Mittelwertsatz für harmonische Funktionen
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Formale Metadaten
| Titel |
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| Serientitel | ||
| Teil | 11 | |
| Anzahl der Teile | 14 | |
| Autor | ||
| Lizenz | CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland: Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben. | |
| Identifikatoren | 10.5446/31314 (DOI) | |
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Inhaltliche Metadaten
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VariableGebiet <Mathematik>GleichungLösung <Mathematik>UnlösbarkeitAbleitung <Topologie>StammfunktionStetige FunktionEindeutigkeitParametersystemRandbedingung <Mathematik>Singularität <Mathematik>NormalvektorMeterNichtlineares GleichungssystemIntegralFunktion <Mathematik>VektorHyperbolischer DifferentialoperatorGrundlösungHalbraumGleichmäßige BeschränktheitGreen-FunktionEinheitskreisPoisson-GleichungVorlesung/Konferenz
07:44
Betrag <Mathematik>LängeEinheitskreisGleichungStrahlSupremum <Mathematik>KreisflächeKonjugierter PunktRadiusRichtungGrundlösungQuadratNichtlineares GleichungssystemMengeVorlesung/Konferenz
13:04
Singularität <Mathematik>EinheitskreisGrundlösungVorlesung/Konferenz
14:38
Singularität <Mathematik>Binomische FormelEinheitskreisSphäreQuadratBetrag <Mathematik>Randbedingung <Mathematik>GrundlösungKreisflächeSkalarproduktDifferentialgleichungVorlesung/Konferenz
20:28
Betrag <Mathematik>QuadratVektorrechnungRadiusZahlRichtungRandbedingung <Mathematik>TermumformungFaktorisierungGrundlösungVektorVorlesung/Konferenz
24:45
GrundlösungRandbedingung <Mathematik>Gebiet <Mathematik>EinheitskugelSingularität <Mathematik>Nichtlineares GleichungssystemLösung <Mathematik>EinheitskreisGleichungWärmeleitungVorlesung/Konferenz
27:17
GrundlösungModulformSingularität <Mathematik>Gebiet <Mathematik>SphäreAbleitung <Topologie>GradientRandintegralFlächeninhaltVorlesung/Konferenz
30:23
Ableitung <Topologie>Cartan-AbleitungBetrag <Mathematik>Funktion <Mathematik>QuadratVorlesung/Konferenz
32:53
ZahlentheorieBetrag <Mathematik>ExponentGleichungTermumformungQuadratVorlesung/Konferenz
34:30
Vorzeichen <Mathematik>GradientQuadratVorlesung/Konferenz
35:53
RichtungNormalvektorBetrag <Mathematik>Ende <Graphentheorie>RadiusSkalarproduktMathematikerAbleitung <Topologie>ZahlenbereichMengeQuadratZahlEinheitskreisVektorGradientSkalarfeldFlächenintegralLängeVorlesung/Konferenz
40:58
Supremum <Mathematik>RadiusTermReiheGleichungFourier-KoeffizientEinheitskreisLösung <Mathematik>SinusfunktionVorlesung/Konferenz
43:30
EindeutigkeitAbleitung <Topologie>Gebiet <Mathematik>StammfunktionLösung <Mathematik>MaximumANSYSVorlesung/Konferenz
46:57
Gebiet <Mathematik>PolarkoordinatenStetige FunktionMittelwertMaximumGleichungIntegralLösung <Mathematik>EinheitskreisRadiusMengeIntegrierbare FunktionFlächenintegralGebietsintegralMaximumprinzipDarstellung <Mathematik>ComputeranimationVorlesung/Konferenz
50:31
Harmonische FunktionSphäreMittelwertGleichungMittelwertsatz <Integralrechnung>KreisflächeIntegralrechnungVolumenGrundlösungSummeNichtlineares GleichungssystemFunktion <Mathematik>MengeGebiet <Mathematik>MathematikerPhysikerVorlesung/Konferenz
55:22
MittelwertLineare FunktionVorzeichen <Mathematik>LängeAbleitung <Topologie>Vorlesung/Konferenz
57:34
Exogene VariableAbleitung <Topologie>KonstanteSphäreVorlesung/Konferenz
01:00:27
KreisflächeRadiusGradientAbleitung <Topologie>VektorNormaleNormalvektorRichtungKettenregelDifferentiation <Mathematik>EinheitskugelLängeVolumenSphäreIntegraltransformationFlächenintegralCartan-AbleitungKanteMathematikerFunktion <Mathematik>FaktorisierungVorlesung/Konferenz
01:08:06
IntegralKonstanteAbleitung <Topologie>Vorlesung/Konferenz
01:10:49
SphäreMaximumMinimumVolumenInnerer PunktIndirekter BeweisFlächenintegralBeschränktes GebietMittelwertsatz <Integralrechnung>GrundlösungGleichungUnendlichkeitHarmonische FunktionRadiusMaximumprinzipMathematikerNichtlineares GleichungssystemVorzeichen <Mathematik>MittelwertFunktion <Mathematik>Gebiet <Mathematik>Vorlesung/KonferenzTafelbild
01:20:04
MaximumAbleitung <Topologie>Vorlesung/Konferenz
01:21:30
MaximumMittelwertMittelungsverfahrenVolumenFunktion <Mathematik>Gleichmäßige BeschränktheitHarmonische FunktionMittelwertsatz <Integralrechnung>Innerer PunktMathematikerVorlesung/Konferenz
01:25:29
FlächeninhaltMaximumMengeStetigkeitKonstanteUnendlichkeitAuswahlaxiomSchnitt <Mathematik>Mittelwertsatz <Integralrechnung>RadiusAlgebraisch abgeschlossener KörperGebiet <Mathematik>MengenlehreVolumenMittelwertVorlesung/Konferenz
01:30:23
MaximumStetige FunktionSchnitt <Mathematik>RadiusVorlesung/Konferenz
01:31:37
MaximumStetigkeitVorlesung/KonferenzTafelbild
01:32:55
EindeutigkeitLokales MinimumMengeMinimumMittelwertMaximumLösung <Mathematik>Negative ZahlVorlesung/Konferenz
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Hallo zusammen, fangen wir mal an. Okay, was haben wir letzte Woche gemacht? Die griechische Funktion kennengelernt. Wie sah die aus?
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Funktion, die von zwei Variablen abhängt, Raumvariablen x und y, irgendwelche Ortsvektoren mit mehr N, und die wird gebildet als die Fundamentallösung von dem Differenzvektor gebildet. Also dieser Trichter, den wir jetzt schon ein paar mal hatten,
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und Minus so eine Korrekturfunktion. Und die Korrekturfunktion, die hat folgende Eigenschaft, die ist einerseits harmonisch, also löst Minus Laplace phi von x gleich 0, äh nee, phi x von y. x ist ein Parameter,
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einfach eine feste Stelle, und das ist eine Funktion bezüglich y. Und die löst eben hier diese Laplace Gleichung. Und als eine Randbedingung hat man hier auf dem gegebenen Gebiet Omega, dass phi x von y und dort gleich der Fundamentallösung
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bezüglich dieses Differenzvektors y minus x ist. Wenn ich neben hierbei immer an x, ist eben, stellen Sie sich vor, x eine feste Stelle bei der Lösung dieser patienten Differenzal-Gleichung, die nicht auf dem Rand liegt. Das heißt, ich habe hier keine, x ist nicht im Rand. Das heißt, ich habe hier keine Singularität auf dem Rand.
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Die Fundamentallösung hat ja nur eine Singularität in der Null. Das heißt also hier, wenn y gleich x ist, aber x soll nicht im Gebiet auch nicht auf dem Rand liegen, dann ist die Fundamentallösung über den Rand glatt, hohl definiert, hat dort keine Singularität.
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Und dann kann man sich schon mal vorstellen, dass überhaupt so was so eine Gleichung löstbar ist. Trotzdem haben wir die Lösbarkeit und die eindeutige Lösbarkeit und Existenz einer Lösung für diese Gleichung vorausgesetzt. Das muss man natürlich immer wieder von dem, vom Gebiet Omega abhängig machen, ob dort eine Lösung existiert.
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Wenn jetzt Omega total krude aussieht, einen fraktalen Rand oder irgendetwas ganz Merkwürdiges, dann wird das schwierig, die Lösung, die Existenz hier zu beweisen und zumindest in den Räumen, in denen wir die Existenz benötigen. Wir wissen, wir kennen auch schon Beispiele, wir haben so eine Gleichung schon mal gelöst mit Hilfe der Fourier-Methode.
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Wenn Omega der Einheitskreis ist, also da wissen wir schon, okay, kann schon funktionieren, dass das so eine Funktion existiert. Man setzt die Existenz von dieser Korrekturfunktion eben voraus und dann sieht man auch, dass g hier wohl definiert ist erst mal. Man weiß dann auch, wie sich g bezüglich y verhält. Wenn wir jetzt zum Beispiel wissen, die Korrekturfunktionen hier, die sind
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alle stetig differenzierbar nach y. Ja, dann ist das für festes x hier auch stetig differenzierbar nach y. Wenn nicht gerade y gleich x ist, also hier die Singularität der Fundamentallösung, dann wissen wir auch, dass das eben auch glatt ist. Aber was jetzt bezüglich x ist,
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dieses Verhalten von g bezüglich x, da ist natürlich sehr viel schwieriger. Da müsste man eben sagen, die Lösung dieser Gleichung von dem x abhängen und das ist ja, dass das x geht in diese PDE wie so ein Parameter ein. Das ist sehr difícil, da wollen wir uns nicht drum kümmern. Wenn man jetzt aber
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voraussetzt, dass solche Lösungen existieren, dann kann man was, wofür ist es jetzt alles gut, dann kann man die Lösung von dieser Poisson-Gleichung, haben wir gesehen, auf dem festen Ortsgebiet. Wenn wir jetzt die Lösung im gesamten Raum betrachten, da haben wir schon diese Integralverstellung mithilfe der Fundamentallösung gesehen, aber ganzer Raum, das ist für viele Anwendungen nicht so ganz zweckmäßig.
