positiven Vorzeichen, d.h. ich mache das Maximum von minus f von Omega und Null

in zwei nicht-negative messbare Funktionen,

zu dem messbar sage ich nachher gleich noch etwas, Funktionen,

und im Falle Integral über Omega f plus, oder sein ent-sprechender Integral über Omega f minus d.mu killed und endlich setzen wir Integral über Omega f d.mu ist gleich Integral über Omega f Plus minus Integral über Omega f Minus.

Und im Falle Integral Omega f Plus de Mu klar und unendlich

oder Integral Omega f Minus de Mu klar und unendlich setzen wir f de Mu ist gleich Integral über Omega f Plus de Mu

minus Integral über Omega f Minus de Mu. Schreibweisen dafür sind, ich schreibe Integral über Omega f de Mu,

ich lasse unter Umständen einfach das Omega weg, Integral über f de Mu,

ich schreibe unter Umständen Integral über Omega f von Omega Mu de Omega und auch bei der Schreibweise lasse ich f n well den Integrationsbereich Omega weg.

Okay, vielleicht noch ein kleines Bild zum Verständnis. Ich mal's Ihnen mal hier rein. Wir brauchen es nicht mitmalen.

Wenn ich ihn jetzt hier drinnen f plus und f minus einmalen will. Also hier haben wir f. Dann hätte ich gern f plus. Und ich hätte gern f minus. Wie sieht's dann aus? Kann mir jemand sagen, was f plus wäre?

Also der Teil von f, der über der x-Achse liegt und da wo es unter der x-Achse liegt, einfach konstante Null. Ist richtig.

Das heißt, ich mal den Teil von f, der über der x-Achse liegt, beruht an. Da wo es drunter ist, setze ich es einfach mit Null für. Das wäre f plus. Okay, wie sieht f minus aus?

Bei der Funktion. Da wo es größer Null ist, konstante Null.

Richtig. Also hier überall Null. Da wo es kleiner Null ist, gespiegelt an der x-Achse. Das heißt, ich nehme einfach minus den Funktionswert. Und ich muss das also irgendwie spiegeln können. Ja, kann das nicht spiegeln. Irgendwie so ungefähr. Es soll eigentlich genau gespiegelt sein. Das hätten Sie f minus.

Und dann sehen Sie, dann haben Sie zwei nicht negative Funktionen. Die integrieren Sie getrennt. Und dann das eine Integral zählen Sie positives, das andere Integral negativ. Beim klassischen Flächeninhalt zwischen Funktion und x-Achse würden Sie es ja genauso machen. Der Teil, der unter halb Null ist, würden Sie negativ zählen.

Das heißt, ich kann den Teil spiegeln, den positiven Flächeninhalt ausrechnen. Und dann noch mit minus eins multiplizieren. Wäre das gleiche. Ok, erste Bemerkung. Zweite Bemerkung. Da oben habe ich geschrieben, wir zerlegen es in zwei nicht negativ messbare Funktionen. Dass die Funktion nicht negativ ist, sind klar.

Man müsste sich noch klar machen, dass sie messbar sind. Nun, dafür würden Sie sich klar machen, dieses F plus von Omega können Sie als eine Verkettung von Funktionen schreiben. Sie bilden erst die Funktion, die Omega auf F von Omega abbildet. Und dann nehmen Sie die Funktion, die ein U auf das Maximum von U Komma Null abbildet.

Wenn zwei Funktionen messbar sind, sehen Sie, eigentlich sofort ist auch Ihre Verkettung messbar. Frage wäre noch, warum ist diese Funktion, die das Maximum, die U auf Maximum von U Komma Null abbildet, messbar? Das sieht man aber so.

Diese Funktion ist sicherlich stetig. Sie sehen sogar eine Lipschitz-Stetigkeit sofort. Also sie ist stetig und alle stetigen Funktionen sind messbar. Das wäre eine der Grundlagen aus der Integrationstheorie, die Sie an der Stelle wieder brauchen. Und dann sehen Sie, das ist als Verkettung von messbaren Funktionen messbar. Analog argumentieren Sie hier.

Ok, und da unten, ich hatte mehrere Schreibweisen. Also statt dem Integral über Omega, F, D, Mu. Und unter Umständen lasse ich das Omega weg, um die Schreibweisen abzukürzen. Und wenn es auf das Argument ankommt, weil die Funktion vielleicht mehrere Argumente hat, schreibe ich F von Omega, Mu, D Omega. Lass unter Umständen genauso das Groß-Omega weg.

Ok, Fragen soweit? Keine Fragen, dann können wir den eigentlichen Erwartungswert definieren.

