So, dann mal ein herzliches Willkommen. Am Ende der letzten Vorlesung habe ich den Satz von Opital noch hingeschrieben als Hilfsmittel zur Bestimmung von komplizierten Grenzwerten,

also von Grenzwerten der Form f von x durch g von x, also Bruch von zwei Funktionen, wobei entweder Zähler und Nenner beide gegen Null gehen oder der Nenner und eigentlich gegen Plus oder

Minus und Endlich, also Grenzwerte, die man nicht einfach mit Hilfe der Grenzwertsetzen bearbeitet. Und der Opital sagt, wenn Sie so eine Situation haben, dann dürfen Sie den Zähler differenzieren, wenn es geht natürlich, den Nenner differenzieren und statt dem

Grenzwert f durch g, den Grenzwert f' durch g' anschauen und der sagt Ihnen dann, was der Grenzwert von f durch g ist. Das muss ich noch beweisen, deswegen liegt es jetzt noch mal da. Ich werde nicht alle Fälle durcharbeiten, da stecken eine ganze Menge Fälle drin,

die habe ich hier unten, also der Satz, so wie er da steht, ist so ein bisschen sloppy aufgeschrieben, der dient mehr der Erinnerung als der perfekten Referenz. Man kann, also hier sind durchaus auch Grenzwerte im Sinne x gegen Unendlich oder x gegen Minus und Endlich

zugelassen und der ganze Satz ist für x gegen a formuliert, Sie dürfen auch gerne überall x gegen b schreiben. Ich werde in der Sache beweisen, nur im Fall Römisch 1 für x gegen a und für x gegen Minus und Endlich und die anderen Fälle, also die Ersetzung durch b und im Fall Römisch 2,

die lasse ich Ihnen gerne zur analogen Behandlung. Also als erstes will ich mich um den Fall Römisch i kümmern, also bei Zähler und Nenner gehen gegen 0 und der

Grenzwert, den wir betrachten, ist einer x gegen a, wobei a wirklich eine reelle Zahl ist. Wenn das der Fall ist, dann ist der Grenzwert x gegen a von f und von g 0, das heißt, wir können uns f und g einfach durch 0 stetig fortgesetzt denken. Also dann können Sie f und

g auf das Intervall bei a abgeschlossen und bei b offen durch 0 stetig fortsetzen. Das ist nur die Vorbemerkung, weil nachher wird mal f von a dastehen und Sie haben natürlich

von a nach dem Voraussetzungssatz eigentlich gar nicht definiert. Aber weil der Grenzwert eben 0 ist, können wir es durch 0 stetig fortsetzen. So, und was wir jetzt brauchen, ist der verallgemeinerte Mittelwertsatz. Der sagt uns, wenn Sie sich jetzt irgendein x zwischen a und b

hernehmen, man denke x nahe bei a, weil wir wollen ja den Grenzwert x gegen a anschauen, also wir nehmen uns ein x zwischen a und b her, dann gibt es nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz ein Xi, das liegt zwischen a und x. Und wichtig ist für das weitere,

dieses Xi hängt natürlich von x ab, weil wenn Sie ein anderes x nehmen, dann müssen Sie den verallgemeinerten Mittelwertsatz auf einem anderen Intervall anwenden, wenn Sie im Allgemeinen ein anderes Xi kriegen. Und dieses Xi ist so, dass die Form vom verallgemeinerten Mittelwertsatz gilt, also f von x durch g von x. Jetzt können Sie sagen, wie soll ich denn da überhaupt den

Mittelwertsatz anwenden? Für den Mittelwertsatz brauche ich Differenzen, das stimmt. Wenn man keine hat, muss man sich welche bauen. f von a und g von a sind freundlicherweise 0. Also ist f von x durch g von x dasselbe wie f von x minus f von a durch g von x minus g von a, weil f von a und g von a sind 0. So, jetzt steht aber endgültig das da, was man für den

Mittelwertsatz braucht. Und klar machen, die beiden dazu zu mogeln, ist kein Problem, weil sie beide 0 sind. Und jetzt sagt der verallgemeinerte Mittelwertsatz, dass das selbe ist wie f' an der Stelle Xi, g' an der Stelle Xi. Und die wichtige Beobachtung jetzt ist,

wenn Sie jetzt den Grenzwert x gegen a anschauen, dann gilt automatisiert und unausweichlich auch Xi gegen a. Weil das Xi ist zwischen a und x eingeklemmt. Wenn

x gegen a geht, kann das Xi zwar wild springen, es kann für jedes X wo völlig anders liegen, aber es muss mal zwischen a und x liegen. Sandwich Theorien, Xi geht gegen a. So, das heißt, wenn wir jetzt den Grenzwert x gegen a machen, der f von x durch g von x, dann ist das nach der

Überlegung von oben dasselbe wie der Grenzwert x gegen a f' von, ich schreibe jetzt mal wenn x gegen a geht, geht auch Xi gegen a, dementsprechend steht dann hier f' von Xi durch g,

f' von a durch g. Na, das ist schlecht hingeschrieben. Schlecht hingeschrieben,

weil das ist f' und g' tätig, es verlangt keiner. Also das ist der Limous, Xi gegen a, f' von Xi durch g' von Xi und so ist das. Und damit sind wir schon durch. Der Grenzwert,

der uns interessiert, ist der Grenzwert von dem. Warum muss ich jetzt, wenn man sich jetzt überlegt, dann hat dieser Beweis aber massiv darauf gefußt, dass das a gegen das mein Grenzwert gebildet wird eine echte reelle Zahl ist. Weil ich habe zum Beispiel mein f und g

tätig darauf fortgesetzt. Wenn Sie versuchen den Beweis von gerade eben für a gleich minus und endlich zu nehmen, dann steht da plötzlich f' von minus und endlich. Also müssen wir uns was anderes einfallen lassen. Wir müssen irgendwie die minus und endlich ins endliche

holen. Also der zweite Fall den ich behandeln will ist immer noch logisch 1, aber a ist jetzt minus und endlich. Wie holt man sich das minus und endlich ins endliche? Man macht eine Inversion, wir substituieren t ist 1 durch x. Wenn t gleich 1 durch x substituiert, wird der Grenzwert x gegen minus und endlich einer zu x, t geht von 0 gegen nix. Dann

haben wir Grenzwert t gegen 0 und dann haben wir wieder, sind bei ein paar Wasser vom ersten Fall. Also das mache ich, weil wenn x gegen a gleich minus und endlich geht,

dann bedeutet das t geht gegen 0 von nix. So wenn wir die Substitution machen bedeutet das, wir definieren uns eine neue Funktion f Schlange. f Schlange von t ist unsere gegebene Funktion f von 1 durch t und g Schlange von t ist unsere gegebene Funktion

g von 1. Anscheinend hat man damit minus und endlich mit 0 vertauscht. Dann behauptlich können wir mithilfe dessen, was wir im ersten Fall gemacht haben, den Grenzwert

von f Schlange durch g Schlange anschauen. Dazu brauchen wir für den Obital die Ableitung von f Schlange und g Schlange. Wir können ein bisschen Kettenregel üben. Was passiert wenn Sie f Schlange differenzieren? Kriegen Sie nach der Kettenregel erst einmal die äußere Ableitung, das ist das f Strich, an der Stelle 1 durch t, mal die innere

Ableitung. Ableitung von 1 durch t ist minus 1 durch t Quadrat. Gleiches für das g Schlange. g Schlange Strich ist g Strich von 1 durch t mal minus 1 durch t. So, wenn wir das jetzt alles zusammennehmen, dann kriegen wir der Grenzwert t gegen

0 von links von f Schlange Strich von t durch g Schlange Strich von t ist gleich der Grenzwert t gegen 0 von links nach der Rechnung von gerade eben f Strich von

1 durch t mal minus 1 durch t Quadrat durch g Strich von 1 durch t mal minus mal minus 1 durch t Quadrat. Dann sehen Sie, diese minus 1 durch t Quadrate durch die Substitution entstehen sehen hässlich aus, kürzen sich aber gnadenlos weg.

Wir stören uns also nicht weiter. Und was hier übrig bleibt, ist der Grenzwert t gegen 0 von links von f Strich von 1 durch t durch g Strich. So und jetzt die Überlegung von gerade eben. Das ist nichts anderes als der Grenzwert x gegen minus und endlich von f Strich

von x durch g Strich von x. Das ist L und jetzt können wir den ersten Teil bemühen. Was uns

eigentlich interessiert ist der Grenzwert x gegen minus und endlich von f von x durch g von x. Das ist der Grenzwert t gegen 0 von links von f von 1 durch t durch g von 1 durch t. Das

ist der Grenzwert t gegen 0 von links von f Schlange von t durch g Schlange von t. So und jetzt sind wir genau im Fahrwasser von dem ersten Teil, weil wenn f für x gegen minus und endlich

gegen 0 geht und g für x gegen minus und endlich gegen 0, dann geht für t gegen 0 minus f Schlange und g Schlange gegen 0. Wir können also hier den ersten Fall anwenden und kriegen dann raus, dass das gleich ist dem Grenzwert der da oben steht. Also gleich dem Grenzwert t gegen 0 von links f Schlange Strich von t durch d Schlange Strich von t. Der existiert, weil nach Voraussetzung der hier

existiert und ist f. Und damit ist auch der Fall erledigt, den wir vorhin schon angedroht, den Fall Römisch 2 und die Ersetzung b statt a. Das fällt einer gewissen Zeit in Konjunktur zu werden.

