So, das waren so die Videos vom 16.11.2010. Heute alles im Sinne der Mengelehre. Denkt an die Videos von letzter Woche, denkt an die Videos von dem Mal davor und dem Mal davor. Und ihr könnt natürlich auch irgendwann wieder den Channel abonnieren, das dürft ihr auch nicht vergessen. Ansonsten jetzt viel Spaß mit unseren Videos.

Nochmal zusammenfassend, was wir bislang gemacht haben, war, wir haben die natürlichen Zahlen axiomatisch begründet über die Pianoaxiome, haben da einige Dinge bewiesen. Und am Anfang hatte ich ja behauptet, dass sie alles vergessen sollen, was sie wissen.

Und das war aber nicht ganz so korrekt gewesen, was wir letzte Woche gesehen hatten, war, dass wir ja beim Beweisen auch Logik verwendet hatten. Da hatten wir vorher nicht drüber gesprochen, das haben wir letzte Woche nachgeholt. Wir sind eigentlich immer noch nicht ganz fertig mit dem Nachholen der Dinge, die wir verwendet haben, ohne sie vorher zu begründen.

Wir haben nämlich noch ein kleines Teilgebiet der Mathematik ausgelassen, das wir immer implizit mitverwendet haben. Und zwar die Mengenlehre. Wir haben immer über Mengen gesprochen oder wir haben über die Menge der natürlichen Zahlen gesprochen,

ohne jemals gesagt zu haben, was eigentlich eine Menge ist und wie man mit Mengen umgeht. Und das will ich heute nachholen, Thema heute ist Mengenlehre.

Nicht wieder laut werden, bitte.

Die Mengenlehre oder der Begriff der Menge ist so ziemlich der grundlegendste Begriff, den es überhaupt in der Mathematik gibt. Im Prinzip könnte man, wenn man wollte, mit Mengenlehre anfangen und anschließend den Rest der Mathematik aufbauen.

Mengenlehre ist sozusagen der Ursprung. Kleiner didaktischer Kommentar, das hat auch zu einigen Verfehlungen in der Vergangenheit geführt. Sie sind dafür zu jung. Ich habe es auch nicht mehr wirklich bewusst mitgekriegt, aber vielleicht Ihre Eltern.

In den 60er, 70er Jahren gab es eine Bewegung, die sich neue Mathematik nannte oder New Math. Damals glaubte man, dass man den Schulunterricht so aufbauen sollte, wie die Mathematik fachwissenschaftlich strukturiert ist.

Wenn Mengenlehre eines der grundlegendsten Gebiete der Mathematik ist, muss man in der 1. Klasse auch mit Mengenlehre anfangen. Das hat man auch gemacht. Man hat in der 1. Klasse nicht mit Zählen und Rechnen angefangen, sondern mit Mengenlehre.

Damals gab es logische Blöcke, das waren kleine Plätzchen, die hat man in Kringel reingelegt und Mengendiagramme erzeugt. Dann hat man nicht solche Aufgaben gerechnet wie 3 plus 4 gleich 7, sondern hat man so etwas gemacht wie die Menge der Mächtigkeit 3 vereinigt mit der Menge der Mächtigkeit 4 ergibt eine Menge der Mächtigkeit 7.

Damals dachte man, es ist gut, gleich in der Schulaufbahn des Mathematikunterrichts den axomatischen Aufbau der Mathematik nachzuvollziehen. Das ist natürlich kräftig in die Hose gegangen. Sie können sich vorstellen, Kinder, die nach Hause kamen,

Vater, Mutter fragt, was hast du denn heute gemacht, und dann so Menge Mächtigkeit usw. Was lädst du da für ein Scheiß in der Schule, sollst Rechnen lernen. Die Lehrer haben natürlich Aufstand gemacht, damit können sie nicht umgehen. Das war praktisch eine komplette Umstellung des gesamten Mathematikunterrichts gewesen.

Und natürlich war das auch lernpsychologisch Blödsinn, wenn man so will. Man sollte natürlich nicht nur von der fachlichen Struktur her denken, sondern insbesondere auch von der kindlichen Entwicklung her.

