So dann mal ein herzliches Willkommen. Die Technik ist zurzeit gegen uns. Das ist eine neue Entwicklung, aber zum einen macht der Beamer heute Urlaub und zum anderen haben Sie vielleicht auch schon gelesen, gibt es

die Aufzeichnung vom Montag nicht, weil die nach wenigen Minuten irgendeinen internen Fehler produziert hat, aber ihn nicht gemeldet hat. Ob ich es dann noch mal jetzt auch zu einer Nachaufzeichnung schaffe, muss ich gucken, wie es mit

dem Zeitbudget aussieht. Ich habe ein großes Interesse daran, eine vollständige Vorlesung zu haben. Ich meine, das ist ein Wert an sich, wenn eine fehlt, ist doof, aber ich verspreche nicht, dass das jetzt in zwei Tagen passiert. Ja, mit dem Beamer gucken wir mal, also die freundliche Aufzeichnung, sie telefoniert gerade

mit der Multimedia AG vom Rechenzentrum. Schauen wir mal, ob die sich irgendwie blicken lassen. Gut, bis dahin machen wir mal ein bisschen Mathematik. Ich hatte letztes Mal schon gesagt,

das Thema heute wird die Differenziation sein. Zum einen eigentlich ein Thema, wo Sie alle schon mal reingeschnuppert haben und sich was darunter vorstellen können, zum anderen aber auch ganz entscheidend, weil ein ganz wesentliches Thema der Analysis ist. Also sozusagen, wenn man will, das meistverwendete Tool

aus der Analysis in allen Bereichen, wo die verwendet wird, was auch daran liegt, ja, es ist eben ein unglaublich starkes Hilfsmittel und ja, da könnte man jetzt, ich kann jetzt in

drei Viertelstunden geschichtlichen Hintergrund und Bedeutung und sonst was referieren, ich versuche es ganz kurz zu machen. Aber so ein bisschen was erzählen, wie ich dann doch. Differenzieren, ableiten, löst verschiedenste Probleme,

die Erfindung oder der Ruhm, das hingekriegt zu haben, gebührt zwei Leuten zu gleichen Teilen. Dem Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton, beide 17. Jahrhundert, beide nach heutigem Stand der Forschung komplett unabhängig voneinander.

Damals gab es einen ungefähr 40-jährigen, nein, also eigentlich ja, also einen 40-jährigen Plagiatsstreit zwischen den beiden, der die mathematische Community noch auch noch viel länger beschäftigt hat.

Also es war ein langes Schism zwischen den englischen Mathematikern und den kontinentaleuropäischen um die Frage, wer da sozusagen zuerst war. Wenn man sich das heutige Gesicht anguckt, war die Zeit einfach reif. Zwei sehr, sehr große Menschen hatten beide die richtigen Ideen.

Dass es unabhängig voneinander entstanden ist, sieht man in Maßen auch daran, dass die beiden das Problem völlig verschieden angegangen sind. Dementsprechend auch völlig verschiedene Schreibweisen entwickelt haben, auch dessen Nachhall kann man auch heute noch sehen.

Vielleicht kurz, was waren die Motivation oder was war die Fragestellung, die die beiden bewegt hat? Die grundsätzliche Fragestellung hatten schon die alten Griechen, die waren nur ähnlich weit von der Antwort weg. Was auch daran lag, dass die Griechen ein ganz anderes Herangehen an Zahlen und an Mathematik hatten und der Begriff der Unendigkeit schlichtweg verboten war.

Und differenzieren ohne den Begriff der Unendigkeit ist schwierig. Das Problem hatten auch Leibniz und Newton. Im Prinzip ist alles, was die produziert haben, schwarze Magie, weil der Begriff der Unendigkeit damals noch nicht sauber genug war.

Und erst später Leute wie Lagrange oder dann endgültig Weierstraße haben das Ganze auf ein vernünftiges Fundament geführt, weil dann erst der Grenzwertbegriff da war. Der Grenzwertbegriff kam 300 Jahre nach dem Ableiten. Und insofern ist es noch beeindruckender, wie die das damals hingekriegt haben.

