Präsentiert von OpenLearnWare, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. So, dann herzliches Willkommen zur heutigen Vorlesung. Ich habe Ihnen letztes Mal ein paar

Differentialoperatoren näher gebracht, die Divergenz und Rotation von Vektorfeldern und den Laplace-Operator. Und ich will heute noch mit etwas ganz anderem anfangen, das ich bei dem Begriff des Oberflächenintegrals. Wir hatten Integrale über ebende Flächen, wir haben im R2

über Gebiete integriert. Und was ich jetzt machen will, ist im Prinzip das gleiche wie der Übergang vom Integral über R auf die Kurve mit dem Integral von der ebenden Fläche auf eine

gebogene Fläche im R3. Also, als wir das Kurvenintegral gemacht haben, haben wir gesagt, wir schauen uns jetzt nicht mehr ein Intervall an, über das wir integrieren, sondern wir nehmen eine gebogene Linie, die irgendwo im Rn liegt und integrieren entlang dieser gebogenen Linie.

Und genau das Gleiche machen wir jetzt eine Dimension höher. Also, wir nehmen uns ein Stück Fläche im R3 jetzt in dem Fall, das ein gebogenes Stück Fläche sein kann und was da vor allem später für die Anwendung wichtig ist, sind so Dinge wie eine Kugeloberfläche. Nicht die ganze Kugel, über die ganze Kugel können wir schon integrieren, das ist ein

Gebietsintegral, sondern nur über die Oberfläche. Also, zum Beispiel die Erdoberfläche oder was auch immer. Und das können wir bisher nicht, weil das ist ein zweidimensionales Gebilde, aber verbogen, so wie eine Kurve ein verbogenes eindimensionales Gebilde ist. So, und das erste was ich jetzt machen will, ist diese gebogenen Flächen im R3

definieren, die irgendwie in eine Formelwelt packen, dass man mit denen rechnen kann. Das ist der Abschnitt 4,6. Da geht es um Flächen im R3. Also, wir sind im

dreidimensionalen Raum und gucken uns da drin zweidimensionale Flächen an, denken sie immer an die Erdoberfläche oder eine Kugeloberfläche. So, dazu brauchen wir und wie sehen wir jetzt die Kugeloberfläche? Gleiche Idee wie bei der Kurve. Wir haben

gesagt, eine Kurve ist ein Stück reelle Achse, von einem Riesen genommen, verbogen, verstreckt, verbogen und in den Rn geworfen. Und das gleiche macht der Riese jetzt mit einer Fläche. Wir nehmen ein Stück R2 und dieses Stück R2 darf der Riese strecken, stauchen und verzerren und verbiegen und in den R3 tun und dann haben sie eine Fläche.

Und jetzt müssen wir in dem Fall den Riesen etwas mehr einschränken, weil mit so einer Fläche kann er eben mehr Unfug anstellen als mit einer Geraden. Deswegen wird das technisch ein bisschen komplizierter, aber die Idee ist das. Also wir haben ein Stück R2, das nenne ich mal D. Das ist das, was verbogen wird und das sei eine kompakte Menge, also

beschränkt und abgeschlossen. Dann brauche ich eine Menge, die ein bisschen größer ist, G, die offen ist und auf diesem G brauche ich jetzt eine Abbildung. Das ist das,

was bei der Kurve das Gamma war. Das ist das, was der Riese tut. Die Verzerrung dieses Stück Ds. Also ich nehme jetzt dieses D, verzerre und verbiege es und werfe es nach R3. Das macht die Abbildung Phi. Also eine Abbildung groß Phi auf dem G definiert nach R3. Also die geht von einem Stück Teilenlänge R2 nach R3, nimmt das glatte Stück D,

das Stück D in der Fläche und wirft es in den Raum. So und die soll bitte schön stetig differenzierbar sein und gemeinerweise reicht stetig differenzierbar noch nicht aus, um so ein paar Pathologien zu vermeiden. Also zum Beispiel kann das ergebende Bild,

selbst wenn sie mit einem Wunder, wenn sie mit einem Kreis starten und eine stetig differenzierbare Funktion drauf werfen, kann das ergebende Bild immer noch Ecken, Kuspen und alle möglichen Sauereien haben und die müssen wir ausschließen. Und dazu dient die folgende rein technische Bedingung. Nehmen Sie mal die Jacobi-Matrix von diesem

Phi. Das Phi ist im R2 definiert, also zwei Variable und geht nach R3, hat also drei Komponenten und die drei Komponenten können Sie eben jeweils nach den zwei Variablen ableiten. Das gibt eine Dreikreuz-Zwei-Matrix, also Ableitung der ersten Komponente

von Phi nach der ersten Variablen, Ableitung der ersten Komponente von Phi nach der zweiten Variable, Ableitung der zweiten Komponente von Phi nach der ersten Variable u, Ableitung der zweiten Komponente von Phi nach der zweiten Variable v und schlussendlich Ableitung der

dritten Koordinate von Phi nach der ersten Variable u, Ableitung der dritten Komponente von Phi nach der zweiten Variable v. So, das ist die Jacobi-Matrix. 3 x 2-Matrix

wegen drei Komponenten und zwei Variablen. Und von der müssen wir jetzt fordern, dass die nicht entartet. Und damit kann man unsere Singularitäten der Fläche ausschließen. Und nicht entartet heißt, die soll immer maximal möglichen Rang haben. Das war nochmal der Rang. Rang einer Matrix.

Maximalanzahl der linear unabhängigen Spalten. Bei der Matrix braucht man also nicht hoffen, dass der Rang größer als 2 ist, weil sie hat nur zwei Spalten. Mehr als zwei Spalten können da nicht linear unabhängig sein. Und was ich jetzt eben fordere ist, dass der Rang tatsächlich immer 2 ist. Also für alle UV

Punkte in G muss das Ding vollen Rang haben. Das heißt in dem Fall 2. Also der Rang von der Jacobi-Matrix von Phi an der Stelle UV der muss 2 sein.

Das ist wie gesagt eine technische Bedingung, die nur dazu dient auszuschließen, dass die Fläche irgendwelchen Quatsch entwickelt, irgendwelche Kuspenecken oder sonstiges Kram, was man nicht haben will, damit man hinterher schön differenzieren kann. So, wenn Sie so ein Phi haben, also dieses Phi nimmt die Fläche,

also das ebene Flächenstück D aus dem R2 raus, verbiegt das und wirft es in den R3 und das Ding nennt man dann eine reguläre Fläche über D. Also dann heißt dieses Phi, diese Abbildung, reguläre Fläche

über der Menge D. Und wenn Sie sich jetzt wundern, wieso nennt der bitte schöne Funktion eine Fläche, dann ist das der gleiche seltsame Sprachgebrauch, den wir schon bei Kurven hatten. Auch bei den Kurven hieß das Gamma Kurve, obwohl das Gamma eine Funktion war. Gamma war eine Funktion von R nach Rn. Hier ist Phi eine Funktion von R2 nach R3 und heißt Fläche, weil dahinter die

Vorstellung steht, dieses Phi beschreibt, was unser Riese tut, also dieses Phi beschreibt, was wird aus dem ebenen Flächenstück D, wenn man das verbiegt und nach R3 wirft. Schauen wir uns, also die Fläche ist dieses Phi, jetzt will man natürlich aber auch

wirklich von der Fläche sprechen, also von dem geometrischen Objekt der Fläche. Was ist das? Das ist die folgende Menge, das sind die Menge aller Bildpunkte unter Phi, also die Menge aller Phi von UV, wobei UV durch ganz D läuft

oder kurz geschrieben das Bild von D unter Phi. Das ist jetzt die Teilmenge des R3, das ist, was wir uns als Fläche vorstellen. Und das nennt man dann das reguläre Flächenstück. Regulär bezieht sich immer auf diese

Rangbedingungen, also die Fläche ist eben regulär, weil diese Jacobi-Matrix von Phi vor den Rang hat. Also wir haben das Flächenstück im R3, das beschrieben wird durch die Abbildung Phi, die Ihnen sagt, wie Sie ein Ebenesstück Fläche verbiegen müssen, damit dieses Flächenstück rauskommt. Und weil ich immer sage, stellen Sie sich die Kugelüberfläche vor,

will ich Ihnen jetzt zeigen, wie man zumindest die Halbkugel-Oberfläche so als Flächenstück näherungsweise darstellen kann. Also 4,7 Beispiel.

Was brauchen wir für so eine Fläche? Wir brauchen eine Menge D im R2, die wir verbiegen, eine bisschen größere Menge G, auf der das Phi definiert ist. Und das Phi, ich fange mal mit dem großen G an.

Also das G sei hier die Menge aller Punkte im R2. Ich nehme mir einfach einen Kreis im R2, u² plus v² kleiner als r², kleiner, einen offenen Kreis, wobei r irgendeine positive Zahl ist.

Also das Ziel wird jetzt sein, Sie nehmen sich den Kreis im R2 und aus dem will man irgendwie die Kugel-Oberfläche biegen. Man muss sich schon vorstellen, wie man das macht. Man startet mit dem Kreis, am Rand hält man ihn fest, und unten drückt man mal kräftig gegen, sodass der sich hochwirkt.

Das ist das, was jetzt passiert. Also, als Phi nehme ich das Folgende. An jeder Stelle u und v in der Ebene drücke ich den Kreis nach oben. Und zwar wie viel?