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Deswegen wollen wir eine PDE betrachten, die auf einem festen orts, beschränkten Ortsgebiet omega definiert ist. Hier mal als Beispiel so eine Poisson-Gleichung. Und dann sieht man, man kann, wenn ich voraussetze, dass so eine Lösung existiert und die ist auch zweimal stichdifferenzierbar, oder auch diese Korrekturfunktionen
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existieren immer, dann kann ich für die Punkte x in omega, nicht die Randpunkte, nur die Punkte x in omega, da kann ich die so darstellen. Da sehen wir, aha, da gehen hier die Inhomogenitäten ein, die Rand-Inhomogenität, die Gebiets-Inhomogenität und diese Green-Funktion. Hier steht die Green-Funktion selber, da muss man natürlich dann hoffen,
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wenn wir jetzt x festhalten, müssen wir hier bezüglich y integrieren. Da sehen wir, da gehen die Korrekturfunktionen ein, wenn die jetzt auch glatt ist und die Fundamentallösung ist auch
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integrierbar, könnte klappen. Hier steht dann noch eine Ableitung, die normalen Ableitungen. Das ist aber die normalen Ableitung bezüglich y und da habe ich Ihnen eben gesagt, was die Green-Funktion bezüglich x macht, aber bezüglich y, wenn ich voraussetze, dass die Korrekturfunktion phi x glatt ist, dann kann ich hier die Ableitung bilden, dann ist das also erst mal alles wohl definiert unter unseren Annahmen.
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Wenn man sich das jetzt so anschaut, dann sieht man, okay, dann kann ich ja wirklich, wenn ich g und f gegeben habe, die Green-Funktion, nehmen wir mal an, ich würde sie kennen, könnte ich, müsste ich jetzt diese beiden Integrale auswerten, könnte eine Lösung angeben, ohne jetzt irgendwie ein Infinite-Element-Programm zu starten oder sonst was.
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Das Ganze hat nur einen Haken, also ich meine, wenn ich mir das angucke, bei der Integral-Astellung für eine Lösung über den ganzen Raum, da stand dann hier irgendwo die Fundamentallösung nur drin. Okay, da sehen wir auch, die Fundamentallösung ist so eine Art Green-Funktion für den ganzen Raum, wenn wir die Analogie ziehen. Die kenne ich, das heißt, im Prinzip
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kann ich dann solche Integrale ausrechnen, wenn ich die Stammfunktion irgendwie rauskriege. Aber was, die Frage ist jetzt, jetzt ist hier dieses g mit dieser Korrekturfunktion, wie sieht jetzt dieses g für gegebenes Gebiet omega aus? Das brauche ich ja noch, wenn ich diese Formel auch nutzen will, und das ist eben nicht so einfach, da ist eben der
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der Clou bei der Sache, das heißt der Clou, oder der Nachteil von der ganzen Geschichte, dass ich dieses g für gegebenes Gebiet omega ermittelt habe. Wenn ich das einmal habe, das g, zum Beispiel für einen Kreis, das ist völlig egal, was die Inhomogenitäten f und g sind, dann kann ich immer
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diese Integrale ausrechnen für beliebiges f und g, und dann habe ich die Form der Lösung. Aber ich muss erst mal die klinische Funktion wissen, so und da gibt es Spezialfälle, wo man die schön analytisch ausrechnen kann, das sind wirklich Spezialfälle. In der Übung
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war es in der letzten Woche, ja, da war der Halbraum dran, oder kommt das jetzt? Ich weiß nicht genau, und ich mache jetzt mal die Kugel, ich mache das Ganze jetzt mal für die Kugel.
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Erst mal auch mal ein Beispiel, wo man diese Klinischen Funktionen wirklich ausrechnen kann, wie Kugel oder
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ein Kreis. Ach so, ich habe mal wieder alle Ankündigungen vergessen, die ich hatte. Wir haben einen Fehler gemacht, ist mir aufgrund von E-Mails, von Kommunikationen von Ihnen ausgefallen, dass wir vergessen haben, die letzte Übungsaufgabe ins Netz zu stellen. Wir haben die ausgeteilt in den Übungen, aber nicht vergessen, ins Netz zu stellen. Ich habe die dann
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vorgestern ins Netz gestellt, also am Sonntag, und deswegen haben wir jetzt gesagt, das ist ja ein bisschen unfähig für die Leute, die es eigentlich am Dienstag abgeben müssen, wollen, sollen, dürfen, wenn sie es nicht mehr schaffen, bis heute geschafft haben, dann gehen sie einfach am Freitag ab. Also für die Freitagsleute ist es egal, die haben eh eine Woche Zeit, und ob es jetzt
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Freitags ins Netz kommt oder Sonntag, das ist mir jetzt erst mal ehrlich gesagt egal, aber für die Leute, die es nicht mehr schaffen, das irgendwie bis heute fertig zu machen und wollten das aber im Sollen das eigentlich heute abgeben, die haben dann halt bis Freitag Zeit. Weil wir das eben vergessen haben. Das betrifft ja auch nicht so viele Leute, weil die meisten, wenn ich das richtig verstanden habe,
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gehen schon in die Übungen und holen sich dann da die gedruckte Version der Übungszelle. Tut mir leid, dass wir das vergessen haben, ins Netz zu stellen. Okay. Augentische Funktion für die Kugel. So, dafür brauche ich erst mal eine Definition. So, das ist immer so ein bisschen, man muss das jetzt so ein bisschen raten, wie das Teil aussehen könnte und
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oder man schaut einfach in Lehrbüchern nach. Wir brauchen erst mal eine Definition dafür. Wenn ich jetzt einen gegebenen Punkt außer der Null betrachte,
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gegebenen Mengen blieb ja ein fester Punkt, dann heißt der folgende Punkt x tilde ist eins durch die Norm von x quadrat
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mal x. Man kann sich vorstellen, wenn x nicht null ist, ist das natürlich wohl definiert. Spiegelpunkt, manchmal auch konjugierter Punkt zu x.
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Was machen wir jetzt mit dem Punkt? Das kann ich jetzt hier nicht mehr hinmalen. Wie sieht das aus, wenn ich jetzt, wir sind bei einer Kugel, 2D Kreis, mal ich mir mal so ein Kreis hier hin.
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Hier ist der Ursprung Null. Hier habe ich den Punkt x und dann sieht man erst mal, bezüglich Ortsvektoren, die Richtung von x tilde ist dieselbe wie die von x. Das sei jetzt hier der Einheitskreis.
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Vielleicht der Radius hat die Länge eins und x tilde muss irgendwo auf diesem Strahl liegen. Was jetzt passiert ist, wenn ich mir das angucke, dann wird hier erst mal
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dieses x die Länge durch den Betrag von x quadrat geteilt. Wenn ich nur durch den Betrag von x teilen würde, dann hätte x tilde die Länge eins, läge also auf der Oberfläche. Jetzt teile ich aber noch mal durch den Betrag von x. Der Betrag von x, das sehen wir hier, der ist kleiner 1, wenn jetzt x in dem Einheitskreis liegt. Das heißt, wenn ich dadurch teile, wird die Länge von dem x tilde
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größer und das schießt dann aus dem Kreis heraus. Das könnte dann zum Beispiel so aussehen. Ist das hier der Vektor? x tilde. Tilde sieht auch ein bisschen komisch aus hier.
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Einfach mal, kann man sich auch um Zahlenbeispiel überlegen. Man denke mal, das x hier geht genau bis zur Hälfte des Einheitskreises, also hat so die Länge eineinhalb. Dann ist es klar, da hat das x tilde die Länge 4 und liegt damit weit außerhalb des Kreises. Das heißt, wir beobachten,
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wenn x im Einheitskreis liegt, dann folgt daraus x tilde liegt nicht mehr da drin, liegt außerhalb des Kreises. Das ist ein wichtiger Einheitskreis, eine wichtige Eigenschaft, die wir jetzt noch beaugen. So, und für diese Korrekturfunktion phi, phi x, also dieses Teil hier, was
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dieses Teil, was im Endeffekt diese Gleichung lösen soll, da setze ich jetzt folgendes an. Das muss ich natürlich dann zeigen, dass die Gleichung löst.
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Phi x von y bei Fundamentallösung von diesem Teil hier an, y minus Spiegelpunkt. So, jetzt muss ich natürlich gucken, das ist so ein Ansatz für diese Korrekturfunktion. So muss ich natürlich gucken,
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ja, passt das denn? Ach so, die habe ich hier mit Kleinphi bezeichnet und hier mit Großphi. Super. Okay, es sind Tippfehler im Skript, da wird die einmal mit Kleinphi und einmal mit Großphi bezeichnet. Ich bezeichne mir lieber mit Großphi. Okay, wie hier an der Tafel.
