So, hitzige Diskussionen. Ich habe schon mal die Verknüpfungstafeln vorbereitet. An der Tafel finden Sie die Verknüpfungstafel für Z4 mit der Restklassenmultiplikation und Z5 mit der Restklassenmultiplikation.

Gucken wir uns mal genauer an. Also, Frage Nummer 1. Sind diese Strukturen abgeschlossen? Ja, wer kann eine Begründung dafür liefern? Begründung, warum sind die jeweils abgeschlossen?

Genau, es tauchen keine neuen Elemente auf. Aufgepasst, es geht hier um Restklassen. Wenn ich jetzt hier reinschreiben würde, Restklasse von 8, dann wäre das auch kein neues Element, weil das ist ja ein und dasselbe Element, wissen wir. Restklasse von 3 ist dasselbe wie Restklasse von 8.

Aber es taucht nicht so etwas auf wie ein Halb oder Wurzel 2 oder so. Okay, also abgeschlossen. Check. Assoziativ sind sie? Sieht man wieder nicht an der Tafel, kann man sich aber überlegen. Wenn man es allgemein beweist, wie wir es vorhin bewiesen haben, kann man sich vorstellen,

dass man die Multiplikation, das Definition wieder anwendet, das Ganze unter den Strich zieht, dann die Assoziativität in den ganzen Zahlen verwendet, der Multiplikation, dann wieder zurückgerechnet, geht. Check. Ist Assoziativ. Also beide Gruppen, Entschuldigung, beide Strukturen sind Halbgruppen.

Wie sieht es mit dem Neutralelement aus? Was ist denn das Neutralelement? Ja?

Nämlich? Die 1 wäre das Obligatorische gewesen, meinen Sie? Also 1 ist das Neutralelement bei der Multiplikation. Die 0 verhindert das. Warum? Ja?

Sehr schön. Genau. 1 ist das Neutralelement. Es gibt tatsächlich ein Neutralelement, die 1, denn auch bei der 0. 0 mal 1 ist 0, 1 mal 1 ist 1, 2 mal 1 ist 2, 3 mal 1 ist 3.

Die 1 bewirkt das Folgendes, wird diese Spalte hierhin kopiert. Beziehungsweise die 1 bewirkt, dass diese Zeile hierhin kopiert wird. Die 1 ist das Neutralelement. Auch da. Also Neutralelement. Check.

Wir sind fast am Ziel, oder? Fast haben wir die Gruppe. Wie sieht es mit den inversen Elementen aus? Gibt es zu jedem Element ein inverses Element, sodass ran verknüpft das Neutralelement rauskommt? Ja.

Ach so, Sie meinen, man braucht den Kehrbruch. Herr Prücher haben wir nicht, das stimmt natürlich. Aber vielleicht gibt es ja andere Elemente, sodass ... Sie denken jetzt in den kompletten und ganzen Zahlen, da bräuchte man einen Kehrbruch bei der Multiplikation. Aber hier wiederholt sich ja alles irgendwie wieder. Da können ja auch kleinere Elemente in Anführungszeichen rauskommen, dadurch dass man zum Beispiel hier 3 mal 2 kommt auch 1 raus.

Ah, kommt das Neutralelement raus, die 1, ohne dass ich einen Bruch habe. Ok. Gibt es inverse Elemente zu jedem Element? Ja? Weil? Gibt nicht?

Genau, die 1 taucht nicht in jeder Zeile und jeder Spalte auf. Das heißt, insbesondere hier bei der Null. Es gibt für die Null kein inverses Element. Es gibt kein Element, das an die Null ran multiplizieren muss, sodass 1 rauskommt. Genauso hier. Es steht keine 1 da drin. Also die Null ist ein echter Problemfall bezüglich der Inversen.

Also ZM mit der Restklassenmultiplikation ist eine Halbgruppe, aber keine Gruppe. Es ist sogar eine kommutative Halbgruppe.

Weil es Kommutativgesetz gilt, kann man auch sagen, es ist eine kommutative Halbgruppe. Und sie haben sogar ein Neutralelement. Das heißt, ZM mit der Restklassenmultiplikation sind kommutative Halbgruppen mit Neutralelement. Und weil man bei der Multiplikation das Neutralelement auch Einzelement nennt,

kann man auch sagen, das sind kommutative Halbgruppen mit Einzelement. Aber keine Gruppen, weil es keine inverse Elemente gibt. Sie erinnern sich aber, bei Q haben wir uns mit einem Trick beholfen. Wir haben die Null rausgenommen. Wir sitzen da aus. Wir nehmen die Null raus.