Gut, damit haben wir den Obital, der wie gesagt ein äußerst starkes Hilfsmittel ist,

um solche Grenzwerte auszurechnen. Ich hatte ihn am Ende der Vorlesung aber auch gesagt, dass der Obital leider eine Diva ist und genau weiß, dass er ein starkes Hilfsmittel ist, unterfordern Sie ihn. Also bitte nicht, wenn ich Ihnen noch ein Beispiel nenne oder habe ich

in der letzten Vorlesung schon ein Beispiel gezeigt, geben Sie dem Obital bitte keine Grenzwerte zu futtern, die unter seiner Würde sind. Also nichts, was man mit einem normalen Grenzwertsatz lösen könnte. Nix, was nicht in die Kategorie 1 oder 2 fällt. Wenn Sie das tun, ist es fies am Obital, dass der sich nicht beschwert, sondern ihn einfach

mit eiskaltem Lächeln und falschen Ergebnissen hat. Das ist wirklich unfallend. Deswegen muss man da leider selber aufpassen, der warnt einen in keiner Weise. Man könnte ja sagen, dass der dann irgendwie wenigstens irgendwas Sinnloses rausspuckt oder so. Nein, der gibt

ihn einfach eiskalt. Eine 5, wo 4 richtig gewesen wäre, da muss man selber höllisch aufpassen. So, aber jetzt noch ein paar Beispiele von Anwendungen vom Obital, die gut gehen. Die Anwendungen vom Obital, die nicht gut gehen, habe ich Ihnen am Ende der letzten Vorlesung

gezeigt. Also ein Beispiel. Zunächst mal nehmen Sie sich einfach zwei positive reelle Zahlen her, nehmen Sie Ihre Lieblingszahlen und was ich dann suche ist der Grenzwert x gegen Null von rechts A hoch x minus B hoch x. Wenn Sie so einen Grenzwert vor die

Füße kriegen, immer die erste Überlegung, ist es wirklich ein schwieriger Grenzwert, wo sitzt die Schwierigkeit sozusagen. Erst die Physikerinnen und Physikerbrille aufsetzen und mal so eine Klausivitätsbetrachtung machen, was sind die Haupteffekte und

dann kann man auf Mathematikssicht schwenken und die Physikerin wird dann auch auf Mathematikssicht schwenken und dann das Ding konkret und vollständig platt machen. So, was passiert hier, wenn x gegen Null geht? A hoch irgendwas für x gegen Null geht gegen 1, B hoch

x genauso, also der Zähler geht gegen 1 minus 1 gegen Null, der Nenner geht auch gegen Null. Also klassisches Obitalfahrwasser mit Grenzwertsetzen nichts zu machen. Das heißt, wir wenden Obital an auf den Intervall zum Beispiel 0, 1. Die 1 ist völlig egal,

Sie können auch das Intervall 0, 5 nehmen. Sie wollen nur ein Grenzwert gegen Null machen, also die linke Grenze von dem Intervall sollte 0 sein. Die Funktion f

ist der Zähler, also A hoch x minus B hoch x. Die Funktion g im Obital ist der Nenner, also x. So, dann müssen wir mal ein bisschen Voraussetzungen checken, wie man das so normalerweise macht. Also, was ist mit f und g? Die sind beide differenzierbar, das ist okay. Wir hatten die allgemeine Potenzfunktion ja mittlerweile differenziert.

Wir müssen noch checken, dass die Ableitung von dem g nicht Null wird, sonst gibt es in dem Grenzwert da unten gewisse Probleme. Das ist die Ableitung von g ist x, das ist die Ableitung g Strich Konstant 1. Das ist ziemlich wunderbar, nicht Null.

So, also von daher, von der Seite her ist die Anwendung des Obital erlaubt. Jetzt müssen wir noch, also von den Banalvoraussetzungen, jetzt müssen wir schauen, dass wir in einem Fall 1 oder 2 sind. Das haben wir aber gerade schon mündlich gemacht. Also der

Liemes x gegen Null plus vom Zähler, der ist wie gerade schon überlegt Null und der Liemes für x gegen Null vom Nenner, der ist noch einfacher, der ist erst recht Null. Also, wir sind im Fall 1. Jetzt müssen wir noch gucken, dass der Grenzwert über die Ableitungen

existiert. Das kann man jetzt natürlich erst vorher ausrechnen. Die übliche Methode ist, einfach mal den Obital anzusetzen, weil dann muss man ihn eh ausrechnen und dann im Nachhinein zu sagen, okay, hat geklappt. Und wenn es nicht klappt, muss man eh wieder

alles durchstreichen oder zumindest das Blatt in den Altpapier fördern und das nächste Schlühpapier auspacken. Also Liemes x gegen Null plus A hoch x minus B hoch x durch x nach Obital. Wenn er denn existiert, ist das das Gleiche wie der Grenzwert x gegen Null plus von Ableitung Zähler durch Ableitung Nenner. Ableitung Nenner ist der einfache Teil.

Was ist die Ableitung vom Zähler? Da haben wir uns vor, es ist ein, zwei Vorlesungen her, die Ableitung von A hoch x ist bitteschön nicht x mal A hoch x minus 1. Hab ich auch schon in Klausuren gesehen. Nein, das ist die Ableitung von x hoch a. x hoch

a ist a mal x hoch a minus 1. A hoch x war was anderes. Von ihm käme niemand auf die Idee, e hoch x zu differenzieren als x mal e hoch x. Aber bei 2 hoch x werden die Leute kreativ. Gut. Was ist die Ableitung von A hoch x? Das hatten wir in der letzten Vorlesung ausgerannt. Es ist im Wesentlichen wieder A hoch x, aber noch multipliziert

mit Ln von A. Genauso die Ableitung von B hoch x, B hoch x, multipliziert mit Ln von A. So, was passiert jetzt, wenn wir x gegen Null schicken? Dann existiert der Grenzwert wunderbar. Also auch die letzte Voraussetzung vom Obital ist erfüllt.

A hoch Null ist 1. Da steht also Ln von A minus Ln von B durch 1. Das ist nicht gerade der Grenzwert, den man erraten hätte, oder? Das ist eine typische Anwendung von Obital. Wenn man sich jetzt mal die ganze Seite anguckt, die ich hier voll

geschmiert habe, dann gebe ich zu, das war ziemlich viel Schreiberei für einen Grenzwert. Aber im Prinzip ist das das, was man tun muss, wenn man den Satz einhält und muss die Voraussetzung kregen. Ich gebe zu, wenn man das viermal

gemacht hat, schreibt man das nicht mehr so hin. Deswegen mache ich Ihnen jetzt noch ein zweites Beispiel, wo ich die Minimalversion hinschreibe. Also das, was, wenn Sie in einer Klausur oder auf einem Übungsblatt mit Obital arbeiten und das schon zwei, dreimal gemacht haben, das, was minimal da stehen muss, bevor man als Korrektor sagt, nee, zu wenig. Also ein neues

Beispiel für Obital. Was mich interessiert, ist der Grenzwert für x gegen unendlich von Ln von x durch x. Da müssen wir jetzt wieder durchgehen. Das sind beide differenzierbar. Okay, die Ableitung unten ist nicht null und so weiter. Was beim Obital das mögliche Entscheidende ist, ist, dass Sie, wie

gesagt, ausschließen, dass der Obital Sie wieder veräppelt. Sie müssen sicherstellen, dass Sie wirklich einen Grenzwert haben, der sich nicht über Grenzwertsätze lösen muss. Und das ist das, was also minimal dokumentiert sein muss in der Lösung. Also die Minimalversion ist, Sie stellen sich hin und sagen, für x gegen unendlich geht der Zähler gegen unendlich, geht der

Nenner gegen unendlich. Also darf ich Obital anwenden? Obital anwenden heißt, ich leite oben und unten ab. Wenn ich den Ln ableite, kriege ich einen 1 durch x. Wenn ich das x ableite, kriege ich einen 1. Also ist das der Limes x gegen

unendlich von 1 durch x. Also damit können wir in zwei, drei Wochen sind wir damit einverstanden, wenn es so dasteht. Weil ich davon ausgehe, zu überprüfen, dass die Dinge differenzierbar sind. Das haben Sie gemacht, sonst wären Sie nicht auf den Obital gekommen. Aber zumindest dokumentieren, dass

Sie nicht auf die Diva reinfallen. Das müssen Sie machen. So, was übrigens auch okay ist, habe ich jetzt kein Beispiel für, deswegen sage ich es, man kann den Obital auch mehrfach anwenden. Also es kann Ihnen

passieren, dass Sie den Obital anwenden und dann steht hinterher ein Grenzwert da, wo immer noch der Zähler gegen 0 und der Nenner gegen 0 geht. Das ist kein Grund grundsätzlich zu feifeln, sondern Obital sagt, wenn Sie einen Grenzwert haben, wo der Zähler gegen 0 und der Nenner gegen 0 geht, dürfen wir oben und unten ableiten und wenn dann der existiert, dann ist okay. Das heißt, Sie können durchaus Zähler 35 mal und Nenner 35 mal ableiten und

wenn am Schluss ein vernünftiger Grenzwert rauskommt, dann sind die alle gleich. Bitte aber jedes Mal überprüfen, ob Sie den Obital noch anwenden dürfen. Gerade in solchen Situationen passiert es gerne. Man macht Obital, dann steht immer noch oben und unten was, was nicht ganz übersichtlich ist.

Noch ein Obital und noch ein Obital und irgendwann ist dann alles brav und man sieht sofort, was rauskommt und merkt dabei nicht, dass beim vorletzten Obital aber der Zähler plötzlich gegen 0 und der Nenner gegen 5 ging und die Anwendung falsch war. Wie gesagt, dann fallen Sie wieder auf die Diva rein. Vorsicht, Vorsicht an der Stelle. Gut. Was ich Ihnen aber noch zeigen will,

ist ein Beispiel mit ein bisschen, ja, wo man sich noch ein bisschen einen kleinen Trick macht, um Obital zu verwenden und außerdem ist ein wichtiger Grenzwert, der häufiger vorkommt. Wir nehmen Logarithmus von x mal x für x gegen 0, also 0 plus, weil wir können den Logarithmus natürlich nur positiver zahlen. Dann ist die erste Reaktion her und wieso kommt das jetzt bei Obital? Obital behandelt doch Quotienten.