An der Stelle am Rand gar nichts, in der Mitte um R. Und dazwischen schön, dass es eine Kugel gibt. Und das führt auf die Formel, also u, v und Wurzel aus r² minus u² minus v².

Das ist mein Phi. Und von dem muss man jetzt zeigen, dass es eine reguläre Fläche ist. Was das dann gibt, wie gesagt, man nimmt den Kreis, drückt ihn in der Mitte so hoch, dass eine Kugelschale daraus wird. Das gibt die obere Halbkugel.

Wenn Sie die untere Halbkugel haben wollen, müssen Sie nicht nach oben, sondern nach unten drücken. Dann kriegen Sie hier ein Minuszeichen. Also ich nenne das Ding hier mal v plus. Und Phi minus ist, wenn Sie hier hinten vor der Wurzel ein Minuszeichen haben. Also wenn Sie die Z-Koordinate nach unten drücken, dann kriegen Sie eben die untere Halbkugel.

So, also was müssen wir checken? Wir müssen checken, dass dieses Phi oder diese Phi, das Phi plus und das Phi minus stetig differenzierbar ist. Die sind stetig differenzierbar. Es gibt nur eine Stelle, wo man aufpassen müsste. Nämlich dann, wenn unter der Wurzel eine Null entsteht.

An der Stelle Null ist die Wurzel nicht differenzierbar. Aber wann passiert da unter der Wurzel eine Null? Genau dann, wenn u² plus v² r² ist. Und deswegen ist das g so definiert, wie es da oben definiert ist. Das g ist nämlich alle die u und v, wo diese Summe u² plus v² noch kleiner als r² ist.

Also wir sind außerhalb der Problem. Die Problempunkte tauchen nicht auf. Deswegen sind die beiden Funktionen stetig differenzierbar auf g. Erst auf dem Rand von g gäbe es ein Problem. Das ist die eine Bedingung. Und die andere ist, wir müssen noch schauen, dass das eine reguläre Fläche ist. Das heißt, dass der Rang immer voll ist, immer zwei ist.

Der Rang der Jacobi-Matrix. Also rechnen wir mal die Jacobi-Matrix von dem Ding aus. Also die Jacobi-Matrix von phi plus minus. Was muss man dazu tun? Man muss alle drei Komponenten von dem phi jeweils nach u und v ableiten.

Die ersten zwei Komponenten sind zum Glück relativ offensichtlich. Also wie leiten wir die erst? Das u nach u ab, naja, gibt eine 1. Das u nach v abgeleitet, gibt eine 0. Das v nach u abgeleitet, gibt eine 0. Das v nach v abgeleitet, gibt eine 1. Das einzige, was ein bisschen mehr Arbeit ist, ist die dritte Komponente.

Was passiert, wenn wir die nach u ableiten? Kriegen wir erst mal, gut, das plus minus bleibt stehen. Und wir kriegen 1 durch 2 mal die Wurzel. Und das Ganze dann multipliziert mit der inneren Ableitung, minus 2u. Also was rauskommt, ist minus plus mit umgekehrtem Vorzeichen wegen dem minus 2u.

Eine 2 kürzt sich raus. u durch Wurzel r² minus u² minus v². Und hier hinten das Gleiche mit v. Minus plus v durch Wurzel aus r² minus u² minus v².

So, das ist die Jacobi-Matrix. Und jetzt muss man schauen, wie sieht es mit dem Rang aus? Also maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten. Völlig egal, was da in der letzten Zeile passiert. Wenn Sie sich die ersten zwei Zeilen angucken, 1, 0, irgendwas und 0, 1, irgendwas,

ist immer linear unabhängig. Also in dem Fall ist alles gut. Das hat für alle uv aus g Rang 2.

Also, so, jetzt müssen wir ein bisschen aufpassen. Also ist im Prinzip durch das V auf diesem g eine reguläre Fläche definiert. Ich hatte Ihnen aber jetzt vorhin eben, damit man unangenehme Dinge ausschließt, gesagt, wir können nur kompakte Mengen im Prinzip abbilden.

Das ist technische Feinheit. Das heißt, wir müssten eigentlich einen bisschen kleineren Kreis mit Radius r-, also einen bisschen kleineren Kreis mit Rand nehmen. Von dem großen Kreis mit Radius r kann man den Rand nicht dazu nehmen, weil auf dem Rand ist unser v nicht differenzierbar.

Also, wenn man es ganz genau macht, müssten wir uns jetzt ein kleines Epsilon hernehmen, größer als 0. Und das d, auf dem die Fläche definiert ist, nehmen wir als den Kreis mit einem minimal kleineren Radius. Also, alle uv aus R2 mit u² minus v² kleiner gleich r minus Epsilon².

Also, sie machen einen kleinen Sicherheitsabstand rein, nehmen den etwas kleineren Kreis und auf diesem d sind dann die Funktionen. Dieses d ist jetzt kompakt, weil es beschränkt ist und ich jetzt hier kleiner gleich geschrieben habe.

Das heißt, ich habe einen abgeschlossenen Kreis. Was ist die Frage? Was habe ich? Ich habe sozusagen zwei Zweien vergessen bei der Ableitung.

Wenn sie ableiten, kriegen sie eins durch zwei mal die Wurzel und wenn sie das u² ableiten, kriegen sie 2u. Also eigentlich steht da, ja, nee, ist schon gut, es ging arg schnell, im Prinzip steht so da. Und dann habe ich die gekürzt. Das ist bei diesem eins durch Wurzelzeug passiert das immer.

Und wenn man das 15 mal gerechnet hat, geht einem das zu klaven. Aber so ist es richtiger. Danke. So, also auf dieser Menge d sind jetzt die Funktion phi plus und phi minus, also die Parametrisierung der oberen und der unteren Kugel, Halbschale, reguläre Flächen.

Und wie die zugehörigen Flächenstücke aussehen, hatte ich schon gesagt. Also die zugehörigen regulären Flächenstücke sind eben fast die obere und fast die untere Halbkugel.

Jetzt kommt wieder das Elend des dreidimensionalen Zeichnens. x, y, z im R3, der Kreis mit Radius R im R2 und die Fläche phi plus ist diese obere Halbkugel.

Also die Fläche phi plus beschreibt diese obere Halbkugel und die Fläche phi minus beschreibt diese untere Halbkugel.

Gut, und entstanden sind sie eben aus dem Kreis im R2, also dieser Menge hier, die dann jeweils einmal nach oben und einmal nach unten verformt wurde. So, das ist eine Fläche und über so eine Fläche im R3 will ich jetzt integrieren.

Kann man sich vorstellen, was weiß ich, Sie haben auf dieser Oberfläche eine Temperaturverteilung und Sie wollen die Gesamtwärme ausrechnen oder Sie haben da drauf eine Größe drauf, die Sie zusammenzählen wollen, Durchschnitt ausrechnen, sonst was, brauchen Sie eine Integral über diese Fläche.

Und im Wesentlichen passiert jetzt konzeptionell das Gleiche beim Kurvenintegral. Wenn Sie sich nochmal ans Kurvenintegral erinnern, das hatten wir beim Kurvenintegral, schadet nichts.

Da hatten wir eine Kurve gamma definiert auf einem Intervall ab in den Rn. Es war eine Kurve und dann hatten wir festgestellt, wichtig in dem Zusammenhang ist die Ableitung von der Kurve das Gamma Strich.

Und das hatte auch eine Bedeutung. Gamma Strich von t war die Geschwindigkeit, mit der so ein Teilchen die Kurve entlangfließt. Also die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t. Und dann hatten wir als erstes die Länge der Kurve ausgerechnet.

Das war das Integral von a bis b über die Norm dieses Geschwindigkeitsvektors. Zurückgelegte Strecke ist das Integral über die Geschwindigkeit. Und dann hatten wir am Schluss das Kurvenintegral definiert. Also das Integral von einem Vektorfeld längs der Kurve gamma.

Und diese Formel war, wir integrieren von a bis b das Vektorfeld f entlang der Kurve gamma. Und jetzt muss man eben normalisieren, je nachdem wie schnell das Teilchen gerade bis gamma entlangfliegt. Und dann stellte sich raus, was wir da tun müssen, ist mit dem Skalarprodukt bilden.

Mit dem Geschwindigkeitsvektor. Das war die Formel fürs Kurvenintegral. Und so etwas Ähnliches passiert hier auch. Ganz genauso sieht es nicht aus, weil wir jetzt skalare Funktionen integrieren wollen über die Oberfläche.

Aber ich habe sie nochmal hingeschrieben, weil sozusagen das Programm der Vorlesung jetzt auch diesem folgt. Was wir zuerst definieren müssen, ist wieder, na eine Geschwindigkeit gibt es jetzt hier natürlich nicht, so eine Fläche hat keine Durchlaufrichtung.

Aber wenn man es anders interpretiert, nicht als Geschwindigkeit, was dieses gamma ist, das ist der Tangentialvektor an die Kurve. Die Kurve mehr n, dann ist gamma' in jedem Punkt zeigt in die Richtung der Tangente.

Das wird für eine Fläche rauslaufen auf Tangentialebene, normalen Vektor dieser Tangentialebene. Statt der Länge berechnen wir natürlich den Flächeninhalt von der Fläche. Und am Schluss definiere ich Ihnen das Oberflächenintegral. So, also Punkt Nummer eins. Wir müssen uns über Tangentialvektoren an die Fläche Gedanken machen.

Und wenn Sie sich jetzt so eine Fläche vorstellen, also das war zur Erinnerung, jetzt kommt 4,8. Die Tangentialebene, bzw. der normalen Vektor einer Fläche.

