Trennungssätze
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Formal Metadata
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| Part Number | 3 | |
| Number of Parts | 22 | |
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| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/31326 (DOI) | |
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EquationHalf-space (geometry)Set (mathematics)Computer programmingSobolev spaceNetwork topologyFunction (mathematics)MaßtheorieMathematical singularityConvex setSquareVector spaceINTEGRALAlgebraic closureInfinityIntegrationstheorieInequality (mathematics)Constraint (mathematics)Beta functionDifferenzmengeFunctional (mathematics)Hilbert spaceHyperplaneConvex setFunctional (mathematics)Dot productContinuous functionStetiges FunktionalContinuous functionSubsetZielfunktionSummationLogical constantReal numberCounterexampleMassLinear subspacePoint (geometry)Absolute valueAbschätzungDimension nNegative numberSequelInterior (topology)OptimumOptimization problemInclusion mapDirection (geometry)Lagrange multiplierExponential functionRadiusKompaktheitGreatest elementSupremumSchnittpunktSign (mathematics)Closed setMinkowski-GeometrieAbgeschlossenheit <Mathematik>Durchschnitt <Mengenlehre>Lineare FunktionDualraumMatching (graph theory)Art 2DualismEigenvalues and eigenvectorsSequenceValuation using multiplesScheibeLinieNormed vector spaceField extensionDecision theoryDirac equationPlane (geometry)Plane (geometry)Haar measureChain ruleMoment (mathematics)Norm <Mathematik>TheoryRollbewegungUntere SchrankeNumberLengthDerived set (mathematics)ZeitraumSierpinski triangleSpring (hydrology)Reflexive spaceDreiecksungleichungComputer animation
Transcript: German(auto-generated)
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Letzte Vorlesung war ja so ein bisschen technisch, aber das brauchen wir eben alles für das Hauptresultat jetzt, was heute kommt und ich hoffe ich schaffe es heute noch, weil das alles immer so im luftleeren Raum schwebt und man nicht so genau weiß, warum und wofür
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und was ist jetzt die Krux dabei und ist da alles w-endig-dimensional. Habe ich mir ein Beispiel überlegt, da bin ich echt stolz drauf, wo man mal sieht. Aber bevor ich dazu komme, also erst mal noch mal die technischen Sachen von letzter Woche. Wir hatten die Hüberebene eingeführt, naja, einfach, ja, das ist ja im Skript, so, war ja auch nur Wiederholung von letzter Woche.
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Das ist glaube ich nicht so schlimm. Also wird definiert durch eine Zielfunktion nach x Stern und eine reelle Zahl alpha und dann ist eben die Hüberebene exakt so definiert, wo diese praktisch lineare Funktion da erfüllt ist.
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Okay, dann haben wir das Minkowski Funktional eingeführt, mit dem man konvexen Mengen definiert, ja, praktisch beschreiben kann, wie es definiert hier oben, ja, wie groß muss ich die konvexen Menge C aufblasen, wenn x außerhalb der Menge liegt,
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damit dann x irgendwann in der aufgeblasenen Menge drin liegt, so ist praktisch das, so ist praktisch, ich weiß es nicht, legen Sie mal den Schal ab, danke, da ist es praktisch anschaulich definiert.
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Man kann über P einiges beweisen, es ist nicht linear, aber sublinear, also positiv homogen und es gilt dieses Pendant, das Minkowski Funktional ist stetig und ich hatte bereits angedeutet, man kann die Menge C mithilfe des Minkowski Funktionales von C
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irgendwie beschreiben, was innere ist, genau wo Pc kleiner eins ist und der Abschluss von C ist, wo es kleiner gleich eins ist. Das brauchen wir als eine Zutat und die weitere Zutat ist der Satz von Hahn-Bannach, man sagt auch in Extension-Form auf Englisch, in Fortsetzungsform, mit dem wir dann unsere Version des Satzes von Hahn-Bannach, man nennt ihn auch in geometrischer Form, beweisen können.
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Dafür brauche ich nur, dass es ein reeller Vektorraum ist, es muss immer linear sein oder es braucht noch niemals normiert sein. P, subliniares Funktional, U, ein Unterraum und F, ein lineares Funktional, was auf diesem Unterraum definiert ist.
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Das lebt erst mal nur auf dem Unterraum und für alle x auf diesem Unterraum gilt, dass f von x kleiner als kleiner gleich P von x ist, als dieses gegebenes subliniares Funktional. Dann kann ich dieses Funktional f, was erst mal nur auf U lebt, auf dem ganzen Raum fortsetzen, wie er mit F bezeichnet.
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Das lebt dann als lineares Funktional auf dem ganzen Raum und das Schöne ist, dass sich diese Ungleichung, die ich nur auf dem Unterraum hatte, jetzt auch für das F auf dem ganzen Raum fortsetzt.
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Wenn das P dann noch stetig ist, lässt das eine Abschätzung für das F von x zu und oftmals und ich kann damit beweisen, dass es stetig ist als lineares Funktional. Und nochmal hier den Begriff der Fortsetzung bedeutet einfach nur, F lebt im Gegensatz zu F
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auf dem ganzen Raum und Fortsetzung deshalb, weil auf dem Unterraum ist es genau dieses kleine F. Das ist der Satz von Hahn-Bannach, eines der fundamentalen Sachen der linearen Funktionalanalyses, die Sie hoffentlich alle hatten in der entsprechenden Vorlesung.
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Es gibt ja so ein paar Sachen im Prinzip, der gleichmäßig beschränkt hat und so was und dieser Satz von Hahn-Bannach, der gehört glaube ich auch zum Kanon. Damit kann ich jetzt etwas machen, nämlich eine geometrische Form dieses Satzes von Hahn-Bannach beweisen, die Sie vielleicht auch der
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eine oder andere aus seiner FA-Vorlesung kennt, aber das geht dann schon manchmal über das hinaus, was man da so hat. Eine Sache wollte ich aber noch machen und zwar, wenn jetzt eine Abschätzung, die wir sehr oft gebrauchen
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werden, eine Ungleichungskette, die wir oft gebrauchen werden, wenn wir mit Hahn-Bannach zu tun haben, ist Folgendes. Also ich habe irgendwie ein F, das ist eben diese Fortsetzung, linear und
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mein P, das sublinäre Funktional, so wie Sie im Satz von Hahn-Bannach auftreten. Der Tafel wäre nicht so, das ist auch biologische Aussonderung von kleinen Menschen.
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Dann folgt die Abschätzung, die das Resultat oder eine Resultat vom Satz von Hahn -Bannach war, dass ich diese Abschätzung habe, für alle x aus x, dann folgt Folgendes. Dann geht die natürlich auch für Minus x und das Ganze mit Minus 1 durchmultipliziert, folgt Minus P von x kleiner gleich, Minus F von Minus x.
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F ist aber linear, also kann ich Minus 1 reinziehen, dann habe ich hier F von x und jetzt nutze ich einfach wieder diese Ungleichung. Und das werden wir oft benutzen. Und jetzt sieht man schon, P
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soll sublinär sein, das heißt positiv homogen und dieses Dreiecksungleichungs-Pendant gilt. Was könnte P dann also sein? Natürlich die Norm, das ist immer so das trivialste Beispiel eines sublinären Funktionales. Dann hat man hier die Norm von x stehen und hier steht Minus die Norm von Minus x, Norm von Minus x ist Norm von x, also Minus Norm von x, Norm von x.