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Jetzt muss ich natürlich zeigen, dass die das erfüllt. Okay, also was ich erst mal sagen muss, ist, dass die harmonisch ist, dass also phi von phi x von y der Laplace davon gleich Null ist. Ja, okay, jetzt sehe ich erst mal, ich habe das Teil auf die Fundamentallösung gesetzt. Das ist mal eine ganz gute Idee, weil die
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Fundamentallösung ist harmonisch, außer in der Null. Da hat sie eine Singularität. So, jetzt weiß ich aber, was ich da oben schon hingeschrieben habe, wenn y, wenn ich im Kreis bin, und ich will das für den Einheitskreis machen, also ich betrachte, ja, habe ich oben hingeschrieben, die Kugel, aber in der Skizze sieht man es ja, den Einheitskreis. Dann folgt da draus
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das, quatsch, das was ich da oben hingeschrieben habe, jetzt mache ich das normal hier hin, im Einheitskreis. Und daraus wiederum folgt, dass
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y minus x Schlange ist ungleich der Nullvektor für alle y im Einheitskreis. Da kommt nie der Nullvektor raus. Daraus, wo schreibe ich denn jetzt weiter? Brauche ich das jetzt noch? Ja, das brauche ich eigentlich noch. Schreibt mal hier weiter, dann denkt man, Sie können das trotzdem lesen.
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Und daraus wiederum folgt, dass phi minus x Schlange hat keine
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Singularität im Einheitskreis. Daraus folgt, dass phi x
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von y ist unendlich oft differenzierbar über dem Einheitskreis,
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immer wenn x im Kreis liegt. x liegt im Kreis, x tilde liegt außerhalb des Kreises, die Singularität von diesem Teil rückt dann nach außerhalb des Kreises und damit ist die Funktion glatt. Und nicht nur das, die ist auch noch harmonisch. Gleich Null. Ja, warum? Weil die Fundamentallösung harmonisch ist.
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Schreibe mal hinschreiben, also da die Fundamentallösung, ich nenne das mal z, damit wir das nicht irgendwie noch mit diesem y und x verwechseln,
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für z ungleich Null. Und z ungleich Null tritt nicht auf, da aus den Gründen, die ich da oben erläutert habe. Ja, weil das eben nicht Null ist. Das heißt,
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die eine Bedingung in der Differenz-Sagleichung hier, die ist schon mal erfüllt von der Korrekturfunktion. Das habe ich schon, wenn Omega der Kreis ist. Dann brauche ich jetzt noch diese Randbedingung und dafür muss ich jetzt ein bisschen rechnen.
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Jetzt sehe ich nichts mehr. Dafür brauche ich diese Randbedingung. Jetzt fange ich an zu rechnen. So. Jetzt muss ich mir diese Randbedingung angucken. Bleibt zu zeigen.
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Phi x von y ist gleich Phi von, was steht da, y minus x, x minus y, y minus x, y minus x für y auf dem Rand,
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der Einheitsgugel, Randbedingung. Den haben wir immer mit s, Sphäre bezeichnen, eine Sphäre. Jetzt schaue ich mir das mal an. Wie ist dieser Input hier, dieses Betrag x bei y minus x Tilda definiert? Oder wie sieht das aus auf dem Einheitskreis? Dafür berechne ich jetzt folgendes. Das sind natürlich, das sind jetzt Sachen,
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die sieht man nicht wenn man sich das zum ersten Mal auf den ersten Blick anschaut. Das muss man sich eben genau anschauen. Was ist das? Jetzt führe ich hier
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dieses Quadrat aus, Stichwort binomische Formel. Vorne ändert sich nichts. Dann steht hier y Quadrat minus 2. So was ist also y mal dem Skalarprodukt. Was ist das x Tilda? Habe ich jetzt direkt die Definition von x Tilda eingesetzt? Spiegelpunkt, eins durch Betrag von x Quadrat mal x.
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Und dann kriege ich hier hinten noch den, mache ich mal kleinschrittig, das zweite Quadrat und da steht dann hier
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x Quadrat. Kann man direkt als Betrag schreiben. So kann man natürlich kürzen, wie man sieht. So, jetzt wollen wir hier mal ein bisschen rumrechnen. Und zwar, ich mache das mal ganz kleinschrittig. Das ist 1 für y Element S01. Das ist genau das, was ich
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gerade betrachte. Ich werde die Randbedingungen nachweisen. Also, y liegt auf dem Rand. So, und dann habe ich hier eine 1. Dann multipliziere ich hier aus. Dann steht hier x Quadrat minus 2 y mal, dann sieht man, das kürzt sich weg.
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Also, 2y mal x plus, naja, hier, das kürzt sich auch weg. x Quadrat, dann bleibt hier noch 1 durch x Quadrat mal x Quadrat, also plus 1. Und jetzt nutze ich wieder aus, dass das Betrag von y Quadrat ist. Ja, weil hier y liegt auf der Sphäre.
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Ja, was habe ich dann hier stehen? x Quadrat minus 2xy plus y Quadrat. Ist auch wieder ein Binom. Und zwar das von x minus y Quadrat. Einfach zweimal binomische Formel ein bisschen rumgerechnet. So, daraus folgt.
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diese Quadrate sind gleich. Dann kann ich auch die Wurzeln ziehen. Und daraus folgt das Betrag von Betrag x mal y minus x Tilde.
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Das ist nichts anderes als Betrag x, Betrag von y minus x Tilde. Die Quadrate sind gleich, also auch die Wurzeln, also x minus y. So, wofür ist das jetzt nützlich? Jetzt gucken wir uns nochmal, brauche ich das hier eigentlich noch?
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Gucken wir uns mal die Definition dieser Korrekturfunktion an. Da steht genau dieser Input drin. Und da habe ich gezeigt, dass der Betrag davon, der Betrag dieses Differenzvektors hier, der ist gleich dem Betrag von x minus y.
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Oder y minus x schreibe ich immer besser hin. Der Betrag von dem ist ja dieselbe, ist ja in die Richtung egal. y minus x passt dann besser dahin. Okay, so das habe ich jetzt gezeigt. Was habe ich jetzt davon? Ich weiß die Fundamentallösung Phi
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ist radialsymmetrisch. Radialsymmetrisch, so war sie konstruiert. Harmonisch und radialsymmetrisch, dann blieb praktisch bis auf Vorfaktoren, die man dann bestimmt gewählt haben, nur noch diese Form über mit diesem Trichter.
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Also, irgendetwas, zum Beispiel logaritmisches in zweidimensional. Die Definition 3,2 ist das, glaube ich. Das heißt, es gilt so was, das ist jetzt nicht ganz exakt von meiner Schreibweise her.
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Phi von x, also das ist jetzt ein bisschen, hängt eigentlich nur vom Radius ab. Phi von r, kann man natürlich so nicht schreiben. Hier packt man ein Vektor rein, hier nur eine Zahl, aber ich hoffe, ihr wisst, was ich damit meine. Und das ist einfach nur noch Phi vom Betrag von x. Phi hängt nur vom Betrag von x ab. Ja, vielleicht sollte ich das nochmal hinschreiben.
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Beispiel n gleich 2, da ist Phi von x einfach so was wie Konstante, die ich auch immer wieder vergesse, Ln
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Betrag von x. Da sieht man das, hängt eben nur vom Betrag ab. Daraus folgt aber, dass Phi von Betrag x y minus x tilde
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gleich Phi von y minus x ist für y, falls das aus der Einheitskugeloberfläche liegt. Das ist genau das, was ich hier auch genutzt habe. Sollte man hier noch hinschreiben.
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Das habe ich ja bei der Umformung da unten immer benutzt, dass der Betrag von y1 ist, Einheitskugeloberfläche. Das heißt, ich habe hier diese Gleichheit. Ja, und das nach Definition ist das gerade Phi x von y. Also so habe ich es da drüben definiert. Das heißt, mit anderen Worten die Korrekturfunktion
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Phi x erfüllt
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die gewünschte oder diese Laplace-Gleichung. Diese Laplace-Gleichung mit diesen Randbedingungen. Also das. Randbedingungen habe ich gerade nachgewiesen und die, dass das Ding harmonisch
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ist, folgt sofort aus, aus der daraus, dass die Fundamentallösung harmonisch ist. Okay. Ja gut, dann weiß ich jetzt, wie die geringe Funktion aussieht. Die war ja immer nur, dass die Differenz aus Fundamentallösung und Korrekturfunktion. Also
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Definition für 8. Geringe Funktion, die bildet die Einheitskugel
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mit abgeschlossener Einheitskugel. Also x liegt in der Einheitskugel nicht auf dem Rand. Wenn es auf dem Rand ist, habe ich Korrekturfunktion, die Singularitäten auf dem Rand. Das nicht. Also es geht alles immer nur fürs Innere des Gebietes. Aber y, da ist der Rand dabei, nach r, für diese Einheitskugel
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lautet, ja, das was ich jetzt eben festgestellt habe. Phi
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Fundamentallösung minus Korrekturfunktion. Die Korrekturfunktion war eben durch diese Fundamentallösung mit diesem etwas merkwürdigen Input mit dem Spiegelpunkt gegeben. X tilde ist der Spiegelpunkt. Alright. So, jetzt wollen wir uns das auch mal angucken, was wir jetzt damit anfangen können. Betrachte Laplace-Gleichung.
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Betrachten diese Laplace-Gleichung gleich Null und in Omega, also keine Gebietseinhomogenitäten und Omega ist jetzt eben genau der Einheitskreis, so dass ich die Formel ausnutzen kann. Und u
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gleich irgendein F. Das ist ganz konsistent mit der Schreibweise. Wohin? Auf dem Rand. S01, ja, also ich habe jetzt nur Rand-Inhomogenitäten. Nicht gerade irgendwie, wenn das wieder eine stationäre Wärmeleitgleichung ist, u ist die Temperatur, habe ich eben keine Wärmequellen.
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Das ist kein Mikrowellenofen, sondern ich bringe die Wärme über den Rand rein. Hier über so eine Randbedingung. Okay. So. Und dann, jetzt wende ich einfach diese
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diese Formen hier an, die ich hier hingeschrieben habe. Haben wir das ja gesehen. Jetzt für beliebig ist Omega, wenn die Grünfunktion existiert und so weiter, habe ich gerade gezeigt, ja, passt, gibt es. Und so, die ist sogar glatt. Jetzt kann ich, jetzt habe ich, ich weiß ja wirklich, wie g aussieht. Jetzt kann ich das untersuchen.