Also wenn Sie sich so eine Fläche im R3 vorstellen und jetzt ist die Frage, was für einem Vektor steht der Tangential dran? Dann, wenn Sie feststellen, da gibt es nicht den Tangentialvektor. Kann gar nicht. Denn so eine Fläche im R3 hat viele Tangentialvektoren, nehme ich eine ganze Ebene.

Und diese Ebene, die nennt man eben die Tangentialebene. Das ist die Ebene aller Vektoren, die tangential an meiner Fläche liegen.

Und diese Fläche wiederum hat einen normalen Vektor, das ist eine Ebene im R3. Wir können sie immer als Hessische Normalform darstellen, hat einen normalen Vektor. Und das ist dann der normalen Vektor der Fläche, bevor wir es gleich formal machen.

Einmal im Bild, was habe ich vor? Wir haben hier also wieder die obere Kugelschale, hier unten als Fläche. Fläche im R3, so gut wie man es halt auf der Kopie noch sieht. Wenn Sie sich da jetzt einen Punkt drauf nehmen, auf der Fläche, gibt es eine ganze Ebene von Vektoren, die tangential auf der Fläche stehen in diesem Punkt.

Die Ebene hat einen normalen Vektor und der hat auch für die Fläche eine Bedeutung. Das ist nämlich der Vektor, der an dem Punkt senkrecht auf der Fläche steht und in dem Fall nach außen zeigt. So, das wollen wir jetzt als Föngelchen haben.

Also wir haben so eine reguläre Fläche, denken Sie an unsere Kugelschale. Das heißt, wir haben wieder eine Teilmenge D des R2, eine kompakte Teilmenge, die der Riese verformt und in den R3 wirft. Eine bisschen größere Menge G offen.

Und Phi von G nach R3 ist eine reguläre Fläche auf D oder über D. So, und dann kriegen Sie diese Tangentialebene auf die folgende Weise.

Also Sie suchen sich irgendeinen Punkt auf der Fläche aus. Was bedeutet, dass man taggert einen Punkt auf der Fläche fest? Das bedeutet, man taggert einen Punkt U0, V0 in der Menge D fest.

Wenn die Menge D jetzt verbogen und verzerrt in den R3 geworfen wird, gibt es eben einen fixen Punkt Phi von U0, V0 auf der Fläche. Also wir nehmen uns ein U0, V0 aus D fest. Das Bild davon liegt dann auf der Fläche und ich will jetzt die Tangentialebene an diesen Punkt Phi von U0, V0 bestimmen.

Tangentialebene schreit danach, dass wir irgendwas ableiten müssen. Ableitungen sind immer lineare Approximation von irgendwas.

Wir wollen die Fläche hier durch eine Ebene approximieren an einem Punkt. Die Tangentialebene ist natürlich die best-approximierende Ebene an die Fläche. Das genau hat was mit der Ableitung zu tun. Und tatsächlich stellt man fest, wenn man dieses Phi nimmt, also die Abbildung, die das D verbiegt in die Fläche und einmal nach U und einmal nach V ableitet,

sind die beiden Vektoren, die sie da rauskriegen, genau die Richtungsvektoren von dieser Tangentialebene. Also die Tangentialebene von der Fläche am Punkt U0, V0 wird gern mit T U0, V0 bezeichnet,

weil T die Tangentialebene, das ist die Ebene, die erstmal durch den Punkt Phi von U0, V0 geht. An dem Punkt Phi von U0, V0 will ich ja die Tangentialebene an meine Fläche dranlegen. Und dann hat sie zwei Richtungsvektoren.

Und man stellt fest, die beiden Richtungsvektoren sind genau die Ableitung von dem Phi nach U. Das ist ein Vektor, das ist die Ableitung von Phi1 nach U, die Ableitung von Phi2 nach U und die Ableitung von Phi3 nach U, gibt einen Dreiervektor. Und der zweite Richtungsvektor ist die Ableitung von Phi nach V.

Und Lambda und Mu sind eben die Parameter in der Parameterdarstellung dieser Ebene. Das ist eine Ebene mit einem Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren. Der Aufpunkt liegt dadurch fest, dass die Ebene bitteschön genau durch den Punkt Phi von U0, V0 gehen soll.

Und man stellt fest, die beiden Richtungsvektoren der Tangentialebene sind genau die beiden partiellen Ableitungen von Phi nach U und V. Und jetzt sehen Sie, also in dem Sinne ist das eine Ebene im R3, Aufpunkt plus zwei Richtungsvektoren.

Sie könnten jetzt noch einwenden, wieso ist denn das eine Ebene? Kann Ihnen doch passieren, dass die beiden Richtungsvektoren linier abhängig sind, dann wird das nur eine Gerade. Klar, das könnte theoretisch passieren, aber dem haben wir vorgebaut, wir haben ja vorausgesetzt, dass unsere Fläche eine reguläre Fläche ist, das heißt die Jacobi-Matrix hat immer vollen Rang.

Und das ist genau die Stelle, wo man es zum Beispiel dringend braucht. Die Jacobi-Matrix enthält genau diese beiden Richtungsvektoren hier von der Ebene als Spalten. Voller Rang heißt, die beiden Spalten sind ja unabhängig. Das heißt, diese Bedingung eine reguläre Fläche zu sein, garantiert Ihnen an dieser Stelle die Existenz der Tangentialebene.

Und wenn dieses Ding eben keine reguläre Fläche ist, das heißt diese Jacobi-Matrix hat irgendwo mal eine Stelle, wo der Rang nicht voll ist, dann passieren eben so Sachen, dass die Fläche zum Beispiel einen Knick hat. An der Stelle, wo die Fläche einen Knick hat, gibt es keine vernünftig definierte Tangentialebene.

So, also deswegen muss man vorne eben diese Sicherheitsvoraussetzung machen, dass der Rang immer voll ist, damit hier immer eine schöne Tangentialebene herauskommt zum Beispiel. Das sind alles Probleme, die man bei Kurven nicht hat. Weil Kurven eben eindimensionale Gebilde sind, da passieren so hässliche Dinge nicht.

So, also dieses Ding nennt man die Tangentialebene. Tangentialebene an die Fläche Phi, also an die Fläche Phi oder F, im Punkt Phi von U0, V0.

So, also zu jedem Punkt auf der regulären Fläche gibt es damit eine ganze Ebene aus tangential liegenden Vektoren.

Und das nennt man die Tangentialebene. Und dass es immer eine wirkliche Ebene ist und nicht degeneriert zu irgendwas anderem, dafür gibt es diese Voraussetzung, eine reguläre Fläche zu haben. Das heißt, dass die beiden Spaltenvektoren der Jacobi-Matrix von Phi immer linear unabhängig sind.

So, jetzt haben wir eine Ebene im R3. Ebene im R3 schreit danach, den normalen Einheitsvektor oder den normalen Vektor auszurechnen in Richtung hessischer Normalform. Es ist einfach erstens eine gute Methode, die Ebene zu beschreiben, weil sie nur diesen normalen Vektor brauchen. Und zum anderen ist dieser normalen Vektor eben, wie gerade schon gesagt, auch für die Fläche geometrisch interessant.

Der normalen Vektor auf der Ebene, die Ebene der Tangentialvektoren. Wenn Sie da den normalen Vektor drauflegen, dann haben Sie genau den Vektor, der senkrechter auf die Fläche steht in dem Punkt. So, wie kriegen wir den normalen Vektor? Naja, Sie haben die beiden Richtungsvektoren der Ebene. Was Sie da brauchen, ist dazu senkrechter.

Wir sind im R3. Das schreit nach dem Kreuzprodukt. Und dementsprechend können Sie sich diesen normalen Vektor N an der Stelle u0, v0 ausrechnen als Kreuzprodukt von den beiden Richtungsvektoren der Ebene.

Also Sie nehmen das Phi, dann Sie es mir mal kürzer schreiben, leiten es nach u ab. An der Stelle u0, v0 Kreuzprodukt von Phi nach v abgeleitet. An der Stelle u0, v0. Das ist der normalen Vektor. Ich habe jetzt schon den Buchstrich hingemalt, weil ich hätte gerne den normalen Einheitsvektor mit Einheitslänge.

Also dividieren wir noch durch die Norm. Also die Norm von dem Vektor da oben, Ableitung nach u von Phi, Kreuzableitung nach v von Phi. Das nennt man den normalen oder normalen Einheitsvektor der Fläche.

Das Wort Einheits lässt man häufig weg. Aber wenn irgendwo steht der normalen Vektor, dann ist damit eigentlich immer der normalen Einheitsvektor gemeint. Sonst verbindet sich schon die Sprechweise der normalen Vektor. Verbindet sich eh, weil es gibt immer zwei, Plus und Minus.

Das ignoriert man manchmal noch gerne in einer gewissen Ungenauigkeit, weil es einem egal ist. Aber wenn irgendwo steht der normalen Vektor, könnte es sicher sein gemeint ist der normalen Einheitsvektor. Und ansonsten, wenn es um Plus oder Minus geht, ist das immer eine gute Nachfrage.

Also wenn Sie irgendwo einen normalen Vektor kriegen und es ist nicht spezifiziert, dann ist das immer eine gute Nachfrage. Was ist denn jetzt bitte gemeint? Häufig steht noch so etwas dazu, wie sei der normalen Vektor, der nach außen zeigt oder der nach innen zeigt. Aber so eine Bedingung muss man eigentlich noch dazugeben, damit das Sinn macht.

