Präsentiert von Open Learnware, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. So, dann möchte ich Sie alle recht herzlich zur heutigen Vorlesung begrüßen und bevor ich in den Stoff einsteige, möchte ich Sie alle einladen, wenn Sie es noch nicht getan haben oder auch wenn Sie es schon getan haben,

dieser Tage noch mal auf die Moodle-Seite der Veranstaltung zu schauen. Die ist mittlerweile einigermaßen im Zustand, wie ich sie mir zu Beginn des Semesters wünsche. Sie finden da zum einen die Mitschriebe aus den Vorlesungen, zum zweiten den Anfang des

angekündigten Skripts, dann gibt es mittlerweile ein Forum, da steht dabei Forum zur allgemeinen organisatorischen Fragen. Ich bitte Sie das aber recht großzügig auszulegen, da dürfen natürlich auch sehr gerne inhaltliche Diskussionen stattfinden.

Jede inhaltliche Diskussion bringt diejenigen, die diskutieren weiter, ist aber auch für mich natürlich spannend, weil ich dann sehe, wo noch Unklarheiten sind und es wird dann dort ab morgen glaube ich das erste Übungsblatt geben und zu jedem Übungsblatt auch ein Forum, wo Sie sich austauschen können, von organisatorisch bis inhaltlich.

Zum Skript noch ein Kommentar, das entsteht jetzt eben laufend für diese Veranstaltung, neu, das heißt es passt perfekt auf die Veranstaltung, das heißt aber auch es ist neu und wie jeder neue Text sicherlich mit dem einen oder anderen Tippfehler behaftet,

so ein Skript wird erst mit der Zeit gut und muss reifen und um diesen Reifungsprozess zu beschleunigen können Sie alle helfen. Wann immer Sie da drin einen Fehler finden, bin ich sehr dankbar, also der Herr Dreher, der es de facto schreibt und ich auch sehr dankbar,

wenn Sie den mitteilen, schreiben Sie es ins Forum, schreiben Sie uns eine E-Mail oder kommen Sie nach der Vorlesung und sagen Sie Bescheid. Auf die Weise kann so ein Skript besser und besser werden und wir werden dann immer

wenn wir es verlängern denke ich auch die gefundenen Tippfehler jeweils schon einarbeiten, also rausarbeiten um genau zu sein, weitere Tippfehler einarbeiten tun wir leider auch aber das liegt in der Natur der Sache. Gut, gibt es sonst, hat sich sonst in der letzten Woche irgendwas organisatorisch Problematisches ergeben, gibt es da Schwierigkeiten, Fragen?

Ok, dann steige ich mal ins nächste Kapitel ein und das nächste Kapitel bringt nicht ein bisschen aber nicht sehr sehr viele neue Begriffe und sehr viele neue Dinge, sondern beinhaltet eigentlich eine Rechenmethode mit der wir es im Kapitel lineare Algebra ständig zu tun kriegen,

weil man immer mal lineare Algebra macht, das steckt schon in dem Wort lineare Algebra drin, rechnen wir mit Vektoren, rechnen wir später auch mit Matrizen und Ähnlichem und was dabei immer entsteht sind lineare Gleichungssysteme,

Systeme von linearen Gleichungen, die lineare Algebra ist voll davon und kommt ohne die nicht aus und das heißt wir brauchen eine effiziente Methode um die zu behandeln, um die zu lösen und das ist das Thema der heutigen und der morgigen Vorlesung, also Paragraph 2 handelt um lineare Gleichungssysteme und dieses Wort taucht jetzt immer und immer

wieder auf, deswegen werde ich das wahrscheinlich auch höchstens einmal hinschreiben und ansonsten immer LGS

und um Ihnen zu zeigen, was ich mit einem linearen Gleichungssystem meine und Ihnen zu zeigen, was da so passieren kann, will ich mit einer typischen Anwendung oder einer typischen Situation anfangen, der linearen Gleichungssysteme vorkommen und dazu habe ich Ihnen, ich habe Ihnen mal was mitgebracht, nämlich vier Ebenen, vier Ebenen im R3 hier auf der Folie, jeweils gegeben durch

eine Gleichung, also E1 sind alle die Punkte, die die erste Gleichung erfüllen, E2 alle die Punkte, die die zweite Gleichung erfüllen und so weiter und eine naheliegende Frage, wenn man sich jetzt die Geometrie von diesen Ebenen anschaut ist, wie sieht es

mit Schnittgebilden, Schnittgeraden und Schnittpunkten und so weiter aus und wenn man das tut, wenn man zum Beispiel die Schnitt, alle Schnittpunkte der ersten drei Ebenen sucht, dann führt das auf ein lineares Gleichungssystem, denn die

Schnittpunkte dieser drei Ebenen sind natürlich die Punkte, die alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllen, das möchte ich mit Ihnen beantworten. Als erstes Beispiel gerade mal anschauen, also Beispiel 2.1, also gesucht ist

Schnittpunkt von drei Ebenen und zwar die Ebenen E1, E2, E3 da drüben, also E1

sind alle die x, y, z aus R3, sodass 2x plus y plus z gleich 1 ist, E2

sind alle die x, y, z aus R3 mit 3x plus y plus z gleich 2 und E3 ist 4x plus 2y plus 3z gleich 0. So, wir suchen die Schnittpunkte dieser drei Ebenen, das

heißt alle Punkte, die alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllen, damit ich gut über die Gleichungen reden kann, gebe ich denen mal Nummern, also die Gleichungen heißen jetzt 1, 2, 3 und gesucht sind gemeinsame Lösungen aller

drei Gleichungen und solche gemeinsamen Lösungen von mehreren Gleichungen nennt man eben Lösungen des Gleichungssystems und das ist jetzt ein

Beispiel, das für so ein lineares Gleichungssystem steht und jetzt ist die Frage, wie findet man diese Lösung? Ich denke, das ist für Sie nicht unbedingt was Neues, haben Sie schon gemacht und da will ich auch anfangen,

wie würde man jetzt an sowas rangehen, wie ist man an sowas in der Schule rangegangen? Also ich schreibe da mal Schulvorgehen drüber, man hat

diese Gleichungen, die rutschen jetzt hier oben raus, deswegen stehen sie da auf der Folie noch mal, also im Moment geht es um die Gleichungen 1, 2 und 3, die vierte können wir von dem Moment noch vergessen und was

man macht ist, man kann eine Gleichung in eine andere einsetzen, man kann die Gleichung voneinander abziehen, man kann sie miteinander multiplizieren, man kann Gleichungen mit Zahlen multiplizieren, wenn die nicht gerade 0 sind und wenn man das alles zusammen nimmt, können wir zum Beispiel folgendes

machen, wir können die zweite Gleichung nehmen und mit 2 multiplizieren und davon 3 mal die erste abziehen, was passiert dann? Also schreiben wir uns mal hin, was ist 2 mal die zweite Gleichung? Die zweite Gleichung war 3x plus y plus z gleich 2, also 2 mal die Gleichung ist 6x plus 2y plus 2z

gleich 4, davon wollen wir 3 mal die erste Gleichung abziehen, also was ist 3 mal die erste Gleichung? Das ist 6x plus 3y plus 3z gleich 3 und das

wollen wir abziehen, was kommt dann dabei raus? Man hat es jetzt extra so gemacht, dass vorne 6x minus 6x steht und die eine Variable damit verschwindet, 2y minus 3y ist minus y, 2z minus 3z ist minus z und 4 minus 3 ist 1, man hat auf

die Weise eine neue Gleichung gewonnen, die nenne ich mal 4, die nur noch die Variablen y und z enthält, so jetzt haben wir also die und auf ähnliche Weise können wir jetzt mit der dritten und der zweiten

Gleichung arbeiten, also wir nehmen die dritte Gleichung und ziehen 2 mal die erste ab, also was ist die dritte Gleichung? Die ist 4x plus 2y plus 3z gleich 0, steht noch da drüben, davon ziehen wir 2 mal die erste ab, 2 mal

die erste ist 4x plus 2y plus 2z gleich 2, abziehen, wieder so gemacht, dass vorne 4x und 4x steht, 2y und 2y, das ist wunderbar und dann haben wir 3z minus

2z, das ist z und dann kriegen wir schon raus, z ist minus 2, das ist schön, ein Drittel der Aufgabe ist schon gelöst, wenn Sie einen Bildpunkt von diesen drei Ebenen haben, dann muss z minus 2 sein und damit können

wir jetzt weiter, weil jetzt können wir dieses Ergebnis aus 5 oben in 4 einsetzen, bekommen wir y raus, dann haben sie y und z und dann gehen sie in irgendeine von diesen Gleichungen rein und rechnen damit das x aus, also wir setzen 5 in 4 ein, einsetzen 5 in 4, da haben wir minus y minus z,

minus z ist minus minus 2, also plus 2 gleich 1 und das heißt, dass y ist 1,

dann ist minus 1 plus 2 ist dann 1, so und dann können sie dieses z und dieses y in 1 einsetzen, da sind die Gleichungen 1, aber sie können natürlich genauso in 2 und in 3 einsetzen, da muss dasselbe rauskommen, also 1 war 2x plus y, y war 1 plus z war minus 2 gleich 1 und dann sehen Sie, kriegen wir

sofort das x, die 1 auf beiden Seiten, die 2 auf die andere Seite, 2x

gleich 2, also x gleich 1, also gibt es genau einen Schnittpunkt von diesen drei Ebenen, jeweils zwei von denen haben wir Schnittgrade und die beiden Schnittgraden schneiden sich wiederum in einem Punkt, also Schnittpunkt ist demnach der Punkt x gegeben durch 1, 1 minus 2 und für das Gleichungssystem

heißt das, das ist ein eindeutig lösbares Gleichungssystem, es ist lösbar

und es hat eben genau eine Lösung. Sie sehen, das war jetzt relativ viel Schreibaufwand für drei relativ simple Gleichungen, wenn ich auf das Beispiel aus der letzten Vorlesung vom Computerkombograf zurückkomme mit 2 Millionen Gleichungen und 500.000

Unbekannten, dann will man das nicht auf die Weise lösen, klar dafür hat man einen Computer, aber auch schon selbst so kleine brauchen relativ viel Schreibaufwand, da werden wir uns jetzt in dieser und der nächsten Vorlesung eine Methode überlegen, wie man das effizienter und kürzer aufschreiben kann.