Ja, nun, ein bisschen, ein bisschen mehr Flexibilität, da steht doch im Prinzip ein Quotient. Steht fast ein Quotient. Und wenn man keinen Quotienten hat, muss man sich halt mit Gewalt einen machen. Oder? So, steht da ein Quotient.

Das ist Logarithmus von x durch 1 durch x. Dass das ein guter Quotient für ein Obital ist, sieht man, wenn man jetzt mal x gegen 0 schickt. Was passiert für x gegen 0? Da geht diese Logarithmus hier gegen Minus und ähnlich. Logarithmus für x gegen 0 haut ganz mächtig nach unten ab.

Und das hier geht gegen Plus und Minus. Wunderbarer Fall für Obital. Also hauen wir mal den Obital drauf. Was passiert dann? Kriegen wir ein Limes x gegen 0 von rechts. Der Ln

gegen 1 durch x. Der Zl wird, der Nenner wird auf den ersten Blick komplizierter. Man kann jetzt denken, vielleicht doch keine so gute Idee, aber das Schöne ist, jetzt kann man gut rechnen, wenn man mit Doppelbrüchen umgehen kann. Das ist ein Limes x gegen 0 von rechts von Minus x Quadrat durch x. Also ein Limes x gegen 0 von rechts von Minus x. Das kriegen wir hin, oder?

So. Also der Logarithmus saus zwar für kleine x wahnsinnig gegen Minus und ähnlich, aber wenn Sie ihn mit x multiplizieren, dann können Sie ihn wieder hochziehen, dann kommt Null.

So. Wenn man diesen Grenzwert hat, dann kann ich eine ältere Bringschuld einlösen, nämlich

Ihnen eine zumindest halbwegige Begründung dafür liefern, warum ich am Anfang der Vorlesung mal per Entscheid von oben geschlossen habe, dass das Null hoch Null bitte schön 1 sein soll. Jetzt können wir uns sehen, was die Funktion x hoch x macht, wenn sie x gegen 0 schiebt. Also der Limes

x gegen 0 von rechts von x hoch x. Wenn der existiert, ist das ein vernünftiger Kandidat für 0 hoch 0. Wie ist x hoch x definiert? Allgemeine Potenz e hoch x mal Ln von x. Sehen Sie, warum man den Grenzwert braucht?

Erste Überlegung. Ich weiß, was x mal Ln x ist. Was ist damit e hoch x mal Ln x? Die e-Funktion ist stetig. E-Funktion ist stetig. Das heißt, es ist dasselbe wie e hoch Limes x gegen 0 von rechts x mal Ln von x. Das ist e hoch Null nach dem gerade Gesagten, also 1.

Was das bedeutet ist, wenn es irgendeinen Wert gibt, auf den man 0 hoch Null setzt, dann bitte schön 1. Also 0 hoch Null gleich 0 oder 0 hoch Null gleich 5 macht überhaupt keinen Sinn, weil das nicht passt.

x hoch x geht gegen 0, geht gegen 1, für x gegen 0, also wenn dann 1. Wir werden im zweiten Semester sehen, dass die Definition trotzdem ein bisschen auf tönenden Füßen steht, weil wenn Sie nicht die Funktion x hoch x anschauen, sondern die Funktion x hoch y und x und y beide gegen 0 gehen lassen, dann ist der Grenzwert nicht möglich.

Weil, wegen dieser Rechnung. So, damit haben wir das Kapitel 21 über die Differenziation als solche abgeschlossen, Differenziation eingeführt und so

die wichtigsten, die wichtigsten starken Sätze, die daraus folgen, sagen wir mal die erste Hälfte der wichtigen starken Sätze, die daraus folgen.

Ich will jetzt so einen Abschnitt machen, wo wir uns mal wieder ein bisschen ein paar konkreten Funktionen zuwenden und mit dem, was wir über Differenziation wissen, über die wir was rauskriegen und die konkreten Funktionen, um die es mir jetzt geht, sind die trigonometrisch, also Sinus, Cosinus, Tangents und so weiter.

Davon haben wir bisher noch nicht arg viel gesehen. Wir haben Sinus und Cosinus über Potenzreihen definiert. Wir haben gesehen, Sinus und Cosinus hängen eh mit der Exponentialfunktion zusammen, zumindest wenn man komplex denkt. Und jetzt können wir noch eine ganze Menge mehr über die rausfinden mit dem Ableitungsbegriff. Um das zu tun,

müssen wir uns erstmal Gedanken machen, wie sieht es denn bei Funktionen, die durch Potenzreihen gegeben sind, mit Ableitungen aus? Das ist der erste wesentliche Satz in dem Abschnitt 23, also worum es hier geht, ist

die Ableitung ganz allgemein, die Ableitung von Potenzreihen und dann schauen wir uns ausführlich die trigonometrischen Funktionen. Trigonometrische Funktionen sind die, die in der Trigonometrie, also in der Dreiecksgeometrie in der Rolle spielen. Also gut, aber das erste Entscheidende ist die Frage, wenn Sie eine Funktion

haben, die durch eine Potenzreihe gegeben ist, wie sieht es mit Differenzierungen aus? Man hat ja schon mehrfach gesagt, das Endergebnis ist immer, die schönsten Funktionen sind die, die durch Potenzreihe gegeben sind, die nix schön sind.

Wir können mal davon ausgehen, dass man die differenzieren kann. Das ist per se erstmal nicht klar, weil es sind ja unendliche Reihen, also sei f von x durch eine Potenzreihe gegeben, also Summe n gleich 0 durch unendlich an x hoch n, eine Potenzreihe.

Lassen Sie uns eine nehmen, die eine interessante Funktion liefert, also mit Konvergenzradius größer. Und die schauen wir uns an, auf dem Intervall, auf dem sie auf jeden Fall existiert, auf dem offenen Intervall von minus 1. So, alle im Raum die Physikbrille aufsetzen, Physikerinnen und Physiker fällt das nicht schwer.

Die anderen mal kurz bitte so. Was tut man, wenn man das Ding ableiten will? Geht jetzt halt ab. Was passiert, wenn wir das ableiten?

Dann kommt offensichtlich raus die Funktion. Also der erste Summand b n gleich 0 steht da a 0. Wenn ich a 0 ableite nach x, dann war es das mit dem nach 0. Eine Konstante fällt weg. Der zweite ist a 1 x plus a 2 x². In einem Polynomen können wir alle ableiten.

Was da rauskommt, ist eine Summe jetzt von 1 bis unendlich, weil der erste Summand fällt weg. Über a n mal n mal x hoch n minus 1. Das ist das, was... Die Frage ist jetzt natürlich, jetzt müssen wir die Mathematikbrille aufsetzen und zwar bitte alle.

Wieso dürfen wir das? Das ist nicht klar. Warum ist das nicht klar? Weil was sie jetzt gemacht haben, ist, sie haben zwei Grenzprozesse vertauscht. Sie haben den Grenzprozess von der Summation, von der unendlichen Reihe, vertauscht mit dem Grenzprozess der Differenz der Summe.

Sie haben unter dem Summenzeichen differenziert. Sie haben jeden einzelnen Summanden differenziert. Das ist eine gute Idee. Aber man müsste es schon mal begründen. Weil Vertauschen von Grenzprozessen ist im Allgemeinen falsch. Frage, warum ist es jetzt richtig? Also, sagen wir mal, das ist ein guter Kandidat.

Wir nennen diese Funktion mal erstmal vorsichtig g von x. Noch nicht f'. Später nennen wir sie f'. Aber im Moment nennen wir sie mal g. Dann schauen wir doch erstmal, ob dieses g überhaupt irgendeinen Sinn macht. Und der Teil a von dem Satz sagt, das g ist ein guter Kandidat,

weil ich behaupte, das g hat denselben Konvergenzradius wie das f. Das ist doch schon mal gut. Also überall, wo es das g gibt, gibt es das f, gibt es das g auch. Und zweitens, das ist der zweite Teil von dem Satz. Dieses Vorgehen führt zu etwas Sinnvollem.

Unsere Funktion f ist tatsächlich auf i differenzierbar. Wie gesagt, Potenzreihen sind e 100 hübsch. Und f' ist g. Also f' ist die Summe n gleich 1 bis und endlich n mal a n mal x hoch n minus 1.

Das, was man erwarten würde, wenn man einfach summantenweise oder auch mietweise genannt, mietweise differenziert.

Gut, warum darf man das? Fangen wir an, machen wir erstmal Teil a. Stellen wir mal fest, dass unser Kandidat für die Ableitung der vernünftig auf i definierte Funktion ist. Also sprich, der Konvergenzradius von dem g, also gerade r.

Was müssen wir tun für den Konvergenzradius? Erinnern Sie sich an den Satz von Hadamard. Der Konvergenzradius ist gegeben als der Kehrwert vom Limit superior von der Endenwurze von den Koffizienten.

Der Konvergenzradius ist der Kehrwert vom Limit superior von der Endenwurze von dem was vor dem x hoch n steht. Also von der Endenwurze von Betrag n mal a. So, das ist was?

Das ist der Limit superior. Von der Endenwurze n mal der Endenwurze vom Betrag a. Das ist jetzt Rechenregel für Limit superior. Wenn Sie ein Produkt von zwei Folgen haben, von denen eine konvergent ist, dürfen Sie den Grenzwert vorziehen.