Vielleicht fange ich an mit der Einkleidung, mit der Newton sich beschäftigt hat. Newton ist das ganze Problem physikalisch angegangen, dessen Frage war das uralte Problem der momentaren Geschwindigkeit.

Wenn ich ein Teilchen habe, das sich bewegt, dann kann ich mir einen Raum-Zeit-Diagramm machen oder ich kann auch messen. Also zum Zeitpunkt t ist das Teilchen an dem Punkt x, wenn es zum Zeitpunkt t gleich 0 irgendwie hier startet, dann kann das Teilchen hier fliegen.

Wenn ich jetzt wissen will, wie schnell das Ding ist, dann mache ich das, was hier die Polizei Radarfalle macht, ich mess. Was ich messe, ist immer, ich nehme mir ein Stück Weg, zwei Messpunkte und schaue wie lang das Teilchen für dieses Zeitintervall hier braucht.

Und dann teile ich Zeitintervall durch Zeitintervall, dann habe ich die Geschwindigkeit, aber was ich damit ausrechne, ist eine Durchschnittsgeschwindigkeit. Die Durchschnittsgeschwindigkeit auf diesem Stückchen. Das ist der Radarfalle Schnurzpiepe, das ist eine Durchschnittsgeschwindigkeit auf 30 cm ausrechnet,

weil so wahnsinnig schnell beschleunigt oder bremst so ein Auto nicht. Aber im Prinzip, wenn man es idealistisch betrachtet, ist es keine Momentangeschwindigkeit, sondern Durchschnittsgeschwindigkeit. Und mit jeder Messung wird man immer nur eine Durchschnittsgeschwindigkeit ausrechnen. Und das Problem an der Momentangeschwindigkeit ist, ja aus heutiger Sicht, man muss einen Grenzwert bilden.

Aus damaliger Sicht, es fehlt einem eine Information. Momentangeschwindigkeit heißt, ich bin an dem Punkt x und wir wissen, wie schnell fliegt das Teilchen hier. Und dazu muss ich, das führt auf die leibnizsche Fragestellung, was ich machen muss, ich muss an diese Kurve die Tangente konstruieren.

Und um die Tangente zu konstruieren, brauche ich, wie man irgendeiner Graden braucht, einen Punkt und eine Steigung. Na ja, den Punkt habe ich, das ist nicht das Problem, das Problem ist die Steigung. Und dafür fehlt eine Information. Klar, weil nur daraus, was der Funktionswert ist, kann man die Steigung nicht bestimmen, da muss man gucken, was die Funktion drumherum macht, und dann muss man jetzt.

Juttens Anschauung war eine physikalische, Leibniz Anschauung war eine geometrische. Leibniz hat dieses Problem der Tangente. Er hat versucht, Tangente an Kurven zu konstruieren, an beliebige Kurven. Tangente eine Parabel und einen Kreis, das konnten schon die kriegen,

aber eine beliebige Kurve ist kompliziert. Und je nachdem, wie sie sich das angeguckt haben, haben sie völlig verschiedene Methoden entwickelt, die beide aufs Differenzieren führen. Sie haben auch beide erkannt, wo wir auch noch hinkommen werden, dass man, wenn man das Differenzierproblem oder dieses Problem der momentaren Geschwindigkeit beziehungsweise der Tangente gelöst hat,

dass man dann auch das Problem der Flächenbestimmung unter der Kurve, sprich das Integral in der Tasche hat. Da kommen wir auch noch hin. Und was ich Ihnen jetzt also zeigen will, ist weder Newton noch Leibniz, weil die haben viel auf Latein und in allen möglichen Absurditäten formuliert.

Da stehen nicht viele Gleichungen in den Büchern. Und insbesondere ist, wie gesagt, das, was die gemacht haben, mathematisch komplett unrigoros, weil sie es nicht aufschreiben konnten, ohne Grenzwert. Wir können es heute mit Grenzwert aufschreiben, wir können es rigoros machen. Das wollen wir jetzt tun. In dem ganzen Abschnitt schaue ich mir Funktionen auf einem Intervall an.

