Une construction de l'aire de Lévy avec drift comme limite renormalisée sur des graphes périodiques
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Formal Metadata
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| Title of Series | ||
| Part Number | 3 | |
| Number of Parts | 17 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution 3.0 Unported: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor. | |
| Identifiers | 10.5446/20272 (DOI) | |
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Content Metadata
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Insertion lossLink (knot theory)Different (Kate Ryan album)Price indexMereologyTrajectoryChainLimit (category theory)CloningMultiplication signMultiplicationRhombusDimensional analysisPoint (geometry)ExpressionFrequencyGraph (mathematics)Equivalence relationMany-sorted logicGoodness of fitProcess (computing)Random walkResultantObject (grammar)InterpolationGraph (mathematics)TheoryDifferential equationAlpha (investment)Regular graphNumerical analysisIndependence (probability theory)Direction (geometry)SpacetimeClassical physicsEnergy levelTheoremVarianceFinite setBrownian motionRootSinc functionPresentation of a groupRenormalizationNetwork topologyPhysical lawRandomizationPower (physics)Gamma functionKnotDoubling the cubeINTEGRALMatrix (mathematics)Combinatory logicSummierbarkeitModel theoryCondition numberWell-formed formulaStochasticNichtlineares GleichungssystemFiber bundleTheory of relativityBlock (periodic table)CalculationBasis <Mathematik>Category of beingRoundness (object)Arithmetic meanPhysicalismLecture/Conference
Transcript: French(auto-generated)
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Bonjour à tous, je voudrais d'abord remercier les organisateurs de m'avoir donné la possibilité de parler aujourd'hui.
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Je vais écrire le titre en français, mais je vais faire mon exposé en anglais. Je vais vous parler, je me répète, de l'ère d'Olivier avec Rift, comme limite renormalisée de Schoen de Markhoff sur Graf Periodique.
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Il y a beaucoup de choses dans ce titre, c'est une sorte de fourre-tout. Du coup, on a beaucoup de mots-clés de différents domaines, ce qui fait bien sur Archive par exemple.
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Mais de fait, si j'avais le temps, j'aurais un seul résultat intéressant à raconter. Ce ne serait pas très très intense. J'ai commencé par un petit exemple. Si vous avez une marche aléatoire sur Z2, marche aléatoire simple,
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je vais essayer de la dessiner, elle fait ça. Vous savez que cette marche aléatoire renormalisée converge vers le mouvement brugnan.
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Ça, c'est le théorème de Dansker classique. Maintenant, imaginez que vous prenez la même marche aléatoire, c'est-à-dire à la base une somme de variables aléatoires indépendante, centrée de variance 1, mais qu'à chaque pas, vous rajoutez une petite boucle déterministe,
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toujours la même, vous arrivez au même point, ensuite vous refait un pas, vous rajoutez la même boucle déterministe, toujours dans le même sens. En fait, j'ai commencé à parler en français. C'est les habitudes qui sont dures à tuer.
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Vous refaites un pas, vous refaites une boucle, etc. À la limite, ce machin-là va se comporter exactement comme une marche aléatoire simple, sauf que sur le mouvement brugnan en limite, vous allez avoir un ralentissement dans le temps.
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Donc, si cette marche aléatoire, vous allez l'appeler S n, donc somme de variables aléatoires indépendantes, et ça, ça va être S tilde n, vous aurez que S nt sur racine de n va converger vers le brugnan en distribution, et le S tilde nt sur racine de n va converger en loi vers un brugnan,
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mais qui va être ralenti dans le temps. En fait, la seule différence, ça va être ce ralentissement, ce qui est cohérent parce que c'est comme si vous restiez dans un point pendant un certain temps, c'est-à-dire pendant quatre pas de temps. Donc, de fait, du point de vue des limites, il n'y a quasiment aucune différence.
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C'est-à-dire, c'est une constante multiplicative près, et donc les gens qui étudient la convergence des processus, d'habitude, ils sont contents et s'arrêtent là. Mais on peut aussi se poser la question, est-ce que c'est la même limite ? Est-ce que c'est vraiment la même chose ?
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Et encore une fois, si vous ne regardez que la convergence des processus, on va dire en gros oui. Par contre, si par exemple vous allez utiliser les processus limites pour rapprocher des équations différentielles ou des intégrales, là, vous risquez d'avoir de mauvaises surprises parce que souvent la convergence va casser.