Das ist der Limit n gegen unendlich von Endenwurze n mal der Limit sub von n gegen unendlich von Endenwurze Betrag a. Limit sub ist nicht ganz multiplicativ. Also Limit sub von a, weil b n ist nicht gleich, Limit sub von a, Limit sub von b.

Aber wenn die eine von den beiden konvergent ist, dann geht es. Jetzt steht hier der Kehrwert vom Konvergenzradius von unserem G. Also das rechnen wir erstmal den Limit von n gegen Endenwurze n aus. Das ist 1. Also hier kommt raus der Limit sub von n gegen unendlich von Endenwurze Betrag a n.

So, jetzt steht hier der Kehrwert vom Konvergenzradius von dem G. Und da hinten der Kehrwert vom Konvergenzradius von dem F und die sind gleich. Alles gut, dann sind auch die Werte gleich.

Also das ist genau 1 durch R. Und dann folgt die Behauptung aus dem Hadamard. So, das war a. B. Jetzt kommt die wahre Arbeit. Wir müssen zeigen, unser F ist differenzierbar.

Und wir haben nicht viel, wir müssen nur unser F durch eine Potenzreihe gegeben. Anders formuliert, wir müssen jetzt die Grenzprozesse tauschen. Wir müssen das Grenzwert in die Summe, den Differenzationsgrenzwert, in Differenzprozessen an dem bis unendlich summieren vorbei mogeln.

Was klar ist, solange sie nur endliche Summen bilden, geht das natürlich. Die Polynome ableiten können wir alle. Das Problem ist die unendliche Summation. Das heißt, wir müssen versuchen, uns irgendwie auf endliche Summen zurückzuziehen.

Für endliche Summen ist es okay. So, es gibt wieder ein klassisches 3-Epsilon-Argument. Das braucht ein bisschen Aufwand. So, aber klar ist, wir müssen irgendwie über die endlichen, über die Partialsumme von dem F gehen. Weil von denen wissen wir, wie wir sie ableiten können.

Gehen wir denen mal einen Namen. Also Sn ist die Partialsumme von der Potenzreihe. Also die Summe K gleich 0 bis N, A, K, X hoch K. Und dann brauchen wir noch den reinen Rest. Den nenne ich mal Rn wie Rest. Also alles, was nach der enden Partialsumme kommt. K gleich N plus 1 bis unendlich A, K, X hoch K.

Und das schaue ich mir für jedes N in N an. Dann ist F Sn plus Rn. So, wir wollen das F differenzieren. Das heißt, wir nehmen uns eine Stelle fix in I. Stelle X0, an der wir differenzieren wollen. Die wählen wir fest.

Dann müssen wir uns Differenzenprozente anschauen. Das heißt, wir brauchen F in der Nähe von X0. F von X mit X nah bei X0 bilden. Das geht gut, weil das Intervall von Minus R bis R ist offen. Das heißt, um das X0 ist in beide Richtungen Platz. Diesen Platz, den wir da noch haben, dafür wähle ich mir ein Rho.

Also ich wähle mir eine Zahl Rho, die sich befindet zwischen dem Betrag von X0 und R. Also zum Beispiel den halben Abstand. Also nehmen Sie den Mittelwert von Betrag X0 und R zum Beispiel.

Wenn Sie das machen, dann ist das abgeschlossene Intervall von Minus Rho bis Rho eine Teilmenge von I. Weil das Rho ist ja kleiner als R. Und für alle X in Minus Rho, Rho können Sie jetzt Differenzenprozente angucken.

Naja, nicht ganz, für alle nehmen Sie einen weg. Das X darf nicht X0 sein. Also für alle X zwischen Minus Rho und Rho, die nicht gerade X0 sind, können wir uns Differenzenprozente angucken. Und den müssen wir jetzt kleinkriegen. Was wir zeigen wollen ist, dass der Differenzenprozent von F, also F von X minus F von X0, durch G von X...

Quatsch. Durch X minus X0. Die Zeit des verallgemeinerten Mittelwertsatzes ist vorbei. Also dass dieser Differenzenprozent konvergiert und wir wissen auch schon, gegen was er bitte konvergieren soll.

Er soll nämlich gegen G von X0 gehen. Also schauen wir uns doch mal den Abstand zu G von X0. Jetzt wollen wir, dass für X gegen X0, das Ding gegen 0 geht. Also für jedes Epsilon größer 0 wollen wir ein Delta finden, sodass wenn das X näher als Delta an X0 ist, das da kleiner ist als Epsilon.

Dazu, also das Ziel der ganzen Angelegenheit ist, dass das da gegen 0 geht, der X gegen X0.

Also der ganze Ausdruck der Muskeln. So, was machen wir dazu? Wir verwenden unsere Sn und unsere Rn natürlich. Wir müssen auf endliche Summen runter, wir müssen irgendwie unsere Sn und unsere Rn ins Spiel.

Sn plus Rn ist F. Also können wir mal unser F von X da schreiben, als Sn von X plus Rn von X.

Das Sn von X0 ist dann Sn von X0 minus Rn von X0. Das ganze Zeug wird durch X minus X0 dividiert. Das ist jetzt der Differenzenprozies. Sollen wir das G noch abziehen?

Wenn wir jetzt einfach das G von X0 da abziehen, dann ist immer noch nicht klar, wie hängt der Differenzenprozies mit dem G zusammen. Wir haben aber einen Kandidaten dafür, was das G toll approximieren sollte. Nämlich die Ableitung von der Partialsumme.

Also ich hätte hier hinten gern ein plus Sn von X0 minus G von X0. Ich hätte die Idee, dass wenn N groß wird, dann ist Sn Strich kein Problem.

Sn ist ein Polynom. Und Sn Strich ist die ente Partialsumme von dem G. Also die Hoffnung ist, dass Sn Strich minus G klein wird.

Wenn ich da einen Sn Strich haben will, muss ich es natürlich irgendwo bezahlen. Also machen wir hier minus Sn Strich von X0. So, jetzt machen wir das. Was steht da jetzt alles?

Da steht ein Teil, der ist supergut. Jetzt zerlegen wir uns das in ein paar Teile. Ein Teil, über den man ganz viel weiß, ist, nehmen Sie aus dem Differenzenprozien vorne die Sn's raus. Dann steht da der Differenzenprozien von Sn.

Der Differenzenprozien von Sn minus Sn Strich, das ist doch super, oder? Mein Differenzenprozien von Sn geht gegen Sn Strich, das geht gegen N. Also das ist mal ein erster schöner Term. Sn von X minus Sn von X0 durch X minus X0 minus Sn Strich von X0.

Da können wir ziemlich sicher sein, den haben wir im Griff. Polokolieren wir mal mit, was wir schon alles verarbeitet haben. Die Terme sind weg. So, dann steht da noch ein Differenzenprozien von Rn rum. Den müssen wir uns nachher mal in Ruhe anschauen. Also da steht ein Rn von X minus Rn von X0 durch X minus X0.

Hoffnung ist, wenn N groß macht, wird der Reihenrest klein. Vielleicht wird die auch seine Ableitung klein. Also vielleicht wird die auch der Differenzenprozien klein. Kann man hoffen. So, jetzt haben wir was, jetzt haben wir auch noch den verarbeitet und den.

Jetzt bleibt nur noch das Zeug hinten stehen. Also plus der Abstand von Sn Strich zu X0 minus G von X0, von dem haben wir gerade schon überlegt, der ist wahrscheinlich gut. So, also haben wir ein Term, zwei Terme, drei Terme und die müssen alle klein werden.

Gehen wir sie der Reihe nach durch. Also geben wir uns ein Epsilon größer Null vor. Ziel. Zeige es gibt ein Delta. Sodass wenn X näher als Delta an X0 ist, der ganze Schlorum kleiner als Epsilon ist. Also bitte schön jeder einzelne kleiner als Epsilon Drittel zum Beispiel.

Die Drittel sind wieder kosmetisch. So. Also wir geben uns ein Epsilon größer Null vor. Mein Vorschlag ist, wir fangen mit dem dritten Term an. Das ist der leichteste. Sn Strich von X. Jetzt. Müssen wir ein Polynom differenzieren.

Ist alles gut. Ist Summe von K gleich eins bis N. K a K X hoch K minus eins. Wir wissen. Diese Potenzreihe, die jetzt da steht. Da steht jetzt die Potenzreihe. Da steht ja.

Die Partialsumme von der Potenzreihe von dem G. Wir haben im A Teil gesehen, das G hat Konvergenzradius L. X liegt im Intervall I. Also an der Stelle ist das Ding konvergent. Das heißt, das ist eine Partialsumme von unserem G. Nach dem A Teil.

Also geht nach A. Weil wir im Konvergenzradius sind. Der Limous N gegen unendlich. Sn Strich von X. Der ist genau G von X. Das heißt. Es gibt irgendein Index N1.

Sodass der Abstand von Sn Strich in X Null. Minus G von X Null. Dass der kleiner ist als Epsilon Drittel. Für alle N größer gleich. N1. Das ist einfach diese Konvergenz ausgeschlachtet. Jetzt wissen wir schon mal. Wenn wir das N groß genug wählen.

Ist der letzte Summand der Summand 3 kleiner als Epsilon. Hier mal an den Summanden 2. Da muss man ein bisschen länger arbeiten. Das ist der Differenzenquotient vom Reihenrest. Also Rn von X minus Rn von X Null.

Durch X minus X Null im Betrag. Setzen wir uns mal ein was das ist. Dann ist das gut. Einmal diese 1 Strich X minus X Null. Der Reihenrest an der Stelle X. Also Summe K gleich N plus 1 bis unendlich. Ak X hoch K. Minus der Reihenrest.