So, also der normalen Einheitsvektor, aber ausrechnen kann man ihn immer so, wie es hier ist. Sie nehmen ihre Parametrisierung der Fläche, ihr Phi, das die Fläche beschreibt, differenzieren einmal nach u, einmal nach v, kriegen zwei Vektoren raus und deren Kreuzprodukt ist zumindest mal die Richtung des normalen Vektors und dann normiert man noch und dann ist gut.

Also das ist der normalen oder normalen Einheitsvektor an die Fläche Phi im Punkt Phi von u0, v0. So, damit haben wir sozusagen diesen ersten Abschnitt, die gegebene Fläche, haben wir jetzt diese Tangentialebene und den normalen Vektor.

Der normalen Vektor ist auch wirklich das, das ist wichtig, was man sich anschaulich darunter vorstellt.

Also wenn Sie irgendeine Fläche im R3 haben, dann steigt er an jeder Stelle eben senkrecht zur Oberfläche in den Raum. Na, der hier oben ist mir nicht so senkrecht geglückt, aber der ist immer senkrecht, also er ist wirklich das, was sein Name bedeutet.

So, wenn wir jetzt wieder zurück uns erinnern ans Kurvenintegral, hatten wir dort auch zunächst diese Geschwindigkeit, diese Tangentialvektor, das Gamma Strich definiert und mit dem Gamma Strich konnte man dann,

indem man die Norm von dem Gamma Strich aufintegrierte, die Länge der Kurve bestimmen. Und genau das Gleiche geht mit dem Oberflächeninhalt. Sie müssen die Norm, in dem Fall müssen Sie die Norm von diesem normalen Vektor, also von dem unnormierten normalen Vektor aufintegrieren. Das ist der 49, also wenn Sie so eine Fläche haben, die gegeben ist durch

so eine Abbildung Phi, durch so eine Verbiegerabbildung, die das D in den R3 verbiegt, dann können Sie den Flächeninhalt von der resultierenden Fläche folgendermaßen ausrechnen.

Also wir haben wieder so eine Fläche, das heißt wir haben den G im R2 offen, eine Teilmenge D davon, die kompakt ist und Phi von G nach R3 sei also eine reguläre Fläche über D.

Das heißt, wie gesagt, hier oben, das Ding ist stetig differenzierbar und die Jacobi-Matrix hat immer vollen Rang. Dass die Jacobi-Matrix vollen Rang hat, hatten wir schon gesehen, braucht man, damit man eine Tangentialebene definieren kann. Nur so kommt man an den normalen Vektor, also um den normalen Vektor hinschreiben zu können, braucht man eben eine reguläre Fläche.

Wenn man das hat, dann gibt es eine Formel für den Flächeninhalt. Also der Flächeninhalt von dieser Fläche, die man so beschreibt im R3, Flächeninhalt von Phi von D, ist dann gegeben wieder durch ein Integral.

Und zwar müssen Sie in dem Fall über D integrieren. Bei der Kurve musste man über das Intervall integrieren, auf der die Kurve definiert ist. Hier müssen Sie über dieses Flächenstück im R2, das Ebeneflächenstück im R2 integrieren, auf dem die Fläche gegeben ist.

Das ist das D, das ist ein zweidimensionales Integral hier. Und was Sie machen, Sie nehmen den normalen Vektor an der Stelle uv, also dPhi nach du von uv Kreuz dPhi nach dv von uv. Das war der normalen Vektor an der Stelle Phi von uv an die Fläche.

Von dem nehmen Sie die Normen und das integrieren Sie über das ganze D. Und was da rauskommt, ist der Flächeninhalt Ihrer Fläche. Also Sie sehen, dieses Kreuzprodukt von diesen beiden Spalten, der ja kucken wir allerdings

vom Phi, spielt eine immense Rolle, taucht jetzt in ganzen Vorlesungen immer wieder auf. Im Wesentlichen ist das, ist dieses Kreuzprodukt Maß dafür, um wie viel die Fläche D beim Verbiegen und in den R3 werfen verzerrt wird. Das ist ein Verzerrungsmaß und klar, wenn Sie sozusagen nicht verzerren, sondern die Fläche D nehmen und einfach in den R3 legen, ganz vorsichtig,

dann gibt es jetzt so ein Stück Tischoberfläche, dann ist das Verzerrungsmaß 1 und dann ist das Flächeninhalt einfach der Flächeninhalt von D. Aber wenn Sie an den D ziehen und wie wir es vorhin gemacht haben, Sie nehmen den ebenen Kreis und drücken den zu einer Kugelhalbschale hoch,

verzerren Sie das Ding natürlich und dann müssen Sie hier nicht über 1 integrieren, sondern über diesen Verzerrungsfaktor und der Verzerrungsfaktor ist genau das Ding. Also muss man sich das vorstellen, die Norm von diesem Kreuzprodukt ist der Verzerrungsfaktor, der passiert beim Verbiegen von D zur Fläche.

Den integriert man eben über die ganze Fläche D hoch. Machen wir das mal für unser Beispiel von vorhin für unsere Halbkugeln, also Beispiel 4.10, das ist die Wiederaufnahme vom Beispiel 4.7,

also die Halbkugeln von vorhin, ich schreibe nochmal die reguläre Fläche hin, also diese Abbildung, die den Kreis zur Halbkugel macht.

Da hatten wir die obere und die untere Halbkugel, unterschieden durch Phi plus und Phi minus von U und V, wir haben hier zwei Variablen in der Menge G, die da war, die Menge aller U und V im R2, so das U² plus V² kleiner als R².

Das war der Kreis mit Radius R und der wird verbogen zu einer Halbkugelschale und das ging durch die Abbildung U, V und plus minus Wurzel aus R² minus U² minus V². Das war das Phi von vorhin.

Dann hatten wir schon die Jacobi-Matrix ausgerechnet, also die Jacobi-Matrix von diesem Phi an der Stelle U, V war, naja, das können wir auch entweder nochmal schnell machen oder von vorne übernehmen, erste Komponente nach U-Ableiten gibt 1 und nach V-Ableiten gibt 0,

erste Komponente nach U-Ableiten gibt 0 und nach V-Ableiten gibt 1, die dritte Komponente, da hatten wir gesehen, dreht sich das Vorzeichen um und sie kriegen U durch die Wurzel R² minus U² minus V² und minus plus V durch die Wurzel R² minus U² minus V².

So, das war die Jacobi-Matrix, das hatten wir vorhin schon mal ausgerechnet, die zwei sind wieder gekürzt, genau die Stelle. So, was wir brauchen, ist nicht die Jacobi-Matrix, sondern ist das Kreuzprodukt von den beiden Spalten.

Die Spalten hier, die erste Spalte ist die Ableitung von Phi nach U und die zweite Spalte ist die Ableitung von Phi nach V. Von denen brauchen wir das Kreuzprodukt, also sie müssen das Kreuzprodukt der beiden Spalten bilden, also Kreuzprodukt von Phi U mit Phi V

und das angenehme bei dem Beispiel ist, dass die Spalten oben diese schönen 1, 0 und 0, 1 haben, dadurch wird das Kreuzprodukt nicht völlig hoffnungslos kompliziert.

Also in der ersten Koordinate, zweiter Eintrag vom ersten Vektor mal dritter Eintrag vom zweiten, 0 mal irgendwas ist 0, minus die zweite Eintrag von der zweiten Spalte, also die 1 mal der dritte Eintrag von der ersten Spalte,

also wir haben ein Minuszeichen, also plus minus U durch Wurzel R² minus U² minus V², das ist der erste Eintrag von unserem Kreuzprodukt. Beim zweiten müssen wir mit dem Ding rechts unten anfangen, also dritter Eintrag vom ersten Vektor,

minus plus U durch mal 0, gibt wieder eine 0, minus Eintrag rechts unten mal Eintrag rechts oben, gibt plus minus V durch Wurzel R² minus U² minus V² und in der dritten Komponente kriegen sie 1 mal 1 minus 0 mal 0,

also 1 minus 0, noch ein bisschen schöner zusammenfassen, zum Beispiel können wir diese Wurzel vorziehen,

gibt plus minus 1 durch Wurzel R² minus U² minus V², mal den Vektor UV plus minus Wurzel aus R² minus U² minus V².

So, das ist der normalen Vektor, also nein, das ist der noch nicht normierte normalen Vektor, aber das ist ja genau das Ding, was wir brauchen, um die Oberfläche auszurechnen, also wenn Sie jetzt den normalen Vektor haben wollen, nehmen Sie das Ding und normieren es, haben Sie den normalen Vektor,

und wenn Sie jetzt Oberfläche haben wollen, dann nehmen Sie die Norm hiervon und integrieren die auf, in beiden Fällen brauchen wir die Norm, also rechnen wir sie aus, also was ist die Norm?

