Wenn ich jetzt nach links gehe, habe ich 2, 2 hoch 1 mal 3 hoch 0 ist hier und hier ist 2 hoch 2 mal 3 hoch 0. Und in diese Richtung hier ist 2 hoch 0 mal 3 hoch 1 um 2 hoch 0 mal 3 hoch 2.

Was ist 6? 6 ist 2 hoch 1 mal 3 hoch 1. Ich bin einmal in diese Richtung gelaufen und einmal in diese Richtung, also einmal mal 2 und einmal mal 3.

Jetzt nehme ich nochmal mal 3 und habe hier 2 hoch 1 mal 3² und in die Richtung habe ich 2 hoch 2 mal 3 hoch 1. Und oben habe ich 2² mal 3², was gerade 36 ist. Sie finden alle Teile einer Zahl, indem Sie die Primfaktorzerlegung nehmen, in so eine Potenzschreibweise bringen.

2² mal 3² in diesem Fall. Und dann alle Potenzierungsmöglichkeiten miteinander kombinieren. 2 hoch 0, 2 hoch 1, 2 hoch 2 mal 3 hoch 0, 3 hoch 1, 3 hoch 2 in allen Kombinationsmöglichkeiten.

Und so kommen Sie auf alle Teile. Auf YouTube hat sich ja neulich Nightmare6 beschwert, dass ich Kaffee trinke, auf der einen Seite so ein bisschen locker mache

und auf der anderen Seite am Ende so Gas gebe und man dann nichts mehr versteht. Ich weiß auch nicht genau, was er machen soll. Warum haben wir hier eigentlich eine Tasse von der Deutschen Bahn? War bestimmt ein Werbegeschenk.

Ok, so, jetzt schauen wir mal, was Sie produziert haben.

Läuft die Kamera wieder? Alles klar, gut. Können Sie mir mal beschreiben, welche Grundstruktur dieses Hassediagramm hat?

Diese hier, ne? Genau. Bitte?

Genau, man muss nicht die Teile suchen, wenn man das Diagramm so aufspannt mit 1, 2, 4, 8. Oh, ich hab eins zu viel gemacht, ne? Ah, 16 fehlt noch, genau, ja doch, klar. 5, 25, so.

Also die 400 ist ja 2 hoch 4 mal 5 Quadrat.

2 hoch 4 mal 5 Quadrat. Dann haben wir hier die 2 hoch 0, 2 hoch 1, 2 hoch 3, 2 hoch 0, 2 hoch 1, 2 hoch 2, 2 hoch 3, 2 hoch 4 und hier die 5 hoch 1, 5 hoch 2. In allen Kombinationsmöglichkeiten dieser Primfaktorpotenzen spannt sich der ganze Raum aller Teile auf.

Ganz oben haben wir eben die 2 hoch 4, 2 hoch 5. Wenn wir einmal rausgreifen, haben wir 2 hoch 0, 1, 2, 2 hoch 3 mal 5 hoch 1 ist hier beispielsweise. Okay, wie viele Teile gibt's von der 400?

15. 15, wie haben Sie ausgerechnet? Gezählt. Gezählt? Okay, Sie haben gezählt, aber systematisch gezählt, ne? Wie haben Sie gezählt?

5 mal 3. 5 mal 3 muss man rechnen, ne? Wir haben hier 5 Knubbel und in die Richtung haben wir 3 Knubbel und wenn wir alle Knubbel haben wollen, müssen wir 5 mal 3 rechnen. Das ist eine Darstellung der Multiplikation von 2 natürlichen Zahlen als Rechteck, ja? Rechteck.

Wir müssen 5 mal 3 rechnen. 5 mal 3 gleich 15. Also die Teileanzahl, 5 mal 3 gleich 15.

Wie hängen denn die 5 und die 3 hier mit der Primfaktorzerlegung zusammen? Ja? Ich nehme diese 4 hier. 4 plus 1 mal und die 2. 2 plus 1.

Ich nehme von den Primfaktoren die Potenzen, addiere 1 drauf und multipliziere diese Zahlen miteinander und dann komme ich auf

die Anzahl der Teile. Wieso muss ich da 1 drauf addieren? Wieso rechne ich nicht 4 mal 2? Wieso rechne ich 5 mal 3? Haben wir da eine gute Begründung für?

Wir fangen bei 2 hoch 0 an. Genau. Wir haben 2 hoch 0, 2 hoch 1, 2 hoch 3, 2 hoch 3, 2 hoch 4. Wir gehen zwar bis 2 hoch 4, aber wir müssen die 2 hoch 0 ja noch mit zählen. 0, 1, 2, 3, 4 sind 5 Zahlen, weil wir die 0 noch mit dabei haben.

Genau. Also hier 0, 1, 2 sind 3 Zahlen. Weil wir die 0 noch mit dabei haben, müssen wir zu den Exponenten hier oben jeweils immer 1 drauf zählen, um die Anzahl der Spalten oder Zeilen zu bekommen und dann multiplizieren wir das und kriegen die Anzahl der Teile. Anderes Beispiel, nehmen wir mal die 3600.

Wie viele Teile hat die 3600?

Kriegt man ganz leicht raus. Was ist die Primfaktor-Zerlegung der 3600? Wer kann sie mir sagen? 2 hoch 4 mal 3 Quadrat mal 5 Quadrat. Ja klar, ich meine die 400 haben wir schon. Das war 2 hoch 4 mal 5 Quadrat.

Wenn ich die 400 mal 9 nehme, komme ich dahin und 9 ist 3 Quadrat. Wie viele Teile hat diese Zahl? Wir können was ausrechnen.

Genau. Die Teileanzahl ist 5 mal 3 mal 3 ist gleich 45 Teile. Wie findet man die systematisch? Na ja, ist klar. Man geht alle Kombinationsmöglichkeiten durch von Primfaktorpotenzen. Also 2 hoch 0 mal 3 hoch 0 mal 5 hoch 0, 2 hoch 0 mal 3 hoch 0 mal 5 hoch 1, 2 hoch und so weiter.

Dann 2 hoch 1 mal 3 hoch 0 mal 5 hoch 0 und so weiter. So kann man das schön systematisch alle Teile finden. Also die Primfaktor-Zerlegung ist extrem praktisch. Die Voraussetzung dafür ist immer, die Primfaktor-Zerlegung ist eindeutig.

Das haben wir letzte Woche bewiesen mit der elementaren Zahltheorie. Eindeutige Primfaktor-Zerlegung, die kann ich eindeutig angeben. Es gibt keine andere als diese hier, der 3600. Und wenn es keine andere gibt, schreibe ich die mal so hin. Und dann finde ich alle möglichen Teile dadurch, dass ich die Primfaktorpotenzen miteinander jeweils kombiniere.