K gleich N plus 1 bis unendlich. Ak X Null hoch K. Kann man zusammenfassen. Die 1 Strich X minus X Null Betrag vor. Können wir zusammenfassen. Zu einer Summe von N plus 1 bis X. Das Ak können Sie ausklammern.

Bleibt ein X hoch K minus X Null hoch K. Machen wir noch eine verallgemeinerte Dreiecksungleichung. 1 durch Betrag von X minus X Null bleibt stehen. Mal die Summe K gleich N plus 1 bis unendlich. Betrag Ak mal Betrag X hoch K minus X Null hoch K.

Ich rechne hier Daumen und Endlichen Summen rum. Da darf man ein bisschen misstrauisch sein. Ist aber alles kein Problem. Weil sowohl das X als auch das X Null im Konvergenzbereich der Potenzreihe sind.

Das sind alles absolut konvergente Reihen. Damit kann man hantieren. Weil es absolut konvergente Reihen sind, existiert dann auch nach der verallgemeinen Dreiecksunggleichung der Werte. Wenn da Beträge drin stehen, ist alles definiert. So, jetzt muss man sich wieder überlegen, was ist hier das Tau ziehen. Ich will X gegen X Null schicken.

Dann habe ich vorne den blöden Term 1 durch den Abstand. Der wird natürlich groß. Aber die Summe hinten enthält eben auch diesen Abstand. Und zwar noch im Prinzip zur Potenz K. Nein, nicht den Abstand hoch K,

aber den Abstand von den Kartenpotenzen. Muss man irgendwie dieses X minus X Null rauskürzen. Das ist wieder der Moment, wo wir den schon etwas älteren angestaubten, aber immer wieder nützlich, den Satz 5.2.c ziehen können. Also den dritten Gnomen.

Die unendliche Summe ziehe ich mal nach ganz vorne. Summe K gleich M plus 1 ist unendlich. Dann kommt 1 durch Betrag X minus X Null. Und die Betrag a K. So, und dann können wir

diese Differenz schreiben nach dem 5.2.c, als die Differenz von X minus X Null mal eine lange Summe. So, und das Gute ist jetzt daran,

jetzt kürzt sich das X minus X Null raus. Wir kriegen hier Betrag X minus X Null durch Betrag X minus X Null. Ich will gleich den Betrag noch in die Summe hinten reinziehen.

Deswegen schreibe ich kleiner gleich. Also die Summe, mal Betrag X minus X Null durch Betrag X minus X Null. Der fällt weg. Betrag a K. Und jetzt kommt hier eine Summe J gleich Null bis K minus 1 von Betrag X hoch J X Null Betrag hoch K minus 1.

So, wir wollen, dass das Ding klein wird. Wir können also brav nach oben abschätzen. Machen wir mit kleiner gleich. Sowohl unser X Null, als auch unser X liegen im Intervall von Minus Rho bis Rho.

Also ist Betrag X Null und Betrag X sind beide kleiner gleich Rho. Also schätzen wir die mal beide kleiner gleich Rho ab. Kriegen wir Summe K gleich M plus 1 bis Unendlich. Die ist da vorne, gibt eine 1. Betrag a K. Mal Summe J gleich Null bis K

minus 1. Rho hoch J. Also das da ist kleiner gleich Rho und das da ist kleiner gleich Rho. Gibt ein Rho hoch J mal ein Rho hoch K minus 1 minus J. Gibt ein Rho hoch K minus 1. Oh Wunder! Das hängt überhaupt nicht mehr von J ab. Das heißt, was hier steht, ist die Reihe K gleich M plus 1 bis Unendlich.

Über K mal Betrag a K mal Rho hoch K minus 1. Das ist zunächst mal irgendeine Zahl C N. Wer G des N ist, der soll eine Zahl. Das ist aber nicht nur irgendeine Zahl,

sondern ich behaupte, C N geht gegen Null. Warum geht gegen C N gegen Null? Für N gegen Unendlich? Was da steht, ist der Reihenrest. Der Reihe, die Sie kriegen, wenn Sie in die Potenzreihe von G X gleich Rho setzen. Rho liegt im Konvergenzintervall.

Das Ding ist also eine absolut konvergente Reihe. Das heißt, der Reihenrest geht gegen Null. Das ist der Reihenrest der konvergenten Reihe Summe K gleich

1 bis Unendlich K Betrag a K Rho hoch K minus 1. Also ist der Limes N gegen Unendlich von C N gleich Null.

Das heißt, wir kriegen jetzt das Index N2 in N, sodass dieser Quotient Rn von X minus Rn von X Null durch X minus X Null

kleiner ist als Epsilon drittel für alle N größer gleich Epsilon. C N geht gegen Null, also können Sie das N2 so groß wählen, dass das Ding da kleiner ist als Epsilon.

So, da mussten wir jetzt schon richtig arbeiten. Der erste Summand geht ein bisschen fixer. Haben wir den hier noch? Der Einser

ist der Differenzquotient von dem Sn minus die Ableitung von dem Sn. Sn ist ein Polynom. Die konvergieren natürlich gegeneinander. Jetzt wählen wir zunächst mal unsere N Null.

Sodass der zweite und der dritte sind also das Maximum von N1 und N2. Dann schauen wir uns dieses N Null, das nehmen wir jetzt fix. Für dieses fixe N Null arbeiten wir jetzt und schauen uns die Partialsumme Sn Null an.

Diese Partialsumme Sn Null ist eine differenzierbare Funktion. Ich meine, es ist ein Polynom. Polynom, also differenzierbar. Also wissen wir, für dieses N Null geht dieser Ausdruck 1 gegen Null. Für x gegen x Null. Da steht nichts als der Differenzquotient

von der Funktion minus die Funktion gegen die Ableitung. Also heißt das, es gibt ein Delta größer Null, sodass für alle x, die näher als Delta an x Null liegen, in der Deltaumgebung von x Null,

aber nicht gerade x Null sind, gilt das der Abstand von Sn Null also vom Differenzquotient von Sn Null von x minus Sn Null von x Null durch x minus x Null minus Sn Null Strich von x Null, dass das kleiner ist

als Epsilon drücken. Das ist das Wissen, dass unser Polynom vernünftig differenzierbar ist und gegen seine Ableitung kommt. Und jetzt setzen wir alles zusammen. Im Prinzip steht schon alles da.

Für zuvorgegebenen Epsilon nehmen wir dieses Delta. Also zuvorgegebenen Epsilon bauen wir uns das N1, das N2, daraus kriegen wir ein Null. Für das Null nehmen wir die Approximation von f durch die Partialsumme Sn Null. Für dieses Null nehmen wir das Delta.

Dem Delta geht alles gut. Wenn wir jetzt x in der Deltaumgebung von x Null nehmen, dann kriegen wir das der Abstand vom Differenzquotient von unserem f zu dem g, dass der kleiner gleich ist

als, ich schreibe es mal ein bisschen frech, 1 plus 2 plus 3. Also haben wir vorhin ausgerechnet kleiner gleich dem, wobei überall wo n steht N Null zu schreiben ist. Wir nehmen dieses spezielle N Null. Und die sind kleiner als Epsilon Drittel plus Epsilon Drittel

plus Epsilon. Also haben wir zu jedem Epsilon und Delta gefunden, sodass wenn x näher als Delta an x Null ist, dieser Ausdruck kleiner als Epsilon ist und das heißt nichts anderes als der Grenzwert, Funktionsgrenzwert von f vom Differenzquotient gleich g von x Null.

Also ist f differenzierbar und die Ableitung ist g von x Null. Und alles ist fertig. Sie sehen, wir haben gut gearbeitet. Und ich werde Ihnen dann in der zweiten Hälfte der Vorlesung, na ja nicht ganz Hälfte zeigen, dass diese Arbeit nicht umsonst war, sondern man da ganz ganz viel rausziehen kann. Gut, jetzt erstmal schnell Pause. So, ich würde

dann mal in den zweiten Teil einsteigen. Noch ein Kommentar vielleicht dazu zu dem Beweis und zu dem Satz. Wie schon vorher erwähnt, haben wir jetzt wieder Vertauschbarkeit

von zwei Grenzwerten gezeigt. Der Grenzwert von der Reihe bei der Potenzreihe mit dem der Ableitung. Wir haben gesehen, das geht im Allgemeinen nicht. Wir hatten schon einen einen Bereich, wo es ging.

Das war das Vertauschen der Stetigkeit mit der gleichmäßigen Konvergenz. Wenn man genau hinguckt, steckt genau das hier dahinter. Also was man hier ausnutzt und wenn man den Beweis anguckt, dann ist er auch sehr ähnlich zu diesem Beweis, Stetigkeit mit gleichmäßiger Konvergenz.

Im Wesentlichen haben wir hier nochmal so ein gleichmäßiges Konvergenzargument gemacht. Da steckt eins dahinter. Und zwar über die gleichmäßige Konvergenz von Ableitungen. Den Satz, den man dazu braucht, den mache ich erst wahrscheinlich ganz am Ende des Semesters.

Deswegen läuft man in die Gefahr am Kreislos. Deswegen ist es hier nochmal sauber gemacht. Aber sozusagen für den Überblick oder wenn man Lust hat, sich da genauer reinzudenken. Im Wesentlichen nutzt man hier eine gleichmäßige Konvergenz aus. Und zwar die gleichmäßige

Konvergenz innerhalb des Konvergenzbereichs von Potenzreihen für die Ableitungspotenzreihe. Okay. So, jetzt aber habe ich gesagt, aus dem Satz können wir ganz viel Honig ziehen. Und da will ich jetzt mal mit einer beispielhaften Anwendung,

wofür man diesen Satz brauchen kann, anfangen, die vielleicht nicht ganz auf der Hand liegt. Wir schauen uns eine Potenzreihe an. Eine Funktion, die durch eine Potenzreihe gegeben ist. Die Reihe N gleich 0 bis unendlich minus 1 hoch N x hoch N

durch M plus 1. Was ist das? Das ist die Potenzreihe, die Sie kriegen, wenn Sie die alternierende harmonische Reihe nehmen. Also x minus x quadral halbe plus x hoch 3 drittel minus x hoch 4 viertel und so weiter. Also das ist die

Potenzreihe, der in Koffizienten die alternierende harmonische Reihe ist. Jetzt kann man sich über den Konvergenzradius Gedanken machen. Das mache ich hier, nur indem ich Ihnen sage, was rauskommt. Da kommt 1 raus. Das ist eine relativ einfache Anwendung vom Hadamard. Das ist aber jetzt auch gerade nicht Thema.