Von unserem, ja, von diesem Phi U Kreuz Phi V, also von diesem Maß der Verzerrung, bleibt natürlich vorne der Vorfaktor, ist 1 durch die Wurzel, das plus minus verschwindet, R² minus U² minus V²,

und dann kriegen Sie eine große Wurzel, erste Komponente quadrat plus zweite Komponente quadrat plus dritte Komponente quadrat, also die Norm von diesem Vektor da ist die Wurzel aus U² plus V² plus das Quadrat von der dritten Komponente,

wenn Sie die dritte Komponente quadrieren, geht erstmal das plus minus über die Wuppa, danach geht die Wurzel in die ewigen Jagdgründe ein, und übrig bleibt der Betrag von R² minus U² minus V², U² minus V² also immer kleiner als R², das heißt, das was unter der Wurzel steht, ist positiv,

wenn man dem auch geraten haben, weil sonst macht es in der Wurzel keinen Sinn, also es bleibt einfach R² minus U² minus V² übrig, und Sie sehen, so schrecklich diese Wurzel hier aussah, so schön vereinfacht sie sich, U² minus V² verschwindet, bleibt übrig R², ist ein R,

also diese Norm ist einfach R durch Wurzel R² minus U² minus V². So, damit können wir jetzt gleich beides machen, wir haben jetzt den normalen Vektor an unserer Fläche, im Prinzip ausgerechnet der Vektor da oben geteilt durch das was hier steht,

und wir können auch die Oberfläche ausrechnen, die Oberfläche von der oberen Halbkugel müsste also das Integral sein, über diesen Ausdruck hier hin. Dann kann ich das kurz beides machen, also der normalen Vektor, also zuerst ist der normalen Vektor,

N von U und V ist jetzt was, ist der Vektor, der noch oben in der ersten Zeile steht, das ist V U Kreuz V V, geteilt durch die Norm da unten, also geteilt durch die Norm,

gibt, multiplizieren im Kehrwert, Wurzel R² minus U² minus V², geteilt durch Groß R, mal plus minus eins durch R² minus U² minus V² Wurzel, mal, und dann kommt der Vektor, wie er noch oben steht, U V und plus minus Wurzel aus R² minus U² minus V²,

und jetzt sehen Sie sich, da kürzt sich eine ganze Menge raus, und was übrig bleibt, ist plus minus eins durch R und der Vektor, also U V plus minus aus Wurzel R² minus U² minus V²,

so, das ist der normalen Vektor, und Oberflächenintegral, was heißt, nicht Oberflächenintegral, die Oberfläche von unserer Fläche, von unserer oberen halben Kugel,

kriegen wir, indem wir die Norm, die da oben steht, einmal über die Menge D integrieren, also Flächeninhalt der halben Kugeloberfläche ausrechnen,

und dann, ja, was dabei herauskommt, ist ein zweidimensionales Gebietseintegral, damit sind wir wieder im vertrauten Fahrwasser vom letzten Abschnitt, also, was müssen wir ausrechnen, das D ist die Menge aller U V aus R² mit U² plus V² kleiner als R²,

und wir müssen ausrechnen, das Integral über das D über die Norm von unserem Verzerrungsfaktor da,

also Phi U von U V, Kreuz Phi V von U V, also der Verzerrungsfaktor ist natürlich diese Norm, Phi U Kreuz Phi V ist ein Vektor, und die Norm davon ist der Verzerrungsfaktor, und wenn Sie den über das ganze D integrieren, dann kriegen Sie den Flächeninhalt der Fläche,

also, da hatten wir gerade ausgerechnet, dieser Verzerrungsfaktor war R durch Wurzel R² minus U² minus V², dU dV, und D ist die Kreisscheibe im R², was hier steht, ist jetzt ein zweidimensionales Gebietseintegral,

es ist irgendwie logisch, wenn Sie über die Fläche von dieser zweidimensionalen Fläche im Dreidimensionalen berechnen wollen, müssen Sie am Schluss irgendwie was Zweidimensionales integrieren, müssen eine zweidimensionale Fläche ausrechnen, wenn Sie einfach nur die Fläche von diesem Kreis ausrechnen wollen, von dem hier, dann hätten Sie jetzt hier das Integral über 1 dU V stehen, Sie haben aber beim Herstellen Ihrer Fläche diesen Kreis verbogen,

dadurch haben Sie seinen Flächeninhalt geändert, und eben dieser lokale Verzerrungsfaktor ist genau dieses R durch Wurzel Dingsbums, und den integrieren wir jetzt über den ganzen Kreis, wie rechnet man, wie integriert man über so einen blöden Kreis, so eine blöde Funktion,

wir haben eine Kreisgeometrie im R², das schreit danach, in Polarkoordinaten zu wechseln, also rechnen wir das Ding in Polarkoordinaten aus,

das D ist ein Kreis mit Radius R, ein Kreis mit Radius R, in Polarkoordinaten ist einfach ein Rechteck, Radius geht von 0 bis R und der Winkel geht von 0 bis 2π, also wir kriegen ein Integral über den Winkel von 0 bis 2π, über den Radius von 0 bis R, über welche Funktion, wenn Sie in Polarkoordinaten übergehen, wird aus U² plus V² R,

also R², aus U² plus V² wird R², also was wir hier stehen haben, ist gros R durch Wurzel aus R² minus r²,

und das, so das im Prinzip dR dΦ, jetzt muss man sich noch daran erinnern, dass wir beim Übergang zu Polarkoordinaten bitte schön die Funktionaldeterminante mit reinzuschmieren haben, aus dx dy oder du dV wird R dR dΦ, also das R hier, das ist das von der Substitutionsregel,

wann immer Sie ein kathesisches Differential duV ersetzen durch ein Polarkoordinatendifferential, wird aus dem dx dy oder du dV ein R dR dΦ.

So, jetzt haben wir das Ganze bald auf eindimensionale Integrale runtergekocht, der Integrant hängt überhaupt nicht vom Φ ab, also in Φ haben Sie eine Konstante integriert von 0 bis 2π, gibt einfach ein Faktor 2π, das gros R ist auch eine Konstante, die ziehen wir mal vor,

dann bleibt übrig ein Integral von 0 bis gros R über r durch Wurzel R² minus r² dR,

jetzt sind wir im eindimensionalen Integral und das muss man jetzt nur noch ausrechnen, nur noch ist gut, wie rechnet man das aus? Ich denke die schnellste Variante ist folgende Substitution, wir setzen T als gros R² minus klein R², dann ist dt nach dr gleich minus 2r, also dr, nein anders, 2r dr ist minus dt, machen wir mal so, 2r dr ist minus dt,

warum 2r dr? Weil 2r dr habe ich hier gerade, 2r dr gibt zusammen ein minus dt, wenn wir noch die Grenzen substituieren, also was hier übrig bleibt ist ein minus rπ, das ist minus dt,

wenn das r0 ist, dann ist das tr², wenn das klein r groß r ist, dann ist das t0, also Integral von gros R² bis 0 über und was übrig bleibt ist einfach 1 durch Wurzel t dt,

und jetzt sind wir bei einer Funktion, wo man die Stammfunktion sehen kann, wir können aber meinetwegen auch erst noch daraus ein vernünftig gereites Integral machen, also wir nehmen das Minuszeichen weg und machen ein Integral von 0 bis groß R² raus,

1 durch Wurzel t dt und was das jetzt gibt sind rπ und was ist die Stammfunktion von 1 durch Wurzel t, wenn es 1 durch 2 Wurzel t wäre, dann wäre es Wurzel t, weil die Ableitung von Wurzel t ist 1 durch 2 Wurzel t, die 2 lässt sich leicht korrigieren, also schreiben wir mal 2 Wurzel t hin,

wenn sie 2 Wurzel t differenzieren, kriegen sie 2 mal 1 durch 2 Wurzel t, und das in den Grenzen t gleich 0 bis t gleich groß R², also kriegen wir 2π,

wenn sie das t gleich 0 einsetzen, kriegen sie 0 raus, es kommt nur was raus an der Stelle t gleich R², Wurzel aus R² ist R, gibt also nochmal ein R, gibt 2π R²,

so, das ist die Fläche der halben Kugel, wenn sie also die Oberfläche der ganzen Kugel haben wollen, müssen sie noch verdoppeln,

damit haben wir jetzt die Kugeloberfläche ausgerechnet, die hätten sie natürlich auch in jeder Formensammlung nachschlagen können, aber so ist sie einmal komplett ausgerechnet, also die Gesamtoberfläche der Kugel,

so, damit können wir jetzt wieder Oberflächen bestimmen, wenn wir wieder zurückgehen zum Fall der Kurve, entspricht das der Sache, die Länge der Kurve zu bestimmen, und was als drittes jetzt noch fehlt, ist der Begriff des Oberflächenintegrals, entsprechend dem Kurvenintegral, also wir haben jetzt nicht nur eine Fläche, von der wir die Oberfläche haben wollen,

sondern wir haben auf dieser Fläche gegeben eine Funktion, und die wollen wir integrieren, in dem Fall wird das eine skalare Funktion sein, also auf dieser Fläche eine skalare Funktion,

und deren Integral über die Fläche, also die Gesamtsumme dieser Funktion über die Fläche sozusagen, das wollen wir bestimmen, wenn sie so wollen, haben sie eine Oberfläche, und über der Oberfläche noch eine Höhe, also eine gebogene Fläche, und über diese Fläche jetzt einen an jeder Stelle verschieden dicken Überzug,

und was sie interessiert ist das Volumen von dem Überzug, so, das führt auf das sogenannte Oberflächenintegral,

und im Wesentlichen ist die Aufgabe wieder, unsere Oberfläche ist entstanden, durch Verbiegen von einem glatten Flächenstück in den R3, mit diesem Verzerrungsfaktor, Norm von phi nach u, Kreuz phi nach v,

und wenn wir jetzt das Integral von der Funktion darüber rausrechnen wollen, müssen wir uns im Prinzip wieder zurückhangeln auf das d, den Verzerrungsfaktor mit berücksichtigen, und dann können wir am Schluss über das d integrieren, genauso wie beim Kurvenintegral, wenn man nochmal wieder das Kurvenintegral als Vergleich hernimmt,

das Kurvenintegral war, sie haben eine Funktion, entlang einer Kurve zu integrieren, und das ging so, dass man über das gerade Linienstück, auf dem die Kurve definiert ist, integriert, und dann natürlich f entlang der Kurve, wir wollen jetzt die Werte von f entlang der Kurve haben,

und die muss man jetzt gewichten, diese Werte, je nachdem wie stark die Kurve da verbogen ist, je nachdem wie die Geschwindigkeit der Kurve ist, und deswegen multipliziert man mit dem Gamma Strich. So was ähnliches passiert hier jetzt auch, sie haben die Funktion f auf der Fläche,

die Fläche ist gegeben durch phi, die in das glatte Stück d rumbiegt, mit einem Verzerrungsfaktor, und das heißt, sie integrieren jetzt, wenn sie f über die Fläche integrieren wollen, sie integrieren sie am Schluss über d, müssen aber diesen Verzerrungsfaktor mit berücksichtigen.