Wir haben einen Wahrscheinlichkeitsraum und eine Zufallsvariable. Der Wahrscheinlichkeitsraum der ersten beiden Komponenten ist ein Messraum. Hinten haben wir noch ein Maß, also sogar ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Wir haben eine messbare Abbildung, nämlich X von Omega nach R. Und wir definieren dann einfach E x als Integral über x dp.

Gibt Definition 521. Wir haben ein Wahrscheinlichkeitsraum Omega ap.

Wir haben x von Omega nach R als reelle Zufallsvariable. Dann heißt E x definiert als Integral über Omega x dp.

Einfach Integral x dp. Sofern dieses Integral existiert, sofern existent, Erwartungswert von x.

Was meine ich hier mit sofern existent?

Wann kann das Integral nicht existieren? Wir haben es definiert als Differenz von zwei Integralen, f plus und f minus.

Und wenn beide unendlich sind, ist es nicht definiert. Also ich habe das da ja nur gemacht im Falle, dass das erste kleine unendlich ist oder das zweite kleine unendlich. Das heißt, es kann sein, der Erwartungswert existiert nicht, wenn das Integral über x plus dp gleich unendlich ist und das Integral über x minus dp gleich unendlich ist.

Ich hatte das Ganze motiviert mit dem Beispiel 515. Da hatten wir die zehn perfekten Schützen, zehn Enten. Die Schützen haben unbeeinflusst voneinander eine Ente ausgesucht und auf die geschossen und die dann auch getroffen. Und die Frage war, wie viele Enten überleben? Und wir haben schon gesehen, dass die überleben zwischen null und neun Enten.

Also im Beispiel 515 gilt für die Zahl x der überlebenden Enten.

Dieses x von Omega. Na ja, wenn Sie überlegen, x nimmt ja nur die Werte 0, 1 bis 9 an. Das heißt, wir haben eine Funktion, die nimmt nur endlich viele verschiedene positive Werte, nicht negative Werte an.

Damit ist es eine nicht negativ einfache Funktion. Ich kann es schreiben als nicht negativ einfache Funktion, indem ich es einfach schreibe. Summe k gleich 0 bis 9, Wert k mal die Indikatorfunktion, dass er angenommen wird. Und weil ich x von Omega schreibe, schreibe ich bei der Indikatorfunktion jetzt nicht die gleiche Variable, sondern ich nehme Omega quer.

Das heißt, ich habe diese Darstellung. Dann sehen wir, x ist eine nicht negativ einfache Zufallsvariable.

Und daraus folgt, wenn ich mir e x angucke, was mich ja interessiert, den Erwartungswert. Dann war das nach Definition das Integral über x dp.

Und das kann ich jetzt unmittelbar hinschreiben. Kann mir jemand von Ihnen sagen, was da jetzt rauskommt als Erwartungswert, als Formel? Also wie kann ich dieses Integral jetzt als entsprechende Summe schreiben? Was muss ich jetzt hier machen?

Also Sie haben eine einfache Zufallsvariable. Sie haben n gleich 10, alpha 1 wäre 0, alpha 2 wäre 1 und so weiter. Und die Menge a1 haben Sie hier, wäre die Menge mit k gleich 0, a2 wäre die Menge mit k gleich 1 und so weiter. Was ist dann das Integral nach Definition?

Vorschläge?

Also Sie brauchen die Definition des Integrals für nicht negativ einfache Integranten. Und wie ging die?

Summe k gleich 0 bis 9, k mal mu, also Maß von der Menge, die bei der Indikatorfunktion mit dem Index k steht.

Oder bei der Funktion k steht. Mu haben wir hier nicht. Wir nehmen p. Das heißt, Sie nehmen die auftretenden Funktionswerte, machen Gewichte des Mittels. Die Mittel sind die Maßwerte von den Mengen, wo sie angenommen werden.

Das heißt, wir kommen auf Summe k gleich 0 bis 9, k mal Wahrscheinlichkeit jetzt von der Menge aller Omega aus Omega, x von Omega quer gleich k.

Okay, also unmittelbar nach der Definition. Das war Definitionsschritt 1. Ich kann es jetzt noch mal kurz verschreiben, dass wir einfach k mal die

Wahrscheinlichkeit, dass x den Wert k annimmt, von k gleich 0 bis 9 aufsummiert. Also Sie bilden ein Gewicht des Mittels der auftretenden Werte, die beim Zufallsexperiment rauskommen.

Die Gewichte sind die Wahrscheinlichkeiten, die vorliegen. Also eigentlich eine unmittelbar plausible Formel. Wir merken dazu, diese Definition von Erwartungswert als Mittelwert ist plausibel, denn diese Definition von Ex als Mittelwert ist plausibel.

Und das können Sie, oder so eine Definition als Mittelwert können Sie wie folgt herleiten. Wir gehen davon aus, wir haben von dem Zufallsexperiment unbeeinflusst voneinander Werte erzeugt, n Werte, klein x 1 bis klein x n.