Die Rechnung, die im Hintergrund stattfindet, ist eigentlich die gleiche, aber es geht darum, diese Sache zu, diese Methode, diese Rechnung zu algorithmisieren, zu standardisieren und kurz und knapp aufzuschreiben. Ich will, bevor ich mich da rein vertiefe, Ihnen noch zwei Beispiele

mehr zeigen, um zu zeigen, was bei so linearen Gleichungssystem noch passieren kann, wir haben jetzt hier ein Beispiel gesehen von einem eindeutig lösbaren, das muss nicht immer der Fall sein. Ich lege jetzt noch eins zeigen, das viele Lösungen hat und eins zeigen,

das keine Lösung hat und im Wesentlichen werden wir uns dann später überlegen, dass das alle generischen Fälle sind, was anderes tritt nicht auf. Wangen wir an mit einem Beispiel von einem Gleichungssystem, das viele Lösungen gibt. Wir nehmen mal die Schnittgerade von E1 und E2 aus, also wir

schmeißen die dritte Gleichung weg und schauen uns einen Schnittpunkt von nur zwei Ebenen an. Also wir suchen alle Schnittpunkte der zwei Ebenen E1 und E2, also nochmal E1 war 2x plus y plus z gleich 1, das war unsere

Gleichung 1 und E2 3x plus y plus z gleich 2, das war unsere Gleichung 2.

So, jetzt ist das ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen, zwei Gleichungen und drei Unbekannte, wir haben mehr Unbekannte als Gleichungen, das mag den Gedanken dämmern lassen, dass es wahrscheinlich viele Lösungen gibt, aber Vorsicht, das ist nicht gesagt, ich kann Ihnen auch problemlos ein

Gleichungssystem mit zwei Gleichungen hinschreiben, das keine Lösung hat, aber schon so von der Grundtendenz her ist das eher, also gibt es eine Vermutung, dass es, wenn alles gut läuft, viele Lösungen hat. So, jetzt

können wir, einen Teil der Rechnung haben wir oben schon gemacht, nehmen Sie wieder zweimal die zweite Gleichung und ziehen Sie dreimal die erste ab, das hatten wir oben schon gemacht, das gibt die Gleichung minus y minus z gleich 1, das war da oben die Nummer 4. So, und mehr haben wir jetzt nicht,

wir haben diese beiden Gleichungen 1 und 2 und wenn wir jetzt versuchen, nochmal hier eine Variable mehr zu eliminieren, dann klappt das nicht, das liegt eben daran, dass dieses Gleichungssystem noch einen Freiheitsgrad

frei hat, ja, steht hier auch, danke, danke, danke, das ist auf dem Weg vom Papier zum Bildschirm unter den Tisch gefallen, gut, wir haben eben einen Freiheitsgrad, den müssen wir jetzt behandeln und das machen wir in dem

Sinne, es gibt jetzt eben, eine dieser Variablen können Sie jetzt beliebig wählen, für jede Wahl, egal was Sie für z einsetzen, jeder Wert für z gibt Ihnen einen Wert von y, wenn Sie z festlegen, liegt auch y fest und

wenn z und y festlegen, liegt über eine dieser Gleichungen da oben auch das x fest, das heißt, Sie haben einfach einen Freiheitsgrad, Sie haben einen Parameter, den Sie verteilen können und der aber beliebig ist und den gibt man dementsprechend üblicherweise dann einen Namen von einer Variablen,

ich entscheide mich jetzt mal dafür, die Variable z beliebig zu lassen, können Sie auch jede andere nehmen, kommen Sie aufs gleiche raus, also ich setze mal z, irgendein Wert t ein, damit es gemeint eben, egal was Sie für z einsetzen, kriegen Sie jetzt eine Lösung x und y, also setzen wir allgemein einen Wert t ein und wenn Sie das machen, dann kriegen Sie aus

den Gleichungen vier und eins die zugehörigen y und x Werte, also jetzt kriegen Sie erstmal aus der Gleichung vier minus y minus t gleich eins, das heißt, wenn Sie das t kennen, können Sie jetzt das y ausrechnen als

minus eins minus t und dann können Sie mit diesem z und diesem y wieder in die Gleichung eins gehen und kriegen das x, die Gleichung eins war

eins gleich zwei x plus y plus z, also zwei x plus y ist zwei x minus eins minus t plus z, also plus t, sehen Sie fallen die t sogar raus, kriegen Sie eins ist zwei x minus eins, das heißt das x ist immer eins, so was

kriegen wir jetzt also als Lösungen raus, alle Schnittpunkte sind gegeben

als die Vektoren x, die Sie schreiben lassen, x-Koordinate muss eins sein, y-Koordinate minus eins minus t und z-Koordinate t, wobei t eben irgendeine

reelle Zahl ist, für jede reelle Zahl t kriegen Sie hier eine Lösung, jetzt ist irgendwie anschaulich das auch nicht verwunderlich, wenn Sie zwei Ebenen haben, die im Raum liegen und die liegen nicht irgendwie bekloppt parallel zueinander oder sonst was, dann haben die eine Schnittgerade, was hier so rauskommt, sollte eine Gerade sein und das kann man, wenn man

sich ein bisschen anders hinschreibt auch gut sehen, das ist nämlich die Gerade, die gegeben ist durch den Aufpunkt eins minus eins null plus t mal, jetzt sortieren Sie alles zusammen, was ein t enthält, null minus eins und jetzt sieht man schön, das ist eine Gerade mit Aufpunkt eins minus eins null

und Richtungsvektor null minus eins eins. So, also die Lösungsmenge ist eine Gerade, an dem Beispiel sieht man jetzt eben, es kann linear Gleichungssysteme geben, die nicht eindeutig lösbar sind, sondern die viele Lösungen haben, man sieht auch, dass es tatsächlich gut ist, sich nochmal genauer anzuschauen,

wie man Algorithmus solche Systeme löst, weil wir hätten hier böse auf die Nase fallen können, ich hatte oben gesagt, wir haben eben die gleichen zu wenig, das heißt ein Parameter bleibt frei und ich hatte dann gesagt, für jedes z, das Sie einsetzen, kriegen Sie in y und kriegen Sie in x und dann haben wir z gleich t gesetzt und dann haben wir das Zugehör

in y und x rausgekriegt. Sie hätten ja auch auf die Idee kommen können zu sagen, naja gut, wenn ich mir das e-frei aussuche, einsfrei wählen kann, dann wähle ich mal das x als t und setze ein und dann hätten Sie Schiffbruch erlebt, was Sie an der Lösung sehen, das x, also es gibt hier nur eine Lösung für x gleich eins. Im x steckt das t nicht drin.

Das heißt, es gibt Variablen, die man als t setzen darf und andere nicht und die Frage ist, woran erkennt man welche jetzt gut gehen und welche nicht, damit werden wir uns noch beschäftigen. Wie gesagt, das Ziel von dieser

der nächsten Vorlesung ist, ein komplett fertiges Rezept aufzuschreiben, wie Sie solche linearen Gleichungssysteme lösen können, sodass diese ganzen Fußangeln einfach nicht mehr auftauchen, sondern wenn man es dann nach dem Rezept macht, dann kommt man immer aufs richtige Ergebnis. Das kann dann sein, dass keine Lösung rauskommt, weil es unlösbar ist, aber das kriegen Sie dann eben auch raus. So, noch ein drittes Beispiel

und dafür ist diese vierte Ebene dabei. Also, was ich jetzt machen will, ist, wir behalten die Gleichungen, die geraden Ebenen E1 und E2 und ersetzen die Ebene E3 durch die Ebene E4 und suchen wieder die Schnittpunkt

oder die Schnittpunkte von den drei Ebenen. Also jetzt sind es wieder drei Ebenen und damit haben wir wieder drei Gleichungen mit drei Unbekannten und dann würde man so im ersten Anflug denken, naja, gut,

das sollte wieder sowas eindeutig Lösbares geben, genauso viele Gleichungen wie Unbekannte, sieht gut aus, also die E1, die kennen wir schon, Gleichung 1, die E2 kennen wir auch schon, 3x plus y plus z gleich 2, Gleichung 2, die beiden haben eine schöne Schnittgerade, haben wir gerade

rausgerechnet und jetzt nehme ich dazu die Ebene 4, x plus y plus z gleich 3, diese Ebene 4 ersetzt die Ebene 3, ich nenne das Ding mal 3 Strich, die Gleichung 4 hatten wir ja oben schon. So, Ebenen 1 und 2 sind unverändert,