Intervall in R. Wie überhaupt? Die ganze Debatte mit Funktionen auf Teilmengen von C für diesen Abschnitt nicht stattfindet. Differenziation ableiten auf C, also für Funktionen, die auf C definiert sind.

Fühlt sich völlig anders an als auf R. Es ist im Prinzip die gleiche Definition, führt aber zu einem völlig anderen Begriff. Das ist ein ganz spannender Effekt. Werden wir uns im dritten Semester ausführlich mit rumschlagen. Differenziation von Funktionen auf C nennt sich im deutschen Funktionentheorie. Und das ist der Titel der halben Analysis 3.

Also im Moment nur Funktionen, die auf R definiert sind. Durchaus mit Werten in C, das ist wurscht. Aber die Variable x ist ab jetzt nur in R. So. Und dann ist nach, naja, jetzt 500 Jahre nach, nach 450 Jahren nach Leibniz und Newton

das Ganze zu einer einfachen Definition zusammengeschnurrt, wo man einen Grenzwert bilden muss. Was müssen wir tun? Wir suchen, wenn wir das Leibniz sehen, an den Grafen unserer Funktion f, die Tangente an einem Punkt, die Deigung an einem Punkt.

Und die Idee ist, wir können Durchschnittsgeschwindigkeiten ausrechnen, also nicht Tangente, aber sie Kanten bilden. Also wir können uns noch einen zweiten Punkt hernehmen. Wenn hier x0 ist, nehmen Sie noch einen Punkt x her.

Dann können Sie die Tangente nähern, so wie das die Radarfalle tut, indem Sie jetzt diese beiden Punkte x f von x und x0 f von x0 nehmen. Die beiden legen eine Gerade eindeutig fest. Die legen Sie da durch. Das ist natürlich nicht die Tangente,

aber es ist eine gute Approximation der Tangente, hoffentlich. Jetzt lassen Sie x gegen x0 gehen. Und rechnen für jedes x und x0 die Steigung dieser Graden aus. Dann lassen Sie x gegen x0 gehen. Wenn dieser Grenzwert existiert, dann sagen wir, dieser Grenzwert ist die Steigung der Tangente.

Also wir geben uns ein x0 im Intervall i vor. Und wir sagen, eine Funktion auf i mit Werten in K ist an dieser Stelle x0 differenzierbar,

wenn eben diese Idee funktioniert, über die Näherungstangenten die Tangentensteigung zu bestimmen. Was ist jetzt die Steigung von dieser blauen Gerade, die gerade durch x f von x und x0 f von x0

Steigungsdreieck dran legen. Und dann kriegt man raus, die Steigung dieser Sekanten, dieser blauen Geraden, ist die Differenz der Funktionswerte f von x minus f von x0 durch die Differenz der Argumente durch x minus x0. Und jetzt bilden wir den Grenzwert x gegen x0.

Der muss nicht existieren, der wird auch im Allgemeinen nicht existieren. Aber wenn er existiert, dann nennen wir die Funktion differenzierbar. Und dann heißt dieser Wert, der heißt dann Ableitung von f in x0.

Ich nehme nicht an, dass ich jetzt den meisten von Ihnen mit etwas Neues erzähle, aber das ist ja auch mal ganz süß. Und die Notation kennen Sie auch. Man schreibt für diesen Grenzwert dann üblich die Weise f Strich von x0.

Waren wir mal vielleicht für die Einordnung. Wenn wir f Strich von x0 schreiben, folgen wir damit Joseph-Louis Lagrange, der hat diese Notation eingeführt. Leibniz hat das, was die Physiker heute noch oft machen, Punkt geschrieben. Leibniz hat für die Ableitung, der hat mit dem Wegzeitdiagramm angefangen, x von t.