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C'est-à-dire, vous allez vous rendre compte qu'en fait, cette perte d'informations, c'est-à-dire qui ici résulte dans le fait qu'à la limite, on ne voit plus ces boucles, qui n'apportent rien au trajectoire, de fait, cette perte d'informations, elle peut jouer un rôle décisif pour pouvoir définir, par exemple,
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une intégrale ou une équation différentielle lorsqu'on veut les approcher par des processus continuels. En fait, cette perte d'informations fait que la convergence casse à un moment donné. Et donc, pour pallier ce problème, dans les années 90,
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Lyons, qui n'est pas le même de l'exposé précédent, c'est Terry Lyons, a introduit la théorie des chemins rugueux. Ce qu'il y a en anglais, c'est rough paths. Et alors, il s'est dit justement, l'idée à la base était très simple,
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il s'est dit, comme le problème c'est la perte d'informations, on va créer des objets enrichis, c'est-à-dire on va prendre un processus, xt qui est un processus par exemple dans rd avec d plus grand que 2, puisque c'est à partir de dimension 2 que ça devient intéressant,
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et on va lui associer un processus enrichi dans un autre espace, qui va être le chemin rugueux qui correspond. Alors, comment est-ce qu'on construit ce processus ? Puisqu'il est enrichi, il faut qu'il ait plusieurs niveaux. Alors, le nombre de niveaux dépend de la régularité de x,
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par exemple ici c'est la régularité, si x est de régularité alpha, alors régularité il faut entendre alpha holder. Par exemple, typiquement on prend alpha dans 0,1. Pour que vous enregistriez toute l'information qui est nécessaire
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pour être sûr de ne pas perdre d'informations à la limite, il vous faut ici un nombre égal à 1 sur alpha, une partie entière de 1 sur alpha plus un niveau. Alors maintenant, comment on le construit ? Tout simplement vous prenez, vous définissez ça,
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le xt qui est une sorte d'accroissement, à peu près puisque pour le chemin rugueux, la différence n'a pas vraiment de sens. Vous définissez ça comme une séquence finie, ou comme un objet à quelques niveaux. Donc premier niveau ça va être une constante neutre que d'habitude on oublie, on ne la note pas toujours.
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Le deuxième niveau ça va être tout simplement les accroissements de votre processus de base, donc xs-xt. Et ensuite, si jamais votre 1 sur alpha dépasse 2, donc si c'est plus grand ou égal que 2. Le troisième niveau, ça va être une intégrale double.
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Je rappelle que là x est en dimension plus grande que 2, donc de fait, x est x1, x2, xd. Donc là, ça va être tous les intégrales doubles possibles de s à t et de s à u, de xiv,
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il ne faut pas que j'écris n'importe quoi, de xiv dxj u avec ij entre 1 et d. Donc en fait, vous allez avoir une matrice.
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Alors le troisième niveau, ça va être la même chose, mais pour des intégrales triples. Et encore une fois, ça va être toutes les combinaisons possibles de ijk, etc. Et donc vous vous arrêtez lorsque vous avez atteint 1 sur alpha plus 1.
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Maintenant, le cas qui est le plus étudié, donc là comme ça, ça paraît affreux parce qu'en plus, quand vous essayez, Lyons a construit cet espace en y mettant la topologie qu'il faut. Et donc tout ça a été fait pour pouvoir approcher,
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pour pouvoir donner un sens à des intégrales et des équations différentielles qui n'en avaient pas dans le cadre de l'intégration classique. Donc pour pouvoir aussi définir des équations et des intégrales en les approchant correctement. Mais par contre, dans le cadre général,
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travailler avec cet espace, c'est assez compliqué. Et donc par contre, le cas le plus étudié, c'est lorsque alpha est entre 1 tiers et 1 demi. Alors ça, c'est le plus étudié parce que le 1, c'est le premier cas non trivial. Donc c'est le premier cas où vous avez besoin de niveaux
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supérieurs à 1, donc supérieurs aux accroissements. Et de 2 parce que ça, c'est le cas du mouvement brunien. Et donc le mouvement brunien, c'est la plupart du temps, les équations différentielles les plus connues sont des équations différentielles qu'on intègre par rapport au brunien.
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Ou alors, ça c'est la base des bases de l'intégration. Et donc là par contre, les calculs deviennent beaucoup plus faciles. C'est-à-dire en pratique, cet espace devient assez sympathique. Il y a beaucoup de propriétés intéressantes. Donc si jamais quelqu'un a déjà vu le chemin rueux et que vous avez eu peur des formules interminables,
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sachez qu'en pratique, ça peut être très utile. Donc je vous conseille de le revoir. Alors maintenant, je vais revenir au premier exemple. Du coup, on peut, maintenant qu'on a vu, c'est-à-dire qu'on a introduit les chemins rueux, on peut regarder cette partie-là,
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ces deux convergences du point de vue des chemins rueux. Donc on sait que comme dans les deux cas, ça converge vers le brunien, on va regarder la limite pour un objet qui sera non plus snt sur racine de N, mais qui sera snt sur racine de N
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en couple avec un nouvel objet. Et je vais expliquer ce que c'est que ce a int tout de suite.