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Die Fundamentallösung kenne ich, jetzt kann ich untersuchen, wie sind denn die Eigenschaften bezüglich x und y. Kann man sich alles anschauen, das ist auch alles wohl definiert. Die Singularität x ist im Gebiet, die Singularität ist immer draußen. Das passt, weil x tilde immer drauf ist, ist okay. Okay, jetzt gucke ich mir das an. Dann habe ich diese Integralerstellung. Ja, wie gesagt, notationsmäßig ist jetzt ein
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bisschen fragwürdig. Was hier g heißt, heißt jetzt mit dem Beispiel f. Und diese Gebiets-Inhomogenität hier in der Laplace selber, die habe ich nicht. Also, das ist Null, das fällt raus, bleibt nur das integral über. Das heißt, die Lösung, falls existent, also das muss sich immer voraussetzen, das liefert mir nicht die Existenz einer Lösung.
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Nur wenn sie existiert, dann sieht sie so aus. Also, dann hat die folgende Struktur, Struktur u von x ist gleich, ja, und bleibt, wie gesagt, nur dieses Randintegral.
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Der Rand ist die Eins-Kugel-Oberfläche, die Sphäre f von y, dg, dy, xy, ds, y. Sehr schön.
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Okay, so sieht das also aus. Jetzt weiß ich aber, was g ist. Habe ich hier gerade hingeschrieben für die Eins-Kugel-Oberfläche. Jetzt kann ich das ja noch weiter verallgemeinern. Und das ist also auch wieder so eine sehr hübsche Rechnerei.
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Mit g ist jetzt also dadurch definiert. Hier steht die normalen Ableitungen. Jetzt muss ich das g mal ableiten, dann mache ich das doch. Erstmal weiß ich, die Ableitung der Fundamentallösung an irgendeinem Punkt z ist
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gegeben durch, das haben Sie in der Übung auch gebraucht, mal eine Hausaufgabe. Omega n, das ist die Oberfläche, der Oberflächeninhalt der Sphäre durch z hoch n. Mit, für alle z, ungleich 0. 0 habe ich die Singularität.
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Also so sieht das Ding aus. So, daraus folgt Gradient nach, hier steht der Gradient nach y, von g, von x, y.
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Jetzt muss ich dieses Ding hier nach y differenzieren. Da brauche ich hier Kettenregeln. Ja, hier nicht. Was ist die innere Ableitung hier von? Identität 1. Passiert nichts. Das heißt, innere Ableitung ist 1, äußere Ableitung ist das Ding, minus 1 durch Omega n, mal innere Ableitung, mal äußere Ableitung von der inneren Funktion.
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Die innere Funktion ist x minus y, also y minus x durch Betrag von y minus x hoch n.
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Minus, egal. Hier habe ich eine innere Ableitung, das ist Betrag x. Ich schreibe schon mal hin. Betrag x, jetzt die äußere Ableitung, minus 1 durch Omega n. Dann wird aus d minus 1 plus 1 durch Omega n von der inneren Funktion. Und dies ist Betrag x mal y minus x Tilda durch die Norm davon hoch n, also x hoch n, mal y minus x Tilda hoch n.
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So, das kann ich jetzt weiter umformen.
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Ich mache mal hier einen Nebenrechnung.
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Schaue ich mir erst mal diesen Nenner an, der ist einfach. Da habe ich hier ein x, mal Betrag von x ist Betrag von x Quadrat, also Betrag von x Quadrat, mal y minus x Tilda, was war x Tilda? Der Spiegelpunkt, habe ich den noch hier stehen? Ja, der steht hier, x durch Betrag von x Quadrat.
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Das ist also nichts anderes als minus x. Und ich mache noch eine Nebenrechnung. Schaue ich mir das an, da steht x mal Norm von y minus x Tilda hoch n.
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So, und da wusste ich jetzt aber, diese Gleichung, die hat hier auch einen Namen, die heißt 4,8.
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Die Norm davon, und da steht ja die Norm hoch n. Hier, das kann ich ja mit da reinziehen. Oder hier haben wir direkt den denselben Ausdruck, Betrag x mal Betrag y minus x Tilda, ist nichts anderes als der Betrag von y minus x.
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Dann gilt das natürlich auch für die Ente Potenz, wenn y auf der Oberfläche liegt, für y Element S01.
33:44
Das war ja die Voraussetzung, da kann jetzt keiner mehr lesen. Und das nutze ich jetzt da aus. So, hier oben vorne ändere ich mal nichts, eins durch Omega n, y minus x, y minus x hoch n plus, so jetzt hier, eins durch Omega n.
34:05
Dann habe ich hier oben den Nenner stehen, den habe ich schon umgeformt, ist x Quadrat y minus x durch y minus x hoch n. Den habe ich hier umgeformt, für y auf der Sphäre, sonst stimmt diese Umformung da nicht.
34:24
Das geht nur für y auf der Sphäre, aber das genau brauche ich ja hier bei dem Oberflächenintegral, da bin ich ja nur auf der Oberfläche. So, weiter geht's. Daraus folgt Gradient y, g x minus y ist gleich.
34:47
Furchtbar. Jetzt fasse ich das zusammen, dann steht da, ich habe mich auch garantiert verrechnet, y minus x hoch n. Und was steht da oben?
35:04
Plus x, Minus x fällt raus und das y kann ich ausklammern. Dann steht da eigentlich doch nicht verrechnet. Schau an. Ach so, weil ich das Minus, ist auch egal.
35:22
Wie macht man das denn am Ende? Ja, lasse ich das Minus hier vorne stehen, mache ich das so. Minus hier vorne stehen, dann habe ich da eins minus x Quadrat y.
35:41
Das x hebt sich mit dem auf, weil die ein anderes Vorzeichen haben, weil hier vorne nur Minus steht. Und dann habe ich hier das y in beiden Termen, kann ich ausklammern, steht das da. So, für y auf der Sphäre, auf der Oberfläche. So, jetzt steht aber nicht der Gradient hier, sondern hier steht die normalen Ableitung.
36:02
Das ist Gradient mal normalen Vektor. Wie sieht jetzt der normalen Vektor aus? Dafür wieder eine kleine Skizze. Null, y liegt auf der Einheitskugeloberfläche. Das hat also hier den Radius eins.
36:20
Das heißt, der normalen Vektor Null von y zeigt die dieselbe Richtung wie y. Und da y schon einen Betrag, die Norm eins hat, ist das einfach y. Es steht senkrecht auf dem Kreis und hat Länge eins. Das ist genau das, was der normalen Vektor machen soll. Also ist dG dNu xy ist Gradient yG xy mal Nu mal den normalen Vektor.
36:57
Und das ist minus, furchtbar, eins minus x Quadrat y durch Omega N x minus y hoch N.
37:10
Da oben habe ich y als x geschrieben, völlig egal, mal y. Das ist der normalen Vektor. Jetzt steht hier y mal y.
37:21
Das ist Betrag von y Quadrat. Und Betrag von y Quadrat ist eins. Weil y auf der Kugeloberfläche liegt. Das heißt, das hier ist gerade eins.
37:41
Und dann steht hier eins minus Betrag x Quadrat durch Omega N y minus x hoch N. Das ist genau diese normalen Ableitung der grinschen Funktion. Also ein tierisches Gerechner, aber eigentlich nur so straight forward ausgerechnet.
38:07
Ein bisschen umdifferenziert und sich überlegt, wie das dann auf der Oberfläche aussieht. So, jetzt haben wir das bewiesen und dann brauche ich das nur noch einsetzen. Daraus folgt, u von x ist gleich, wird aber da oben eingesetzt.
38:25
Das ist eine Integration über y. Das heißt, ich kann da eine Menge rausziehen. Nämlich alles, wo kein y mehr drin steckt, das ist vor allen Dingen das hier. Der zähler, der komplette zähler und das Omega N. Das ist die Einheitskugeloberfläche.
38:44
Omega N, dann kommt das Integral über die Einheitskugeloberfläche. Und dann bleiben die Teile da drin, die von y abhängen.
39:03
Das ist diese, dieses Integral. Das ist die Lösung. Wenn ich jetzt y gegeben habe, dann sehen wir hier, muss ich dieses Oberflächenintegral auf, f gegeben, muss ich dieses Oberflächenintegral aufrechnen, kriege ich die Lösung. Die La-La-Plastgleichung.
39:38
Das ist ein Skalarprodukt hier.
39:41
Also was wie y transponiert mal y. Der Punkt soll das Skalarprodukt im, also das Ingenieur-Skalarprodukt sein. So wie die Ingenieure. Mathematiker würden jetzt transponiert schreiben oder diese eckigen Klammern. Da die Mehrzahl hier Ingenieure sind, habe ich einen Punkt gemacht. Also es soll ein Skalarprodukt sein. Genau hier ist auch ein Skalarprodukt.
40:01
Gradient, also es ist eine Zahl. Die normalen Ableitungen sind immer eine Zahl, ein Skalar. Und dann steht hier, also für Mathematiker. Okay?
40:21
Alles klar. So, Skalarprodukt im Rn. So. Genau. Ich leg das mal weg.
40:41
Das ist immer so ein guter Trick. Wenn man irgendwie mal mit den Dimensionen durcheinander kommt, überlegt oder nicht mehr weiß, vorne und hinten, dann überlegt man sich erstmal, ob das Dimensional überhaupt hinkommt. Und dann muss ich überlegen, okay, Skalarprodukt passt. Ja, genau. Jetzt haben wir es hier für einen Einheitskreis. Und das, was jetzt kommt, das beweise ich nicht rigoros.