So wie es da oben steht. Zu jedem Zeitpunkt t ist das Teilchen am Punkt x von t. Und die Ableitung war dann x Punkt von t. Und die zweite Ableitung, x Punkt von t. Leibniz hat wieder anders notiert. Leibniz hat in Infinitesimalen gedacht, in unendlich kleinen Zahlen.

Und der hat dann sowas geschrieben wie unendlich kleiner f Inkrement durch unendlich kleines x Inkrement. Auch die Notation gibt es heute noch. Das ist die Leibniz-Notation. Werden wir im zweiten Semester viel sehen.

Also das wäre Leibniz-Ableitung von f nach x. Was da unten steht, ist Lagrange-Notation. Und Newton wäre f Punkt. Und man sieht, noch heute sind sozusagen beide Varianten weit verbreitet. Also diese zwei Leute finden gleichzeitig dasselbe.

Hat bis heute Nachwirkung. So, jetzt haben wir differenzierbar in einem Punkt. Wenn f in allen x null differenzierbar ist auf einem Intervall. In allen x null aus i differenzierbar. Dann sagt man oft auch kurz, das Ding ist auf i differenzierbar.

Dann heißt f auf dem Intervall i differenzierbar. Das ist nur eine Kurzsprechweise, wie bei Städtigkeit auch. Für differenzierbar in jeder Stelle. Einerseits ist das nur eine Kurzsprechweise.

Andererseits bietet das eine tolle Gelegenheit. Denn wenn so eine Funktion auf dem Intervall i differenzierbar ist, dann haben wir jetzt natürlich an jedem Punkt x null eine Ableitung. Also für jeden Punkt x null gibt es ein f Strich von x null. Und damit wird eine neue Funktion definiert. Also wenn so eine Funktion auf dem Intervall i differenzierbar ist,

dann kriegen wir eine neue Funktion. Die Ableitungsfunktion notiert als f Strich. Funktion auf i mit Werten in k. x wird abgebildet auf das entsprechende f Strich von x. Das ist die sogenannte Ableitungsfunktion.

Und wenn man damit oft zu tun hat, lässt man das Funktion auch gerne mal weg. Und nennt das einfach nur die Ableitung. Gut, auch das wahrscheinlich nichts Grundlegendes Neues. Wenn es um Differenzieren geht, um Ableiten, steht also dieser Grenzwert hier im Mittelpunkt.

Das ist der Hauptdarsteller der nächsten Vorlesung. Der sogenannte Grenzwert des Differenzenquotients. Also das, was da hinten steht, nennt man ein Differenzenquotient, weil es ein Quotient von zwei Differenzen ist. Ganz unkreativ.

Mit dem muss man viel handwerken. Insofern ist es gut, wenn man den ein bisschen von links und von rechts betrachtet und ein bisschen umformuliert. Es gibt noch eine zweite, einen äquivalenten Grenzwert, wo man einfach nur die Sache anders anschaut. Wenn Sie mal die Differenz zwischen x und x0 mit h bezeichnen,

dann kann man diesen Grenzwert äquivalent sehen. Einerseits kann man ihn sehen, als das x geht gegen x0. Andererseits kann man ihn sehen, als wir haben das x0, das ist fix.

Und jetzt wackeln wir an dem x0 ein bisschen. Das bisschen wackeln ist das h. Das h sagt, wie weit mein x vom x0 weg ist. Und dann kriegen Sie einen äquivalenten Grenzwert, wenn Sie jetzt das Wackeln gegen 0 schicken. Also wenn Sie h gegen 0 schicken. Also das f' von x0 ist auch der Grenzwert wackeln gegen 0.

Jetzt muss man halt x ist x0 plus h. Also f von x0 plus h minus f von x0 durch h. Das ist im Wesentlichen nur in diesem Grenzwert da drüben eben x gleich x0 plus h gesetzt. Aber es ist gleichzeitig ein bisschen ein Verschieben der Perspektive, das ganz gut ist.