Von der Entwicklungspsychologischen Seite her. Die Kinder kommen in die Schule, können zählen, mehr oder weniger gut, mit ein paar Lücken oder so vielleicht. Und man muss natürlich schauen, wo sind die Kinder, was können sie. Also es war ganz pädagogisch gesprochen, die Kinder dort abholen, wo sie sind. Und entsprechend ihren kognitiven Fähigkeiten dann auch weiter vorgehen.

Und gleich mit der Abstraktion zu Beginn anzufangen, ist natürlich auch Schwachsinn. Man muss erstmal ganz viele konkrete Erfahrungen sammeln, um dann am Ende die Abstraktion dahinter stattfinden zu lassen.

Abstraktion ist immer das, was am Ende kommt, nicht am Anfang. Und insofern braucht man vielleicht eine ganze Schullaufbahn, so wie sie, um Erfahrungen zu sammeln, mit zum Beispiel verschiedenen Zahlbereichen, natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen, reellen Zahlen, um dann am Ende, jetzt, das Ganze aus einer anderen Warte zu sehen, zu abstrahieren, sauber von Grund auf zu strukturieren.

Gut, und das machen wir jetzt. Mengenlehre. Was ist eigentlich eine Menge? Da Menge eine der grundlegendsten Begriffe der Mathematik ist, können wir uns da jetzt schwer auf irgendwas anderes beziehen, was schon vorher da war.

Deswegen zunächst mal so eine Art intuitive Definition für Menge. Und zwar stammt die von Gregor Kantor. Kantor ist so was wie der Gott der Mengenlehre in der Mathematik. Und weil Kantor der Gott der Mengenlehre ist, ist es auch logisch, dass er irgendwie mal Menge definiert hat. Und zwar sagt Kantor, dass eine Menge eine Zusammenfassung bestimmter, wohl definierter Objekte des Denkens oder der Anschauung ist.

Oder dreht es rum, der Anschauung oder des Denkens ist. Und zwar eine Zusammenfassung dieser Objekte zu einem Ganzen.

Die Zusammenfassung bestimmter, wohl definierter Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Nehmen wir erst mal die Anschauung. Ich schaue sie jetzt mal hier an. Hier sitzen jede Menge Menschen. Ich kann sie als Menge betrachten. Ich kann da sagen, hier sitzen eine Menge Leute.

Sie sind alle wohlunterschieden. Oder gibt es jetzt Zwillinge? Nö. Aber selbst wenn es Zwillinge gäbe, die würden wahrscheinlich von sich aus von selbst sagen, naja gut, wir sind schon Individuen oder so, wir sind nicht dieselben. Wohlunterschieden bedeutet, das ist wichtig in der Mengenlehre, es kann kein Element zweimal vorkommen.

Es gibt hier niemanden von ihnen zweimal. Und deswegen kann ich sie alle jetzt hier als Menge zusammenfassen und dann als Ganzes betrachten. Ich kann mit ihnen als Menge operieren. Nehmen wir mal Objekte unseres Denkens. Zahlen zum Beispiel. Zahlen sind, gibt es die irgendwo in der Natur, sie finden irgendwo eine 3 oder so.

Zahlen sind Objekte unseres Denkens und auch die können wir zu einer Menge zusammenfassen. So kann ich zum Beispiel sagen, die Menge besteht aus den Elementen 4, 7 und 8. Dann habe ich eine Menge. Jede Zahl kommt da drin nur einmal vor. Sollte ich nochmal eine Zahl reinstecken in die Menge, die da schon drin ist, dann kommt sie danach immer noch einmal vor.

Jede Zahl oder jedes Objekt in der Menge nur einmal. Machen wir ein Beispiel, nehmen wir gerade das von eben. Ich bilde mal eine Menge. So, und das kennen Sie ja, also brauche ich wahrscheinlich gar nicht viel darüber erzählen.

Sie machen so Mengen klammern. Und dann bastle ich mir hier eine Menge aus drei Objekten, wohlunterschiedene Objekten meines Denkens. So, 3, 5 und 7. Und Sie werden gleich feststellen, ich habe nicht ohne Grund letzte Woche die Aussagenlogik vor der Mengenlehre gemacht.

Weil wir nämlich die Aussagen und auch die Prädikatenlogik, weil wir beides jetzt brauchen. Man kann jetzt nämlich Aussagen basteln, wie beispielsweise 3 ist Element der Menge.

