Ja, jetzt wollen wir euch mal erklären, wie das Beweisverfahren der vollständigen Inuktion funktioniert. Also wir... Janna, komm nochmal bitte. Ja, nee. Jetzt komm nochmal, wir müssen vollständige Inuktion erklären. Aber ich will nicht.

Bitte. Was kriege ich denn dafür? Gummibärchen. Langweilig. Zwei Gummibärchen. Ja, genauso langweilig. Eine Schüssel Müsli. Was soll ich denn damit? Okay, okay, okay. Du kriegst einen ewigen Platz in der Moog-Ruhmeshalle.

Na gut. Na also. Okay, jetzt erklären wir mal das Beweisverfahren der vollständigen Inuktion. Also unser Ziel ist, wir wollen eine Aussage zeigen für alle natürlichen Zahlen. Also Aussage, nennen wir sie mal A. Die Aussage A soll gelten für diese natürliche Zahl hier.

Für welche noch? Für die. Für die. Für die. Für die auch. Und so weiter. Für alle. Ja, wir können es nicht für alle einzeln zeigen. Das ist das Problem, weil das dauert... Ja, unendlich lang. Unendlich lang. Da haben wir eigentlich nie Zeit für. Wir müssen noch ein paar andere Sachen machen. Also, unendlich lang haben wir nicht Zeit. Wir müssen einen Trick verwenden.

Und dieser Trick, der steckt in der vollständigen Inuktion. Und zwar ist der Kerngedanke der vollständigen Inuktion der Folgende. Wir nehmen mal an, es gilt für irgendeine Karte. Und was doch praktisch wäre, wäre, wenn wir wissen, dass wenn es für eine Karte gilt,

dass es dann auch für den Nachfolger gilt. Genau. Also, dass wenn eine Aussage A für eine natürliche Zahl K gilt, dass dann automatisch auch die Aussage für den Nachfolger von K gilt.

Das nennt man wie? Induktionsschritt. Induktionsschritt, genau. Wir müssen also eine Induktion Folgendes zeigen. Wenn eine Aussage für K gilt oder für irgendeine natürliche Zahl, dann gilt sie automatisch auch für den Nachfolger.

Super, oder? Ja. Aber ein Problem sehe ich noch. Was ist ein Problem, siehst du noch? Na ja, wir können ja jetzt nicht sicher sagen, dass das dafür gilt. Das war ja nur eine Annahme, dass das dafür gilt. Die nennt man übrigens Induktionsannahme. Also, sicher sein können wir nicht, dass das dafür gilt. Das war andere Annahme.

Was machen wir denn da? Ja, wir müssen zeigen, dass das für den Anfang der Reihe gilt. Also quasi für die Nullen. Ah ja, für den Anfang, den nennen wir Induktionsanfang. Also, in der vollständigen Induktion müssen wir diese beiden Dinge zeigen. Wir erklären gleich, wohin das führt. Wir müssen zeigen, erstens, die Aussage A gilt für die Nullen.

Und wir müssen zeigen, wenn, wenn unter der Annahme, dass eine Aussage für irgendeine natürliche Zahl K gilt, dann gilt sie automatisch auch für den Nachfolger.

Diese zwei Dinge sind zu zeigen. So, warum funktioniert das jetzt? Ja. Das führen wir mal vor, oder? Angenommen, wir haben diese beiden Dinge für die Aussage A gezeigt. Was können wir dann sagen? Ja, dass es für die Nullen gilt. Also, wir haben gezeigt, die Aussage gilt für die Nullen. Folgendes hier. Für dieses Kärtchen gilt die Aussage.

Ja. Ja. So, was wissen wir noch? Ja, wir haben ja den Induktionsschritt. Das heißt, wir wissen, wenn es für ein beliebiges K gilt, was ja in dem Fall auch die Null sein kann, dann gilt es auch für den Nachfolger, also für diese Karte. Ja, für den Nachfolger der Null gilt es auch.

Super. Ja. Jetzt wissen wir aber noch, es gilt für den Nachfolger der Null. Also auch? Für den Nachfolger der Nachfolger der Null. Genau. Ja. Für die Karte gilt es auch. Und damit wissen wir aber auch, damit es für diese Karte gilt, gilt es auch ... Für den Nachfolger.

Ja, und für die Karte gilt es also auch ... Ja, und also auch für den ... Und machen wir es auch her. Kommen wir mal noch zu Ende, oder? Für die gilt es auch. Und ... Ja, für die gilt es auch. Und wir können uns jetzt natürlich denken, dass das bis in die Unendlichkeit funktioniert.

Das müssen wir nicht machen. Nee, zum Glück. Nee, genau. Sondern wir müssen einfach nur zeigen, es gilt für Null. Und wenn es für eine natürliche Zahl gilt, die Aussage, dann gilt es auch für den Nachfolger. Vollständige Induktion. Schön.