41:00
Ich sag Ihnen das nur. Das kann man jetzt noch auf die beliebige Kugel mit Radius R schiften. Mit irgendeinem Radius, also jetzt nicht.
41:21
R gleich eins. Da kann man dann das Ganze so transformieren und zeigen, dass das auch geht. Wenn ich ehrlich bin, habe ich mir das gar nicht so richtig überlegt, sondern nur abgeschrieben, aber das stimmt schon. Super. So, dann muss man natürlich hier nicht mehr über die Einheitskugeloberfläche integrieren, sondern über die Oberfläche dieser Kugel mit Radius R
41:42
um die 0f. Der Term hier innen drin, der sieht dann genauso aus. N dSy. Ich denke mal, das kann man sich vorstellen. Das entweder zieht die ganze Analyse nochmal durch. Ich muss mal den Spiegelpunkt ein bisschen anders definieren, dass ich beim Spiegeln wirklich außerhalb dieser Kugel lande.
42:01
Und dann da, wo hier die 1 stand, da steht dann hier eine R. Genau, so ein R². So, und das nennt man, das ist so wichtig als so ein Name,
42:20
Poissonche Formel für die Kugel. So, das, jetzt haben wir hier so eine Formel, so eine Darstellungsformel für die Lösung dieser Gleichung. Wenn ich f gegeben habe, kann ich das jetzt einfach nehmen,
42:42
integrieren, fertig, habe ich Lösung. Der Punkt ist, und hier eben für den Einheitskreis, der Punkt ist jetzt aber, Sie haben doch, die in der Übung, die in der Übung waren, Sie haben die Laplace Gleichung auf dem Kreis mit solchen inhumogenen Dirichletterrand BDO auf dem Einheitskreis schon mal gelöst, mit der Fourier-Methode.
43:01
Und da kam was anderes raus. Da kam so eine Reihendarstellung aus, wie bei diesem Fourier-Method, nicht so ein Integral, da stand irgendwie so eine Reihe bis unendliche Reihe, und dann da stand dann die Fourier-Koeffizienten drin, ist das jetzt was anderes? Haben wir jetzt zwei Lösungen? Haben wir ja noch nicht bewiesen, dass das Ding eindeutig lösbar ist, was es ist. Aber unabhängig davon haben wir jetzt zwei Lösungen dort ermittelt,
43:24
und man kann in der Tat zeigen, im Skript ist das gemacht, dass das dasselbe ist. Also ich habe, das ist dasselbe wie diese komische unendliche Reihe aus der Fourier-Methode. Im Skript ist das gemacht, das wird dann heute und eben entsprechend am Freitag in der Übung auch noch mal folgerechnet. Es ist auch wieder so eine ähnlich hübsche Rechnung
43:42
wie das hier. Und am Ende kommt raus, dieses Integral ist tatsächlich dasselbe wie diese komische Rehindarstellung. Also es ist kein Widerspruch zu den Lösungen, die Sie mit Hilfe der Fourier-Methode schon mal berechnet haben. Da haben Sie ja Lösungen ausgerechnet, und das ist genau dasselbe wie das Teil. Kann man beweisen.
44:03
So, das heißt, ich meine, gut, hätte auch was anderes sein können. Wir haben ja noch nicht bewiesen, dass das irgendwie eindeutig lösbar ist, aber es ist nichts anderes. Sehr schön. So. Und jetzt kommt im nächsten Abschnitt, wenn wir uns genau damit befassen, nämlich zeigen, dass das allgemein nicht geht,
44:22
dass die Lösungen, mit anderen Worten, dass die Lösungen eindeutig sind. Wenn wir das vorher gewusst hätten, hätten wir so hintenrum schon gewusst, dass muss dasselbe sein wie das, was bei der Fourier-Methode ausgekommen ist. Aber wie gesagt, man kann das auch zeigen, wird in der Übung vorgerechnet. Und jetzt beschäftigen wir uns mit dieser Frage der Eindeutigkeit mal ein bisschen intensiver.
44:43
So. Es kommt jetzt im nächsten Abschnitt. Das heißt, das war es jetzt mit Grinschenfunktionen. Ziemlich abstrakte Gebilde. Sogar mit so komischen distributionellen Ableitungen und sowas kommt da im Spiel. Aber man hat, denke ich, auch als Ingenieur hier gesehen,
45:01
bevor das Ganze gut ist. Nämlich, wenn ich so ein Ding gegeben habe und für einfache Gebiete kann man die nachlesen, dann weiß ich, aha, kann ich, da brauche ich gar nicht anfangen, irgendwie Ansys anzuwerfen oder sonst was. Ich kann die Lösung als so ein Integral ausrechnen. Das ist ja schon mal
45:22
sehr schön. Brauche ich gar nicht Computer anwerfen, kann ich direkt ausrechnen. Hier muss ich natürlich eine Stammfunktion finden, ja. So.
46:45
Das heißt, jetzt kümmern wir uns um das Maximumsprinzip.
47:07
Das Maximumprinzip. So, also, wir haben es gerade gesehen, es gibt diese Integraldarstellung, es gab die Sache mit der Foyer-Reihe. Beides waren so Darstellungen von Lösungen. Im Fall des Einheitskreises kann man zeigen,
47:21
die sind dieselben. Geht das denn jetzt immer? Sind die immer gleich? Oder gibt es vielleicht keine eindeutige Lösbarkeit, zum Beispiel für unser Laplace-Gleichung auf irgendwelchen Gebieten? Kann ja sein, dass für den Einheitskreis kommt es hin, für andere Gebiete nicht. Man kann zeigen, dass das nicht der Fall ist. Und dafür braucht man
47:42
zunächst mal den Mittelwertsatz, und dafür brauche ich folgendes Lemma. Lemma 5.1. Ich habe einen beliebigen Punkt gegeben,
48:01
ein Element n und ein Radius, kann durchaus auch unendlich gegeben sein.
48:20
Außerdem brauche ich, sei ferner, eine stetige Funktion.
48:41
Stetige Funktion. Wenn jetzt r kleiner unendlich ist, dann ist das natürlich, weil die stetig ist, automatisch integrierbar. Wenn das r gleich unendlich ist, also der ganze Raum, diese Kugel hier, dann muss ich das noch fordern. Deshalb schreibe ich hier noch hin.
49:05
Und integrierbare Funktion. Mit, wie gesagt, wenn das r unendlich ist,
49:27
dann soll diese Kugel der ganzen Raum sein. Okay, also dieses für r gleich unendlich fehlt im Skript habe ich gerade gesehen. Und dann kann ich folgendes machen.
49:42
Manchmal nennt man das auch Cavalieri Prinzip, manchmal findet man das unter Polarkoordinaten. Ich kann das dieses Gebietsintegral zurückführen aus Integral 0 bis r
50:00
und dann über die Sphären jeweils integrieren. Und zwar das Oberflächenintegral dSy. Und hinten draußen muss ich noch über die ganzen Sphären integrieren, über dr. Das ist ungefähr so. In 2D haben Sie hier den Kreis mit groß Radius r. Und jetzt führen Sie
50:22
das zurück auf haufenweise Oberflächenintegrale über diese ganzen Sphären mit Radius r. So muss man sich das vorstellen. Und Beweis dazu kann ich so schwer findet sich
50:43
so noch ein bisschen allgemeiner glaube ich. Mit so mit so Ringen. Ja und da gibt es immer dieses Buch. Ich habe da so ein Buch von
51:00
Wüst. Das ist über Mathematik für Ingenieur und Physiker Satz 22. Da findet man das. Es ist sehr nützlich, werden wir jetzt brauchen und hinterher vielleicht auch nochmal. In parabolischen Gleichungen. So das brauchen wir jetzt.
51:21
Damit beweisen wir den folgenden Satz. 5.2 der wichtige Mittelwertsatz
51:46
für harmonische Funktion. Und jetzt liegt es mit dem Mittelwertsatz der Differenz- und Integralrechnung zu tun.
52:01
Sondern ja warum der so heiß sieht man gleich. Wenn Omega aus Rn irgendein Gebiet ist da ist also eine offene zusammenhängende Menge und die kann das muss aber nicht
52:21
beschränkt sein. Wichtig ist, dass es offen ist. Und U soll stetig differenzierbar sein. So dass insbesondere der Laplace wohl definiert ist. Und der soll auch noch Null sein. Also U soll harmonisch
52:44
in Omega sein. Was auf dem Rand ist, weiß ich nicht. Keine Ahnung, aber im Omega ist es harmonisch. Dann gilt
53:05
für jede Kugel B, X, R wo das alles eben so klein ist, dass das noch in Omega drin liegt, dass das U von X
53:20
eins durch B, X, R mal das Integral über diese Kugel U von Y, und das funktioniert nicht nur mit der Kugel, sondern auch mit deren Oberfläche. Also der zugehörigen Sphäre.