Also, sei dazu phi wieder eine reguläre Fläche über eine Menge d, also eine Abbildung von d oder von einer etwas größeren Menge g nach r3, die stetig differenzierbar ist und diese Bedingung erfüllt, dass der Rang der Jacobi-Matrix immer 2 ist,

so und f sei wieder groß phi von d, also das Bild, das zugehörige reguläre Flächenstück. Also wenn wir an unser Standardbeispiel denken, ist d der Kreis im R2 und f ist die Halbkugelschale,

eben das Bild, das sie kriegen, wenn sie ihren Kreis, das d nehmen und mit dem phi abbilden. So, und jetzt haben wir auf diesem f, auf diesem geschwungen f, auf der Fläche eine Funktion definiert,

auf der Kugeloberfläche, auf der Erdoberfläche haben sie eine Funktion, Temperatur, in dem Fall ist es also eine reellwertige Funktion, und die wollen sie jetzt über die Fläche integrieren,

also das Integral über die Fläche entlang dieser Funktion f, und an der Stelle gibt es jetzt, das ist eine reine Notation, so ein Flächenintegral wird meistens dadurch signalisiert, dass hier hinten jetzt nicht einfach dx steht, wenn ich da dx hinschreibe, liest sich das, Achtung, hier steht ein Gebietsintegral vor,

sondern ich habe eine gebogene Fläche und auf der wird integriert, und dieses Flächenintegral wird dadurch angedeutet, dass man hier ein sigma als Differential macht, also nicht dx, sondern d sigma von x, fragen Sie mich nicht wieso gerade sigma,

ist eine relativ übliche Notation, manchmal sieht man auch do, also das ist eine zweite mögliche Schreibweise, die ich schon gesehen habe, wobei ich annehmen, die entsteht dadurch, dass irgendwann mal jemand keinen sigma auf der Tastatur hatte und irgendetwas gesucht hat, was möglichst ähnlich aussieht.

Keine Ahnung, oder EO wie Oberfläche vielleicht auch, keine Ahnung. Also auf jeden Fall ist das eine relativ übliche Notation für ein Flächenintegral. Wichtig ist aber, wichtiger als ob da jetzt Sigma oder sonst was steht, ist ihnen klar, was hier passiert. Sie haben ein verbogenes Stück Fläche im R3. In unserem Beispiel immer die obere Halbkugelschale.

Auf dieser Fläche eine Funktion, Temperaturverteilung. Und die wollen Sie integrieren. Und dann kriegen Sie, sollen Sie hier eine Zahl rauskriegen und wie rechnet man das aus? Das f ist gegeben als verbogenes d. Also Sie integrieren über ihr d. So wie Sie vorher beim Kurvenintegral integriert haben, über das Intervall ab, auf dem die Kurve definiert ist.

So integrieren Sie jetzt über das glatte Stück d im R2. Sie integrieren das f auf der Fläche, also in den Punkten Phi von uv. Für jedes Punkt uv in d ist Phi von uv ein Punkt auf der Fläche.

Und jetzt müssen Sie noch wieder glatt ziehen oder mit einbeziehen, dass bei diesem Verbiegen von d zu einer Fläche Sie eine Verzerrung gemacht haben. Und das ist unser altbekannter Verzerrungsfaktor. Also wir kriegen wieder rein die Norm von Phi differenziert nach u, Kreuz Phi differenziert nach v.

Von den Normen und das integrieren Sie über die Menge d. Das ist jetzt ein zweidimensionales Gebietsintegral. Also im Prinzip die gleiche Idee wie beim Kurvenintegral. Man hat ein Integral über ein geschwungenes Stück Weg.

Man integriert es, indem man den geschwungenen Weg glatt zieht zu einem Intervall ab. Und das, was man beim glatt ziehen falsch gemacht hat, durch das Gamma Strich wieder rein kriegt in den Kalkül. Hier das gleiche. Sie haben eine geschwungenes Fläche im R3, ziehen die glatt zu einem ebenen Stück R2, das ist d. Sie integrieren ihr f entlang der Fläche und machen das Verbiegen wieder gut durch diesen Verzerrungsfaktor.

So, das ist das Oberflächenintegral. Von f über die Oberfläche geschwungen f.

Integral von f über die Fläche geschwungen f. Und was da rauskommt ist sozusagen das, was sinnvoll ist. Also wenn Sie jetzt die, stellen Sie sich wieder vor, geschwungen f ist Halbkugelfläche, nördliche Hemisphäre der Erde.

Die Funktion f ist die Temperatur an jedem Punkt. Wenn Sie jetzt zum Beispiel das Oberflächenintegral über diese Temperatur über die ganze nördliche Hemisphäre nehmen und dann durch die Fläche der nördlichen Hemisphäre teilen, haben Sie die Durchschnittstemperatur.

Zum Beispiel. So, wenn Sie sich die Formel nochmal anschauen und an die Formel gerade für den Flächeninhalt erinnern, wie war der Flächeninhalt zu berechnen, in dem Sie nur über den Verzerrungsfaktor integrieren, also ohne das f.

Das entspricht dem üblichen Erkenntnis, Sie kriegen den Flächeninhalt, in dem Sie die Funktion konstant 1 integrieren. Wenn Sie f konstant einsetzen, dann steht da die Formel für die Oberfläche. Also man beachte, Sie kriegen aus dieser Formel die Formel für den Flächeninhalt,

in dem Sie die Funktion f konstant eins nehmen. Wenn wir f konstant eins einsetzen, steht da die Formel für den Oberflächeninhalt. Macht ja auch Sinn.

So, damit habe ich Ihnen jetzt zumindest mal hingeschrieben, wie man so ein Oberflächenintegral ausrechnet. Ich will Ihnen auch noch einmal zeigen, dass man das ganz konkret tun kann. So, was nehme ich hier als f?

Also wir nehmen wieder unsere Fläche von oben, immer die gleiche, also diese Halbkugel. Und darauf gebe ich Ihnen jetzt eine Funktion f vor. Machen wir nicht zu kompliziert, sonst wird es ätzend zu integrieren. Also das f von x, y, z ist einfach z.

Und das Φ ist wieder die Fläche, die wir schon die ganze Zeit hatten. Also Φ ist definiert auf dem Kreis u² plus v² kleiner gleich groß r² nach r3.

Und es ist gegeben, ja, so ein bisschen die ganze Zeit hatten. Also Φ von u und v ist u, v und Wurzel aus r² minus u² minus v².

Das ist immer noch der, das ist die positive Wurzel. Also das ist die Flächenparametrisierung der oberen Halbkugeloberfläche. Und wenn wir jetzt dieses f da integrieren, kriegen wir also Integral über unsere Fläche f

von unserer Funktion f dσ x, y, z. Wie gesagt, σ immer ein Symbol für, hier kommt jetzt ein Oberflächenintegral.

Das ist nach Definition vom Oberflächenintegral, integrieren Sie über Ihre glattgezogene Fläche d, über das Stück im R², das zur Fläche f verbogen wird. Integrieren Sie die Funktion f an der Stelle Φ von u, v.

Multiplizieren Sie mit dem richtigen Korrektor für den Verzerrungsfaktor, also Φ nach u differenziert von u, v, Kreuz Φ nach v differenziert von u, v. Und dann kommt d von u, v.

So, müssen wir jetzt alles einsetzen. f von Φ von u, v, Φ von u, v steht oben. f ist zum Glück nicht so arg kompliziert. Also das ist d, Integral über d, f von u, v, Wurzel aus R² minus u² minus v².

Mal diese Norm, die haben wir oben schon mal ausgerechnet. Die war groß R durch Wurzel aus R² minus u² minus v², d, u, v.

So, ich hatte f von x, y, z, war einfach z. Also steht hier Integral über d, Wurzel R² minus u² minus v². Jetzt sehen Sie auch, warum ich f von x, y, z als z genommen habe, weil ich feige bin und hier will, dass sich alles schön rauskürzt und ich ein einfaches Integral kriege.

Also, R² minus u² minus v² aus dem Verzerrungsfaktor d, u, v. Jetzt kürzt sich alles raus und was Sie kriegen, ist groß R mal das Integral über d.

Jetzt können wir entweder wieder Polarkoordinaten anwerfen oder uns daran erinnern, dass R ein Kreis mit Radius R ist, dessen Flächeninhalt ist bekanntermaßen π R². Also kommt hier π R³ raus, aber wegen mir können wir auch gerne nochmal die Polarkoordinaten anwerfen.