also fangen wir auch unverändert wie oben an, was man schon mal sich zu tun, also wieder 2x die Gleichung 2 minus 3x die Gleichung 1,

das ist jetzt diesmal nicht mitvergessene Minuszeichen, minus y minus z gleich 1, das war die Gleichung 4. So, jetzt haben wir Gleichungen E1, E2, E4 und diese hier, jetzt haben wir aber die Gleichung 3 Strich noch nicht verwurstet, die muss auch noch mit rein und da kann man Folgendes

machen, nehmen Sie 2 mal die Gleichung 3 Strich und ziehen Sie die Gleichung 1 ab, ich schreibe es jetzt mal nicht nochmal hin, sondern wage das Experiment mit Ihnen im Kopf zu machen, 2 mal 3 Strich minus 1, also 2x minus die 2x von oben

gibt nichts, so war es gerade gemacht, 2y minus das y von oben gibt ein y, 2z minus das z von oben gibt ein z, 2 mal 3 minus 1, 6 minus 1 ist 5, so das ist Gleichung 5, so also jeder Schnittpunkt von diesen 3 Ebenen

erfüllt die Gleichungen 1, 2, 3 Strich, 4 und 5, so und jetzt addieren Sie mal die beiden Gleichungen 4 und 5 noch und wenn Sie das machen, dann gibt es ein kleines Problem, wenn Sie die linke Seite addieren, dann kriegen Sie eine schöne 0

und wenn Sie die rechte Seite addieren, dann kriegen Sie eine schöne 6, also wann immer Sie einen Schnittpunkt haben von diesen 3 Ebenen, dann ist 0 gleich 6, da 0 sehr selten 6 ist, gibt es keinen Schnittpunkt und Sie haben in dem Fall ein unlösbares Gleichungssystem und das ist natürlich was,

gut das kommt vor, das kann immer wieder vorkommen und davon, da hätte man natürlich gerne ein Verfahren, das einem möglichst schnell Bescheid sagt, wenn das so ist, weil keiner hat Lust das immer bis zum Ende durchzurechnen und ganz am Ende festzustellen, ist nicht lösbar und das ist auch was,

was man versuchen kann, ja möglichst geschickt zu machen, dass man es möglichst früh merkt, dass es nicht geht. So, also das waren 3 Beispiele,

um zu sehen, was bei solchen Linien-Gleichungssystemen passieren kann und wir werden im Laufe der heutigen und morgigen Vorlesungen merken, dass das sozusagen die 3 generischen Beispiele von Linien-Gleichungssystemen sind, dass es das, was passieren kann. Die Dinger haben entweder genau eine Lösung oder die Lösung ist ein verschobener Unterraum, also gerade eine

Ebene in höheren Dimensionen, eben was entsprechend höherdimensional ist oder die Dinger sind unlösbar. Gut, aber das Ziel jetzt erstmal ist, ein algorithmisches, also das Ziel jetzt ist, finde ein oder gebe ein

algorithmisches Verfahren an zur Lösung beliebiger linearer Gleichungssysteme und dieses algorithmische Verfahren wird am Ende der sogenannte

Gauss-Verfahren sein und dieses Gauss-Verfahren kann man exakt mathematisch herleiten, darauf will ich verzichten, weil der Erkenntnisgewinn relativ gering ist, dafür der Aufwand umso höher, sondern ich will mit

Ihnen, ja ich will es plausibel machen und ich will mit Ihnen einfach ein paar Beispiele durchrechnen, dann sehen Sie, wie der Hase läuft und wissen Sie, was zu tun ist. Dann, wenn man loslegen kann, ist es

klar zu machen, was ist so ein lineares Gleichungssystem überhaupt, was ist die allgemeine Form von so einem linearen Gleichungssystem, da drüben steht schon eins, ein Beispiel, aber was ist allgemein ein lineares Gleichungssystem, System von m Gleichungen mit n Unbekannten, wir haben schon im Beispiel gesehen, es ist wichtig den Fall zuzulassen, dass man

nicht gleich viele Gleichungen wie Unbekannte hat, wenn man die Schnitt gerade von zwei Ebenen ausrechnen will, hat man eben zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, der Fall kommt durchaus oft vor, also wir haben n Gleichungen mit n Unbekannten und wichtig ist es noch, das sind lineare

Gleichungen, das heißt wir haben, was heißt dieses linear, das heißt die ganzen Variablen tauchen nur nackt auf, nicht zum Beispiel quadriert oder so was, also da steht kein 4x Quadrat drin oder kein 4 mal Sinus von x oder so was, sondern jede Variable taucht nur alleine auf mit einem Vorfaktor, aber nicht weiter verwurstet, nicht quadriert, keine

Wurzel, kein Nichts, sondern eben linear, so und das heißt im Allgemeinen, das Allgemeine Setting ist das Folgende, wir haben m Gleichungen und die erste Gleichung ist irgendein Vorfaktor a11, dieser Vorfaktor hat jetzt zwei Indizes, der erste Index sagt in welcher Gleichung wir sind, der

rechte Seite sagt auf welche Variable der multipliziert wird, also a11 mal x1 plus eine Zahl a12 mal x2 plus und so weiter plus eine Zahl a1n mal xn gleich irgendeine rechte Seite, in dem Fall da drüben 1, das nenne ich

mal b1, so das ist die erste Gleichung, n Unbekannte und vor jeder Unbekannten x1 bis xn stehen nämlich Zahlen a11 bis a1n, genauso die zweite Gleichung, eine Zahl a21 mal x mal x1 mal x1 plus eine Zahl a22

mal x2 plus und so weiter bis zu einer Zahl a2n mal xn und wieder eine rechte Seite, die nenne ich mal b2 und so geht es jetzt eben weiter, bei den a's gibt

immer der erste Index an in welcher Zeile sie sind und der zweite Index gibt ihn an auf welche Variable, zu welcher Variablen das der Koeffizient ist und auf die Weise haben sie jetzt m Gleichungen, also am Ende steht hier am1 x1 plus am2 x2 plus und so weiter bis amn xn

ist eine Zahl bm, so haben sie m Gleichungen mit n Unbekannten, m lineare Gleichungen mit n Unbekannten, so vielleicht nochmal kurz Namen geben

und sortieren, was sind jetzt die Dinge, die da stehen? Gegeben, ja was ist Ihnen gegeben, wenn Sie das Gleichungssystem kriegen? Gegeben sind diese Vorfaktoren, also die vor den Variablen stehen, die aij sind Ihnen gegeben, die rechten Seiten sind Ihnen gegeben b1 bis bm, gesucht sind die x1 bis xn, also die

Namensgebung ist auch schon so gemacht, Unbekannte nennt man von aij nennt man die Koeffizienten des Gleichungssystems, also das sind Zahlen aij, wobei das i sagt in welcher Gleichung sie sind, läuft von 1 bis

m und das j sagt, welche Variable sie damit multiplizieren und geht von 1 bis n, dann haben sie rechte Seiten b1 bis bm, also rechte Seiten bi, i gleich 1 bis

m, sowohl die Koeffizienten wie auch die rechten Seiten sind gegebene Größen und gesucht sind die Unbekannten x1 bis xn, also xj und j geht von 1 bis n,

so das ist ein lineares Gleichungssystem und wir haben uns jetzt eben vorhin den

Spezialfall angeschaut von drei Gleichungen mit drei Unbekannten, zwei Gleichungen mit drei Unbekannten und wie gesagt lineares Gleichungssystem meistens abgekürzt LGS. Für diese Frage, wie viel Gleichungen, wie so viel Unbekannte sie gibt, sie haben, gibt es gleich noch drei Fachbegriffe,

die ich an der Stelle einführen will, die aber eigentlich recht naheliegend sind, man nennt das Gleichungssystem unterbestimmt, wenn sie zu wenig Gleichungen für die vielen Unbekannten haben, also weil es m kleiner als n ist,

weniger Gleichungen als Variable, das war vorhin im Beispiel b, da hatten wir nur zwei Gleichungen und drei Variable, man nennt das quadratisch, wenn m gleich n ist, m gleich n gibt eben quadratisches System, gleich viele Gleichungen wie Unbekannte, das war vorhin in den Beispielen a und c der Fall

und schließlich gibt es den dritten Fall des sogenannten überbestimmten Gleichungssystems, dann haben sie mehr Gleichungen als Unbekannte, also m ist größer als n. Dieser letzte Fall habe ich jetzt bisher nicht behandelt,

der führt, wenn sie nicht irgendwelche redundanten sinnlosen Gleichungen dabei haben, auch normalerweise auf unlösbare Systeme, wenn sie eben sieben Ebenen mehr dreischneiden und die liegen nicht gerade saugeschickt, dann haben die eben keinen gemeinsamen Schnittpunkt von allen sieben Ebenen, deswegen könnte man sagen, die sind nicht so

spannend und es ist aber ein Trugschluss, die sind äußerst spannend und da möchte ich wieder meinen Computertomograph anschleppen, wie gesagt der klassische Computertomograph erzeugt so, wie gesagt die Zahlen sind älter, aber ist auch egal, größtentragungsmäßig zwei Millionen Gleichungen für 500.000 Unbekannte, der ist also massiv überbestimmt.