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Et c'est ce nouvel objet, c'est-à-dire les a de s et de a de s tilde. C'est une r stochastique. Alors pourquoi tout à l'heure je vous parlais d'intégrales doubles, triples, et là je vais parler d'r stochastique? Parce que au niveau 2, ce qui est très sympathique avec les chemins rueux,
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c'est que le niveau 2, les intégrales doubles peuvent être remplacées par des r stochastiques. Est-ce que l' r stochastique d'enchement xt, par exemple, qui est en dimension 2, est défini par intégrales doubles
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dx1v, dx2u, moins dx2v, dx1u. Donc en fait, vous pouvez faire un passage, c'est-à-dire il y a un moyen très simple de passer de cette matrice à une matrice qui contient que les r stochastiques.
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Et là, vous allez avoir une convergence dans le premier cas vers le mouvement brugnan. Et au deuxième niveau, vous allez avoir l' r. Donc là, c'est matcal, c'est pas le même a. Donc ça, ça va être un objet qui s'appelle r de Lévis
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et qui est l' r stochastique correspondant au mouvement brugnan. C'est un processus qui a été étudié séparément de toute cette histoire par Paul Lévis d'abord et par d'autres personnes, dont Marker ensuite. Par contre, là, pour ce processus avec lequel on n'avait pas beaucoup de différence au niveau de trajectoire,
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vous allez avoir donc le brugnan, le matcal de a, jusque là, c'est la même chose. Sauf que là, vous allez voir apparaître une constante de drift au niveau de l' r. Et en fait, cette constante, c'est ce qui différencie les airs,
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c'est ce qui différencie les limites, pardon, c'est ce qui différencie aussi les airs. Quelque chose qui était invisible quasiment, sauf par le ralentissement dans le temps au niveau 1, devient un drift, donc quelque chose de assez important, au niveau 2. Et en fait, les chemins rugueux, une théorie qui a été faite surtout pour donner un sens aux équations différentielles,
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permet aussi lorsqu'on regarde la convergence en dehors de l'intégration de processus, de dire si les processus convergent vers la même limite ou non. Donc là, clairement, la différence, c'est dans ce drift-là. Et donc après, on peut se poser des questions,
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quels sont les processus qu'on peut, quels sont les processus qui auront un drift, quels sont les processus qui n'en auront pas, qu'est-ce qui fait que ce drift apparaît, c'est-à-dire comment le faire ressortir. Nous, on n'a pas encore une classification exhaustive. Par contre, on a construit un exemple
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assez général de chaîne de Markov, qui sont les chaînes de Markov sur les graphes périodiques, pour lesquelles on peut étudier justement cette question de drift à la limite et on peut donner une expression explicite de ce drift.
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Il me reste 5 minutes, mais pas. Je n'ai pas prévu de donner des preuves, je vais juste essayer d'expliquer l'idée de l'exemple. La construction est assez simple.
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Imaginez que vous avez un petit graph. Moi, je vais dessiner des diamants parce que c'est le plus rapide. Vous allez appeler les sommets 1, 2, 3, 4, et ensuite vous répliquez, ça peut être à priori n'importe quoi, tant que vous avez un nombre de sommets fini. Ensuite, vous répliquez la même chose à l'infini. Vous faites 1, 2, 3, 4 vers le bas aussi.
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Vous liez ces graphes périodiques entre eux, mais vous les liez toujours de la même manière. Ce que vous répliquez, ce n'est plus seulement le graph,
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mais vous répliquez le graph plus tous les liens qu'il a avec ses voisins clones. Ensuite, vous lancez une chaîne de Markov dessus avec la condition qu'en chaque point indexé 1, 2 ou 3,
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la chaîne se comporte de la même manière. Vous faites une sorte de relation d'équivalent, c'est-à-dire la chaîne se comporte de la même manière dans deux points, si ces deux points ont le même endice. Vous avez une chaîne de Markov à priori sur un espace infini, mais elle a un nombre limité de comportements,
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puisqu'il y a une chaîne de Markov sous-jacente, un état d'espace fini sous-jacent à votre chaîne. Ces chaînes ne sont pas très difficiles à étudier. On peut montrer qu'après renormalisation, je vais appeler cette chaîne Xn,
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après renormalisation, puisqu'elles peuvent être non centrées. Le modulo inconstante va converger en lois vers le Brownian. Mais on peut aussi montrer que dans la topologie dirigeuse,
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si vous regardez le couple Xt identé sur racine de nc et l'air qui lui correspond, je n'ai juste pas précisé ici l'air,
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ce n'est pas la même renormalisation, puisque l'air est une sorte de puissance 2. Ici c'est racine de n, ici c'est n. En lois, ça converge vers le mouvement Brownian,
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l'air de Levi plus un drift, gamma t, et ce drift on peut le calculer explicitement. Ce drift, c'est l'espérance d'une excursion du processus Xt,
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pour la plupart des processus, après il y a une partie un peu horrible, mais c'est comme les chemins rugueux, dans les cas pratiques, la partie horrible disparaît, il reste juste la partie sympathique. Cette excursion-là, ce n'est pas une excursion ordinaire, ce n'est pas que vous revenez au même point, mais c'est une excursion que vous faites entre deux points indexés 1.