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Das heißt, ich kann das F von x hier sozusagen, den Betrag davon durch die Norm von x abschätzen. Das werden wir oft benutzen. Das kommt eben direkt aus dieser Ungleichung. Okay, so und jetzt kommt der entscheidende Trennungssatz, den wir jetzt mal, der dann eben aus dem
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Satz von Hahn-Bannach folgt und der heißt eben oft auch Satz von Hahn-Bannach in geometrischer Form. Bei C in x, konvex, mit einem x, ein linear normierter Raum, soll ich das
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noch mit dazu schreiben, hatte ich ja eh mal vorausgesetzt, ich lasse das jetzt mal weg. Mit nicht leerem Inneren, das ist immer das Problem. Dafür heute am Ende dann das Beispiel.
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Bei y, Element x, mit y nicht im Inneren von C gegeben.
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Okay, dann gibt es eine Hyperebene, die y enthält, aber keinen Punkt vom Inneren von C.
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Ich kann das Innere von C also von dem y trennen.
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Das heißt, es existiert x Stern aus x Stern nach der Definition der Hyperebene und ein C aus R mit der Eigenschaft, wobei die Hyperebene definiert.
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Y soll da drauf liegen, das heißt, y erfüllt gerade die Gleichung der Hyperebene und kein Punkt im Inneren von C soll auf der Hyperebene liegen. Das heißt, da muss irgendwie eine echte Ungleichung gelten, zum Beispiel das.
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Und so war das definiert, so hatten wir Trennung definiert, man kann da noch unterscheiden zwischen strikter Trennung. Das hier ist eben keine strikte Trennung, da möchte ich aber darauf verzichten.
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Das bedeutet eben zum Beispiel, ich habe hier C, ich habe hier y, dann kann das natürlich so aussehen. Oder eben auch C, dass die Hyperebene das gerade tangiert, dass y also ein Randpunkt im C ist.
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Okay, anschaulich völlig klar, der Beweis ist jetzt auch nicht so schwierig. Wir wollen eben den Satz von Anbanach anwenden und OBDA nehmen wir erstmal an, dass 0 ein innerer Punkt von C war.
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Das braucht man fürs Minkowski-Funktional, wenn das nicht der Fall ist, dann verschieben Sie die ganze Aufgabe. Wenn jetzt A irgendwie ein innerer Punkt von C ist, dann betrachten Sie die Menge
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C minus A und den Punkt y minus A und dann haben Sie genau das Setting. Dass das 0 in der Menge ist als innerer Punkt, das denke ich klar. Okay, jetzt definiere ich mir einen Unterraum, wenn ich überlege Anbanach, da
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brauche ich einen Unterraum und ein Funktional, das ich irgendwie fortsetzen will. Und dieses fortgesetzte Funktional, das wird dann genau das x Stern sein. Okay, gucken wir doch mal, definiere ich mir einen Unterraum U. Und das ist ein Unterraum, der unheimlich oft beim Satz von Anbanach benutzt wird.
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Es existiert alle x für diesen Alf, die ich so darstellen kann als Vielfaches von meinem y. Der Unterraum Y ist der Punkt, der eben aus dem Satz, der nicht in der Menge liegt. Er ist praktisch einfach der Unterraum, der durch y aufgespannt wird.
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Es ist trivialerweise ein Unterraum, wenn ich zwei da drinnen habe. Okay, und ich brauche noch ein lineares Funktional auf U.
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Und das definiere ich einfach als f von alpha y, das sind ja die Elemente aus U, ist alpha. Dass das linear ist, ist auch klar.
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Nehmen Sie jetzt zwei Elemente aus U, alpha y plus beta y, naja, es sieht so aus, alpha plus beta ist f von alpha y plus f von beta y, ganz klar. Okay, jetzt habe ich also genau dieses Setting. Und jetzt brauche ich aber noch, was war jetzt der Satz von Anbanach? Ich brauche einen Unterraum, ich brauche ein lineares Funktional auf dem Raum, okay, habe ich.
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Und dann brauche ich noch, damit ich das fortsetzen kann, ein sublineares Funktional, das das beschränkt. Nach oben, naja, nicht beschränkt, nur nach oben beschränkt, okay, gut. Und das ist das Minkowski Funktional. Okay, jetzt bräuchte ich eigentlich, wäre es gut, wenn ich das Ding so aufstellen könnte, das mache ich auch mal.
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Dann können wir nämlich die Sachen immer genau wieder anschauen. Wofür habe ich denn diese Wiederholung? So, wir wissen jetzt, das y liegt nicht im Inneren von C.
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Das Innere von C wird aber durch das Minkowski Funktional charakterisiert. Das ist, ich kann ja hier zeigen, das ist diese Geschichte. Das heißt, daraus folgt das PC von y ist größer gleich 1 und das ist gerade F von y, nach Definition von F.
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Na, da ist alpha gleich 1. Okay, das habe ich erst mal. Und jetzt nehme ich mal, sei alpha größer 0, dann folgt, nehme ich diese ganze Ungleichung mal mit alpha mal,
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da mache ich es mal ausführlich, alpha PC y ist gleich PC alpha y, warum?
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Positive Homogenität, Subliniarität des Minkowski Funktionales. Das ist größer gleich F von alpha y, weil F auf dem Unterraum, und wenn ich mit alpha das mal nehme, bin ich im Unterraum linear.
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Also habe ich jetzt hier diese Geschichte, diese Abschätzung. Bei alpha kleiner gleich 0, dann folgt F von alpha y gleich alpha F von y.
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F von y ist 1, mal irgendwas Negatives ist kleiner gleich 0 und das ist kleiner gleich PC von alpha y,
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weil ich weiß, das Minkowski Funktional ist immer positiv. Wird das inf über alle r größer 0 gebildet, also ist es auf jeden Fall positiv, nicht negativ. So, daraus folgt, damit habe ich aber den ganzen Unterraum abgedeckt hier.
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Der Unterraum ist genau der Span von y, muss ich nur gucken, alpha größer 0, alpha kleiner gleich 0, habe ich alle alpha erfasst und für jedes gilt F von x ist kleiner gleich, hier F kleiner gleich PC, F kleiner gleich PC, gilt immer das.
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Weil alle x in u lassen sich eben als alpha y darstellen. Damit habe ich alles erfüllt, was ich bei Hahn-Bannach brauche. Unterraum, lineares Funktional und das Minkowski Funktional eben als sublinäres Funktionales oberes Schrank. Ok, daraus folgt, das ist eben Hahn-Bannach, es gibt eine Erweitung F auf dem ganzen Raum
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mit f von x gleich klein f von x, alle x element u und f von x ist kleiner gleich Minkowski Funktional.
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Jetzt hatte ich hier hingeschrieben, jetzt nutze ich diese Ungleichungskette, also ich bin jetzt nicht fertig.
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Also ja, hier ist doch schön, habe ich jetzt schon das lineare Funktional gefunden, was ich hier brauche. Nein, weil Hahn-Bannach sagt mir erstmal nur linear, über Stetigkeit sagt er nichts aus. Ich muss jetzt noch die Stetigkeit von dem Ding beweisen.
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Und da hilft mir diese Ungleichungskette. 1, 3 sagt mir, dass minus f von minus x kleiner gleich f von x kleiner gleich pc von x.
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Daraus folgt, und ich weiß, pc ist stetig. Daraus folgt, und pc von 0 ist 0.