Wo kommt das her? Na klar, das sind Messwerte und bei Messwerten ist es immer gut, wenn sie ein paar zu viel haben, weil Messwerte streuen, Messwerte haben Fehler und je mehr sie haben, umso mehr hofft man, middeln sich die Fehler raus. Das heißt, wenn ihre Gleichungssysteme aus Messwerten kommen, ist der Standard und der

Normalfall, dass die überbestimmt sind, dass sie viel zu viele Gleichungen für ihre Unbekannte haben und dass die natürlich auch, weil die Zahlen aus Messwerten kommen, sind die auch immer unlösbar. Da liegen die Gleichungen nicht so geschickt, dass es gerade passt, weil Messwerte sind Messwerte. Trotzdem geht man, wenn das Zeug aus

Messwerten kommt, davon aus, das Ding hat eine Lösung und die ist ein bisschen daneben falsch wegen den blöden Messfehlern. Und da gibt es dann verschiedene Verfahren, dass man nicht die genaue Lösung des Gleichungssystems sucht, sondern dass man eine Gleichung, eine Lösung, eine Lösungsnäherung sucht, die alle

Gleichungen möglichst gleich wenig nicht löst. Also so, dass sie in allen Gleichungen möglichst kleine Fehler haben. Das ist ein ganz anderes Thema, womit ich mich jetzt beschäftigen will, ist exakte Lösbarkeit. Aber im realen Leben, wenn man es mit Messwerten zu tun hat, kommen sie immer wieder in die Situation, dass sie überbestimmte

Gleichungssysteme haben und dann muss man Näherungs-Dinge finden, wie man aus zu vielen Gleichungen, die alle ganz nah am richtigen sind, dann eine Schätzung für die richtige Lösung findet. Aber das ist ein Thema für eine Numerik für später. Gut, jetzt machen wir erstmal die Theorie, wenn es passt.

Dann kann man sich immer noch drum kümmern, wie es aussieht, wenn es nicht passt. So, ein erster Schritt, um mit diesen Gleichungssystemen zurande zu kommen und mit denen zu arbeiten, ist, dass man erstmal

viel notationellen Ballast los wird. Viel dessen, dass ich vorhin so viel schreiben musste, liegt lag daran, dass wir sehr viel hingeschrieben haben, was eigentlich redundant ist und unnötig. Und dazu will ich die sogenannte Matrixform des linearen Gleichungssystems einführen. Das ist Abschnitt 2, 3.

Ich hatte Ihnen das Gleichungssystem oben hingeschrieben, groß und unübersichtig mit diesen Zahlen a, i, j. Aber nehmen Sie sich als Beispiel immer das vor Augen, was da steht. Die a, i, j sind da

die 2, 1, 1, die 1 und so weiter. Und wenn man sich überlegt, was man eigentlich braucht für so ein lineares Gleichungssystem, da liegt die Essenz, was man sich merken muss. Sozusagen, wenn Sie im Computerprogramm schreiben sollen, das sind ja Gleichungssysteme speichert. Was Sie sich merken müssen, sind nur diese Zahlen a, j und die b, j. Ob die Variablen jetzt x, y und z heißen oder

Fritz, Kunz und Affe ist völlig wurscht. Ja, das sind halt die Variable von dem System. Was Sie sich merken müssen für das Gleichungssystem ist, sind die Zahlen, die vor den x, y und z so. Und dann fassen wir die mal zu einem Konstrukt zusammen. Also

die wesentliche Info von so einem Gleichungssystem steckt nicht darin, wie die Variablen zufällig heißen, sondern die steckt in diesen Vorfaktoren a, i, j und in den rechten Seiten b, j, äh b, i. Wobei wie der i sagt, in welcher Gleichung sie sind, läuft von 1 bis m und j durchläuft die unbekannten,

von 1 bis n. Also immer n unbekannte, m Gleichung. So, wenn man diese bs da zusammen fasst, ist nicht so schwierig.

Wir haben n Zahlen b1 bis bn. Da ist es relativ naheliegend zu sagen, gut, die packen mir einen Vektor, b1 bis bm. Also b1, b2 bis bm gibt einen Vektor b, das ist der Vektor der rechten Seiten. Die unbekannten x geben auch einen schönen

Vektor, x1, x2 und so weiter bis xn. Man beachte b hat so viele Zeilen, wie sie Gleichungen haben, also gibt einen Vektor aus dem rm. Das x hat so viele Zeilen, wie sie unbekannte haben, das

gibt einen Vektor im rn. So, jetzt müssen wir noch mit den a's was machen. Und die a's, die bilden jetzt keinen so schönen Vektor, die haben so eine quadratische Struktur. Die haben eben zwei Laufindizes und die packt man in entsprechend quadratisches Schema, weil die Dinger a heißen, nenne ich das mal groß a.

Da haben sie drin die a11, das a12 und so weiter bis a1n, a21, a22 bis a2n und das Ding hat m Zeilen und in der letzten Zeile haben sie das am1, das am2 bis zum amn. So, und so ein

quadratisches Schema, das ist nicht quadratisch, sondern rechteckiges Schema von Zahlen, das ist rechteckig, weil es hat n Zeilen und n Spalten. Das ist das, was man eine Matrix nennt und in dem Fall die Matrix des LGS, die wird

eben mit zwei Indizes durchnummeriert und es ist eine grundsätzliche Konvention, die zieht sich überall durch und die ist auch glaube ich, da habe ich noch nie ein Buch gesehen, das diese verletzt, das ist eine wirklich sehr durchgängige Konvention. Der erste Index nummeriert immer,

in welcher Zeile sie sind und der zweite Index sagt, in welcher Spalte sie sind. Das ist was Grundsätzliches an dem, das hat sich so eingebürgert und damit daran rüttelt auch niemand. Also, erste Index, Zeile, zweite Index, Spalte. So, und wenn man das so geschrieben hat, dann kann man so ein LGS schon mal

kurz hinschreiben. Also eine mögliche Kurzschreibe für dieses LGS wäre dann A angewandt auf X ist B. Also man hat diese Koeffizienten A, die werden in dem Sinne

mit dem X vermurkst und dann muss das B rauskommen. Das ist im Moment eine völlig formale Schreibe. Das wird noch, das kriegt auch noch einen algebraischen Sinn. Also es kriegt auch noch einen Sinn einer Rechenoperation, aber da sind wir noch nicht. Im Moment ist es eine rein formale Kurzschreibweise für das LGS, das oben dasteht. Also dieses AX gleich B

bedeutet das Linear-Gleichungssystem, das ich vorhin hingeschrieben habe, also bevor ich die ganze Reduktion angefangen habe. Also dieses Gleichungssystem hier oben. Das ist das Gleichungssystem AX gleich B. A enthält diese

ganzen Zahlen A11, A12 bis A1n und bis Amn. Und B ist der Vektor der rechten Seite. So, gehen wir mal zu unseren Beispielen zurück

und schreiben da einmal auf, was dann in dem Fall das A und das B ist. Also das ist jetzt Beispiel 2.4, Fortführung von 2.1. Also A.

Schauen wir uns das Beispiel 2.1.A wieder an. Das waren die drei Gleichungen E1, E2, E3. Also wir hatten das Gleichungssystem 2X plus Y plus Z gleich 1. 3X plus Y plus Z gleich 2.

Und 4X plus 2Y plus 3Z gleich 0. So, was ist jetzt hier die Matrix A? Was ist der Vektor B? Das kann man direkt ablesen. Den Vektor B kriegen Sie direkt von hier. Der steht sozusagen schon da. Also B ist

in dem Fall der Vektor 1, 2, 0. Und auch die Matrix A steht eigentlich da. Das sind die Vorfaktoren der Unbekannten in diesem linearen Gleichungssystem. Und jetzt sieht man auch, warum man üblicherweise die Zeilen

und die Spalten so sortiert. Wenn man das nämlich so macht, dann steht es genau so da, wie man es da oben stehen hat. In der ersten Zeile sind die Vorfaktoren 2, 1 und 1. Also ist die erste Zeile unserer Matrix 2, 1, 1. Die zweite Zeile ist 3, 1, 1. Und die vierte ist 4, 2, 3. Also was ich hier

genommen habe, sind eben diese Zahlen hier. Hier stehen 1 und die stehen natürlich nicht da. Aber die Zahlen hier, die geben genau die Matrix A. So, in dem Fall haben wir es also mit einem quadratischen linearen

Gleichungssystem zu tun. Gleich viele Gleichungen wie Unbekannte. Und jetzt sieht man auch, warum quadratisch nicht nur eine Sprechweise, sondern auch eine reale Bedeutung hat. Schauen Sie sich die Matrix an. Das ist die sogenannte quadratische Matrix, gleich viele Spalten die Zeit. So, nehmen wir noch den Teil B

vom Beispiel 2, 1 nochmal her. Da hatten wir nur die ersten zwei Zeilen genommen. Das sind nur die Ebenen E1 und E2. Also wir hatten das Gleichungssystem 2x plus y plus z gleich 1 und 3x plus y plus z

gleich 2. So, jetzt kann man hier auf genau die gleiche Weise sich das A und das B hinschreiben. Das A ist wieder 2, 1, 1, 3, 1, 1 und das B ist 1, 2. Und das ist jetzt,

sieht man dem A sofort an, ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem. Bisher ist eigentlich gar nichts passiert. Wir haben die linearen Gleichungssysteme genommen und einfach nur mal das, was

das ist. Der Vorteil davon ist, dass Sie jetzt sozusagen die Essenz aus dem Gleichungssystem rausgezogen haben. Das mit dem Sie wirklich rechnen müssen, das sind jetzt für das zweite Gleichungssystem diese acht Zahlen. Diese acht Zahlen ist das, was Sie irgendwie umformen

müssen. Mit denen müssen Sie rechnen. Alles andere ist notationeller Ballast und den haben wir jetzt weggeworfen. So und was macht man eigentlich, wenn man jetzt so ein lineares Gleichungssystem löst, wir haben es vorhin durchexerziert. Man nimmt, ja, okay, also schon der