Weil so ist es gut, sich Differenziation oder diesen Grenzwert des Differenzenquotienten auch vorzustellen. Was man sich anschaut ist, wie stark ändert sich das f, wenn ich um ein kleines bisschen h wacke, relativ zu dem h.

Das ist sozusagen Maß für das relative Wachstum von f. Und das ist dann eben was auf die Steigung führt. So, damit haben wir im Prinzip definiert, was eine Ableitung ist.

Dann kann man sich jetzt natürlich fragen, im ersten Moment ist das eine sinnvolle Definition. Gibt es überhaupt Funktionen, für die dieser Grenzwert existiert? Also fängt man mal an mit einfachen Funktionen rumzuspielen.

Also Beispiel 223. Was gibt es für einfache Funktionen, die man versuchen könnte zu differenzieren? Na ja, das einfachste, was einem erstmal einfällt, ist eine Konstante. Es passiert, wenn Sie eine konstante Funktion haben, also c ist irgendeine komplexe oder reelle Zahl.

Eine konstante Funktion. Wenn wir mit der Einkleidung losgehen oder mit der Anschauung, die dahinter steckt, und es ist auch immer gut, so eine Anschauung im Kopf zu haben. Das sage ich jetzt insbesondere den Mathematikerinnen und Mathematikern.

Die Physiker haben das von selber. Was bedeutet f und x gleich c? Das heißt mein Teilchen, wenn ich mit dem Newtonischen Bild denke, bleibt auf der Stelle c stehen. Die Ableitung entspricht der Geschwindigkeit. Die Ableitung ist immer die Geschwindigkeit eines Teilchens. Die Ableitung ist die Ableitung vom Ort des Teilchens, die Geschwindigkeit.

Was ist die Geschwindigkeit, wenn das Teilchen rumsitzt? 0. Also muss da bitte schön 0 rauskommen. Was passiert? Es passiert natürlich auch, da verrate ich Ihnen auch sicher nichts Neues, dass die Ableitung von der Konstante 0 ist.

Aber vielleicht kann ich den Mathematikerinnen und Mathematikern mitgeben. Es ist immer gut, eine anschauliche Intuition im Kopf zu haben, weil dann versteht man auch kompliziertere Fragen als jetzt, was ist die Ableitung von der Konstante besser. So, was passiert? Wir müssen den Grenzwert vom Differenzenquotienten anschauen.

Naja, wenn f von x und wenn f konstant ist, ist f von x gleich f von x 0 beides c, dann steht hier oben 0. Der Nenner ist immer ungleich 0, wir gucken Grenzwert an, aber der Niemanns von 0, der ist natürlich 0. Also ist dieses f differenzierbar auf ganz i oder auf ganz r.

Und die Ableitung ist 0 für alle x. Ich schmier das jetzt hier noch so ganz furchtbar unten dran, weil mit nur einem Beamer wird das mit den Blättern sonst doof. So, gut. Ein erstes Beispiel von der differenzierbaren Funktion, die konstanten Funktion.

Also was heißt, unendlich viele, wir können schon unendlich viele Funktion differenzieren, das ist doch cool. Gut. So, alle Mitschreiber haben jetzt heute echt gelitten. Oder ich, weil ich hier ewig stehe und warte.

Zweites Beispiel, wir nehmen uns als i wieder ganz r. Wir schauen uns an der Stelle 0 an und als Funktion nehmen wir die Betragsfunktion.

Wofür ist dieses Beispiel da? Dieses Beispiel ist dafür da, der vielleicht, nein sicherlich nicht, aber der theoretisch möglich aufkeimenden Hoffnung, vielleicht existiert der Grenzwert einfach immer, entgegenzutreten. Nein, er existiert nicht immer. Es ist tatsächlich eine Anforderung an die Funktion, dass er existiert.

Was passiert, wenn wir den Betrag an der Stelle 0 anschauen und uns den Differenzenquotienten hernehmen. Also f von x minus f von x 0 durch x minus x 0. Dann ist das Betrag von x minus Betrag von 0 durch x minus 0. Also Betrag von x durch x. Betrag von x durch x ist eine interessante Funktion, die nimmt nur zwei Werte an.