Sondern wir schauen uns jetzt an. Wenn der Konvergenzradius 1 ist, dann sagt der Satz, den wir gerade gekriegt haben, solange das x im Betragsmäßig kleiner als 1 ist, dann dürfen wir jetzt wissen wir, diese Funktion ist differenzierbar, wir wissen, was die Ableitung ist. Das Ding ist differenzierbar und wir dürfen tatsächlich

wir hier eine plus 1 haben, so wie es ist. Also das Ding ist differenzierbar und wir wissen, wie wir die Ableitung ausrechnen, nämlich einfach summandenweise.

Differenzieren Sie, jeden summanden einzeln funktioniert. Das ist das, was der Satz oben sagt. Vorsicht, die Summe muss hier immer noch bei 0 anfangen, weil der erste summand jetzt kein konstanter ist. Also was passiert, wenn wir das differenzieren? Die minus 1 hoch n bleibt stehen. Dann kommt ein n plus 1 runter,

geteilt durch n plus 1 von x hoch n. Also was hier übrig bleibt, ist eine Reihe n gleich 0 bis und ähnlich, ich schreibe es mal gleich suggestiv, minus x hoch n. Was haben wir jetzt gewonnen? Wir haben jetzt eine der kostbar und seltenen Reihen Das, was da steht, ist eine geometrische Reihe.

Wenn x betragsmässig kleiner 1 ist, ist auch der Betrag von minus x kleiner als 1. Das ist eine geometrische Reihe. Das Ding können wir explizit ausrechnen. Davon gibt es nicht viele von Reihen, die man explizit ausrechnen kann. Deswegen ist die geometrische Reihe so wertvoll. Also das hier ist ein

1 durch 1 minus x oder einfacher geschrieben 1 durch 1 plus x. Also die Ableitung von unserer Funktion f ist 1 durch 1 plus x, weil wir kennen eine Funktion, der in Ableitung 1 durch 1 plus x ist. Nämlich der Logorhythmus von 1 plus x. Wenn wir den Logorhythmus

von 1 plus x differenzieren, kommt 1 durch 1 plus x mal in der Ableitung 1, also 1 durch 1 plus x raus. So, also auf dem Intervall von minus 1 bis 1 stimmen die beiden Funktionen in ihren Ableitungen überein. Naja, dann wissen wir doch sofort,

was wir machen. Dann wissen wir, die beiden unterscheiden sich nur in einer Konstante. Das war der, wer es wissen will, 22.18b. Also gibt es ein C in R, sodass unsere Funktion f, die durch diese alternierende harmonische Reihepotenzreihe gegeben ist, dasselbe ist wie Ln

von 1 plus x plus dieses C. Und das gilt für alle x zwischen minus 1 und 1. Was ist C? Nichts leichter als das. Es gibt nämlich ein x zwischen minus 1 und 1, für die wir beide Funktionen gut kennen. Nämlich x gleich 0. Was ist mit f von 0? f ist der Logorhythmus

von f von 0, ist diese Potenzreihe. Wenn Sie x gleich 0 setzen, fällt alles weg. Wenn Sie x gleich 0 einsetzen, kommt 0 raus. Was ist mit unserem Logorhythmus? Logorhythmus von 1 plus 0, das Logorhythmus von 1 ist auch 0. Also unterscheiden sich die beiden durch eine

Konstante und sind an einer Stelle gleich. Naja, dann ist die Konstante 0. So, und was wir damit gezeigt haben ist, dank unserem Satz über die Differenziation von Potenzreihen, haben wir eine Potenzreihe darstellendes Logorhythmus gefunden. War ja überhaupt nicht

klar, dass der Logorhythmus überhaupt eine Potenzreihe hat. Und außerdem haben wir sie noch explizit. Das ist wunderbar. Werden wir noch häufiger mal brauchen. Insbesondere braucht man sie immer dann, wenn man den Logorhythmus mal nähern will. Dann nähert man mit der Potenzreihe. Und diese

Potenzreihen-Darstellung vom Logorhythmus ist eben die Reihe, die Sie kriegen, wenn Sie als Vorfaktoren der Potenzreihe, die alternieren, der harmonische Reihe. Und das Ding ist Konvergent für x zwischen minus 1 und 1. Es ist nicht ganz der Logorhythmus, sondern es ist

Logorhythmus von 1 plus x. Aber das ist nicht so schlimm. Damit haben Sie eine Potenzreihen-Darstellung vom Logorhythmus. Setzen Sie y gleich 1 plus x, kriegen Sie vorne y und hinten y minus 1. So. Das Ding hat nur Konvergenzradius 1. Mehr kann es auch nicht haben. Weil der

Konvergenz-Darstellung von der Potenzreihe ist 0. Wenigstens für x gleich minus 1 fliegt Ihnen das Ding um die Ohren. Also ist der Konvergenz-Darstellung der maximal möglich.

Noch ein Kommentar dazu. Die Potenzreihe hier, die konvergiert auch so gerade noch für x gleich 1. Nämlich nach dem Leibniz-Kriterium. Wenn Sie x gleich 1 setzen, steht die alternierende harmonische Reihe. Das ist eine konvergente Reihe. Wenn man jetzt, was ich leider in der

Vorlesung nicht schaffe, noch den ablischen Grenzwertsatz mit hinzuzieht. Der ablische Grenzwertsatz sagt in kurz folgendes. Wenn Sie eine Potenzreihe haben, die an einem Randpunkt konvergiert, dann ist die Funktion, die durch die Konvergenzreihe gegeben ist,

steht. Also dann stimmt dieser konvergente Wert der Potenzreihe auf dem Rand mit der Funktion, die Sie im Inneren darstellen. Dann haben wir jetzt hier eine von den Reihen, die ich einfach in meinem Einführungsvortrag behauptet habe. Wenn Sie mal x gleich 1 setzen, steht

da der Reihenwert der alternierenden harmonischen Reihe ist l n von 2. Das hatte ich damals behauptet. Das haben wir jetzt hier so fast. Es fehlt der ablische Grenzwertsatz. Aber zumindest alle Physikerinnen und Physiker können das sofort glauben. So, das ist eine

Anwendung. Übrigens ein häufiger Trick, den man manchmal doch noch reihenwert ausrechnen kann, den man so auf den ersten Blick nicht ausrechnen kann. Man geht so über solche

Ableitungen und bringt es irgendwie über Ableitungen auf geometrische Reihe und rechnet dann zurück. Nutzt häufiger was. So, zweite Anwendung. Zweite Anwendung von

diesem schönen Satz über Ableitungen und Potenzreihen hatte ich schon schon gesagt.

Wir schauen uns mal unsere trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus an. Das ist jetzt vielleicht nicht so überraschend, aber muss ich ja mal machen. Was ist der Sinus? Zur Erinnerung. Summe von 0 bis unendlich. Wechselnde Vorzeichen durch ungerade Fakultäten

mal ungerade Potenzen von x. Und das Ding müssen wir ableiten. Jetzt ist die Sinus-Reihe auf ganz R, also ab ganz C, aber im Moment wichtig nur auf ganz R. Konvergente Potenz-Reihe,

das heißt wir dürfen da Dix-Summanden-weise ableiten. Was passiert, wenn wir das tun? Dann fällt wieder der erste Summand nicht weg, weil der erste Summand ist ein x. So, die minus 1 hoch n und die 2m plus 1 Fakultäl bleiben als Vorzeichen Vorfaktoren

stehen. Wir dürfen einfach unter dem Summenzeichen differenzieren und wenn wir das x hoch 2m plus 1 differenzieren, bleibt übrig 2m plus 1 mal x hoch 2n. Na ja, da kürzen wir natürlich ganz flott mal ein 2m plus 1 raus. Bleibt die Summe n gleich 0 bis unendlich stehen minus 1 hoch n durch 2n Fakultäl mal x hoch 2n. Und das Ding kennen wir, das ist

genau der Cosinus. Also haben wir rausgefunden, der Sinus ist eine differenzierbare Funktion und seine Ableitung ist genau der Cosinus. Jetzt können Sie das gleich mit dem Cosinus nochmal rückwärts machen und dann kriegen Sie folgendes. Ihr normaler Satz formuliert,