Sprachgebrauch war schon gerade nicht gut. Was, wieso, nein Sie haben das Wort Lösung verwendet. Hier geht es noch überhaupt nicht um eine Lösung. Ja, wir haben jetzt noch nichts gelöst, sondern wir haben nur das Gleichungssystem, wir haben sozusagen

die Essenz aus dem Gleichungssystem rausgezogen. Wenn Sie, wenn ich Ihnen, man hat sich sozusagen, wie gesagt, es ist egal, wie man die Unbekannten nennt. Ob die jetzt X, Y, Z oder Affe, Giraffe, sonst wie heißen ist

wurscht und das hat man weggeworfen und was man behalten hat, sind nur die Vorfaktoren, mit denen man rechnen will. Das A oben sind die ersten drei Gleichungen hier, das A unten sind nur die ersten zwei Gleichungen und dadurch haben Sie eine Zeile weniger. Dadurch hat die obere drei Zeilen, drei Unbekannte, wird quadratisch, die untere hat zwei

Zeilen, drei Spalten, also zwei Gleichungen, drei Unbekannte und ist eben unterbestimmt. So, also was tut man, wenn man so ein Gleichungssystem löst? Man multipliziert, das haben wir vorhin gemacht, man nimmt die erste Gleichung, nimmt sie mit fünf Mal,

man addiert Gleichungen, man zieht Gleichungen voneinander ab, man setzt sie ein und klar, das bleibt dabei, das wird man tun und was wir tun wollen, ist das systematisieren und dazu sammeln wir mal, was sind so Umformungen, die man tun kann, mit so einem Gleichungssystem, also Abschnitt

zwei fünf, sogenannte Elementar- Umformungen. Nun lassen Sie mich dazu das Gleichungssystem mal in einer schematischen Darstellung hinschreiben, die praktisch ist und was man jetzt

macht, man geht eben von dieser Matrix A und dem B aus, also eine schematische Darstellung unseres Gleichungssystems AX gleich B, wir haben die N unbekannten X1, X2 bis XN und

jetzt schreibt man sich die Koeffizienten, die dazu kommen jeweils drunter, also hier drunter kommt jetzt die Matrix A, A11 mal X1 plus A12 mal X2 bis plus A1n mal Xn ist B1, A21

mal X1 plus A2, 2 mal X2 bis und so weiter A2n mal Xn ist B2 und so weiter und die letzte Gleichung ist das AX1 mit AM1 multipliziert, das X2 mit AM2

multipliziert, das Xn wird mit AMN multipliziert und rechts kommt Bn raus, so das ist nur jetzt formal, also schematisch hingeschrieben, was

in der großen Kasten ist die Matrix A, das rechts ist der Vektor B und da muss Bm stehen und dann habe ich oben noch mal eigentlich nur als Gedächtnisstütze hingeschrieben, wie unsere Unbekannten hießen, wie gesagt ist eigentlich wurscht, aber es ist, wenn man am Ende wieder zuordnen will,

ganz praktisch das nicht zu vergessen und dann ist es auch noch ganz praktisch jeweils wie oben den Nummern, den Gleichungen, Nummerchen zu geben, also Nummern 1 bis M, also hier steht die bezeichnende Variablen,

hier steht die Matrix A, hier steht der Vektor B und das da sind einfach Zeilnummern, damit man darauf

referenzieren kann. So, wenn man so ein lineales Kleinsystem hat, dann gibt es eine Menge von Dingen, die man tun kann, von Aktionen, die man machen kann, die die Lösungsmenge nicht verändern, das sind die sogenannten Elementarumformungen,

nach denen der ganze Abschnitt benannt ist und das Entscheidende ist eben, das sind Aktionen, die die Lösungsmenge nicht ändern und solche Aktionen will man natürlich tun, wenn man am Schluss die Lösungsmenge des linealen

Gleichungssystems herauskriegen, indem man das lineale Gleichungssystem vereinfacht. Die Grundregel bei allen Gleichungslösen, sie müssen die Gleichung solange vereinfachen, bis sie sie lösen können und beim Vereinfachen würden sie natürlich die Lösung nicht ändern, sonst ist zwar eine Vereinfachung, aber keine, die zielführend ist. Ich meine, sonst

könnten sie jede Gleichung sofort wunderbar lösen, indem sie sie einfach links und rechts mit 0 multiplizieren, dann wird die Gleichung leicht, dann steht 0 gleich 0 da, dann ist sie immer lösbar, aber damit haben sie eben die Lösungsmenge geändert. Also wir brauchen Umformungen, die die Gleichung vereinfachen, aber die

Lösungsmenge nicht ändern. So, also die ändern die Lösungsmenge nicht und dienen zum Vereinfachen und Lösen des Gleichungssystems. Also und dann im Endeffekt, am Ende

schließlich lösen des LGS. So, was sind also diese Umformungen? Die erste ist eine ganz banale, trotzdem werden wir sie brauchen, wenn sie an das Schema oben denken, sie dürfen natürlich Zeilen miteinander vertauschen. Damit ändern

sie am Gleichungssystem nichts, sie nehmen die i-Te-Zeile und machen daraus die j und sie nehmen die j-Te-Zeile und machen daraus die i-Te. Das würde heißen, sie schreiben sie einfach eine Reihenfolge hin, da passiert gar nichts. Genauso können sie

Spalten vertauschen, jetzt müssen sie mal aufpassen. Wenn sie Spalten vertauschen, bedeutet das, sie ändern die Reihenfolge der Variable, sie machen eben in allen Zeilen nicht so, wie es da steht, sondern 2x plus z plus y gleich 1 und 3x plus z plus y

gleich 2 und 4x plus 3z plus 2y gleich 0. Können sie mich fragen, wozu soll ich das, warum sollte ich das tun wollen? Werden sie gleich sehen. Also sie vertauschen ein x i mit einem x j. Hierbei müssen sie aufpassen und das ist eigentlich der Punkt, weshalb man diese Namen der Variable oben

nochmal übers Schema schreibt. Sie müssen jetzt eben auch in der Kopfzeile diese Überschriften vertauschen, damit sie hinterher wieder richtig zuordnen. Sehen wir gleich beim Beispiel. So jetzt kommt der, das waren sozusagen die beiden banalen

Dinge. Sie können Zeilen tauschen, sie können Spalten tauschen, aber damit kann man das kleine System noch nicht wirklich vereinfachen. Das ist nur, das ist sozusagen das rangieren und jetzt müssen wir die Züge neu zusammenkuppeln. Also jetzt müssen wir wirklich

vereinfachen und das ist die dritte Aktion, die haben wir vorhin auch schon ein paar Mal gemacht. Sie können ein Vielfaches von einer Gleichung zum Vielfachen von der anderen Gleichung dazu addieren. Also sie können Linearkombinationen von Gleichungen bilden und das

bedeutet sie ersetzen eine Zeile, also die i-Teile, durch P mal die i-Teile plus Q mal die j-Teile.

Also sie multiplizieren eine Zeile mit einer Zahl und eine andere und addieren die beiden. Da drin enthalten ist natürlich auch das Abziehen, da müssen sie nur das Q negativ wählen. Wichtig ist, das P darf natürlich nicht Null sein.

Also sie dürfen, sie dürfen eine Zeile mit allem Möglichen multiplizieren, außer mit Null, weil damit töten sie die Zeile. Also wenn sie bei der E2, also bei der Gleichung 2, links und rechts mit Null multiplizieren, dann ist die Zeile weg. Also mit Null multiplizieren ist nicht, aber alles andere ist erlaubt.

Insbesondere ist hier ganz bewusst Q gleich Null erlaubt. Ja, vielleicht erst noch schematisch. Also wenn man auch, was man tut ist, man nimmt, man macht, man nimmt P mal die i-Teile plus Q mal die j-Teile

und ersetzt dadurch die alte i-Teile. Also sie nehmen die i-Teile, multiplizieren mit P, nehmen eine j-Teile, eine andere, multiplizieren die mit Q und ersetzen dadurch die alte i-Teile. Und jetzt beachte, insbesondere ist hier erlaubt, dass Q gleich Null ist.

Und das ist auch eine Aktion, die man gern und oft macht. Was bedeutet das, wenn sie diese Aktion mit Q gleich Null ausführen? Dann bedeutet das, sie nehmen die i-Teile, multiplizieren sie mit P, P ist nicht Null, und ersetzen die i-Teile durch ihr eigenes Vielfaches.

Das bedeutet einfach, sie multiplizieren eine Gleichung mit 5. Auf links und rechts. Freundliche, bekannte Äquivalenzumformungen von Gleichungen ändert nichts. Gut. Und im Wesentlichen liefern ihnen diese drei Aktionen, Vertauschen von Zeilen,

Vertauschen von Spalten und die Ja-Kombination von vorhandenen Zeilen schon alle Hilfsmittel, mit denen man solche Gleichungen löst. Was wir jetzt noch nicht gemacht, was hier noch nicht drin steckt, ist das Einsetzen von Gleichungen in andere Gleichungen. Da kommen wir noch hin. Jetzt

gehen wir mit diesen Methoden nochmal auf unser erstes Beispiel los. Da hatten wir schon ausgerechnet, was rauskommt. Machen wir es nochmal systematischer. Also nochmal das lineare Gleichungssystem aus dem Beispiel 2,1a.