Wenn x positiv ist, steht da x durch x, das ist 1. Genau gesagt, ja. Und wenn x negativ ist, dann ist Betrag von x minus x, dann steht da minus 1. So, wenn Sie jetzt den Grenzwert x gegen 0 angucken wollen, dann wird das schwierig.

Der Grenzwert für x gegen 0, der existiert jetzt nicht, denn wenn Sie sich von links an die 0 nähern, kriegen Sie minus 1 raus. Wenn Sie sich von rechts an die 0 nähern, kommt 1 raus. Und das ist für den Funktionsgrenzwert nicht erlaubt. Das Ding hat linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert, aber die sind verschieden.

Und das heißt, wir haben in dem Fall jetzt das f an der Stelle 0 nicht differenzierbar.

Beispiel an der Nichtdifferenzierbarkeitsstelle. Man beachtet, die Funktion ist trotzdem stetig an der Stelle.

Und das ist kein Zufall. Das ist jetzt, kommt das erste Theorie-Resultat über differenzierbare Funktion. Differenzierbarkeit ist was Stärkeres als Stetigkeit. Aus Differenzierbarkeit folgt immer Stetigkeit. Und zwar, daran sieht man auch schon, Differenzierbarkeit ist eine Anforderung,

sogar eine sehr hohe Anforderung an Funktion. Vielleicht dazu kurz auch aus dem Nähkästchen, ist jetzt eine sehr heuristische Formulierung, aber kann man präzise machen. Was meinen Sie, wenn Sie alle stetigen Funktionen in eine große Kiste packen

und Sie ziehen jetzt aufs gerate Wohl aus den stetigen Funktionen eine raus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ding an einer Stelle differenzierbar ist? An einer Stelle.

Antwort 0. Schlichtweg 0. Die generische stetige Funktion ist nirgends differenzierbar. Das muss man natürlich denen Sinn geben, was heißt eine Wahrscheinlichkeit auf diesen ganzen vielen Funktionen und so. Aber die Menge der differenzierbaren Funktionen ist in der Menge der stetigen Funktionen eine verschwindend kleine Staub.

Ein verschwindend kleiner Teil. Im Prinzip könnte man deswegen sagen, die interessieren überhaupt nicht, weil die gibt es fast gar nicht. Das ist natürlich Quatsch, weil wir machen ja auch Mathematik, um damit irgendwelche Naturphänomene zu beschreiben. Und die Natur ist normalerweise ganz schön freundlich.

Und meistens hat es uns mit differenzierbaren Funktionen zu tun. Aber wenn man es rein mathematisch anschaut, sind differenzierbare Funktionen selbst Funktionen, die nur an einem blöden Punkt differenzierbar sind. Was total unwahrscheinlich selten ist und was total toll ist. Die meisten stetigen Funktionen sind nicht differenzierbar.

Und zwar nirgends. Und wenn Sie das jetzt ätzend finden, dann sind Sie damit in guter Gesellschaft. Also genauso wie die Mathematiker bis ins 18. Jahrhundert rein. Wenn sich Funktionen gesagt haben, sowieso von der stetigen Funktion ausgingen, was anderes konnten Sie sich gar nicht vorstellen. So ging das dann auch weiter.

Das war auch eine der Hauptaktionen von Weierstraß. Da war der ein Missionar, den Leuten klarzumachen. Es gibt ganz schön fiese Funktionen. Weierstraß hat dann selber sich hingesetzt und Beispiele konstruiert. Es gibt das berühmte Weierstraßsche Monster. Das ist eine relativ konkrete Angabe. Das ist eine Potenzreihe, aber eine Potenzreihe hingeschrieben, von der er zeigen konnte, das Ding ist eben stetig.