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Par exemple ici, ça, ce serait une excursion. Ce machin-là, ensuite on a des formules algébriques et analytiques pour le calculer explicitement pour des modèles de physique, et surtout c'est très facile de le faire sur des réseaux périodiques,
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par exemple comme un réseau de diamants. Voilà, merci pour votre attention. Je dépassais une minute et demie, je suis désolée. Merci beaucoup. Est-ce qu'il y a des questions ?
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Il n'y a pas les gens qui étaient aux douches. Si vous n'en comprenez pas les deux limites en haut, est-ce qu'à droite, l'air est construit à partir du bronien ?
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C'est pour ça que je parlais de topologie rugueuse. Cet air-là, c'est-à-dire qu'on peut regarder ce processus séparément, juste l'air de levier plus drift, qu'on peut regarder par exemple le bronien avec un drift. Mais cet air-là ne correspond pas à l'air d'un bronien avec drift, a priori.
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Et ce drift qui est intéressant, c'est quand on regarde les processus de limite dans la topologie rugueuse, ce drift apparaît à la limite, mais parce que la topologie rugueuse considère ce couple comme un objet, c'est-à-dire on ne le sépare pas, on n'étudie pas séparément cette limite, même si on pourrait.
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Mais ce n'est pas l'air à lui. Et c'est ça qui est intéressant, parce que normalement si c'était son air, on aurait dû avoir ça. En principe, on aurait dû avoir ça. Et c'est justement ça qui est intéressant pour différencier les limites.
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Du coup, ça fait un petit peu la question, mais si les petites nues qu'on fait, on prend d'un coup un nœud dans un sens, et après un nœud dans le sens, et on interne comme ça, est-ce qu'on aura toujours un drift ? Ça va s'annuler en principe. On n'a pas des conditions nécessaires et suffisantes pour que le drift soit zéro.
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Mais par exemple, pour les processus réversibles, pour les processus qui présentent des symétries, quand par exemple la marche aléatoire est symétrique, et si tu rajoutes des boules qui tombent un peu dans un sens, un peu dans un autre sens, ça va symétriser. Du coup, le drift va être nul aussi. Donc des cas comme ça, c'est facile. C'est pour ça aussi qu'à priori...
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Le problème, c'est que parfois, on a tendance justement à relier ce drift d'air avec le drift de ce processus, parce qu'on ne sait pas faire une somme de variables aléatoires qui soient toutes centrées, par exemple, et qui donnent à la limite un drift. On sait faire une somme qui soit centrée si on découpe par plus gros morceaux.
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Donc ce drift, il faut quand même avoir une direction qui tourne, qui fait des boucles. Puisque tu parles de processus physiques, est-ce que c'est lié à ce qu'on peut faire sur un réseau cristallin où on va avoir toujours la même maille,
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toujours le même bloc de la tombe qui va se répéter avec des liens entre eux ? Nous, on a pris les exemples qu'on a étudiés pour lesquels on a fait des simulations numériques, qui sont issues de physique. Alors mon directeur, il connaît beaucoup plus que moi. Moi, je ne me connais pas trop en physique. J'ai juste fait des dessins.
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C'est-à-dire, je ne sais pas en pratique... Non, en fait, j'ai fait les dessins et les calculs, mais en pratique, je ne sais pas à quoi ça sert en physique. Lui, il dit que c'est utile. J'ai calculé, j'ai dit que c'est intéressant, puis lui, il a dit que c'est utile. Mais a priori, tu peux prendre n'importe quel réseau périodique, mais grave périodique. C'est-à-dire, pas forcément quelque chose
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que tu peux aussi bien intégrer dans Z2. Ça peut être des liens un peu bizarres dans tous les sens. Et tu peux t'amuser. En même temps, je vais faire un petit spoiler, parce que ce n'est pas encore publié, mais c'est un cours. C'est-à-dire, tu peux aussi regarder des espèces de rond-point, comme ça,
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et même en dimensions plus grandes que 2. Et la différence, ça va être que tu vas prendre directement des sommes de couple, de variables, parce qu'à chaque fois, tu vas rajouter non seulement un chemin, mais tu vas rajouter aussi une partie terre. Par exemple, tu peux aussi regarder des choses qui ne soient pas forcément construites par segments, par interpolations.
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Très bien. On va remercier encore une fois Olga. Merci.