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Das war es Minkowski Funktional, nochmal, Menge zusammenschrumpfen, dass die 0 in der Menge liegt, da ist klar, ich kann die Menge auf den Ursprung zusammenschrumpfen. Ok, jetzt muss man nur gucken, wenn ich x gegen 0 laufen lasse, geht auch das gegen 0, pc ist stetig, pc von 0 ist 0.
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Also geht daraus folgt, f von x geht gegen 0 für x gegen 0. Ist das eben klar? Ich habe hier oben eine untere Schranke, die gehen beide gegen 0, weil pc stetig ist und pc von 0 gleich 0 ist.
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Und dann geht da eben natürlich auch das in der Mitte gegen 0. Ok, damit weiß ich, f ist stetig in einem Punkt, und weil es linear ist, ist es stetig in allen Punkten. Linieare Funktionen, Funktionen, die in einem Punkt stetig sind, sind in allen Punkten stetig.
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f ist stetig, das heißt, das Groß f ist ein Element aus dem Dualraum, linear und stetiges Funktional.
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So, damit bin ich eigentlich fertig, das Groß f macht jetzt nämlich genau das. Jetzt muss ich mal gucken, genau. Und, was gilt noch? Es gilt das f y, y ist ein Element aus U.
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Ist klar, ich bin ein bisschen doof auf hier rumgehocke. f von y, so ist es definiert, ist die Fortsetzung, auf dem Unterraum stinkt es mit dem kleinen f überein, und das ist 1. Und es gilt x, ja doch, f, x, also f von x sozusagen, ist, wo habe ich es stehen,
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ist die Fortsetzung, ist also kleiner als das sublinieare Funktional, das Minkowski Funktional,
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f c von x, und jetzt nehme ich die x, die im Inneren liegen. Und im Inneren weiß ich, da ist das Minkowski Funktional, hier steht es, echt kleiner 1. Das folgt hier, kleiner 1 für alle x Element interior von c.
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Ja, und jetzt muss man nur scharf hingucken, jetzt bin ich fertig. Das heißt, f ist genau mein Element x Stern und mein c ist 1. f y ist 1, f x ist kleiner 1 für alle x Element interior, das heißt, ich bin genau hier.
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Ich habe genau damit die Aussage bewiesen. Ja, gar nicht schwer, also die Hauptarbeit ist wirklich mit dem Satz von Hahn-Bannach gemacht. Wenn ich weiß, ich kann das fortsetzen, dann muss ich mir nur ein bisschen mit dem Minkowski Funktional hin und her werfen, dann habe ich genau hier diese Trennung bewiesen.
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Okay, um noch einen Hinweis, ist natürlich nicht eindeutig. Ich kann jetzt hier nach Linearität von F das Ganze mal 5 nehmen, dann habe ich wieder eine Trennung.
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Also, das ist denke ich klar. Aber Hauptsache, ich habe einen. Gut, jetzt haben wir schon einen Punkt getrennt von einer konvexen Menge mit Lichtlehrer im Inneren.
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Und auf Basis dessen kann man jetzt relativ einfach zeigen, dass man auch konvexen Mengen trennen kann.
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Weil eben eine immer dieses nicht leere Innere haben muss.
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Jetzt haben wir gesehen, dass das Innere von c in dieser Hypermenge enthalten ist. Er quatscht eben nicht in der Hypermenge, sondern in dem offenen Halbraum, der dadurch die Hypermenge definiert wird.
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Und dann ist irgendwie klar, dass dann der Abschluss von c in dem abgeschlossenen Halbraum liegt. Das ist jetzt da im Skript diese Bemerkung. 1, 11, die spare ich mir mal.
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So, mit dem Satz, also ich hatte gesagt Punkt Menge, haben wir jetzt getrennt. Kommen wir also zum nächsten Satz, wo wir zwei Mengen trennen. Das ist der Satz 1, 12. Und obwohl der dann jetzt fast triviale Konsequenz ist, hat er auch einen Namen, das Eidl-Heidsche Trennungs-Satz.
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Eidl-Heids-Separation-Serie.
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Okay, bei x, Linja und Viertauum, wie immer. Also das ist wirklich nicht konsequent. Manchmal schreibe ich Sinn, manchmal nicht, tut mir leid. Okay, das geht hier nicht mehr.
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Linja hat den Raum. Und c1, c2, Teilmenge von x, konvex, mit int von c, ist nicht leer.
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Also ich brauche auch hier, ach so c1, ich brauche auch hier irgendwie nicht leeres Inneres.
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Außerdem gilt c2, geschnitten int c1, ist, oh ne, jetzt hier brauche ich leere Mengen. Also kein Punkt von c2 liegt im Inneren von c1.
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Dann existiert eine trennende Hyper-Ebene.
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Das heißt, existiert ein x Stern, Element x Stern, mit der Eigenschaft, x Element c1, x Stern x, kleiner gleich, inf, x Element c2.
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Die beiden werden also wieder durch so eine lineare Funktion getrennt.
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Okay, so und der Beweis ist jetzt nicht schwer, mit Hilfe dessen, was wir schon haben. Ich führe das jetzt praktisch nur auf das zurück, was wir eben schon haben. Und ich definiere mir eine Menge c. Das ist einfach die Differenzmenge. Wir gucken, worum es definiert hat.
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C2, also alle x, mit der Eigenschaft, dass x sich darstellen lässt als x1, minus x2, x1, Element c1, x2, Element c2. Man sieht sofort, in c ist nicht leer.
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Weil das Element, das Inneren von c2 ist nicht, c1 ist nicht leer und ich versuche das mal aufzuzeichnen. Kennen Sie sich vor, diese Kartoffel hier, ich hoffe ich mache jetzt keinen Fehler, ist c1.
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Und c2 ist jetzt mal eine Menge hier, eine komplexe Menge, ein bisschen anders aussieht. Dann ist klar, diese Differenz, ich weiß jetzt nicht, ob ich die richtige Differenz bilde, die müsste dann wahrscheinlich irgendwie so aussehen.
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C1 wird entlang von c2 so verschoben. Wenn meine Vorstellung mich jetzt nicht täuscht. In jedem Fall ist klar, dass jeder innere Punkt in c1, der wird einfach nur um Elemente von c2 verschoben und bleibt dadurch natürlich innerer Punkt, weil die ganze Umgebung bleibt da auch in der Menge c. Einmal lieber wieder weg.
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So, und, das ist schon mal schön, habe ich nicht leeres Inneres, das brauchte ich eben für diesen Trennungsatz. Und es gilt, dass 0 ist nicht Element in von c.
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Wenn 0 Element im Inneren von c wäre, dann gäbe es zwei Punkte x1, x2, dann gäbe es einen Punkt aus dem Inneren von c1 und einen Punkt aus x2,
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sodass die gleich wären, das heißt es läge einen Punkt von c2 im Inneren von c1 und das darf laut Voraussetzungen nicht gelten.
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Ich muss mal hinschreiben, denn sonst würde gelten, dass c2 geschnitten in c1 ungleich leere Menge wäre. Gibt das jeder? Gibt es irgendein x2, sodass da zwei Punkte gleich sind und im Inneren liegen,
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und dann habe ich dort einen Punkt von c2 im Inneren von c1. Okay, so, das, das daraus folgt jetzt nach Han Banach,
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also beziehungsweise nach unserem Satz 1c, den wir gerade bewiesen haben. Es existiert ein, jetzt nenne ich das nicht mehr Groß f, sondern x Stern aus dem Dualraum, x Stern ungleich Null mit der Eigenschaft, der die Null von c trennt.