Das heißt, wir haben das Zufallsexperiment immer wieder durchführen lassen, die Schützen schießen lassen und die überlebenden Enten gezählt und das nächste Mal gemacht und so weiter. Also sind x 1 bis x n Werte von x bei n maliger unbeeinflusster Wiederholung des Zufallsexperiments.

So gilt, wenn ich mir einfach das Mittel dieser Werte angucke, also das arithmetische Mittel dieser Werte angucke und

für eine große Anzahl an Wiederholungen würde ich sagen, okay, das ist eine plausible Näherung für meinen Mittelwert, Erwartungswert. Dieses arithmetische Mittel kann ich umschreiben. Ich schreibe als erstes mal diese Summe um.

Ich habe hier Endzahlen, die ich aufaddiere. Die Zahlen nehmen jeweils einen der Werte von k gleich 0 bis 9 an. Anstelle diese Zahlen einzeln aufzuaddieren zähle ich zunächst von jeder einzelnen dieser Zahlen k, k gleich 0, k gleich 1, k gleich 2 und so weiter. Wie oft kommt sie vor und multipliziere dann deren Anteil oder deren Anzahl mit dem Wert.

Das heißt, ich bilde hier Summe k gleich 0 bis 9, k mal Anzahl der 1 kleiner gleich i kleiner gleich n, wo x i gleich k ist.

Anders ausgedrückt, ich ändere die Reihenfolge der Summation ab. Ich addiere erst alle Nullen auf, dann addiere ich alle Einsen auf, dann addiere ich alle Zweien auf, alle Dreien und so weiter bis alle Neunen.

Wenn ich alle Dreien z.B. aufaddiere, dann mache ich das eben so. Ich zähle, wie viele Dreien gibt es und bilde dann dreimal diese Anzahl. Und da endlich das Summen nicht von ihrer Summationsreihenfolge ab ändern, ist es das Gleiche. Nicht von ihrer Summationsreihenfolge abhängen, ist es das Gleiche. Dann ziehe ich den Faktor 1 durch n herein, dann kommen wir auf k mal diese Anzahl geteilt durch n.

Und dann wird sich aus, diese relative Häufigkeit, die hier steht, strebt ja für n gegen endlich gegen die entsprechende Wahrscheinlichkeit. Das war unser empirisches Gesetz der großen Zahlen.

Das heißt, das Ding ist für n groß, ungefähr gleich der Wahrscheinlichkeit. Und damit sehen Sie, diese ganze Summe, die da steht, ist ungefähr gleich Summe k gleich 0 bis 9, k mal die Wahrscheinlichkeit, dass x gleich k ist.

Für n groß.

Okay, Fragen soweit?

Ja, damit haben wir die Formel für den Erwartungswert. Jetzt müssen wir nur noch ausrechnen. Sie sehen aber sofort, was Sie jetzt eben ausrechnen müssen, ist die Wahrscheinlichkeit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 0 Enten überleben? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Ente überlebt? Und so weiter bis wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 9 Enten überleben?

Also z.B. wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Enten überleben? Dann müssen Sie halt überlegen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 10 schützen, wenn sie sich unbeeinflusst voneinander entscheiden, genau auf 7 verschiedene Enten zielen.

Und nicht mehr. Und das Problem ist eben, diese Wahrscheinlichkeiten sind nicht offensichtlich. So ein kombinatorisches Problem sieht nicht schön aus. Also Problem in Beispiel 515, die Wahrscheinlichkeiten sind schwierig bestimmbar.

Die Wahrscheinlichkeit, dass x gleich k ist, ist schwierig bestimmbar.

Ausweg dafür wird sein, dass wir diese Zufallsvariabel, die uns interessiert, als eine Summe von Zufallsvariablen darstellen.

Endliche Summe. Von jedem einzelnen Summanden elementar die Wahrscheinlichkeiten werden ausrechnen können. Und zwar sie werden einfach aufaddieren die Anzahl der überlebenden Enten. Sie addieren einfach eine 1 auf, falls die Ente i überlebt und eine 0, falls die Ente i nicht überlebt.

Und addieren das auf für i gleich 1 bis 10. Dann kommen Sie auf die Anzahl der überlebenden Enten. Dann zeigen wir allgemein, Erwartungswert von der Summe ist die Summe der Erwartungswerte. Wird Inhalt, Hauptinhalt der nächsten Vorlesung sein. Der entsprechende Satz wird auf den Satz für Maßintegrale zurückzuführen sein.

Und dann rechnen Sie die einzelnen Erwartungswerte aus und sind fertig. Aber machen wir nächste Vorlesungsstunde.