Das ist eine Aussage. Die kann wahr oder falsch sein. Und die ist wahr. 3 ist Element der Menge. Ich kann auch Folgendes sagen. 8 Element M ist eine falsche Aussage.

Und die kann ich wahr machen, indem ich sie negiere. Nicht 8 Element M. 8 ist nicht Element der Menge. Dafür gibt es auch eine Kurzschreibweise, die Sie vermutlich auch schon kennen. 8 ist nicht Element M. Die sind beide identisch oder äquivalent.

Gut. Damit haben wir schon sozusagen das grundlegendste Handwerkzeug, was wir brauchen, um Mengen zu definieren. Hier Mengendefinition und wir können sagen, dass ein Element einer Menge ist oder nicht. Ein Objektelement einer Menge oder nicht.

Jetzt haben wir hier endlich viele Elemente dieser Menge. Eine Menge so zu definieren ist ziemlich einfach. Man braucht einfach nur alle Elemente hinzuschreiben. Jetzt gibt es aber natürlich auch Mengen mit unendlich vielen Elementen, wie die natürlichen Zahlen, die Menge der natürlichen Zahlen.

Oder unendliche Teilmengen dieser Menge, wie die Menge der Geradenzahlen oder so. Wie schreibt man jetzt das auf? Wie schreibe ich eine Menge auf mit unendlich vielen Elementen? Ich kann sie nicht alle hinschreiben. Ich bediene mich der Formelsprache oder der Prädikatenlogik, Aussagenlogik, je nachdem, um eine Menge mit unendlich vielen Elementen zu definieren.

Mache ich mal ein Beispiel. Die Menge aller natürlichen Zahlen, die größer sind als 100.

Also ich möchte die Menge haben mit 101, 102, 103, 104 und so weiter. Wie schreibe ich mir das auf? So, ich will alle natürlichen Zahlen haben, also alle N aus den natürlichen Zahlen. Jetzt kommt es mit der Eigenschaft, ich mache da so einen senkrechten Strich, mit der Eigenschaft, dass diese Aussage hier gilt.

Pack mir alle natürlichen Zahlen in diese Menge, für die diese Aussage da gilt, für die diese Aussage wahr ist. Also wenn man alle natürlichen Zahlen durchgeht, für die 0 ist das nicht wahr, für die 1 ist das nicht wahr, für die 2 nicht und so weiter und so weiter. Ab der 101 wird diese Aussage wahr und ab der 101 sind dann auch alle Elemente in der Menge A.

Vorher die sind nicht drin, weil die Aussage nicht wahr ist. Mache noch mal ein anderes Beispiel. Ich will die Menge haben, alle geraden Zahlen. Also 0, 2, 4, 6, 8. Mache ich wieder ähnlich.

Ich möchte alle natürlichen Zahlen haben, für die die folgende Aussage gilt. Jetzt nehme ich mal folgende Aussage.

Es existiert ein M aus den natürlichen Zahlen, sodass 2 mal M gleich N ist.

Ich pack mir alle natürlichen Zahlen in diese Menge rein, für die diese Aussage gilt. Also alle natürlichen Zahlen, die das Doppelte einer anderen natürlichen Zahl sind.

Wenn man jetzt alle natürlichen Zahlen durchgeht, die 0, dann nehmen wir mal die 0. Es existiert für die 0 eine natürliche Zahl, sodass 2 mal diese Zahl gleich 0 ist. Was meinen Sie?

Nämlich? Ja, welche? 0, genau, M ist auch 0. Wenn N 0 ist, dann muss ich M nur 0 wählen, denn 2 mal 0 ist 0. Also ist diese Aussage wahr, also ist die 0 in der Menge. Jetzt nehmen wir die 1. Es existiert für die 1 eine natürliche Zahl M, sodass 2 mal M gleich 1 ist.

Nein, gibt es nicht, also ist 1 nicht in der Menge drin. Jetzt nehmen wir die 2 und so weiter und so weiter. Sie werden merken, für jede gerade Zahl gibt es eine natürliche Zahl, sodass 2 mal M gleich diese Zahl ist.

Damit sind in der Menge drin. Die Frage war, wieso schreibt man nicht einfach n Element der natürlichen Zahl mit der Eigenschaft 2n?