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Das also gilt, x Stern Null ist gleich Null und x Stern x, kleiner oder größer Null,
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habe ich mir mal kleiner Null definiert, das ist wieder natürlich nicht eindeutig, also mit Minus x Stern würde ich genau das andere vorzeichnen. Der die Null vom Inneren trennt, für alle x Element interior von c, kann ich echt nicht schreiben.
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Das ist der Trennungssatz. Hieran sieht man auch sofort, dass das x Stern nicht Null sein kann. Weil das Innere von c ist nicht leer und hier soll irgendwie eine echte Ungleichung gelten,
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d.h. das x Stern muss ungleich Null sein. Ok, da kann ich jetzt echt nicht mehr weiterschreiben. Jetzt gilt eben das, ausfolgt x Stern, x in c, die lassen sich als diese Differenz darstellen,
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für alle x 1 Element c 1, x 2 Element c 2, das ist ein Element aus c bzw. kleiner gleich Null,
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kleiner gleich Null, weil für das Innere von c gilt es mit echter Ungleichung, wenn ich den Abschluss nehme, wegen Stetigkeit von x Stern, habe ich dann hier kleiner Gleich.
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So, und damit bin ich jetzt schon durch. Element c, x 2 Element c 1, x 2 Element c 2.
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Ja, und jetzt bilde ich hier das Supremum über alle Elemente aus c 1 und hier das Infimum über alle Elemente aus c 2. Und daraus folgt dann, es existiert eine Konstante c, das R mit der Eigenschaft Sup,
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das Element c 1, c 2, x Stern, x 2.
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Da habe ich also zum einen 1,4 sofort bewiesen und die trennte Hyper-Ebene ist dann eben x Stern,
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x gleich dieses c, ich nenne die mal h, also alle x, die das öffnen. Das heißt, Setting sieht irgendwie so aus, c 1, c 2 und das h liegt dazwischen.
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Okay, also ganz einfach darauf zurückgeführt. So, das ist ja irgendwie alles sehr schön und ich sage Ihnen jetzt schon wofür das Ganze gut ist,
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das schwebt jetzt irgendwie so luftleer im Raum, wir können jetzt so konvexen Mengen trennen. Der Punkt ist, dass dieses x Stern, das wird irgendwann mal unser Lagrange-Multiplier, unser Lagrange-Multiplikator sein. Da sieht man schon, das Ding kommt aus einem Dualraum.
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So ein Dualraum kann manchmal was schönes sein, ist oft aber auch was sehr Schlechtes. Das deute ich jetzt schon mal in ein paar Beispielen an. Fragen, würde ich jetzt sagen, oder?
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Also, ich nehme mal ein x 1 Element interior von c 1, ich nenne das mal y. So, das heißt, es existiert ein Ball mit Radius delta oder rho oder was weiß ich, um die y, der auch in c 1 enthalten ist.
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Und daraus folgt jetzt aber, dass der Ball, also der umgehende Kugel mit Radius delta um y minus irgendein x 2,
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was aus c 2 ist, das x 2 ist nicht aus dem Inneren der Menge, das ist ja egal, das brauche ich ja nicht.
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Ja, wenn c 2, ja. Okay, aber sonst existiert das. Formal sollte man das noch hinschreiben, ist richtig.
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Nächstes Jahr im Inneren, dann hat es ein näheres Inneres. Okay, so, und jetzt, das heißt doch, jetzt bin ich doch fertig, oder?
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Das ist doch jetzt b delta y minus x 2. Oder? Ja, ich habe eine Kugel, hier ist x 2 und die wird dann einfach verschoben.
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Ja, und das ist dann ein Element der Menge. Beantwortet das die Frage? Ist das okay? Das ist immer so, ich meine, für mich jetzt auch, hier vorne rumtun, ist immer so ein bisschen, okay, aber gut, das ist ja richtig.
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Und da, das stimmt. Aber nee, ist richtig. Ich nehme das noch mit rein, das ist ein guter Hinweis, da sollte man auch exakt sein, dass man fordert, dass die Mengen nicht leer sind.
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Bei c 1 hat man das wegen dem natürlich sofort, aber bei c 2 sollte man es noch hinschreiben. Okay, so, und jetzt kommt eine wichtige Bemerkung. Bemerkung 1.13. Man kennt die Trennungs-Sätze im Endlich-dimensionalen.
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Und die, da gibt es Personen, die das nicht fordern. Trennungs-Sätze in Rn, im Endlich-dimensionalen, fordern nicht in Thieria, c 1, ungleich 0.
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Die brauchen das nicht. Und kann man dort eben anders beweisen.
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Nicht ohne, ohne dieses Minkowski-Funktional, auf das das letztendlich alles zurückführt. Deswegen habe ich das mit dem Minkowski-Funktional jetzt in der Vorlesung auch relativ ausführlich gemacht. Also nicht, ich schreibe es ja auch nochmal hin, die Existenz eines inneren Punktes.
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Und jetzt gibt es aber viele Mengen im Endlich-dimensional, deren Inneres leer ist.
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Zum Beispiel L2-Funktionen mit der Eigenschaft V von x größer als 0. Naja, das kann ich jetzt nicht in jedem Punkt fordern, weil die sind ja gar nicht in jedem Punkt definiert, aber fast überall. Also auf 0 Mengen darf es irgendwie negativ sein, aber sonst nicht negativ.
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LWR in 0,1. Okay, und diese Menge hat ein leeres Inneres. Wie man sehr schön sieht, die Leute aus der Optimatstörung, die kennen das Beispiel schon. Für alle anderen will ich das mal anführen.
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Nehmen wir mal uns, das ist jetzt kein exakter Beweis, sondern eher so eine grafische Illustration.
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Nehmen wir uns mal eine Funktion aus L2 vor, vielleicht sogar stetiges, die vermeintlich im Inneren liegt. Jetzt kann ich Folgendes machen, die Argumentation ist wirklich sehr einfach. Ich nehme hier irgendwie bei 0,5 zum Beispiel eine kleine Menge und da
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ändere ich die Funktion ab, indem ich sie hier irgendwie auf negativen Wert setze. Und das hier auf einer kleinen Menge an mit einem Maß von an ist 1 durch n.
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Diese Funktion nenne ich Vn und die Funktion hier nenne ich V.
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Man folgt daraus, dass V minus Vn in der L2-Norm gegen 0 konvergiert.
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Das sieht man sofort. Die L2-Norm bildet einfach das Integral übers Quadrat. Und das, dass die hier sich auf einer kleinen Menge unterscheiden, das fällt beim Grenzübergang nicht mehr ins Gewicht, weil der Maß der Menge verschwindet.
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Daraus folgt so eine Funktion V, die vermeintlich im Inneren der Menge liegt. Ich bin ja weg von der Null. Kann ich approximieren durch eine Folge Vn, die außerhalb der Menge liegt. Damit ist die Randpunkt.
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Daraus folgt, da kann man sich leicht vorstellen, dass jede beliebige Funktion V, die vermeint wegen dieser Ungleichung hier, mit echter Ungleichung erfüllt, so argumentiert.
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So kann man dann zeigen, dass die Menge ein leeres Inneres hat. Das heißt, diesen Satz kann ich jetzt zum Beispiel für diese Menge nicht anwenden. Trotzdem kann ich diese Menge trennen. Aber ich möchte Ihnen, wie man sich auch leicht überlegen kann, ein Beispiel angeben für eine Menge und Punkt, die ich nicht trennen kann.