53:56
Also, was ich hier, was mache ich hier? Ich integriere U über die Kugel und teile
54:01
durch das Volumen der Kugel. Das bedeutet ungefähr ich bilde den Mittelwert über die Kugel. Ich habe jetzt irgendwie hier so einen Kreis. Das ist dieses B, X, R. Darüber ist irgendwie eine Funktion definiert. Und dann nehme ich eben die Funktion, integriere die da drüber und teile durch das Volumen. Das ist
54:21
wie so eine Art Mittelwertbildung. Und wenn ich das mache, dann ist das gleich dem Wert am Mittelpunkt der Kugel. Und es ist egal wie groß ich die Kugel mache. Hauptsache das Lied noch in dem Gebiet, dass das Ding überhaupt noch zweimal stetig differenzierbar und harmonisch ist. Also
54:41
Laplace U gleich Null löst. Das heißt, wenn ich jetzt irgendwie so eine Gleichung habe wie Laplace, die harmonisch ist, eine Funktion die harmonisch ist, wie die Fundamentallösung zum Beispiel, außerhalb der Null, dann kann ich immer, nehme ich so einen Kreis, beliebig groß, wo das Ding halt harmonisch ist, bilde das Integral,
55:01
teile das durch das Volumen und dann ist das gleich dem Wert am Mittelpunkt. Weil das eben wie gesagt so eine Art Mittelwert ist. Ein Integral ist wie so eine Summe. Was sie hier machen ist, sie summieren über alle Punkte im Kreis und teilen dann durch das Volumen des Kreises. Da kommt ein Mittelwert raus. Und deswegen heißt das Ding Mittelwertsatz.
55:21
Das gilt natürlich nicht für alle Funktionen. Jetzt irgendwie, wie sieht der Kreis in so einem Kreis in 1D aus? Das ist natürlich nur so ein Intervall hier. Wenn ich jetzt dort eine lineare Funktion habe,
55:41
ach ne, das wäre ja gar nicht, wenn ich irgendwas nehme, wo der Laplace nicht verschwindet. Irgendwie so was das meint, wegen des U, jetzt irgendwie so definiert,
56:01
weißte ich. Und dann sieht man, wenn ich jetzt das, ne, ihr könnt aber hier auch noch hinkommen. Muss ich was anderes machen? Muss ich was anderes machen? Zum Beispiel so.
56:22
Auch hier schön glatt so einlaufen. Einfach hier so ein Wubbel. Wenn Sie jetzt da den Mittelwert bilden und durch die Länge des Intervalls teilen, dann ist das hier irgendwas. Also irgendwas Positives. Aber Sie haben hier im Mittelpunkt den Wert 0. Kommt nicht hin. Und das Ding ist auch nicht harmonisch.
56:42
Wenn ich jetzt eine lineare Funktion nehme, die ist harmonisch. Zweite Ableitung davon ist 0. Also Laplace davon ist 0. Irgendwas Lineares. Dann ist klar, wenn Sie da drüber integrieren, da haben Sie hier was Groß-Negatives,
57:01
hier ein bisschen was Positives. Sie bilden also hier den Mittelwert. Dann kann man sich, zumindest nicht klar, aber man kann sich vorstellen, dass genau hier dieser Wert auch im Mittelpunkt, also hier in der Null dabei rauskommt. Also nur mal so zu veranschaulichen. Das kann nicht für jede Funktion gelten, wie wir an dem ersten Beispiel sehen.
57:20
Aber für Funktionen, die harmonisch sind, wie zum Beispiel solche linearen Funktionen, wo die zweite Ableitung verschwindet, da kann das schon funktionieren.
57:46
Im Endeffekt war die Veranschaulichung jetzt auch nicht so toll. Okay, also Scheiß auf Veranschaulichung, wir beweisen das jetzt. Okay. Dazu definieren wir folgende Funktion.
58:03
Phi in Abhängigkeit des Radius, soll sein,
58:25
x und u, die soll natürlich die Voraussetzungen erfüllen,
58:41
harmonisch, hier sollte man dann auch Omega hinschreiben, harmonisch, beliebig, aber fest kann ich hier so eine Funktion Phi definieren.
59:01
Was ich jetzt zeigen will, ist, dass die Ableitung von Phi Null ist, dass Phi konstant ist. Was habe ich denn davon, wenn Phi konstant ist? Wenn Phi eine Konstante ist, dann ist also für jedes r habe ich dort den selben Wert. Und dann lasse ich r gegen Null laufen. Es ist immer derselbe Wert, es ist immer gleich.
59:22
Das heißt, ich kann zur Grenze übergehen, r gleich Null, das ist immer derselbe Wert. Und wenn ich hier in dem Integral mit r gegen Null gehe, da haben wir schon mal einen Satz bewiesen, Lemma, das Integral bildet hier über so eine Sphäre, teilt durch deren Oberflächeninhalt
59:41
und lasst die Sphäre dann zusammenschrumpfen, also um den Mittelpunkt x zusammenschrumpfen, dann kommt hier genau der Wert u von x raus. Das haben wir in, ich glaube, vor zwei, drei Wochen schon mal bewiesen. Das heißt, wenn ich wirklich zeigen könnte, dass das konstant ist für alle r, dann lasse ich r einfach gegen Null gehen. Ich habe immer denselben Wert, also auch für r.
01:00:00
Wert für r gleich Null, und für r gleich Null ist es gerade u von x, dann habe ich das bewiesen. Das heißt, ich muss zeigen, dass das konstant ist, dass die Ableitung davon Null ist. Dafür muss ich das Ding erst mal differenzieren. Jetzt ist das nicht so trivial, weil das r taucht hier in den Integrationsgrenzen auf. Unabhängige Variable in den Integrationsgrenzen, das ist immer sehr
01:00:22
undankbar. Deswegen transformiere ich das auf ein festes Intervall, festes, feste Kugel. Welche nehme ich da? Natürlich wie immer die Einheitskugel und ich nutze die Transformation x plus.
01:00:41
Damit verschiebe ich den Mittelpunkt und r z damit blächt das auf oder schrumpft das je nachdem, wie groß r ist auf auf Radius eins. Dann, und das haben Sie jetzt auch schon ein paar Mal so gemacht, kann ich dieses Integral umformen in,
01:01:04
das haben Sie jetzt auch in Übung schon ein paar Mal benutzt, ich glaube sogar hergeleitet. Eins steht da nicht mehr u von y, sondern eben u von x plus r z. Irgendwo muss das z natürlich bleiben.
01:01:22
Der z, das hier ist das, das kommt aus der Integral Transformation. Ja, und das ist nichts anderes als. Eins durch es. Null eins, wenn ich hier mit dem Radius eins durch Radius mal diese Sphäre ist eben gleich die Sphäre der Einheitskugel,
01:01:44
das heißt oder deren Inhalt. Das heißt, da habe ich hier den Kehrwert davon und das r, das habe ich dann eben hier. In dem, in dem Integranten drin.
01:02:02
So ist das jetzt wirklich differenzierbar? Ingenieure glauben, das sieht ja auch wirklich nicht mehr so schlimm aus. Für die Mathematiker, ja, wann ist so was differenzierbar? Man kann nicht also Differenziation und Integration vertauschen. Dann muss der Integrant, der muss hier in dem Fall nach r stetig differenzierbar sein.
01:02:21
Ja, und das ist ja nach Kettenregel, das hier drin ist glatt bezüglich r. U ist auch aus C2, ist also auf jeden Fall stetig differenzierbar. Funktioniert das also hier differenzierbar. Und außerdem ist mein Volumen, über das ich integriere, kompakt. Das heißt, ich kann hier wirklich das, das kann ich wirklich vertauschen.
01:02:45
So, da brauche ich so nicht mehr hinschreiben. Ich habe ja nur noch eine unabhängige Variable, kann ich die Ableitung direkt als V-Strich von r zeichnen.
01:03:01
Das ist 1 durch S01, Integral S01. Jetzt muss ich das nach r ableiten, das ist nach Kettenregel. Einmal hier der Gradient, die äußere Ableitung an der inneren Funktion. Die innere Funktion ist x plus r z mal die innere Ableitung.
01:03:23
Die innere Ableitung bezüglich r ist z hier ein konstanter Faktor, also mal z ds z. So, schön die Integrationsgrenzen unabhängig von r gemacht. Und dann kann ich Integration und Differenziation vertauschen.
01:03:42
So, jetzt habe ich das gemacht. Und jetzt will ich wieder, jetzt transformiere ich wieder zurück. Dann habe ich wieder die Rücktransformation mit z ist y minus x durch r.
01:04:01
So, wenn ich hier kriege ich einmal bei der Hintransformation, wird aus dem Sxr, das ist S01, wenn ich rücktransformiere, es wieder genau umgekehrt. Dann steht hier S wieder Sxr, diese Oberfläche um die Kugel mit Radius r. Und aus dem Integral wird dann wieder Integral über xr.
01:04:22
Dann steht hier Gradient u, das ist gerade y und hier mal z. Daraus wird z ist y minus x durch r. Einfach Integraltransformation. Einmal hin, differenziert, dann wieder zurück. So, was steht denn jetzt hier? y minus x durch r.
01:04:43
Ich schaue mir das mal an. Ich male das auf, weil ich das jetzt schon so oft gemalt habe. Hier ist x, y liegt auf der Oberfläche. Hier ist r. Wenn jetzt hier der Ursprung ist, habe ich hier den Ortsvektor,
01:05:04
das habe ich jetzt wieder blöde gezeichnet hier. Das ist der Ortsvektor x.
01:05:20
Das ist irgendwie y, liegt auf der Oberfläche des Kreises. Das heißt, dieser Verbindungsvektor ist y minus x. Und was wir beobachten, der zeigt schon in Richtung der äußeren Normalen. Die Normale steht senkrecht auf dem Kreis, also hier so radial raus. Und wenn ich jetzt hier diesen Verbindungsvektor anmale,
01:05:43
y minus x durch r, dann sehen wir hier das Teil, weil das ist ja genau so lang wie der Radius, hat gerade die Länge r. Das heißt, das Teil hat die Länge eins.
01:06:04
Das ist also die äußere Normale. Das heißt, nu im Punkte y ist eben y minus x durch r.
01:06:21
Genau dieser Bruch, den ich da stehen habe. Und daraus folgt viel Strich. Ich mache das immer in 2D, in mehreren Raumdimensionen geht das völlig analog. Klar, für n gleich vier kann ich mir das auch nicht mehr vorstellen. Also zumindest nicht mehr so anmalen.