Also mit Polarkoordinaten kriegen wir R mal, wenn wir den Kreis integrieren, geht der Winkel von 0 bis 2π durch und der Radius von 0 bis groß R. Wir kriegen R, d, R, d, v substituieren vom Übergang in Polarkoordinaten. Der Integrant hängt wieder nicht von Φ ab,

gibt also 2π groß R mal Integral von 0 bis groß R, R, d, R. Das ist 2π R mal ½ R² in den Grenzen, klein R ist 0 bis klein R bis groß R. Jetzt kürzt sich die 2 mit der ½

und es bleibt übrig π R³. Also das wäre dieses Oberflächenintegral einfach mal exemplarisch für diese Funktion f und x, y, z gleich z gerechnet. Sie sehen, ich habe mir das Leben einfach gemacht. f und x, y, z gleich x wäre deutlich hässlicher,

dann hätte ich hier statt der langen Wurzel ein U und dann wäre es Ru durch die lange Wurzel wäre auch gegangen, ist aber dann ein mühsameres Integral. So, damit können wir jetzt über Oberflächen integrieren. Sie können mich immer noch fragen, was das soll. Ich hatte gesagt, in dieser heutigen und morgigen Vorlesung

kulminiert alles, was ich Ihnen über Integrale gesagt habe und das kulminiert jetzt in einem großen wichtigen Satz, in einem Satz über Integrale, den ich Ihnen einfach erst mal hinschreiben will und dann werde ich heute und auch noch in der nächsten Vorlesung

diesen Satz interpretieren und Ihnen sagen, was er bedeutet. Und dann werden Sie mir hinterher wieder um die Ohren hauen und sagen, so eine Banalität in so komplizierten Formeln, was soll der Quatsch? Dann sage ich, genau dafür ist er da,

weil er eine anschauliche Banalität in Formeln übersetzt und Sie damit diese anschauliche Banalität in einem wilden Formelwust verwenden können und einen wilden Formelwust vereinfachen können, indem Sie eben diese anschauliche Banalität da einsetzen. So, und dieser Satz, um den es hier geht, ist der sogenannte gaussische Integralsatz

und wenn Sie den Satz sehen, dann kann man daran sehen, warum ich jetzt all das eingeführt habe, was ich in der letzten und diesen Vorlesung gemacht habe, weil das taucht da alles drin auf. Die Vergänz und Oberflächenintegral und alles ist da drin.

So, was brauchen wir für diesen gaussischen Integralsatz? Wir brauchen ein Volumen im R3, irgendein Stück R3. Denken Sie wieder an eine Kugel, das Beste können aber auch ein Zylinder, ein Würfel, irgendein kompaktes Stück R3 müssen Sie sich hernehmen.

Darf auch ein Quader sein, irgend sowas. Also ein K-Teilmenge R3, das soll offen sein, das soll beschränkt sein und jetzt kneife ich und sage einfach mit genügend glattem Rand.

Das ist natürlich keine vernünftige Definition. Aber um Ihnen zu definieren, was genügend glatter Rand bedeutet, müsste ich jetzt entweder Ihnen eine Version verkaufen. Also ich habe jetzt zwei Möglichkeiten. Ich kann Ihnen sagen, sei das K so, dass es entweder X projizierbar oder Y projizierbar ist.

Begriffe hatten wir beim integrieren über Gebiete. Und wenn das so ist, dann ist alles gut, dann funktioniert das, was ich hier mache. Das ist insofern, das wird zu dem passen, was wir bisher gemacht haben und ich kann es schön definieren und das ist insofern Murks,

als der geauschte Integralsatz natürlich auch für einen Kreisring gilt und ein Kreisring ist halt dummerweise nicht X projizierbar oder Y projizierbar. Also schon sehr einfache Geometrien, mit denen man irgendwann zu tun kriegt, fallen dann raus. Das ist Mist, weil ich will Ihnen, was ich Ihnen mitgeben will ist, kümmern Sie sich um diese Bedingungen einfach nicht,

weil in allen für Sie relevanten Situationen wird das der Fall sein. Ich behaupte nicht, ich behaupte Sie werden nie auf die Nase fallen, nur weil mit einem geauschten Integralsatz, den Sie anwenden wollen, nur weil das blöde Gebiet keinen glatt genug Rand hat. Meistens werden Sie den in 99% der Fälle wenden Sie den E auf eine Kugel an.

Eine Kugel ist glatt. Die zweite Möglichkeit ist, ich verbrate jetzt noch eine ganze Vorlesung, um Ihnen zu definieren, was genügend glatt heißt und dann weiß man auch nicht mehr. Also lassen wir das bleiben und ich sage einfach, wenden Sie ihn an, wo immer Sie wollen,

machen die Physiker eh und die Ingenieure dürfen das auch, es funktioniert immer. Nehmen Sie halt keine völligen Absurditäten, kommen Sie mir halt nicht mit einer Menge, die einen fraktalen Rand hat. Wenden Sie den Gaussensatz bitte nicht auf der Mandelbrotmenge an, falls die Ihnen schon mal über den Weg gelaufen ist. Oder auf irgendeinem Quatsch, aber das werden Sie in Ihrem Ingenieursleben eh nie.

Die Gefahr besteht nicht. Aber ich will darauf hinweisen, Sie können es eben nicht auf jeder Menge. Sie müssen genügend glatten Rand haben und alles, was Sie hier in die Finger kriegen, hat einen genügend glatten Rand. Also was ich meine damit, also den Rand nenne ich mal R und was ich damit meine ist bitte keine Fraktale oder so ein Quatsch. Und wenn ich weiß, was ein Fraktal ist, dann sehen Sie schon, es kommt nicht vor.

Also keine Fraktale oder so. So, jetzt haben wir also eine Menge, eine Kugel. So, K ist eine Kugel und Rand R.

So, dann haben wir wieder um diese Kugel rum, um den Abschluss, doch um den Abschluss von dieser Kugel rum, irgendeine offene Menge G und da drauf eine Funktion F, ein Vektorfeld F von R3 nach R3, also von G nach R3

und das sei stetig differenzierbar. Also bis jetzt haben wir nichts als ein Stück R3, eine Kugel und da drauf ein stetig differenzierbares Vektorfeld, ein Geschwindigkeitsfeld von einem Wasserfluss oder von einem Wind.

So, dann brauche ich noch eine Bezeichnung. Also für jedes X aus dem Rand von ihrer Menge,

bezeichne wie eigentlich schon vorher N von X den sogenannten äußeren normalen Vektor an die Fläche R.

Also hier sehen Sie auch schon, steckt eine Bedingung drin an die Glattheit des Randes, was man braucht, damit das hier zuzieht, damit das funktioniert, ist dieser Rand muss zumindest Stückweise als reguläre Fläche darstellbar sein und dann können Sie, wenn Sie den Stückweise, also Ihre Halbkugel nehmen

und dann können Sie an jedem Punkt den normalen Vektor bestimmen. Wenn der Rand lauter Ecken und Murks hat, gibt es keinen normalen Vektor. Also der muss so sein, dass Sie an jeder Stelle den normalen Vektor bestimmen können und jetzt haben Sie bei dem normalen Vektor, hatten wir vorhin schon gesagt, zwei Möglichkeiten. Wenn Sie Ihre Kugel haben, können Sie den normalen Vektor nach außen gucken lassen oder nach innen

und es gibt am Schluss im Oberflächenintegral ein Minuszeichen, je nachdem, welchen Sie nehmen und deswegen lege ich mich hier fest, ich hätte gern den äußeren normalen Vektor. So, und jetzt kommt die Aussage vom Satz von Gauss. Und zwar sagt dieser Satz von Gauss aus,

wenn Sie Ihre Funktion f nehmen, Ihr Vektor fällt und davon die Divergenz bestimmen, jetzt sind wir in der Vorlesung von letzter Woche, Divergenz f. Also Sie nehmen die erste Komponente von f und differenzieren nach der ersten Variablen plus zweite Komponente von f differenziert nach zweiter Variablen

plus dritte Komponente von f differenziert nach dritter Variablen oder anders ausgedrückt NABLA Operator Skalarprodukt mit f. So, dieses Ding nehmen Sie und integrieren es über die ganze Kugel, über das ganze Volumen ik. Gebietsintegrale über die ganze Kugel, Divergenz f.

Das ist, behauptet der Satz von Gauss, das gleiche wie das Oberflächenintegral über den Rand der Kugel von dem Skalarprodukt Ihres Vektorfeldes f mit dem normalen Vektor N. Also und jetzt Oberflächenintegral über den Rand.

So, das ist der Satz von Gauss. Ich habe Ihnen gesagt, der ist etwas ganz anschauliches. Ich erwarte noch nicht, dass Sie jetzt an der Formel sehen, was der anschaulich sagt. Das versuche ich Ihnen dann noch zu verraten. Dass man sich hier erstmal noch klar machen muss, ist, was steht hier eigentlich und macht das alles Sinn.

Also wie gerade schon gesagt, das da ist ein Gebietsintegral. Ein Gebietsintegral über, ein dreidimensionales Gebietsintegral über die Menge K, über die Kugel, die ganze Kugel. Das Ding da drüben ist ein Oberflächenintegral über den Rand der Menge K.