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Das Beispiel ist nicht so einfach zu finden. Da muss man schon ein bisschen rumtricksen. Aber es hat weitreichende Konsequenzen. Und man sieht auch an dem Beispiel eigentlich ganz gut, dass ich mich irgendwie in Funktionen rumbegeben muss.
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Im Endlidimensionalen würde das alles so nicht klappen.
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Das ist das Beispiel 114. Und zwar betrachte ich die Menge C auch wieder L2-Funktionen. Das habe ich genau, ich glaube minus 1, 1.
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Mit folgender Eigenschaft X gleich Null ist Stetigkeitspunkt. Jetzt sage ich gleich etwas, was das heißt. Von V und V von Null ist größer als 1.
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So, was meine ich jetzt mit Stetigkeitspunkt? Kennt jemand von Ihnen den Begriff des Lebesk-Punktes? Ich habe lange überlegen und glaube, das ist nicht dasselbe.
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Stetigkeitspunkt bedeutet einfach Punkt. Es existiert ein Repräsentant, der im besagten Punkt stetig ist.
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Mit anderen Worten, in so einer Umgebung um die Null herum, müssen diese L2-Funktionen stetig sein.
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L2-Funktionen, die können ja irgendwie springen. Also jetzt hier komme ich an, springe nach hier oben. Natürlich L2, L und endlich, aber nicht stetig. So etwas wäre nicht erlaubt. Oder natürlich auch nicht irgendwelche Sachen, die hier irgendwie eine Singularität zweiter Art haben.
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So etwas will ich ausschließen. Aber es gibt natürlich wirklich viele L2-Funktionen, die das erfüllen. Man kann sich leicht überlegen, bei beiden Singularitätsformen, also so einem Sprung oder auch so einer echt Singularität, die dann abhaut, kann ich keinen Repräsentanten finden, der dort in dem Punkt stetig ist.
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Okay, kann ich hier mal definieren. Warum nicht? Und betrachte weiter die Funktion W-Element L2, W identisch Null, die Null-Funktion.
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Wenn ich da jetzt einen Repräsentanten, also da kann ich natürlich einen Repräsentanten ausfällen, der in der Null stetig ist. Die Funktion, die wirklich überall Null ist, da ist stetig in der Null. Und da sieht man auch, wenn ich irgendwie einen beliebigen Repräsentanten auswähle,
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der in der Null stetig ist, dann muss dort V von Null gleich Null sein. Sonst hätte ich einen Sprung. Es kann natürlich Repräsentanten geben, wo V von Null nicht gleich Null ist, aber dann habe ich dort einen Sprung, also keinen Stetigkeitspunkt mehr.
48:02
Also die Schreibweise ist ein bisschen lax. Das heißt, nimm einen dieser Repräsentanten, es gibt mindestens einen, der stetig ist, nimm den einen und da soll größer gleich Null sein. Und hier nehme ich dann dieselbe laxe Formulierung. Daraus folgt V von Null ist Null und daraus folgt W ist nicht in der Menge.
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Nicht in der Menge. Das ist, denke ich, klar. Ja, heißt das denn jetzt, das ist doch gut. Und C ist konvex.
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Auch das ist einfach. Wenn ich jetzt zwei Funktionen habe, wo X gleich Null ein Stetigkeitspunkt ist, dann auch von deren Summe oder Differenz oder Linearkombination und wenn die beide größer gleich eins sind, dann auch die entsprechende Konvexkombination.
49:03
Aber, und das kann man genauso argumentieren, wie bei dem L2-Beispiel, das ich eben angeschrieben habe, das Innere von C ist leer. Weil die Topologie nicht passt. Das ist was punktweises und ich habe aber eine integrale Topologie.
49:24
So, und jetzt kann man wirklich, das heißt, es sieht alles ganz gut aus, konvex, aber hier, und das heißt, unser Theorem ist nicht anwendbar.
49:47
Und in der Tat, kann man diese beiden Mengen, also die W und C, nicht trennen, wie ich jetzt zeigen werde.
50:04
Dann haben wir mal eine Widerspruchsannahme. Es existiert eine trende Hyper-Ebene, eine nicht triviale trende Hyper-Ebene.
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Also, es existiert ein Z aus X Stern, das ist L2, 01 Stern, naja, und den als Hilbertraum identifiziere ich immer mit L2. Eins, mit der Eigenschaft trende Hyper-Ebene.
50:44
Also, Skalab, duale Paarung, beziehungsweise hier eben Skalarprodukt. W, Z, L2, das ist genau Null, weil W ist die Nullfunktion.
51:01
Und V, Z, L2 ist kleiner gleich Null. Für alle V-Elemente C. Das wäre so eine trende Hyper-Ebene.
51:20
Und aus den dualen Paarungen in dem Satz wird eben Skalarprodukt. Ich habe direkt identifiziert L2-Stern mit L2. Ok, ich schreibe das nochmal aus. Es folgt also hier Degal minus 1 bis 1, Z, V, Dx, das ist das L2-Skalarprodukt, kleiner gleich Null, für alle V aus C.
51:45
So, und jetzt wähle ich eine Funktion Zn, definiere ich als 1, X Element, ein bisschen um die Null herum,
52:08
und Z von X, natürlich nur bis auf Null Mengen,
52:22
weil ich bin ja in diesem Lebesque Setting. Daraus folgt, X gleich Null ist Städtigkeitspunkt von Zn,
52:46
um die Null herum in so einem kleinen Intervall ist es immer 1, also stetig. Und, ja, C, A. Ich nehme eben einen dieser stetigen Repräsentanten aus,
53:03
und der muss dann den Wert 1 annehmen. Daraus folgt, Zn ist in dieser Menge alle N. Ok, daraus folgt jetzt Null.
53:21
Ich weiß, für alle diese Mengen, weil angenommen Z ist eine Trende Hyper-Ebene, gilt diese Ungleichung, Dx. So, jetzt muss ich nur aufspalten.
53:40
Dann geht es mit 1 bis ein bisschen an die Null ran. Da sind Zn und Z gleich, also Z². Das sieht man sehr schön, das ist schon eine L2-Norm. Plus, dann kommt es von minus 1 durch N bis 1 durch N. Da ist Zn gleich 1, also habe ich hier nur das Integral über Z.
54:02
Plus, und jetzt geht es weiter den Rest, und da kriege ich wieder Z². Dx. Das heißt, das ist gleich die L2-Norm, Quadrat.
54:23
Von über dem Intervall minus 1 bis 1, ohne diese kleine Menge, bis N, die fehlt, plus dieses kleine Restintegral, Zdx.
54:43
So, und jetzt muss man noch ein bisschen Maßtheorie betreiben, Integrationstheorie. Da kann man sehen, weil das Z per Annahme irgendwie, es existiert als L2-Funktion, da würde sogar L1 reichen. Da kann man zeigen, dass das Integral verschwindet,
55:01
weil das Maß einfach gegen Null geht. Das Maß dieser Menge geht gegen Null, dann verschwindet das Lebesque-Integral. Und auf der anderen Seite habe ich hier die L2-Norm, die schneit so ein bisschen was raus. Da kann man sich aber auch sehr einfach überlegen, dass das hier gegen die L2-Norm konvergiert.
55:22
Einfach immer, weil das Maß der Mengen gegen Null geht. So, ich zitiere hier mal, wer da Zweifel hat, kann im Buch von Alt nachschauen. Ich habe da auch ausgeschrieben, was es ist. Das ist das Lemma A1 17, also der Beweis ist auch nicht so schwer.