01:06:43
Was habe ich damit da? Da steht Gradient u y mal Normalvektor, ds y. Das heißt, das ist d u den y.
01:07:04
Ich habe hier den normalen Vektor. Was habe ich hier? Ein Oberflächenintegral über den normalen mit der normalen Ableitung. Da gehen bei uns alle Glocken an. Was mache ich dann immer? Oberflächenintegral, Normal Ableitung, Gausscher Satz.
01:07:30
Das von Gauss. Kriege ich hier nicht mehr das Oberflächenintegral,
01:07:41
sondern das Integral über das Volumen. Das ist eben die zugehörige Kugel. Und dann steht hier die Divergenz von dem Teil. Y dy. Und was ist div Grad? Das ist nichts anderes als Laplace u von y.
01:08:04
Und was gilt für den Laplace u von y? Noch Voraussetzung. U ist harmonisch. Also ist das gleich Null. Das ist harmonisch definiert, dass der Laplace gleich Null ist. Das heißt, das ist gleich Null und daraus folgt, dass das Integral gleich Null ist.
01:08:21
Was hier steht, ist völlig egal, das Integral ist Null. Also aus der Gleichheit hier folgt dann das Gleiche. Daraus folgt V Strich von R
01:08:42
gleich Null und worauf wiederum folgt? Na ja, wenn die Ableitung gleich Null ist, dann ist V von R gleich Konstant für R größer Null. So, wenn das V von R gleich Konstant ist, dann folgt aber auch
01:09:02
für festgehaltenes R jetzt V von R ist V von T für alle T größer Null. Daraus folgt, dass ich auch zur Grenze übergehen kann. V von R ist gleich.
01:09:22
Niemes T gegen Null. V von T. Wenn das für alle T gleich ist, kann ich das T auch gegen Null fahren und sehen, es ist differenzierbar, es ist auch stetig und es ist immer derselbe Wert. Man muss natürlich, es ist stetig, weil es ist immer konstant. Dann kann ich jetzt mit dem mit dem T auch gegen Null fahren.
01:09:42
Und das also Niemes T gegen Null. 1 durch S x T. Integral S x T. U von, wie war das viel definiert?
01:10:01
U von Y. D S Y. Und was ist das? Dieser Grenzwert, den haben wir berechnet schon. Und das ist LMA 3 10.
01:10:25
Mit diesen Integralen haben wir uns schon mal befasst. Wie ging der Beweis? Gucken wir den Skript nach, wer jetzt hier am Kopf ist. Da musste man geschickt eine Null addieren und dann hat man noch so ein Differenzkurs. Das ist U von X. Genau.
01:10:44
Ja, und dann haben wir es. Wenn ich jetzt hier R war, irgendwie beliebig. Hier steht U von X und V von R. Ist genau das. Und damit habe ich diese eine Aussage bewiesen, dass U von X das Integral ist mit der Sphäre.
01:11:12
Es folgt die Aussage für die Sphäre. So, wie kriege ich jetzt die für den für den?
01:11:23
Nicht für die Sphäre, sondern für das Volumen, für das B, dass er auch nur in dem Satz steht. Die erste Gleichheit hier, dass das Gleiche ist. Wie kriege ich das? Na ja, was ich überhaupt noch nicht benutzt habe, ist dieses Lämmer. Und das kommt jetzt.
01:11:42
Es gilt U von Y. Die Y. Man sieht schon, ich kann das auf das erste zurückführen, weil da kommen ja genau diese Sphären Geschichten drin. Tauchen ja da drin auf. Null. Hier habe ich einen Notations Chaos gemacht.
01:12:01
Da muss ich jetzt mal eben hier an der Tafel verbessern. Null von R. Und jetzt muss ich über die ganzen Sphären hier integrieren. Das kann ja nicht mehr R nennen. Das nenne ich dann mal T.
01:12:20
Das hier ist das Lämmer 5.1, ob Kavaliereprinzip nennen kann. Ja, okay. Und jetzt nutze ich das aus, was ich eben schon bewiesen habe. Jetzt kann ich sagen,
01:12:42
das ist gleich U von X mal S X T. Ist auch ein Fehler. Ja, das ist ja genau das, was ich gerade bewiesen habe. Wenn ich mir das ist gleich U von X. Jetzt bringe ich das noch rüber, dann habe ich das da stehen.
01:13:01
Das heißt, was ich hier habe ist Integral Null R Integral über diese Sphäre S X. Quatsch, das Integral ist ja jetzt rausgeflogen. Das habe ich umgeformt. Also U von X mal S X R D T.
01:13:36
Genau, und dieses Ding ist nichts anderes als
01:13:42
der Oberflächeninhalt ist nichts anderes als das Integral über die 1, die S Y. Das heißt, das ist wiederum. Schreibe ich mal hier unten weiter. Das X hängt überhaupt nicht mehr vom T ab.
01:14:01
Das kann ich aus dem Integral rausziehen. Das U von X habe ich hier stehen bis R. Integral S X T D S Y D T. Ja, und jetzt wende ich wieder dieses Lemma 5.1 an,
01:14:21
wobei f diesmal die 1 Funktion ist. Dann habe ich hier aber stehen. Das U von X habe ich vergessen. Dann habe ich hier stehen U von X. Integral Ball X Radius R D Y.
01:14:42
Und was ist das Integral? Das ist hier wieder Lemma 5.1. Und was ist das? Das Integral, wie gesagt, über die 1 Funktion ist nichts anderes als das Volumen. Bei Oberflächenintegralen der Oberflächeninhalt,
01:15:00
bei Gebiet- oder Volumenintegralen gerade das Volumen. OK. Ja, und dann habe ich den Satz bewiesen. Schauen wir mal ordentlich hin. U von X. Jetzt teile ich da einmal durch das Volumen.
01:15:30
Das war der Mittelwertsatz. Sehr kleinschrittig da im Ende mal das Vorwertszeichen. So, und damit kann ich jetzt die Hauptarbeit schon geleistet.
01:15:41
Damit kann ich jetzt das wichtige Maximusprinzip beweisen. Das will ich jetzt nochmal machen, weil das auch für zumindest einen Teil der Hausaufgabe braucht. Hartz 5 und 2, das Maximumprinzip.
01:16:11
So, bei Omega aus N, N Element N, ein beschränktes Gebiet.
01:16:42
Wichtig ist, das muss jetzt wirklich beschränkt sein. Also nicht unendlich, das darf nicht ins Unendliche laufen. Besonders darf das nicht der ganze Raum sein. Und U, eine Funktion, weil man stetig differenzierbar auf Omega, sodass es überhaupt Sinn macht, zu fordern, dass U harmonisch ist.
01:17:02
Aber diesmal auch stetig bis zum Rand. Also nicht wie die Fundamentallösungen der Null, darf das da nicht irgendwie nicht zum Rand hin abhauen. Eine in Omega harmonische Funktion.
01:17:29
Dann gilt folgende Aussage, wenn ich das Maximum bilde
01:17:45
für alle X Element Omega quer über die Funktion U von X. Für alle Mathematiker existiert das Maximum. Ja, sicher, Weierstraß.
01:18:01
U ist stetig bis zum Rand. Omega ist beschränkt und abgeschlossen. Also existiert hier ein Maximum und Minimum. Dann ist das aber dasselbe, wie wenn ich das Maximum nur über einen Rand bilde. D Omega, U von X.
01:18:25
Und dasselbe gilt für das Minimum.
01:18:40
Das heißt, wenn ich eine Funktion habe, die harmonisch ist, die also die Laplace Gleichung löst, dann liegt das Maximum und das Minimum dieser Funktion immer auf dem Rand. Und das kann man jetzt mal beweisen.
01:19:11
Beweis. So wir machen Widerspruchsbeweis.
01:19:24
Meine Widerspruchsannahme ist, es gibt eben einen inneren Punkt. X Null Element. Innere Interior von Omega und weil Omega offen ist, ist das gerade Omega. Das liegt irgendwie im Inneren, also nicht auf dem Rand.
01:19:41
Indem das Maximum angenommen wird, ist U von X Null. Und dieses dieses Maximum, diesen maximalen Wert dazu,
01:20:00
den will ich mal groß M nennen. Also wir nehmen an, das sei falsch. Dann gibt es einen inneren Punkt, wo das Maximum angenommen wird. Okay, das ist jetzt nicht wirklich ein Widerspruch. Widerspruch ist falsch. Hier steht ja nicht, dass das Maximum nicht auch
01:20:21
im Inneren angenommen werden kann. Man nennt sie eben, denke ich, folgendes. Die Funktion ist konstant, konstant zehn. Dann ist sie natürlich harmonisch. Die zweite Ableitung ist Null. Und dann wird das natürlich das Maximum im Inneren und am Rand angenommen. Das ist natürlich dann kein kein kein Widerspruch. Das heißt, dass das Ding hier im Inneren ist,
01:20:42
ist kein ist kein ist kein Widerspruch dazu. Das heißt, Widerspruchsannahme wäre, es wird eben nicht am Rand angenommen. Also es gibt eben kein X Null. So irgendwie, dass das so am Rand angenommen wird. Ja, das sollte man auch echt noch mal anders formulieren hier. Das ist ja echt scheiße. Das ist auch scheiße im Skript.
01:21:01
Entschuldigung, wo ist denn jetzt hier ein Schwamm? Da drüben. Ja, den beweisen wir jetzt aber noch zu Ende. Obwohl hier steht es aber richtig, hier steht es richtig. So einigermaßen richtig drin ist.
01:21:21
Widerspruchsannahme muss ich aber auch noch mal drüber gehen. Widerspruchsannahme Max.