Das sind eben die beiden Drei-Gleichungen. Also die Drei-Gleichung 1 bis 3 von da drüben. 2x plus y plus z gleich 1. 3x plus y plus z gleich 2. Und 4x plus 2y

plus 3z gleich 0. So. Wie sieht das schematisch aus, im Schema von oben? Wir haben 3 unbekannte x, y und z. Dann haben wir die Matrix.

Die Matrix, die dazugehört, erste Zeile ist 2x plus y plus z gleich 1. Zweite Zeile ist 3x plus y plus 1 mal z gleich 2. Und die vierte Zeile ist 4 mal x plus 2 mal y plus 3 mal z gleich 0. Also Sie sehen, wenn Sie das Gleichungssystem haben, ist das Schema sofort hingeschrieben. Das sind einfach die Zahlen aus dem

Gleichungssystem. So. Dann haben Sie hier Gleichung 1, Gleichung 2, Gleichung 3. Und jetzt wenden wir zweimal diesen dritten Schritt an. Also diesen Linearkombinationsschritt. Was ich jetzt mache, ist genau die gleiche

Rechnung wie am Anfang dieser Vollesung. Aber schematisch aufgeschrieben. Also was haben wir damals gemacht? Wir hatten unsere Gleichung 4 und unsere Gleichung 5 erzeugt, indem wir zweimal die zweite Gleichung genommen haben und dreimal die erste abgezogen. Beziehungsweise

einmal die dritte und zweimal die erste abgezogen. Also wir starten von dem Schema hier oben. Nun machen das gleiche wie vorhin. Und kriegen damit ein neues Schema. Also wir behalten die Gleichung

1, 2x plus y plus z gleich 1. Die Gleichung 2 ersetzen wir nach dem Punkt 3, also nach der Linearkombinationsregel durch zweimal die Gleichung 2 minus dreimal die Gleichung 1.

Das gibt die neue Gleichung 4. So was passiert, wenn Sie zweimal die Gleichung 2 minus dreimal die Gleichung 1 nehmen? Das kann man schön da oben sehen. Zweimal die Zahlen der zweiten Zeile, zweimal die Zahlen der ersten Zeile. Zweimal 3 minus dreimal 2 ist 0.

Dann, 2 mal die Zahlen der zweiten, in der zweiten Spalte, 2 mal die Zahlen der zweiten Zeile, minus 3 mal die Zahlen der ersten Zeile, 2 mal 2, 2 mal 1, minus 3 mal 1, ist minus 1 mal 1, ist minus 1. Und in der letzten Spalte genauso, 2 mal 1, minus 3 mal 1, ist minus 1.

Und schlussendlich auf der rechten Seite, 2 mal 2, minus 3 mal 1, 4 minus 3, ist 1. Und in der letzten Zeile ersetzen wir die Gleichung 3 durch 1 mal Gleichung 3 minus 2 mal Gleichung 1.

Das gibt die Gleichung 5 und das ist die Gleichung 5 von vorne. Also 1 mal Gleichung 3 minus 2 mal Gleichung 1. 4 minus 2 mal 2 ist 0, ich mein sowas gerade gemacht. Dann 1 mal Gleichung 3 minus 2 mal Gleichung 1. 2 minus 2 mal 1, 2 minus 2 ist auch 0.

3 minus 2 mal 1, 3 minus 2 ist 1. Und auf der rechten Seite 0 minus 2 mal 1 ist minus 2. So, das war genau die gleiche Rechnung wie vorhin, nur schematisiert aufgeschrieben.

Sie sehen, der Schreibaufwand ist deutlich kürzer. Das Ganze ist, wenn man es zum ersten Mal sieht, dafür natürlich unübersichtlicher. Irgendwo ist das Problem natürlich. Aber wenn man es 5 mal so gemacht hat, will man es nicht missen. Und was wir jetzt hier stehen haben, ist eigentlich schon fast das Ziel des Ganzen.

Weil, wenn man soweit ist und das 3 mal gemacht hat, sagt man hurra, fertig und geht. Weil jetzt kann man die Lösung direkt ablesen. Nein, noch nicht ganz direkt ablesen, aber sehr schnell bestimmen. Und das Ganze liegt daran, dass man hier eine sogenannte Zeilenstufenform erreicht hat.

Ich hoffe, Sie verstehen zumindest mit der Linie, die ich reingemalt habe, warum man so etwas eine Zeilenstufenform nennt. Die Zeilen bilden Stufen. Mit den Nullen da unten. Und bei diesem ganzen Verfahren bilden die Nullen, sind was ganz wichtiges. Und wenn man jetzt soweit ist und so eine Zeilenstufenform hat, dann gibt es zwei Möglichkeiten weiterzumachen.

Und die sind beide vernünftig und sinnvoll. Es hängt immer davon ab, was gerade leichter ist, was einem gerade leichter fällt, was man gerade naheliegender findet. Erstens, wenn Sie bei der Zeilenstufenform sind, könnten Sie aufhören und sukzessive das Ding auflösen.

Denn jetzt sind wir an der gleichen Stelle wie vorhin. Was sagt denn diese Gleichung 5? Die steht da jetzt so schematisch da. Was heißt die eigentlich? Die Gleichung 5, so wie sie da steht, wieder zurück übersetzt.

Eine Gleichung bedeutet einmal z gleich minus 2. Also da steht einfach schon fertig, z ist minus 2. Und das können Sie jetzt in die Gleichung 4 einsetzen. Das ist auch eine Rechnung, die wir vorhin schon gemacht haben. Die Gleichung 4, so wie sie da steht, ist minus y minus z gleich 1.

Also y gleich minus z minus 1 gleich 2 minus 1 gleich 1. Und wenn Sie das haben, gehen Sie in die Gleichung 1. Die steht da oben, gerade oben noch schematisch.

2 mal x plus y plus z gleich 1. An der haben wir ja nie was getan. Also ist das z, z haben wir schon, x wollen wir haben. Also ist das x, 2x, ist 1 minus y minus z, ist 1 minus 1 plus 2, ist 2, also ist x gleich 1.

So und damit haben Sie wie vorhin, wir haben jetzt mittlerweile die Rechnung 2 bis 3 mal gemacht. Also Lösung ist x gleich 1, 1, minus 2.

Das ist die erste Methode, mit der Zeilenstufenform umzugehen. Das wäre sozusagen die Rechnung, die wir vorhin gemacht haben, auch wieder ausgeführt. Durch die Zeilenstufenform haben Sie das z. Mit der Gleichung drüber kriegen Sie das y, mit der Gleichung drüber kriegen Sie das z. Die zweite Möglichkeit ist, Sie machen weitere Elementarumformungen.

Also wo waren wir hängen geblieben? Ich schreibe nochmal unsere Zeilenstufenform hin.

x, y und z, 2, 1, 1, rechte Seite 1, 0, minus 1, minus 1, 1 und 0, 0, 1, minus 2. Das waren die Gleichungen 1, 4 und 5.

Und was Sie jetzt machen können, ist noch weiter Elementarumformungen machen. Zum Beispiel können Sie die erste Gleichung ersetzen durch die erste plus die vierte.

Sie dürfen ja jederzeit eine Gleichung ersetzen durch ein eigenes, nicht Nullvielfaches plus das Vielfache einer anderen. Ersetzen Sie mal die erste durch die erste plus die vierte.

Das gibt die Gleichung 6. Also erste plus vierte gibt vorne eine 2. Und dann haben Sie 1 minus 1 ist 0. Und 1 minus 1 ist 0 und 1 und 1 ist 2.

Und jetzt ersetzen Sie noch die zweite Gleichung, also die Gleichung 4, durch die Gleichung 4 plus 5. Das nennen wir 7. Was passiert, wenn Sie das machen, kriegen Sie 0, minus 1. 0 plus 0 ist 0. Minus 1 plus 0 ist 0. Minus 1 plus 1 ist auch 0.

Und dann haben Sie 1 minus 2, das ist minus 1. Und die letzte Zeile ist 0, 0, 1, minus 2, die lassen wir stehen. So und jetzt können Sie noch, wenn Sie ganz aufräumen wollen, ersetzen Sie die Gleichung 6 noch durch ein halbmal die Gleichung 6.

Das gäbe Gleichung 8. Und das gibt dann 1, 0, 0, 1. Ersetzen Sie die Gleichung 7 durch minus die Gleichung 7. Dann haben Sie 0, 1, 0, 1. Gleichung 5 lassen wir stehen.

0, 0, 1, minus 2. So und das ist jetzt bis zum bitteren Ende durch exerziert. Und der Vorteil von dem Verfahren ist, das war jetzt ein bisschen mehr Rechnerei, das Rückwärts einsetzen geht einen Ticken schneller. Das hier ist algorithmisierter.

Also das ist sozusagen die Mühle immer weiter gedreht. Gar nicht nachgedacht, sondern einfach gearbeitet. Und wenn Sie das gemacht haben, dann steht hier die fertige Lösung. Die Lösung war 1, 1, minus 2. Das hier ist die Lösung. Weil was bedeutet diese erste Gleichung? Diese erste Gleichung bedeutet jetzt einmal x gleich 1.