55:46
Okay, das heißt, Kleiner gleich Null, daraus folgt, Z ist Null, das Trivialelement. Das heißt, diese Ungleichung hier ist nur für Z gleich Null zu erfüllen.
56:03
Und das ist genau, wir wollten ja keine Triviale übereben. Ich meine, mit Null geht es immer, aber das ist langweilig, das ist keine Trennung. Okay, ist das jedem klar hier? Wo die Konstruktion von dem Beispiel? Gut. So, und jetzt frage ich Sie, was das Problem ist an dem Setting,
56:27
ist, dass der Raum mit seiner Topologie nicht zu dieser punktweisen Betrachtung passt. Da sieht man schon daran, dass ich mir da einen abgebrochen habe, das überhaupt zu konstruieren. Stetigkeitspunkt, whatever. So, in welcher Topologie hätte jetzt dieses Beispiel nicht funktioniert?
56:45
Keine Idee? Die Norm ist die falsche. Die L2-Norm hier ist die falsche. Welche Norm muss ich nehmen, wenn es punktweise ist? Supremus-Norm. Ich brauche die Supremus-Norm. Okay, und in der Supremus-Norm hätte ich diese Überlegung hier nicht machen können.
57:05
Das heißt, ich hätte hier die Supremus-Norm nehmen müssen. Zum Beispiel dann eben den zugehörigen Raum, nehmen wir direkt mal den Raum der stetigen Funktion, C. Endlich halten wir uns nicht lange auf, also C. Stetige Funktion, da brauche ich dann den Stichkeitspunkt V größer gleich A1.
57:24
Da hätte ich das nicht machen können. Ich hätte diesen Widerspruch nicht herleiten können. Hat jetzt irgendwer noch eine Idee, ohne das groß zu motivieren, wie dann dieses Element der trennenden Hyper-Ebene aussieht?
57:44
Aus dem Dualraum der stetigen Funktion. Irgendeine Idee? Das ist die Rackmaß in der Null. Ich nehme genau den Wert in der Null. Der ist hier immer größer 1 und hier gleich Null, und dann kann ich trennen. Das ist die Diraksche Delta-Funktion. Das ist natürlich eine linear- und stetige Funktion.
58:02
Die kann ich punktweise zugreifen. Das ist aus C-Stern. Da funktioniert das dann. Und da kann ich dann wirklich trennen, weil ich punktweise zugreife. Und da funktioniert das mit der L2-Topologie nicht mehr. Das setzt schon mal einen Vorgriff darauf. Das heißt also, wenn ich hier den Raum, den C-Stern hier nehme,
58:24
dann kann ich mit dem Dirakmaß hier eine trennte Hyper-Ebene konstruieren. Mit dem Dirakmaß in der Null. Das heißt aber, wenn ich eben so eine Menge hier habe, und so punktweise Ungleichungsbedingungen hat man oft in der Optimierung.
58:43
Willst du irgendwas optimieren? Und an dem einen Punkt soll es aber größer gleich Null sein. Das kann durchaus sinnvoll sein in irgendeiner Aufgabenstellung. Dann heißt das, ich komme nicht mehr mit der L2 zurecht. Das sind immer angenehme Räume, sind hilbar, trauen alles wunderbar. Ich muss hier in andere Räume mit einer strengeren Topologie. Zum Beispiel im Raum der stetigen Funktion.
59:01
Dann ist die trennte Hyper-Ebene aus dem Dualraum. Und das ist der Raum Dualraum auf dem Raum der stetigen Funktion. Und der ist ekelhaft. Dann kann ich im Einimensionalen immer noch mit Stetiges Integralen darstellen. Und ansonsten wird das der Raum der regulären Bohrlmaße.
59:20
Unangenehm. Also das ist schon mal so ein Vorgriff, was uns da noch erwartet. Das Ganze würde natürlich nicht passieren, wenn ich hier fordern würde,
59:41
dass das Integral über V² größer ist als irgendwas. Dann hätte ich wieder innere Punkte, weil die Topologie zur Norm in L2 passt.
01:00:11
So, und jetzt kommt wieder was, was sich so stark an das Endlichdimensionale anlehnt,
01:00:23
und zwar der Begriff der Stütz-Hyper-Ebene. Stütz-Hyper-Ebene und Stütz-Funktional.
01:01:04
Das ist jetzt eine andere Möglichkeit, konvexere Mengen zu charakterisieren, mit Hilfe ihres Stütz-Funktionals und der Stütz-Hyper-Ebene. Die kennen Sie vielleicht auch noch aus dem Erste-Endlich-Dimensionalen-Optimierung. Da kommt das auch vor, und man darf das nicht unterschätzen.
01:01:24
Das kann ein wichtiges Tool sein, um konvexere Mengen zu untersuchen.
01:01:45
Eine Hyper-Ebene H in einem linear normierten Raum,
01:02:01
heißt Stütz-Hyper-Ebene, für eine konvexere Menge C aus diesem Raum,
01:02:21
falls ein X-Element C quer existiert mit X-Element H,
01:02:45
und C ist von dieser Hyper-Ebene aufgespannten Halbraum enthalten. Oder, weil Hyper-Ebene die eindeutig definiert, kann man mit Minus 1 durchmultiplizieren, eben entsprechend diese Inklusion.
01:03:08
Das heißt, C enthalten in X-Element, X, X-Stern, X, größer gleich, kleiner gleich,
01:03:24
ich hoffe Sie wissen, dass eines H plus, das andere H minus, C. Je nachdem, wie ich die Hyper-Ebene definiere. Das sind die abgeschlossenen Halbraum,
01:04:03
der C enthält, den nennen wir Stütz-Halbraum.
01:04:33
Das Setting ist eben so, ich habe eine konvexere Menge, das wäre der gemeinsame Punkt mit der Hyper-Ebene,
01:04:42
hier H und hier den entsprechenden Halbraum, völlig klar. Und jetzt sieht man auch sofort, da muss man, wann solche Sachen existieren, da muss man gar nichts beweisen, das ist eine direkte Folge aus unserem, aus dem Satz von Herrn Banner.
01:05:00
Deswegen habe ich das auch nicht Satz genannt, sondern nur Kohle A. Ist aber in der Literatur, 1.16, durchaus bekannt als Support-Theorie. Also ich wusste nicht, Stütz-Satz wollte ich jetzt nicht hinschreiben, das ist mir zu doof.
01:05:25
Da findet man die Literatur oft als Support-Theorie. Bei C eine konvexere Menge mit nicht leer im Inneren.
01:05:53
Und X aus C, kein innerer Punkt. Also dieses Setting, was wir da brauchen, von C,
01:06:12
dann existiert also genau so eine Stütz-Hyper-Ebene.
01:06:25
Hyper-Ebene in X, das ist die direkte Folge. Das ist genau einfach unser Satz 1.10 angewandt.
01:06:50
Okay, so, und dann werden wir jetzt nochmal überlegen, ich hatte Ihnen eben angedeutet, ja, man kann jetzt solche Stütz-Hyper-Ebenen usw. benutzen, um konvexere Mengen zu charakterisieren.
01:07:01
Das kennen Sie auch aus der Nichtlinäroptimierung. Eine konvexere Menge ist immer genau der Durchschnitt all Ihrer Stütz-Albräume. Ich lege die jetzt hier überall dran, dann brauche ich hier auch im unendlich Dimensional schon unendlich viele. Und wenn ich die alle nehme, dann kriege ich genau die konvexere Menge.