01:21:42
Das Maximum liegt nicht auf dem Rand. So es muss aber überhaupt ein Maximum existieren, weil das Omega beschränkt ist. Beschränkt und abgeschlossen, damit kompakt und das U ist stetig.
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Maximum, weil U stetig und der Omega ist kompakt. Omega quer natürlich. Und weil das nicht am Rand angenommen wird, jetzt weiß ich es existiert, ein X Null, Element Omega im Inneren.
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Innerer Punkt mit der Eigenschaft Max X Element Omega quer. U von X ist gleich U von X Null.
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Und den Wert, das ich jetzt eben schon mal hingeschrieben habe, nenne ich N. Ja, so ist es sauber. Nimm eines nicht im Rand. Ich weiß, es muss eins existieren. Weierstraß, weil das stetig und kompakt ist. Gibt so einen Satz, so eine Mathematik. Haben vielleicht auch die Ingenieure was von gehört. Kann natürlich keinem dran erinnern. Weiß ich selber. Egal, glauben Sie es mir. Und das muss dann im inneren Punkt sein, weil ich angenommen habe,
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es liegt nicht auf dem Rand. So, X Null liegt im Inneren. Das heißt, ich kann eine Kugel um X Null liegen für hinreichend klein.
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Ich die Kugel nur natürlich größer nur nur klein genug mache, liegt die Kugel auch noch im Inneren. So, und dann folgt aus diesem Mittelwertsatz, dass in der gesamten Kugel, weil U harmonisch ist, U konstant M ist. Warum? Nehmen wir mal an.
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Annahme von X ungleich M. Für ein X Element existiert so ein X, dass das ungleich M ist.
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Also muss, weil das das Maximum ist, muss eben gelben. U von X kleiner M. So, wenn das der Fall ist, was folgt dann aus unserem Mittelwertsatz? M ist U von X Null.
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Ach so, hier ist es, die Kugel mit Mittelpunkt X Null, die wollte ich betrachten. U von X Null. So, jetzt kommt hier der Mittelwertsatz, da weiß ich. 1 durch Volumen der Kugel mit Mittelpunkt X Null.
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Integral B X Null R U von Y dy. So, das kann ich anwenden, weil U in der Voraussetzung harmonisch ist. Dann gilt dieser Mittelwertsatz. Das geht natürlich nicht immer, geht nur für harmonische Funktion.
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Wenn ich jetzt annehme, dass das U irgendwo in der Kugel kleiner ist als M. Dann ist dieses Integral, dann ist das auch kleiner, dann ist der Integrant also kleiner als der Integrant.
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Wenn ich hier M einsetze und zwar echt kleiner. Ich meine, wenn Sie jetzt irgendwie, Sie haben eine Funktion. Hier ist Ihre Kugel, es sind die Grinser drüber. Sehr schlecht.
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Irgendwie hier so eine Funktion, dann wird das Integral natürlich kleiner als wenn ich hier über das Maximum integriere. Denken Sie Flächeninhalt. So, das Konstant kann ich rausziehen. Dann steht da M mal, das bleibt hier oben. Wir machen es wieder ganz kleinschrittig. dy durch.
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Hier oben steht das Volumen, unten steht das Volumen, also M. Dann steht hier M gleich, gleich, gleich, gleich, kleiner, gleich. M kann nicht sein. Widerspruch. Also hier Widerspruch.
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Es geht nicht. Das heißt, meine Widerspruchsannahme, das war, dass es irgendeinen X gibt, sodass in der Kugel, dass das U von X kleiner M ist, die kann nicht gelten. Dann würde nach dem Mittelwertsatz immer M kleiner M rauskommen. Das geht nicht. Das heißt, meine Widerspruchsannahme ist falsch und es gilt,
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U von X ist Äquivalent U von X Null gleich M auf oder in. Kein Rand, in B X Null R. So, das heißt, auf der gesamten Kugel ist mein Wert konstant.
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Und dann, was mache ich jetzt? Ich habe jetzt irgendwie so ein Gebiet, was weiß ich, so eine süße Kartoffel. Hier ist mein X Null. Jetzt wähle ich die Kugel so groß, dass ich hier den Rand berühre.
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Das war total blöd gezeichnet. Also ein Widerspruch beweist natürlich immer so ein bisschen hinten und durch die Brust ins Auge.
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Aber ich denke, die Argumentation war schon ganz klar. Wenn so was existieren würde, dann könnte ich zeigen M kleiner M. Das kann nicht sein. So, so, so, so, so, so.
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Also ich habe hier so eine Kartoffel. Hier ist mein X Null. Und jetzt lege ich da einen Kreis drum mit Radius
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Ruh Null und der hier den Rand einfach schneidet. Nicht schneidet, sondern berührt. Wähle Ruh Null, so dass
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B von X Null Ruh Null liegt in Omega, liegt schon da drin. Aber B von X Null Ruh Null Abschluss.
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Geschnitten, ich könnte auch einfach schreiben. Der Rand davon ist vielleicht besser. Der Rand davon geschnitten. Die Omega ist nicht die leere Menge. Ja, also so hier. Ich habe genau ein Punkt. Das muss nicht. Das muss nicht eine einpunktige Menge sein. Es kann natürlich auch sein, dass ich hier oben auch noch schneide.
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Wenn jetzt hier genau X Null auf der Mitte dieses Abstands liegt, habe ich da zwei Punkte. Das macht aber nichts. Dadurch, dass Omega beschränkt ist, weiß ich, aber ich kann so was machen. Ist ja beschränkt. Das geht nicht uns und uns endlich ins Unendliche. Das heißt, wenn ich das R hier groß genug wähle, dann komme ich irgendwann an den Rand. Dann habe ich hier also, dass dieser Schnitt ungleich Null ist.
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Und da das hier diese Argumentation hier oben für beliebiges R war. Gilt das natürlich auch für unser Ruh Null. Weil der das nur der Rand von der Kugel schneidet, den Rand von Omega. Die Kugel, das Innere der Kugel liegt wirklich in Omega.
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Es gilt also U von X ist M in B X Null ho Null. So und jetzt brauche ich die Stetigkeit. Bis jetzt habe ich ja immer nur U ausgenutzt. U ist harmonisch und so. Ich habe aber ja noch gefordert, wo habe ich den Satz jetzt stehen?
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Da drüben, dass das U stetig bis zum Rand ist. Also, U daraus folgt U von X gleich M.
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Was war das M? M ist Max X Element Omega quer. U von X, sagen wir das Maximum, für X aus dem Schnitt.
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Ich weiß, das U von X ist gleich M auf dieser ganzen Kugel mit dem Radius ho Null. Und weil das stetig ist bis zum Rand, kann ich jetzt auch da wirklich zum Rand übergehen. Und daraus folgt für X Element die Omega geschnitten D B X Null ho Null.
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Also ich kann hier auf der ganzen Kugel ist das M und weil das eine stetige Funktion ist, kann ich ja auch zum Hand übergehen. So und damit habe ich jetzt alles bewiesen, was ich wollte und keinen Platz mehr, um das aufzuschreiben.
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Daraus folgt, es existiert ein X Element die Omega mit U von X gleich Max X Element Omega quer U von X.
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So, im Widerspruch dazu, was ich angenommen hatte, das lag nicht auf dem Rand.
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Eigentlich brauche ich auch diese Widerspruchsanahme nicht. Ich kann auch direkt hier anfangen. Ich weiß, es gibt irgendwie, es gibt nach Weierstraß, das mache ich auch im Skript so, es gibt nach Weierstraß Punkt, wo das Maximum angenommen wird. Wenn das auf dem Rand liegt, brauche ich nichts mehr zeigen. Habe ich meinen Satz bewiesen. Wenn es im Inneren liegt, mache ich genau das, was ich Ihnen gerade vorgestellt habe.
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Ich kann zeigen, auf jeder Kugel, die da drin liegt, ist es gleich dem Maximum, gleich dem Wert M, dann dehne ich die Kugel so weit aus, dass ich den Rand berühre. Und wegen Stetigkeit weiß ich dann ja, der Randwert, dann wird das auch angenommen. Damit habe ich einen Randpunkt, wo das Maximum angenommen wird. Wie mache ich das mit Minimum für das Min-Wetze U Schlange von X gleich Minus U von X?
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Das definiere ich mir so. Daraus folgt dann, dass das Min von U ist das Minus, das Max von U Schlange.
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Und dann weiß ich auch, U Schlange ist harmonisch. Und dann kann ich einfach, dann gleiche Argumentation für U Schlange. Fertig.
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Das macht man total oft, dass man, wenn man zeigt irgendwas für das Maximum, und dann betrachte ich einfach das Negative meiner Funktion, muss ich natürlich gucken, ob meine, ob das U Schlange dann auch die Voraussetzungen hier erfüllt.
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Na ja, wenn U harmonisch ist, dann ist auch Minus U harmonisch. Also U Schlange ist dann auch harmonisch. Und ich kann die ganze Argumentation für U Schlange auch durchführen. Und dann kriege ich, dass das Max von U Schlange auf dem Rand liegt und das Max von U Schlange wird genau da angenommen, wo das Min von U ist. Und dann weiß ich, habe ich das auch bewiesen.
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Okay, das war der Mittelwertsatz, das Maximum Prinzip. Und damit, das sieht jetzt auch alles immer noch so ein bisschen aus, ja, hier so harmonische Funktion, wie so Max angenommen wird, ist mir doch egal. Da kann man jetzt aber eine Menge mit machen. Da kann man Eindeutigkeit zeigen, Stabilität bezüglich Randdaten und so weiter. Also auch wirklich substanzielle Informationen, die wichtig sind
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für Lösungen von der Patientefizialrechnung. Dazu mehr in der nächsten Woche. Tschüss.