Die zweite Gleichung ist einmal y gleich 1. Und die letzte Gleichung ist einmal z gleich minus 2. Das ist sozusagen, dann steht die Lösung sofort da. So, das ist das schematische Rechnen mit linearen Gleichungssystem.

Gleich noch ein Beispiel dazu, damit wir da, wie gesagt, ich will es Ihnen gar nicht, ich verschon Sie mit dem Beweis und zeige Sie Ihnen ein Beispiel.

Nehmen wir wieder das LGS von vorhin aus der 2, 1, b. Also Beispiel 2, 1, b war das unterbestimmte LGS, das entsteht, wenn es nur die Ebenen e1 und e2 schneit. Ich schreibe es mal gleich schematisch hin.

Das ist das LGS immer noch mit drei Unbekannten, x, y und z. Wie gesagt, wir nehmen nur die zwei obersten Gleichungen hier von der Folie. Dann ist die erste Gleichung 2x plus einmal y plus einmal z gleich 1. Und die zweite Gleichung ist dreimal x plus einmal y plus einmal z gleich 2.

Das sind wieder die Gleichungen Nummer 1 und 2. Gleiches Vorgehen wie oben. Sie lassen wieder die Gleichung 1 stehen.

Und jetzt versuchen wir wieder auf Zeilenstufenform zu kommen. Das heißt, unser Ziel ist, hier muss eine Null hin. Wenn man Zeilenstufenform erreichen will, muss da eine Null hin. Und das erreichen wir, so wie vorhin, indem wir zweimal die Gleichung 2 nehmen

und davon dreimal die Gleichung 3 abziehen. Das war das, was oben Gleichung 4 hieß. Also haben wir hier die erste lassen stehen, 2, 1, 1, 1.

Und die zweite ist eben zweimal die zweite minus dreimal die erste. Also zweimal 3 minus dreimal 2 ist Null. Zweimal 1 minus dreimal 1 ist minus 1. Zweimal 1 minus dreimal 1 ist minus 1.

Zweimal 2 sind 4, minus dreimal 1 ist 1. Und jetzt sind wir wieder bei der Zeilenstufenform. So, und an dieser Zeilenstufenform sieht man jetzt Verschiedentliches.

Man sieht, diese Zeilenstufenform geht nicht so schön durch wie vorhin. Vorhin waren es drei Stufen. Klar, wir haben auch noch zwei Zeilen. Wo soll die dritte Stufe herkommen? Aber Sie sehen, Sie haben jetzt eine doppelt lange Stufe. Eine Stufe, die über zwei Zeilen geht, an der Sie aber nichts mehr drehen können.

Wenn Sie jetzt an dieser Stufe noch arbeiten, klar, Sie kriegen keine dritte Stufe hin. Darin transportiert sich, dass Sie einen freien Parameter haben. Und hier sehen Sie jetzt auch, welche Variablen Sie freie Parameter wählen dürfen und welche nicht.

Nämlich die beiden von der langen Stufe, also y und z. Die können Sie als t setzen. Also einen davon natürlich nur, aber es ist frei, egal welchen. Und nicht das x. Ich habe das, was wir vorhin gesehen haben. Wenn Sie das x als t nehmen, laufen Sie in Probleme.

Also eine lange Stufe. Und das bedeutet, eine der beiden Variablen hier ist frei wählbar. Auch hier haben Sie jetzt wieder beide Möglichkeiten. Sie können entweder jetzt frei wählen und rückwärts einsetzen.

Oder Sie können noch einen weiteren Schritt machen. Nochmal eine Elementarumformung machen. Und die letzte, es bepülte sich an, hier die zweite Zeile nochmal auf die erste zu addieren. Weil dann haben Sie oben 2, 0, 0, 2. Das ist eine schöne Gleichung. Von der kriegen Sie sofort x gleich 1.

Das würde ich jetzt an der Stelle normalerweise tun. Oder Sie setzen jetzt schon z gleich t. Also machen wir noch schnell diesen einen Schritt. Sie ersetzen die erste Gleichung durch 1 plus die vierte. Das gibt eine Gleichung 5.

Die ist 2, 0, 0, 2. Also x, y, z. Sie behalten die Gleichung 4, 0, minus 1, minus 1, 1. Immer noch die gleiche Zeilenstufenform. Jetzt können Sie y oder z frei wählen.

Also zum Beispiel z gleich t. Dann liefert Ihnen diese Gleichung 4, minus y, minus t, gleich 1.

Also y, gleich minus 1, minus t. Die Gleichung 1 liefert, das ist die Gleichung 5. Die Gleichung 5 liefert 2x gleich 2. Also x gleich 1.

Und dann haben Sie Ihre Lösung. Oder Ihre Lösungsmenge. Also Lösungsmenge. Alle Vektoren der Form x ist 1. y ist minus 1, minus t.

Und z ist t. Wobei t irgendeine reelle Zahl ist. Die hatten wir vorhin schon stehen. Das ist wieder diese Gerade mit Aufpunkt 1, minus 1, 0. Und Richtungsvektor 0, minus 1, 1. So.

Damit haben wir die ersten zwei Beispiele von vorhin schematisch durchgearbeitet. Machen wir noch das dritte. Jetzt haben Sie gesehen, im ersten Beispiel hatten wir eine Zeilenstufenform. Da hatten Sie die drei Gleichungen. Und es gab eine schöne Treppe mit drei Stufen. Das gab ein eindeutig lösbares System.

Hier hatten Sie Zeilenstufenform, aber eine Stufe, die über zwei Variable sich zog. Das gibt eine frei wählbare Variable. Und das dritte Beispiel vorhin war 1, das unlösbar war. Und jetzt wollen wir noch sehen, wie sieht man denn jetzt an diesem Schema, wenn das Gleichungssystem unlösbar ist.

Also gehen wir mal in dieses dritte Beispiel nochmal rein. Das ist Beispiel 2.8. Also wir nehmen das LGS aus Beispiel 2.1c.

Das war das LGS, was sich ergibt hier als Schnitt. Versucht das Schnittpunkt auszurechnen der Ebenen E1, E2 und E4. Also das war das LGS, das sich aus den Gleichungen 1, 2 und 3 Strich ergibt. Die Gleichung 1 gibt 2 mal x plus y plus 1 mal z gleich 1.

Die Zeile 2, 1, 1, 1 hier im Schema. Die zweite Gleichung ist 3, 1, 1, 2. Und dann nehmen Sie die E4, das gibt 1, 1, 1, 3.

So, dann haben Sie wieder drei Gleichungen. Ich nenne die jetzt mal 1, 2, 3. Und jetzt können Sie wieder Elementarumformungen machen und das Ding vereinfachen. Das Ziel bei der Sache ist immer, hier und hier müssen Nullen hin.

Wir wollen auf eine Zeilenstufenform kommen. Diese beiden Dinge hier müssen zu Null gemacht werden. Und daraus sieht man auch schon, ohne jetzt viel zu raten, was man rechnen muss. Die 2 soll die 3 da unten wegmachen. Dementsprechend lassen wir die erste Zeile stehen.

Die erste Zeile lassen wir stehen. Und die zweite Zeile ersetzen wir durch 2 mal die zweite Zeile, minus 3 mal die erste Zeile. Das gibt eine Gleichung 4.

Also haben wir hier wieder x, y, z. Die erste lassen wir stehen, 2, 1, 1, 1. Die zweite ist wieder 2 mal die zweite, minus 3 mal die erste. Also 2 mal 3, minus 3 mal 2. Das ist die Null, die wir haben wollten. 2 mal 1, minus 3 mal 1 ist wieder minus 1. Die haben wir jetzt oft gesehen, minus 1, minus 1, 1.

Und in der letzten Zeile soll die 1 da vorne weg. Also nehmen Sie 2 mal die dritte Zeile und ziehen Sie die erste Zeile ab. Das gibt eine Zeile 5.

Und die ist wie? Also 2 mal die dritte, minus 1 mal die erste. 2 mal 1, minus 2 ist Null. So war es gerade gemacht. 2 mal 1, minus 1 ist 1. 2 mal 1, minus 1 ist 1. Und 2 mal 3 sind 6, minus 1 ist 5.

So. Jetzt sind wir noch nicht wirklich bei der Zeilenstufenform. Die erste Stufe haben wir. Aber jetzt müssen wir die nächste Stufe schaffen. Und was macht man dazu? Naja, wir brauchen hier eine Null.

Wenn keine da ist, muss man eine machen. Also wie kriegen wir da eine Null hin? Wir lassen die erste Zeile so stehen, wie sie da steht. Wir lassen die zweite Zeile so stehen, wie sie da steht. Und die letzte ersetzen wir einfach durch 5 plus 4.

Sie nehmen die fünfte Gleichung. Und addieren die vierte dazu. Dann kriegen wir was? Bin ich dazu schnell für jemanden?

Dann frage ich mich, warum pinselt das jemand mit? Gut. Ich darf aber mal die Gleichungen 1 und 4 schon mal übernehmen, oder? An denen ändert sich nichts. Gleichung 1 bleibt 2, 1, 1, 1.

Und die Gleichung 4 ist 0, minus 1, minus 1, 1. Und jetzt passiert das Entscheidende. Was passiert, wenn Sie die Gleichungen 5 und 4 miteinander addieren? Auch das haben wir ganz am Anfang der Vorlesung gemacht. Und was wir kriegen, ist auf der linken Seite ganz viele Nullen.