01:07:21
Und genau das gilt unter bestimmten Umstellungen auch oder Voraussetzungen auch im unendlich Dimensional. Das ist der Satz 1.17. Diese Beschreibung kann ich aus eigener Erfahrung sagen, die ist gar nicht schlecht, die kann man oft benutzen.
01:07:48
Ich beweise das für einen reflexiven Bahnachbau. Und C, geschlossene und konvexere, jetzt brauche ich nicht mehr die,
01:08:14
eine Menge von X. Jetzt brauche ich nicht mehr, dass das Innere von C nicht leer ist.
01:08:28
Dann ist C, genau jetzt die Formulierung, wie im unendlich Dimensional, gleich dem Durchschnitt seiner Stütz-Albräume.
01:08:55
Und der Beweis geht fast, mit all den Zutaten, die wir schon haben, geht jetzt fast genauso wie im unendlich Dimensional.
01:09:02
Ich will den aber nochmal wiederholen, weil in dem Beweis, der in dem Skript zur Einführung in die Optimierung drin ist, ist wohl ein Fehler. Ja, weiß ich, auf jeden Fall habe ich es nicht gesehen.
01:09:25
Ja, das kriege ich jetzt hier doch wieder nicht drauf, ich wische erst mal.
01:09:58
Und ich weiß auch nur, wie man das beweisen kann, also ich habe nur einen Beweis gefunden.
01:10:05
Man findet das immer so lax in den Büchern, ich habe aber das nur exakt beweisen können in einem Bahnachbau, im reflexiven Bahnachbau. Das ist ziemlich einschränkend, stetige Funktionen sind da zum Beispiel nicht mehr bei.
01:10:22
Vielleicht sehen Sie ja, wenn ich das anschreibe, wie man das in allgemeineren Räumen beweisen kann.
01:11:06
Dann nehme ich erst mal das Symbol H plus square, das ist der Durchschnitt aller Stützhalbräume, so wie ich das mal bezeichne.
01:11:31
Und da klar ist, C liegt in jedem Stützhalbraum, per Definition oder Konstruktion, so sind die Stützhalbräume eben definiert.
01:11:50
Daraus folgt natürlich auch, dass C im Durchschnitt liegt. Ok, das ist einfach. Das Problem ist jetzt die andere Inklusion.
01:12:03
Zu zeigen ist also, ich glaube ich zeige nicht die andere Inklusion, ich zeige einfach nur Gleichheit. Widerspruchsannahme, die sind eben nicht gleich, das heißt es existiert ein Y.
01:12:35
Ich weiß aber schon, dass C darin enthalten ist, das heißt ich muss nur noch zeigen, dass kein Y existiert in dem Durchschnitt aus den Stützhalbräumen, das aber nicht in C liegt.
01:12:50
Dann wäre die Menge größer und es gäbe irgendwelche Elemente dazwischen sozusagen. Das ist die geeignete Widerspruchsannahme. Wenn ich jetzt zeigen kann, dass kein Y existiert, dann weiß ich aufgrund der Inklusion, die müssen gleich sein.
01:13:03
Ist klar, oder? C habe ich als abgeschlossen und konvex vorausgesetzt.
01:13:22
Y soll nicht in C sein. Daraus folgt, Y muss positiven Abstand von C haben. Nicht beliebig nahe an das C rankommen, weil das ist abgeschlossen. Es gibt keine Folge aus C, die gegen Y konvergiert.
01:13:41
Echt größer an Null. Wir haben eine gewisse Distanz dazu. Ist auch klar, wegen der Abgeschlossenheit. So, jetzt kommt der entscheidende Punkt. Ich weiß jetzt, ich habe einen Y, was nicht in C liegt. Das hat sogar positiven Abstand von C.
01:14:02
Das heißt, ich kann C und die Kugel B, D, Y, die kann ich jetzt trennen. Weil die Kugel hat nicht leeres Inneres. Das ist nämlich gerade Y. Die kann ich trennen durch die Hyper-Ebene.
01:14:21
Dann muss ich einfach nur den Radius so groß machen, dass da draußen eine Support-Hyper-Ebene wird. Dass die Hyper-Ebene irgendwann die Menge C berührt. Wenn ich jetzt hier keine Kugel drum lege, kann ich da irgendeine drüber legen. Dann mache ich die Kugel immer größer, größer, größer. Dass ich das dann irgendwann hier tangiere. So, dafür muss ich das aber genau zeigen, dass ich irgendwann hier auch mal die Menge C berühre.
01:14:44
Und das ist nicht so trivial. Und das ist auch im Endlich-Dimensionalen nicht so einfach. Ich habe mir immer das Gegenbeispiel überlegt. Man nehme den Epigraf der E-Funktion.
01:15:06
Also das. Sicherlich die Absisse. Der legt sich halt so an die Absisse ran. Scheint also so eine Art Support-Hyper-Ebene zu werden.
01:15:23
Also Stütz-Hyper-Ebene. Aber es gibt natürlich keinen Punkt, den die Absisse mit diesem Epigraf der E-Funktion gemeinnahm. Das heißt, es ist per Definition keine Support-Hyper-Ebene. Und solche Fälle muss ich ausschließen. Deshalb muss ich jetzt irgendwie zeigen, dass es einen Schnittpunkt gibt zwischen der Kugel, die ich trennen will, und der Menge C.
01:15:45
Und dafür brauche ich den reflexiven Banachraum ab. Warum reflexiver Banachraum? Weil ich eins der Existenzresultate verwenden muss, das ich in der letzten Woche bewiesen habe.
01:16:07
Wir zeigen, dass das Inf angenommen wird. Das Infimum hier. Dass es wirklich ein X gibt, sodass der Abstand nur D ist.
01:16:29
Endlich dimensional wird ja dann fast schon reichen. Es wird schon reichen, dass die Menge C beschränkt und abgeschlossen ist. Im unendlich dimensionalen wissen wir, Kompaktheit nicht so easy.
01:16:43
Brauchen wir noch Konvexität. Haben wir hier aber. Also, das ist hier 1,5. Wir betrachten die Optimierungsaufgabe.
01:17:09
Das Problem mit 1,5 ist, dass diese Optimierungsaufgabe zu diskutieren ist jetzt schwierig. Weil C kann unbeschränkt sein. Irgendwie offen. Geht in eine Richtung gegen unendlich.
01:17:22
Das steht ja da nicht. Das heißt, ich muss mich auf eine beschränkte Menge zurückziehen. Das kann ich aber machen. Zum Beispiel auf folgende Optimierungsaufgabe. X minus Y in der X-Norm. Bei den Nebenbedingungen. X soll schon aus C sein.
01:17:41
Jetzt habe ich genau das Problem wieder oben. Und X minus Y beträgt davon kleiner als 2 mal D. Auf die Menge kann ich mich zurück suchen, wenn ich das Optimum hier suche. Außerhalb des Optimums ist der Abstand zu Y schon größer als 2 mal D.
01:18:01
Da wird sicherlich nicht dieses Infilum des Abstands angenommen. Also, das nenne ich jetzt P. Und von dem Problem P kann ich in der Tat zeigen, dass das Optimum angenommen wird. Was muss ich immer machen, wenn ich Existenz von Optima beweisen will? Ich muss mir die Nebenbedingungen angucken. Und ich muss mir die Zielfunktionen angucken.