Wenn ich die Null weglasse, kriege ich dann eine Gruppe? Genau. Wenn ich die Null weglasse, also nur diesen Teil hier betrachte, dann gibt es für die 2 trotzdem kein inverses Element.

Die 2 hat keinen inverses, ja? Hier geht es, ne? Da geht es.

Das heißt, bei Z4, wenn ich die Null rauslasse, also Z4 ohne Restklassennull betrachte, mit der Multiplikation habe ich trotzdem keine Gruppe, weil es für die 2 keinen inverses Element gibt. Kommt irgendwann nirgends die 1 raus, ne? Wenn ich bei Z5 die Null rausnehme mit der Multiplikation, habe ich eine Gruppe.

Denn, Sie sehen, in jeder Zeile und jeder Spalte kommt hier die 1 vor. Das ist eine total spannende Sache, mit der wir uns in Zukunft noch befassen werden. Die Frage, wann oder für welche M ist denn ZM eine Gruppe?

Vermutung? Wunderbar. Das ist eine gute Vermutung. Für alle M, die ungerade sind, also bei allen ungeraden M,

ist ZM mit der Multiplikation eine Gruppe. Prüfen Sie mal Z9. Nicht jetzt. Zuhause. Z9 ausprobieren. Ich verrate Ihnen, das wird nicht gehen. Denn in Z9 gibt es, halten Sie sich fest, für die 3 keinen inverses Element.

Vielleicht kriegt jemand schon von Ihnen eine Idee, woran das liegen könnte. Für welche M könnten wir vermuten, gilt das, dass ZM ohne Null mit der Multiplikation eine Gruppe ist.

Für M Primzahl. Oh, ist das schön, oder? Super, da wird man so richtig glücklich, oder? Da kriegt man Adrenalinstöße und, äh, nicht Adrenalin, Quatsch. Wie heißt dieses Glückshormon? Endorphin. Endorphin, ja, echt? Bitte?

Ist ja völlig wurscht wegen Primzahl, ne? Genau. So, ein Begriff noch. Das hier ist auch eine total spannende Stelle. Zwei mal zwei gleich Null. Wo hat man sowas schon mal, ne?

Dass man zwei Zahlen miteinander multipliziert, die beide nicht Null sind, und es kommt Null raus. Gibt es doch eigentlich normalerweise nicht. So etwas nennt man Nullteiler. Also wenn ich zwei Zahlen A und B miteinander multipliziere, und weder A noch B sind Null, und es kommt Null raus,

dann sind beide Zahlen Nullteiler. Das heißt, hier bei Z4 ohne Null. Ach so, im Übrigen, wenn ich die Null rausnehme, und nur Z4 ohne die Null betrachte mit der Multiplikation,

bin ich schon nicht mal mehr abgeschlossen. Dann kommt ja die Null hier raus. Und die Null ist ja gar nicht in der Menge drin, wenn ich die Null rausnehme. Davon abgesehen ist das hier ein Problem sozusagen, dass zwei Nullteiler ist, dass die zwei die Null teilt. Gibt es eigentlich normalerweise nicht.

So, und zwar im Sinne von Nullteiler. Das heißt, die andere Zahl, die ich in die Zwei ran multipliziere, ist auch nicht Null, nämlich zwei. Gut, hier habe ich keine Nullteiler. Wenn ich die Null rausnehme, bin ich trotzdem noch abgeschlossen. Also die Null kommt nicht mehr als Ergebnis raus,

und alle anderen Gesetze sind erfüllt. Alle anderen Aktionen insofern ist Z5 ohne die Null mit der Multiplikation eine Gruppe. Ganz allgemein, kann man aber festhalten, Satz ZM mit der Restklassenmultiplikation

ist eine kommutative oder abelsche Halbgruppe

mit Einzelement oder mit Neutralelement. Na, wie viel Zeit haben wir noch?

Zehn Minuten? Oh, dann schaffe ich noch was. Wenn wir noch zehn Minuten haben, schaffe ich noch was.

Wir definieren uns jetzt eine weitere Struktur.