Ok, letztes Mal haben wir aufgehört mit dem Satz von Euler und heute beginnen wir mit dem kleinen Satz von Fermat, der nichts anderes ist als eine Spezialisierung des Satzes von

Euler. Jetzt können Sie sich fragen, der kleine Satz von Fermat, gibt es denn da auch einen großen Satz, da gibt es auch tatsächlich einen großen Satz und der große Satz von Fermat, der ist viel berühmter als der kleine Satz von Fermat. Deswegen ist es auch der große Satz. Damit befassen wir uns vielleicht heute am Ende der Sitzung oder Anfang nächster Sitzung.

Jetzt aber erst mal der kleine Satz von Fermat. Der kleine, niedliche, süße Satz von Fermat, der kleine Satz von Fermat.

Und ich habe gesagt, der kleine Satz von Fermat ist ein Spezialfall des Satzes von Euclid, dann rufen wir uns den vielleicht nochmal in Erinnerung.

Ich kann verstehen, dass es alles sehr aufreibend für Sie ist, aber ich würde Sie trotzdem bitten, die Seitengespräche einzustellen, alle, weil das sonst in dem Video zu

hören ist und weil Sie sonst nicht aufpassen, Hauptgrund natürlich, weil Sie sonst nicht aufpassen. So, ach, jetzt habe ich Euclid an die Tafel geschrieben. Oder lauter Satz von Euler. So, der Satz von Euler, ich erwechsel die beiden immer, weil sie beide mit E anfangen logischerweise, der besagt was?

Was besagt nun mal der Satz von Euler?

Der GGT von A und M ist eins. Das war eine Voraussetzung gewesen, dass der größte gemeinsame Teiler von A und M gleich eins ist.

Und wenn das gilt, dann können wir ganz einfach sagen A hoch Phi von M ist Konkurrent eins Modulo M. Phi von M haben wir, erinnern wir uns die Eulersche Phi Funktion, die angibt die

Anzahl der teilerfremden Zahlen, der zu M teilerfremden Zahlen zwischen eins und M. So, das war der Satz von Euler. So, und jetzt der Satz, der kleine Satz von Fermat, der bezieht sich letztlich

genau auf das hier, schränkt das Ganze nur ein auf M ist eine Primzahl. Und nennen wir jetzt mal P, weil Primzahlen netterweise als P formuliert werden, das war jetzt Erinnerung. So, jetzt haben wir hier Sei P Primzahl, das ist der Satz von Fermat, der

kleine sei P Primzahl, wenn, so, wie können wir die Voraussetzung jetzt formulieren, wenn der GGT von A und, also erst mal für alle A aus Z, gilt,

so, wenn, so, wie können wir jetzt die Voraussetzung formulieren, wenn P eine Primzahl ist, das können wir noch ein bisschen spezieller sagen, GGT von A

und P gleich eins kann man sagen, wenn eine von beiden Zahlen bei der GGT Bestimmung eine Primzahl ist, wann ist dann der größte gemeinsame Teiler eins? Wann ist der GGT von A und P gleich eins? Ja, genau, wenn A kein Vielfaches von P ist, also wenn P nicht A teilt,

gleiche Formulierung, wenn P nicht A teilt, dann gilt, und jetzt A hoch Phi

von P ist Konkurrent eins Modulo P und Phi von P bei Primzahlen ist P minus eins, also A hoch P minus eins ist Konkurrent eins Modulo P, so, okay,

gibt's an der Stelle noch Fragen? Den Satz müssen wir nicht beweisen, wir haben

den viel allgemeineren Satz bereits bewiesen, den Satz von Euler und insofern brauchen wir den Satz nicht beweisen, sondern werden wir jetzt eine Instanz des Satzes nehmen mit M ist Primzahl ergibt sich sofort der kleine Satz von Fermat, gut.