01:18:20
Dann gucke ich mir erst einmal die Zielfunktion an. Zielfunktional von P. Das ist als Norm sicherlich stetig. Und das ist aber auch konvex wegen der Dreiecksunggleichung. Das sieht man sofort.
01:18:45
Deshalb mache ich es unterhalb stetig. So, was ist mit den Nebenbedingungen?
01:19:06
Das sehen wir hier. Das ist eine konvexene Menge. Das ist sicherlich eine konvexene Menge. Kreis mit Radius 2D. Das heißt, als Durchschnitt war ja konvexer Mengen sicher konvex.
01:19:22
Durchschnitt war ja abgeschlossener Mengen auch abgeschlossen. Und, das mag ja unbeschränkt sein, aber das natürlich dann nicht mehr. Unbeschränkt.
01:19:42
Deswegen musste ich mir dieses Hilfsproblem schaffen, dass ich mich auf diese Kugel mit Radius 2D zurückziehe. So, und jetzt kann ich benutzen. Gucken, wie hieß das? Satz 3, 3, 3. Was ist so völlig sinnlos?
01:20:04
Wenn ich jetzt erst bei 1 bin. Ach so, weil der dann anfängt neu zu nummerieren. Ja gut, dann Satz 3, 3.
01:20:23
Aus Kapitel 1. Das heißt, es existiert, wie habe ich das genannt, ein X-Square oder was? Ja, bei X-Schlange. X-Schlange. Globales Minimum von P.
01:20:44
Das heißt, das Infimum wird angenommen. Das heißt, X-Schlange minus Y in der X-Norm. Der Abstand davon ist wirklich D. Und X-Schlange lebt auch in der abgeschlossenen Konvexenmenge C.
01:21:02
Okay, also. Das heißt, wenn ich den Ball mit Radius D hier rumlege, jetzt ist das hier natürlich denkbar doof gezeichnet, dann kriege ich hier so ein X-Schlange. Können auch mehrere sein, klar. Aber am mindestens eins habe ich und mehr brauche ich nicht.
01:21:22
So, jetzt bin ich de facto fast fertig. Betrachte jetzt, genau wie da aufgemalt,
01:21:48
die abgeschlossene Kugel um den Punkt Y mit Radius D. Dann gilt zunächst erstmal,
01:22:01
Y ist natürlich im Inneren dieser Kugel, weil D echt größer Null war. Das ist trivial. Und B, D, Y, also das nicht das abgeschlossene, das soll ich vielleicht auch interior vorschreiben.
01:22:22
Ich hatte die immer als offene Kugeln definiert, aber machen wir das nochmal, damit das ganz klar wird. Geschnitten C ist die leere Menge. Warum? Na ja, wenn das nicht die leere Menge wäre, dann wäre D hier nicht das Infimum. Dann würde ich Punkte aus C finden, die näher an Y dran sind.
01:22:41
Ja, okay. So, damit bin ich in dem Setting, weil ich habe zwei konvexen Mengen, B, D und C. Die einen hatten nicht leeres Inneres, also gibt es eine Trente über Eben. Satz 112, das ist dieser Eitelheitsschatz.
01:23:05
Es existiert eine Hyper-Eben, eine H0. Irgendwie wieder so eine Form, die C und B, D, Y trennt.
01:23:31
Das heißt, C ist in einem Einhalbraum enthalten.
01:23:47
Natürlich nur im Abschluss, weil C ist selber abgeschlossen. Und B, D, Y ist in einem anderen Halbraum enthalten.
01:24:05
So, es gilt, dass X-Schlange
01:24:20
ist aus C geschnitten der abgeschlossenen Kugel. Ja, hat ja genau den Abstand D. Das heißt, X-Schlange liegt in beiden, was nur sein kann, wenn es diese beiden Ungleichungen mit Gleichheit erfüllt.
01:24:46
Muss also gleich Alpha sein. Daraus folgt, dass X-Schlange in H0 liegt. Und jetzt bin ich fertig. Daraus folgt, dass H0 eine Stützhyper-Ebene ist.
01:25:02
Nochmal, ich habe eine Stützhyper-Ebene, wie war es definiert? Es gibt einen Punkt aus der Menge, der in der Hyper-Ebene liegt, und die ganze Menge liegt in dem abgeschlossenen Halbraum, den die Hyper-Ebene aufspannt. Genau das ist erfüllt.
01:25:22
Daraus folgt, H0 ist Stützhyper-Ebene. Und das hier, weiß ich wieder
01:25:41
an meiner eigenen Plattstation nicht mehr, ist H0, ich glaube, das war immer Plus, und H0 Plus ist Stützhalbraum.
01:26:03
Aber Y, als Mittelpunkt dieser Kugel, liegt natürlich nicht in dem Stützhalbraum. Im Widerspruch dazu,
01:26:22
dass Y einen Durchschnitt aller Stützhalbraume liegt. Ich habe also hier einen gefunden, wo Y nicht drin liegt, und damit bin ich hier fertig. Im Widerspruch hergestellt. So einen Y kann es nicht geben, und damit habe ich hier die Gleichheit. Sehr schön. Also ich kann tatsächlich das so machen.
01:26:43
Was wollte ich jetzt noch sagen? Denn wenn jetzt der Raum kein reflexiver Bannerraum ist, dann weiß ich ehrlich gesagt nicht, wie man zeigen soll, dass hier das Infimum angenommen wird. Und dann kann ich nicht zeigen, dass ich so eine X-Schlange habe,
01:27:02
was in C und in der Kugel liegt, und damit hier in der Hyper-Ebene. Aber ich habe die Stützhyper-Ebene so definiert, dass sie immer auch Teile von C enthalten muss. Ich kann das Ganze jetzt ein bisschen modifizieren, mit Hilfe der Stützfunktionals. Das werden wir nächste Woche kennen. Damit kann ich auch solche Sachen charakterisieren
01:27:22
und muss dann nicht mehr die Existenz von so einer X-Schlange zeigen. Das kommt dann in der nächsten Woche. Der Beweis geht dann einfacher. Den werde ich mir dann auch sparen, weil er völlig analog zu dem ist, nur dass ich diese ganze Existenzschulse rausnehmen kann. Okay, und dann können wir auch nächste Woche
01:27:41
uns dann schon mal mit einem ersten Dualitätsresultat befassen, wo man schon mal so ein bisschen sieht, wofür das Ganze am Ende überhaupt gut sein könnte. Okay, das war's. Bis nächste Woche. Achso, nein, ich habe noch zwei Fragen. Erstens, ich habe versucht, ohne Sobolev-Räume aufzukommen, und bin grad durstgescheitert. Kennt irgendwer, hat gar keinen blassen Schimmer,
01:28:01
schwache Ableitung, Sobolev-Räume? Kein Problem, einfach Bescheid sagen, muss ich mir was ausdenken. Okay, dann denke ich mir was aus. Und das Zweite ist, ich muss im Laufe des Novembers, bin ich mal eine Woche nicht da,
01:28:21
bin ich an der TU Chemnitz. Auch schön. Ja, ist wirklich schön. Und da würde dann die Mittwochsvorlesung ausfallen, und ich würde sie einfach fragen, wenn das für sie okay ist, dass wir stattdessen mal einen zweiten Freitagstermin machen. Ja, und ich lege den Perdigret fest,
01:28:42
und werde das, ich werde jetzt auch eine Internetseite aufsetzen, wo ich das dann bekannt gebe. Aber ich sag das dann natürlich auch noch mal in der Folge. Okay, und jetzt entlasse ich es. Tschüss.