Sinus und Cosinus sind auf r differenzierbar. Wie gesagt, es sind auch auf dc differenzierbar, aber darum kümmern wir uns im dritten Semester. Und die Ableitung vom Sinus ist der Cosinus

und die Ableitung vom Cosinus ist, wenn Sie die gleiche Rechnung machen, minus Sinus Also da springt Ihnen noch ein Minuszeichen mehr raus, aber im wesentlichen ist die gleiche Rechnung. So und wenn man das hat und die Ergebnisse, die wir schon in den letzten Kapiteln über

die Sinus, Cosinus und E-Funktion gesammelt haben, dann kann man jetzt ganz viel über diese Funktion noch sammeln. Also ein Sammelsatz Eigenschaften von Sinus und Cosinus und Hänge zwischen diesen Funktionen. Egal welche reellen Zahlen x und y, Sie nehmen,

es gelten die folgenden Aussagen. Erstens, die Werte vom Sinus für reelle x übersteigen betragsmäßig nie 1 und auch die Werte vom Cosinus liegen für alle x in R zwischen

minus 1 und 1. An der Stelle, im Moment noch völlig egal, aber schon mal ein Vorsicht, irgendwo reinkleben. Der Komplexe Z ist das komplett falsch. Der Sinus wächst auf der imaginären Achse exponentiell an. Der Cosinus auch. Also bitte schön, nicht irgendwann mal

argumentieren, der Sinus ist auf C beschränkt. Das stimmt, wie gesagt, exponentielles Wachstum nur so halb. Stimmt gar. Also in R sind die wunderbar beschränkt. Und dann gilt der sogenannte

trigonometrische Pythagoras, wenn Sie den Sinus von x nehmen und quadrieren und den Cosinus von x nehmen und quadrieren, dann kommt da immer eins raus. Genau, diese komische Schreibweise hier, sehr, sehr eingebürgert, aber vielleicht wer sie noch nicht gesehen hat,

also damit ist gemeint Sinus von x und das ganze Ding quadrieren. Und weil sich viele Leute immer gern diese Klammern darum rumsparen, schreibt man dann manchmal so komisch Sinus quadrat von x. So, dieses Ding hier heißt trigonometrische Pythagoras. Und für alle die, die den noch nicht gesehen haben, kann ich Ihnen diesen komischen Namen einfach

an einem Bild erklären, wobei die Erklärung nur eine anschauliche ist und keine streng mathematische, weil wir ja Sinus und Cosinus im Moment über die Reihen definiert haben und noch überhaupt nicht klar ist, was das mit der Geometrie zu tun hat. Aber wenn Sie mal

Ihr Geometriewissen aus der Schule auspacken und wissen, dass Sinus und Cosinus was mit Winkeln zu tun haben, versuche ich hier mal einen Einheitskreis hinzumalen. Also einen offensichtigen Kreis mit Radius 1. Meistens ist es auf der Tafel immer noch viel

schlimmer als hier. Dann gibt es hier einen Winkel Alpha. Und wenn Sie jetzt hier ein rechtwinkliges Dreieck zumachen, dann erinnern Sie sich vielleicht, dass diese Seite hier Sinus von Alpha lang ist. Also Sinus von Alpha ist die Länge dieser Seite durch

die Länge der Hypotenuse, aber die ist 1. Also ist die Länge dieser Seite Sinus Alpha. Und die Länge dieser Seite hier ist Cosinus von Alpha. Und was dann da steht, ist schlichtweg der Pythagoras für dieses rechtwinklige Dreieck. So, dann was

habe ich noch für schöne Eigenschaften von Sinus und Cosinus? Der Sinus hasst Minuszeichen und spuckt sie aus. Er mag die nicht. Der Cosinus ist ein großer Freund von Minuszeichen und isst sie auch. Also Cosinus von Minus X ist Cosinus X und Sinus von Minus

X ist Minus Sinus von X. So, und dann gibt es die berühmten Formeln für Sinus und Cosinus von Summen ausdrücken. Sinus von X plus Y. Leider ist Sinus keine lineare

Abbildung. Ich meine, dann wäre das einfach. Auch habe ich auch in Klausuren schon gesehen. Aber Sinus ist keine lineare Abbildung. Aber es gibt immerhin noch eine Formel dafür. Sie können Sinus von der Summe X plus Y darstellen durch Sinus von X mal Cosinus von Y plus Sinus von Y mal Cosinus von X. Und genauso den Cosinus von X plus

Y gibt es auch eine Formel. Das ist Cosinus von X mal Cosinus von Y minus der Sinus von X. Die Dinger heißen Additionstheoreme und braucht man oft, wenn man eben mit Sinus

und Cosinus zu tun hat. So, jetzt wollen wir für alles von dem Zeug noch Beweise sehen. Teil 1 ist relativ einfach. Man beachte, es reicht, wenn wir den trigonometrischen

Pythagoras haben. Dann bleibt dem Sinus und dem Cosinus nichts anderes übrig als

zwischen Minus 1 und 1 zu liegen. Wie soll denn bitte Sinus Quadrat plus Cosinus Quadrat 1 geben, wenn Sinus von irgendwas von 25 ist? Quadrate sind im reellen freundlicher Weise nie negativ. Okay, also wir beweisen nur den trigonometrischen Pythagoras.

Und der geht dank neuer Differenziationstechnik sehr gut. Wenn wir nicht differenzieren könnten, was wäre die einzige Chance? Naja, wir müssten den Sinus nehmen, Cochi-Produkt mit sich selber und den Cosinus-Cochi-Produkt mit sich selber. Es gibt zwei eklige Reihen, die noch addieren. Es gibt eine noch eklige Reihe und dann zu sehen, dass das 1 ist.

Da wünsche ich allen viel Spaß. Ich glaube nicht, dass das so einfach geht. Aber mit Differenzieren geht es wunderbar. Wir betrachten die Funktion Sinus Quadrat X plus Cosinus Quadrat X und zeigen, dass die konstant ist, indem wir sie einfach differenzieren und zeigen, die Ableitung ist Null. Also was passiert, wenn wir sie

differenzieren? Der Strich von X ist Kettenregel. Also Sinus Quadrat gibt zweimal den Sinus mal die innere Ableitung. Ableitung vom Sinus, das haben wir gerade festgestellt, ist der Cosinus. Plus Ableitung vom Cosinus Quadrat, Kettenregel, zweimal der Cosinus mal die innere Ableitung. Ableitung vom Cosinus steht hier, ist Minus Sinus,

also steht da zweimal Sincos, Minus zweimal Sincos. Und das gilt für jedes X in R. Jetzt wissen wir also schon mal, Sinus Quadrat plus Cosinus Quadrat ist konstant, warum ist es 1? Dazu reicht es, das Ding an einer Stelle auszurechnen und es gibt eine

Stelle, zu bisher wenigstens eine, wo wir wissen, dass Sinus und Cosinus sind. Nämlich

Sinus steht noch hier oben, Podenzreihe, der ein erster Term X ist, wo das X hoch Null nicht vorkommt. Cosinus steht da auch. Cosinus vor Null hat einen Summanden am Anfang, der 1 ist. Also Cosinus vor Null ist 1. Also steht da Null plus 1 und das ist 1.

Also da steht Null Quadrat plus 1 Quadrat, aber das ist auch 1. Ja, das ist nicht gut. Das stimmt, das stimmt echt extrem selten. Gut, man doch im Nullring, ne? Gut, so,

damit haben wir also E von X ist konstant 1. B Teil, Sinus spuckt Minuszeichen aus.

Warum spuckt Sinus Minuszeichen aus? Das wiederum sieht man am besten an der Podenzreihe. Deswegen ist es immer gut, alle Sichtweisen von den Funktionen dazu haben. Die Podenzreihe vom Sinus von Minus X ist die Reihe über Minus 1 hoch N durch

2M plus 1 Fakultät mal Minus X hoch 2M plus 1. Jetzt ist 2M plus 1 immer ungerade. Eine ungerade Potenz von Minus X ist minus die Potenz von X, ne? Weil in dem Ungerad es gibt Minus 1 hoch 2M plus 1, das ist eine Minus 1. Also das ist Summe N

gleich Null bis unendlich Minus 1 hoch N durch 2M plus 1 Fakultät mal Minus 1 hoch 2M plus 1 mal X hoch 2M plus 1. Und das ist Minus Summe N gleich Null bis unendlich über Minus 1 hoch N durch 2M plus 1 Fakultät mal X hoch 2M plus

1, also Minus X. Geht einfach daran, dass im Sinus nongerade Potenzen vorkommen und dementsprechend spuckt der Sinus das Minuszeichen aus. Beim Cosinus ist es umgekehrt, da tauchen nur gerade Exponenten auf. Die Reihe ist Minus 1 hoch N durch 2M

Fakultät minus X hoch 2M. 2M ist immer gerade, also steht da immer eine gerade Potenz von Minus X, da können Sie das Minuszeichen auch prompt weglassen. Also Minus 1 hoch N durch 2M Fakultät mal X hoch 2M oder anders gesprochen Cosinus von X.

So, C-Teil, Traditionstheorieme, da haben Sie zum Glück schon vorgearbeitet. Siehe was? Neutes Übungsblatt oder sowas, folgt direkt aus der Euler Formel.

Das ist übrigens auch die Methode, wie man sich die am besten merkt. Diese blöden Adidzinskripte können Sie auswendig, aber wenn Sie sie nicht auswendig können, hauen Sie sich nicht in den Kopf, sondern merken Sie sich die Euler Formel. Aus der Euler Formel fallen die sofort raus. Also E hoch I, E hoch I, T ist Cosinus T plus I Sinus T.

Was meine ich damit? Die fallen sofort raus. Seitenbemerkung hat mit dem Beweis hier nichts zu tun. Die Additionstheorieme folgen alle aus. E hoch I, T plus S ist Cosinus von T plus S plus I mal Sinus von T plus S.

Euler Formel. Und jetzt machen Sie auf der linken Seite Potenzrechenregel. Das ist E hoch I, T, E hoch I, S. Und dann können Sie die beiden hier wieder ersetzen

durch Cosinus von T plus I Sinus von T multipliziert mit Cosinus von S plus I Sinus von S. Und da stehen alle Additionstheorieme da. Jetzt vergleichen Sie links und rechts

Imaginär- und Realteile. Dann steht da Cosinus von T plus S und links ist der Realteil Cos T Cos S Minus Sin T Sin S und so weiter. Der Realteil gibt das andere. Der Beweis, der im Script steht, ist ein bisschen anders.