Das R war der Rand von der Menge K. Wenn das K ein Zylinder ist, also der Mantel plus die beiden Deckel und Bohnen. Wie sieht es mit den Dimensionen aus? Auch mal ein guter Check.

Was steht denn da links und rechts von dem Integral? Steht da eine Zahl, ein Vektor, eine Matrix, irgendwas ganz anderes? Mal überlegen. Also f geht von R3 nach R3. Wir hatten schon gesehen, wenn Sie einen Vektorfeld haben nach R3 und Sie bilden die Divergenz, ist das was rauskommt, eine Zahl, ein Skalar.

Also Divergenz f von x ist eine skalare Funktion. Wenn Sie die skalare Funktion über ein Gebiet integrieren, kriegen Sie einen Skalar raus. Also das, was da links steht, ist einfach, so kompliziert es aussieht, eine Zahl. Dann sollte bitte schön, dass was rechts steht, auch eine Zahl sein. Überlegen wir mal, warum ist das eine Zahl? Wir haben einen Oberflächenintegral.

Oberflächenintegrale können wir eh nur bilden von skalaren Vektorfeldern, also von Funktionen, die nach R gehen. Nur schon ein bisschen aufpassen, unser f ging ja nach R3. Aber da wir das f hier mit dem normalen Vektor skalar multiplizieren, ist diese Funktion, Skalarprodukt, die x zuordnet, das Skalarprodukt von f mit n.

Das ist eine skalare Funktion, das geht nach R. Also der Integrant hier ist auch eine Zahl. Skalarprodukt von zwei R3-Vektoren gibt eine Zahl. Wenn Sie diese Zahl über die Oberfläche integrieren, kriegen Sie auch eine Zahl raus. Also links und rechts stehen Zahlen. Und der Satz von Gauss sagt, der Gauss-Integralsatz sagt, die beiden Zahlen sind gleich.

So, was bedeutet das? Lassen Sie mich vielleicht, also jetzt müssen wir uns die beiden Integrale veranschaulichen und überlegen, warum sind die gleich?

Warum sind die, diese Logik, die müssen gleich sein. Wie gesagt, das Erstaunliche an diesem Satz ist nicht, das, was er Ihnen nachher am Schluss sagt, oder das Tolle, warum man ihn so oft braucht, ist nicht, dass er Ihnen etwas Neues mitteilt. Was er Ihnen mitteilt, ist eine Banalität. Umgekehrt ist er wichtig, weil er Ihnen die Möglichkeit, weil er die mathematische Umsetzung

dieser Banalität ist und Sie sozusagen damit diese Banalität in Ihren Formeln verwenden können. Wie gesagt, das ist das Entscheidende hier. So, ich fange mal mit dem linken Integral an, mit dem Gebietsintegral, weil das geht in zwei, drei Minuten, das andere braucht ein bisschen länger.

Für das Gebietsintegral müssten Sie sich daran erinnern, was ich Ihnen gesagt habe, was die Divergenz von einem Vektorfeld ist. Wenn Sie ein Vektorfeld F haben, dann war die Divergenz von dem F die Quelldichte des Vektorfeldes.

Das heißt, wenn Sie die Divergenz über ein Volumen aufsummieren, kriegen Sie genau raus, wie viel Fluss, wenn Sie sich dieses Vektorfeld wieder als Geschwindigkeitsfeld vorstellen,

wie viel Fluss entsteht in diesem Volumen oder wie viel Fluss verschwindet da drin. Wenn Sie eine Senke haben, ist das negativ, bei einer Quelle ist es positiv. Wie viel Fluss des Vektorfeldes entsteht in dem Volumen. Das ist genau das, was Sie hier haben. Sie haben ein Integral über die Divergenz, Integral über die Quelldichte, also diese Divergenz, dieses Gebietsintegral, also Integral über k, Divergenz f von x dx.

Das ist die Gesamtsumme des innerhalb von k in Quellen entstehenden oder senken verschwindenden Flusses.

Also wenn Sie sich jetzt natürlich nur ein Flüssigkeitsfeld vorstellen, dann hat das immer Divergenz 0, dann ist das natürlich 0 das Ding.

Aber wenn man sich eben einen Fluss vorstellt mit einer Quelle irgendwo, zum Beispiel ein elektrisches Feld um ein elektrisch geladenes Teilchen rum, dann kommt hier tatsächlich ein Wert raus. Und alles, was innerhalb des Gebiets k passiert, an Senken und Quellen wird zusammengezählt.

Und der nach Bilanz dort insgesamt entstehende Fluss, das ist dieses Gebietsintegral, das ist die linke Seite.

So, dann muss ich Ihnen noch erzählen, was aus der rechten Seite rauskommt. Und jetzt will ich Sie nicht bis morgen ewig auf die Folter spannen. Also sage ich Ihnen, was rauskommt und warum es rauskommt, überlegen wir uns nächstes Mal. Die rechte Seite ist ein Oberflächenintegral.

Und das, was hier bilanziert wird, ist der gesamte über die Oberfläche gehende Fluss. Also wie viel Fluss geht in Summe rein oder raus in mein Volumen k? Ich zähle alles positiv, was rausgeht. Ich zähle alles negativ, was reingeht.

Und diese Gesamtbilanz, die dabei rauskommt, das ist das rechte Integral. Und was der Satz von Gauss sagt, ist einfach das. Die Summe dessen, was im Inneren entsteht oder verschwindet, ist das, was in Summe rein oder rausfließt, aus ihrem Volumen. Sie haben ein fixes Volumen. Und was der Satz von Gauss sagt, ist alles, was drin entsteht, muss irgendwann raus.

Alles, was drin verschwindet, muss irgendwie rein. Also die Summe dessen, was drin entsteht oder verschwindet, ist genau das Gleiche, wie das, was aus dem Ding reinfließt oder rausfließt. Das ist der Satz, der Gauss-Integralsatz. Wie gesagt, anschaulich total klar. Das Entscheidende ist, dass Sie damit, wenn Sie jetzt ein kompliziertes Integral zu knacken haben,

und Sie sich überlegen, was bedeutet das Integral, und Sie stellen fest, das Integral bedeutet den gesamten Ab- und Zufluss von meinem Feld.

Und ich weiß aus irgendeinem Grund, da fließt nichts zu. Nein, es bedeutet alles, was entsteht in meinem Volumen, und ich weiß, da fließt nichts rein und raus. Dann bietet Ihnen dieser Gauss-Integralsatz die Möglichkeit, das in Ihren Formeln umzurechnen,

das Gebietsintegral in Oberflächenintegral umzuwandeln, oder umgekehrt ein Oberflächenintegral in Gebietsintegral. So macht man es sogar fast lieber, weil ein Gebietsintegral ist leichter auszurechnen. Aber er ist in beiden Richtungen wichtig. Und zwar sowohl praktisch, ich habe ein doofes Oberflächenintegral und will es ausrechnen und kriege ein leichtes Gebietsintegral raus,

als auch theoretisch beim Erstellen von Formeln, beim Umwandeln von Formeln, beim Herleiten, also diesen Gauss-Integralsatz braucht man massiv, wenn man in der Mechanik Formeln herleitet, für zum Beispiel die Fluid Dynamik. Fluid Dynamik, hatte ich Ihnen gesagt, die Gleichungen, die den Fluss von Flüssigkeiten beschreiben,

von fließenden Flüssigkeiten, bei denen hat man im Normalfall immer Divergenz 0, das heißt, man weiß, was das linke Integral ist, wenn man über 0 integriert, kommt halt 0 raus und kann damit Rückschlüsse über den Fluss, über Oberflächen ziehen.

Das spielt eine ganz fundamentale Rolle in dem Zusammenhang. Ich werde Ihnen also da wieder begegnen. Und ja, wie gesagt, Gauss-Integralsatz sagt, alles was drin verschwindet, muss reinfließen, alles was drin entsteht, muss rausfließen. Ich mache dieses Oberflächenintegral morgen nochmal genauer.

Warum ist das, was da steht, der gesamte durch den Rand gehende Fluss? Und will da noch ein Beispiel rechnen und Ihnen den Satz von Stokes noch zeigen, der damit verwandt ist. Ich werde, denke ich, mal gucken, also morgen sicherlich ein bisschen Reserve am Ende haben

und nicht die vollen anderthalb Stunden durchpowern müssen. Diese Zeit können wir entweder uns freuen oder nutzen. Also, wenn Sie die nutzen wollen, das Angebot, wenn am Schluss, ich kann es nicht versprechen, aber am Schluss eine Viertelstunde, 20 Minuten Zeit bleibt, stehe ich gerne bereit hier Fragen zu beantworten zum gesamten Stoff des Semesters.

Also falls Sie schon mal irgendwo noch hängen geblieben sind, Fragen haben, her damit. Ich versuche dann spontan, so viel wie geht. Also wir können das gerne mit einer Fragestunde beenden. Und dann ist ja in der nächsten Woche keine Vorlesung mehr, weil alle Bauingenieure weg sind.

Ich wünsche Ihnen viel Spaß bei der Exkursion. Und erinnere nochmal dran, nächsten Montag, also zu dieser Zeit, würde ich die Vorlesung vom 4.6. nach aufzeichnen, Audimax-Gebäude A03. Wer Zeit hat und Lust hat, sich das nochmal anzuhören und mir etwas Feedback und Response zu geben,

damit das eine lebendigere Aufzeichnung wird, da freue ich mich, dass Sie kommen. Ansonsten erst mal bis morgen. Und vielen Dank für die Aufmerksamkeit.