0, minus 1 plus 1, minus 1 plus 1 ist jeweils 0. Und was passiert auf der rechten Seite? Da haben Sie 1 plus 5 ist 6. So, und jetzt passiert was, was bei der Zeilenstufenform nicht passieren sollte. Oder auch manchmal passiert. Aber Sie kriegen dann plötzlich, es geht zu viel weg.

Was wir ja eigentlich wollten, wäre in der Zeilenstufenform so. Und jetzt sollte das bitte schön noch mal runtergehen. Wenn es jetzt noch mal runterginge, wäre das eine schöne Zeilenstufenform für eine eindeutige Lösbarkeit. Und das geht hier aber nicht runter, sondern geht hier rüber. Dann da unten zu viele Nullen.

Und jetzt hängt es davon ab, es gibt zwei Möglichkeiten. In dem Fall steht da hinten eine 6. Sie haben also jetzt die letzte Gleichung, lautet 0 mal x plus 0 mal y plus 0 mal z ist 6. Also 0 gleich 6. Das ist eine ziemlich dofe Gleichung, deswegen ist das Ding unlösbar.

Wenn da statt der 6 eine 0 wäre, dann wäre alles gut. 0, 0, 0, 0. Das käme darauf raus, dann wäre die letzte Gleichung redundant in den anderen beiden enthalten. Und wir müssten nur die oberen beiden lösen, dann wären wir im Fall vom Beispiel davor. Dann hätten wir einen Freiheitsgrad.

Dann hätten wir noch einen Parameter frei zu vergeben. Aber so wie es hier steht, haben wir eine Zeilenstufenform, die für ein unlösbares LGS steht. Also diese Gleichung hier ist 0 gleich 6. Also keine Lösung. Und das Schöne an diesem schematischen Verfahren ist, dass man das eben unterwegs merkt.

Sobald so eine Zeile auftaucht, lauter Nullen, und rechts steht etwas, was nicht Null ist, haben sie ein unlösbares LGS und können sofort aufhören. So, was ist denn jetzt?

Jetzt haben wir es an drei Beispielen durchexerziert. Zeilenstufenform. Wir fangen mit dem vollen LGS an und versuchen das auf eine Zeilenstufenform zu bringen. Was heißt Zeilenstufenform? Was ist das Ziel der ganzen Angelegenheit? Also malen wir uns mal so eine Zeilenstufenform allgemein hin.

Also das Ziel der Umformung ist das Folgende. So, jetzt machen wir Platz hier.

Also wir haben N-Variable und M-Gleichung. Das machen wir im allgemeinen Fall. N-Variable, M-Gleichung. Im Lauf der Rechnung, das haben wir jetzt hier bisher nie gemacht, aber wie gesagt, das ist durchaus manchmal sinnvoll und gängig, dass man auch mal Spalten vertauscht. Im Lauf der Rechnung haben wir also die Spalten vielleicht ein paar Mal vertauscht. Das heißt, wir haben da oben nicht mehr unbedingt x1 bis xn stehen,

sondern die in irgendeiner permutierten Reihenfolge. Ich nenne es deswegen mal x1, x2 und so weiter Schlange. xr, hier gibt es ein xr plus 1, da passiert was, sehen wir gleich. Bis xn, also Sie haben die N-Variable oben.

Wie gesagt, die Schlange soll nur andeuten, dass die unter Umständen vertauscht sind und nicht mehr die x1 bis xn von Anfang an in der richtigen Reihenfolge dastehen. Was dann immer unser Ziel war, war eben eine Zeilenstufenform zu erreichen. Das heißt, hier oben sollte irgendwas stehen, was nicht Null ist

und alles da drunter haben wir zu Null gemacht und so weiter. Dann haben wir die nächste Variable genommen, hier was, was nicht Null steht und alles unten drunter zu Null gemacht bis hier. Hier unten sind dauter Nullen. Was hier oben steht, ist total egal, da steht irgendwas.

Genauso wie hier, da steht auch irgendwas, was keinen interessiert. Also, wenn man nachher lösen will, schon, aber im Moment nicht. Und nach der ganzen Rechnerei steht auch hier irgendwas. So, und was ansonsten passiert ist, es bleiben ganz viele Nullen übrig.

Also der Rest hier unten sind noch Kiloweise Nullzeilen. Und hier hinten steht auch noch was. So, das ist das Ziel der Angelegenheit. Sieht erstmal kompliziert aus, aber was dahinter steckt ist, hier ist die Zeilenstufenform.

Und der Rest sind die Fälle, die auftreten können. Erster Fall, den wir vorhin hatten, sie haben unten die ganzen Nullzeilen nicht und sie haben nur die Variablen x1 bis xr, sie haben eine schöne saubere Zeilenstufenform.

Also alles was, dann ist es eindeutig lösbar. Zweiter Fall, sie haben mehr Variablen noch, dann haben sie hier unten so eine lange Stufe. Und dann kann passieren, dass es eindeutig lösbar ist oder auch gar nicht lösbar.

Und wovon hängt das jetzt ab, ob das Ding lösbar ist oder nicht lösbar? Also vielleicht noch zur Zeichenerklärung. Diese Punkte hier sind irgendwelche Werte, die nicht Null sind. Und alles andere, also die Sternchen und die Kreuze sind erstmal irgendwelche Werte, die dürfen auch Null sein.

Bei den Kreuzchen, die sollten Null sein. Und der Gag ist, aus so einer Zeilenstufenform können sie jetzt die Lösungsmenge bestimmen.

Also aus der Zeilenstufenform können sie die Lösungsmenge folgendermaßen bestimmen. Der erste Fall, das ist der, den wir gerade im dritten Beispiel hatten.

Was passiert, wenn so eine Nullzeile übrig bleibt und rechts irgendeiner dieser Einträge X ist nicht Null? Dann haben sie den Fall von gerade eben Null gleich Sechs, dann ist das Ding unlösbar. Also das ist der erste Fall, einer der Einträge bei X ist nicht Null, von denen hängt die Lösbarkeit ab.

Also einer dieser Einträge von den Kreuzen ist ungleich Null, dann haben sie keine Lösung. Weil dann steht in irgendeiner Zeile hier unten Null ist gleich 17 und Null ist gleich 17 ist nicht lösbar.

Wenn das nicht so ist, also alle Einträge beim Kreuz sind Null, dann haben sie auf jeden Fall Lösungen.

Und wo kriegen sie die jetzt her? Dann haben sie jetzt eine Zeilenstufenform mit einer sehr langen Stufe am Ende. Wie lang die ist, hängt jetzt davon ab, wie das R und das N zueinander stehen. Aber je nachdem, wie viel dann noch übrig bleibt, haben sie eine sehr lange Stufe am Ende.

Und das entspricht der Zahl der freien Parameter, die noch übrig sind. Was sie jetzt also machen können, ist sie setzen die Variablen Xr plus eins bis Xn T1, T2, T3 bis Tn minus r. Und dann können sie durch sukzessives Rückwerteinsetzen auflösen.

Also, das ist der Fall der langen Stufe. Also es gibt jetzt eben den Fall, die Xr plus eins bis Xn gibt es nicht. Dann haben sie eine echte quadratische Systeme mit einer Zeilenstufenform als eine eindeutige Lösung. Und für jede Variable, die hinten noch steht, Xr plus eins bis Xn, haben sie einen freien Parameter. Und das ist alles aus dieser Form eben ablesbar.

Deswegen ist das immer das Ziel der ganzen Aktion, ist diese Zeilenstufenform zu erreichen. Also wenn sie soweit sind, dann können sie diese Variablen, die jetzt rechts stehen, rechts um Xr. Also Xr plus eins Schlange können sie T1 nehmen. Xr plus zwei Schlange wird T2.

Und Xn Schlange wird Tn minus r. Sie haben n minus r frei verfügliche Variablen. Und dann kann man von unten sukzessive auflösen. Ich gehe gleich nochmal hoch.

Also löse sukzessive von unten nach oben auf. Warum geht das jetzt? Weil man eben jetzt die Zeilenstufenform hat. Also wenn sie diese ganzen Variablen Xr plus eins Schlange bis Xn Schlange als freie Parameter betrachten,

dann nehmen sie sich, die unteren Zeilen sind alle reine Nullzeilen. Nehmen sie sich die letzte Zeile, in der noch was drin steht. Die heißt dann, irgendeine Zahl, die nicht Null ist, mal Xr Schlange plus diese ganzen Xr plus eins bis Xn Schlange ist gleich irgendwas. Die können sie jetzt nach Xr Schlange auflösen.

Dann haben sie Ausdrücke für Xr Schlange bis Xn Schlange. Damit können sie die nächste Zeile drüber gehen, kriegen Xr minus eins Schlange und so weiter. Genau wie wir es vorhin an den Beispielen gemacht haben. So, ja, ja, ich weiß. Damit haben sie, also deswegen ist diese Zeilenstufenform das zentrale Ziel der ganzen Auflöserei.

Im Prinzip haben wir auch schon gesehen, wie man da hinkommt. Ich will das am Anfang der nächsten Stunde nochmal, ja, formalisieren. Dann schauen wir uns noch mal ein, zwei Beispiele dazu an. Und dann haben sie ein Werkzeug an der Hand, mit dem sie jedes den Jahre Gleichungssystem attackieren können und lösen.

Gut, das war's für heute. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit und bis morgen.