Für die zweite Formel haben Sie es wahrscheinlich genauso gemacht. Kann ich verweisen auf Plat 9 D3D. Ich habe es nochmal nachgeschlagen. Und wenn Sie die eine haben, können Sie die andere

Entweder genauso machen oder wir nutzen noch mal, dass wir ableiten können. Leiten Sie mal die zweite ab. Dann kriegen Sie nämlich die erste Sinus von X plus Y.

Ist nämlich die Ableitung von Cosinus von X plus Y. Jetzt muss man zum ersten Mal, deswegen schreibe ich es jetzt auch noch mal hin, um darauf hinzuweisen, zum zweiten Semester noch viel mehr beschäftigen. Ich will jetzt diesen Ausdruck nach X differenzieren. Da ist es ungeschickt, einen Strich dran zu schreiben.

Was ist damit gemeint? X oder Y? Das ist der Moment, wo man sich daran erinnert, es gab hier mehrere Leute, die es differenzieren empfunden haben und Leibniz hatte auch eine schöne Notation. Dann nimmt man halt die Leibniz-Notation. Die hat den Vorteil, dass sie ganz klipp und klar sagt, nach welcher Variable abgeleitet wird.

Also, wir leiten diesen Ausdruck nach X ab. Überlegen Sie sich, dass da wirklich das Richtige herauskommt. Da steht eine Kettenregel dahinter. Diesen Ausdruck nach X ableiten, gibt äußere Ableitungen minus Sinus von X plus Y mal innere Ableitung 1.

So, jetzt nutzen Sie das Additionstheorien für den Cosinus. Das ist die Ableitung von Cosinus X Cosinus Y minus Sinus X Sinus Y.

Das leiten wir jetzt einfach nach X ab. Einfaches Gut. Ableitung von Cosinus ist Minus Sinus, also Minus Sinus X Cosinus Y. Cosinus Y ist in dem Zusammenhang einfach eine Konstante. Sinus ableiten gibt einen Cosinus minus Cosinus X Sinus Y.

Jetzt können Sie noch alle Minuszeichen wegwerfen und dann steht genau das zweite Additionstheorien da. Sinus ist erste, Sinus X plus Y, Sinus X Cosinus Y plus Sinus Y Cosinus X.

So, jetzt hatten wir diese schöne Eigenschaft B, also aus dem Satz, die ich so ein bisschen veralbert habe als Minuszeichen aus und Cosinus frisst sie. Die kriegt noch einen ordentlichen mathematischen Namen und zwar wieder angelehnt an die entsprechenden Monome, wie wir es auch bewiesen haben.

So eine Funktion, also wenn ich eine Funktion habe, die auf R definiert ist, das können Sie auch hier mit dem Begriff K hinschreiben.

Die nennt man Gerade, wenn sie sich wie ein Gerades Monom, wie ein Polynom mit geraden Exponenten verhält, also so wie der Cosinus, wenn sie Minuszeichen auf ist, wenn für alle x in R gilt, f und minus x ist f und x und wenn

sie sich so wie der Sinus verhält, wie ein x hoch ungerade Potenz, dann nennt man sie ungerade. Also wenn für alle x in R gilt, dass sie Minuszeichen ausspuckt, dass f und minus x gleich minus f und x.

Das einfach nur als Namen für dieses Verhalten, das wir hier in B gesehen haben. Also der Cosinus ist eine gerade Funktion und der Sinus ist ein ungerade Funktion.

Das Ziel ist, Sinus und Cosinus zu verstehen.

Der Nachteil, wenn man Sinus und Cosinus so abstrakt über Potenz rein definiert ist, man hat keine Idee, wie die aussehen. Wenn man sie über Winkel definiert, weiß man, kann man sich was darunter vorstellen, kann aber schlecht damit rechnen. Wenn man sie über Potenz rein definiert, dann kann man wunderbar damit rechnen und ganz viele schöne Eigenschaften beweisen, aber wie die Funktionen aussehen, ist ein bisschen schwierig.

Also arbeiten wir uns da weiter drauf zu und das nächste Ziel ist, sich mal mit den Nullstellen von diesen Funktionen zu beschäftigen. Wir wollen uns ja von Grund auf aufziehen, also müssen wir wissen, was sind die Nullstellen von Sinus und Cosinus.

Das eigentliche Problem ist, sich eine zu verschaffen. Wenn man eine hat, kriegen wir das, dann werden sie schnell sehen, auch alle. Das Problem ist eine, wir brauchen irgendwie eine und an der arbeiten wir uns jetzt ab. So, erste Hilfsaussage, um zu einer Nullstelle zu kommen. Für alle x im offenen Intervall von 0 bis 2 ist der Sinus von x etwas Großes, ist

er nämlich größer als x-x hoch 3 durch 3 Fakultät und das wiederum ist größer als 0. Die zugegebenermaßen in der Mathematik nur wahrscheinlich nur an einer einzigen Stelle eine Rolle spielt und das ist für B,

nämlich für die Behauptung, der Cosinus hat eine kleinste positive Nullstelle. Also, erste Aussage, er hat eine positive Nullstelle, also es gibt eine Zahl größer

0, wo der Cosinus 0 ist und zweiter Teil der Behauptung, es gibt eine kleinste. Das ist nicht selbstverständlich, er könnte zum Beispiel an allen Stellen 1 durch N 0 sein, dann gibt es keine kleinsten.

Also, so, beweisen wir was noch geht, dann machen wir diese komische Abschätzung. Wir geben uns also ein x zwischen 0 und 2 vor und dann müssen wir jetzt

irgendwie rauskitzeln, dass der Sinus größer ist als dieser Ausdruck da und dass dieser Grausdruck positiv ist. Wo kommt dieser Ausdruck her? Wenn Sie die Sinusreihe schon ein, zwei Mal gesehen haben, wird Ihnen auffallen, das sind einfach die ersten zwei Summanden aus der Sinusreihe. Was ich im Prinzip behaupte ist, hier ist das für x zwischen 0 und 2 der Reihenrest

R3, also alles Sinus ab dem dritten Summanden, dass der positive oder negativ ist, dass der positive ist. So, also schauen wir uns mal das an.

Vorübermerkung dafür, wenn x zwischen 0 und 2 ist, dann ist x² kleiner als 4. 4, werden Sie mir hoffentlich zustimmen, ist kleiner als 4n². n ist eine natürliche Zahl.

4n² ist auch noch kleiner als 4n² plus 2n. Und das ist 2n mal 2n plus 1. So, das ist eine bevorratete Abschätzung, die wir gleich brauchen, weil wir uns eben den Anfang der Potenzreihe vom Sinus zusammenbauen wollen.

So, jetzt nehmen wir diese Abschätzung und dividieren die rechte Seite durch, dann steht da x² durch 2n. Durch 2n mal 2n plus 1, das ist immer kleiner als 1.

Jetzt multiplizieren wir diese Ungleichung mit x hoch 2n durch, mit x hoch 2n minus 1, dann steht hier x hoch 2n plus 1 durch, also ich multipliziere diese Gleichung mit x hoch 2n minus 1 durch 2n minus 1 Fakultät.

Sie sehen, ich will mir die Summanden aus der Sinusreihe bauen. So, dann steht hier x hoch 2n plus 1 durch 2n plus 1 Fakultät ist kleiner als x hoch 2n minus 1 durch 2n minus 1 Fakultät.

Was jetzt hier steht ist, ein Summand aus der Sinusreihe, ohne das Vorzeichen, ist immer größer als der danach. Also wenn ich die Vorzeichen vergesse, sind die Summanden in der Sinusreihe monoton fein.

So, was mir noch mehr interessiert ist ihre Differenz, weil so taucht es in der Sinusreihe auf. Also das heißt, x hoch 2n plus 1 durch 2n plus 1 Fakultät minus x hoch 2n plus 1 durch 2n minus 1 durch 2n minus 1 Fakultät, das ist immer kleiner als 0.

Und das gilt für alle natürlichen Zahlen. So, jetzt nehmen wir uns den Sinus her, der ist die Reihe n gleich 0 bis unendlich, minus 1 hoch n durch 2n plus 1 Fakultät mal x hoch 2n plus 1.

Schreiben wir mal den Anfang hin, das ist x minus x hoch 3 durch 3 Fakultät plus x hoch 5 durch 5 Fakultät minus x hoch 7 durch 7 Fakultät plus x hoch 9 durch 9 Fakultät minus x hoch 11 durch 11 Fakultät und so weiter.

Und was wir jetzt hier gezeigt haben, ist, dass jede dieser Klammern hier positiv ist.

Das ist blöd hingeschrieben. Was da unten immer steht ist x hoch ungerade Potenz minus x hoch ungerade Potenz 2 höher. Da oben steht es leider genau umgekehrt, da steht x hoch ungerade Potenz 2 höher minus x hoch ungerade Potenz, das ist negativ, also ist das da unten positiv.

Wenn Sie immer zwei Summanden von der Sinus-Reihe miteinander zusammennehmen, dann ist für x zwischen 0 und 2 jeder dieser agglomerierten Zweierpäckchen positiv. Stimmt natürlich nur für x zwischen 0 und 2, weil nur für die x zwischen 0 und 2 geht diese ominöse Rechnung hier.

Also alle diese Dinge hier sind positiv, insbesondere wenn ich die alle hier hinten weglasse, mache ich die Sache kleiner. Also ist das größer als x minus x hoch 3 durch 3 Fakultät und das ist größer als 0. Damit habe ich meinen A-Teil bewiesen und der war zugegebenermaßen, ist das Ergebnis jetzt nicht besonders spannend.

Das Ergebnis brauchen wir für B und den müssen wir jetzt als Cliffhanger stehen lassen. Das ist 20 nach 1. Ich wünsche Ihnen allen ein schönes Wochenende. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit und bis morgen.