Einfach, weil es eine Potenzreihe ist, fertig. Aber in keinem Punkt differenzierbar. Das kann man dann nachweisen. Und damit hat er seine Zeitgenossen ganz schön verblüfft, weil die gesagt haben, so einen Quatsch kann es doch gar nicht geben. Heute weiß man mehr. Das ist der Normalfall.

Aber gut, so viel gequatscht. Zurück zum positiven Resultat. Wenn Sie eine Funktion haben, die differenzierbar ist an einer Stelle, dann ist sie dort automatisch stetig.

Also wenn Sie ein X0 aus I stetig ist, differenzierbar ist, dann folgt automatisch Stetigkeit an der Stelle. Der Beweis ist erstaunlich kurz.

Woran man schon sieht, es ist nicht nur ein bisschen stärker als stetig, sondern eine ganze Menge. Man hat viel Platz. Was müssen wir tun? Wir müssen zeigen, dass der Grenzwert, wenn Sie x gegen x0 schicken, von f von x gleich f von x0 ist. Eigentlich ist das, da ist noch eine kleine Nuance dazwischen.

Eigentlich müssten wir uns eine Folge nehmen, xn gegen x0 geht und zeigen f von xn gegen f von x0. Dass das über den Grenzwert mit der Funktion geht, das geht nur, wenn x0 ein Häufungspunkt vom Definitionsbereich ist. Aber das Gute ist, dass wir als Definitionsbereich einen Intervall haben und alle Punkte mit Intervall sind Häufungspunkte.

Deswegen sind wir an der Stelle fein raus. So, wir müssen zeigen, das ist f von x0 und deswegen ziehe ich hier mal f von x0 ab und versuche zu zeigen, dass das nutzt. Die erste Überlegung, die man machen muss, ist der Grenzwert x gegen x0 von f von x0, der ist natürlich f von x0.

Deswegen darf ich das f von x0 auch noch mit hier in die Klammer nehmen. Wenn ich über eine konstante Funktion Grenzwert bilde, tut das nichts. So, jetzt kommt wieder das Übliche. Über diese Differenz wissen wir nicht so viel.

Warum wir das wissen, ist der Differenz in Quotienten. Der Differenz in Quotienten existiert, also müssen wir uns mal einen Differenz in Quotienten bauen. Den baut man sich, indem man mit der richtigen 1 multipliziert. Also das ist Grenzwert x gegen x0 von f von x minus f von x0 durch x minus x0 mal x minus x0.

Das ist jetzt wieder die klassische Multiplizierung mit 1, aber warum? Damit wir Differenz in Quotienten da stehen haben. Was passiert jetzt, wenn wir diesen Grenzwert uns anschauen, dann haben wir jetzt hier ein Produkt von zwei Ausdrücken und beide Grenzwerte existieren. Das Ding hier geht gegen f Strich von x0, weil wir ja vorausgesetzt haben, unser f ist Differenz hier mal an x0.

Und der hier hinten, der ist ja schön, der geht gegen 0. Wenn x gegen x0 geht, dann geht x minus x0 gegen 0. Also geht das Ganze gegen f Strich von x0 mal 0. Das ist für die Schnurz, was f Strich von x0 war, da kommt 0 raus. Und wenn die Differenz da vorne 0 ist, dann ist der Grenzwert x gegen x0 von f von x gleich f von x0.

Und das bedeutet genau Stetigkeit, weil x0 häufig so ist. Dann rechnen wir einfach noch ein paar Ableitungen aus.

Also noch mal ein Beispiel, wobei das Beispiel gut meint, auch noch mal dient dazu zu zeigen, wie man elementar Ableitungen ausrechnen kann. Aber vor allem, mir jetzt dient ein Grundschatz an Funktionen zu kriegen, von denen wir wissen, sie sind differenzierbar und von denen wir auch die Ableitung kennen.

Das erste ist, ich will mich dem Polynomen nähern. Bevor wir uns jetzt gleich ein allgemeines Polynomen hinschreiben und ins Fluchen ausbrechen, fangen wir mal mit etwas leichterem an, nehmen wir mal ein Monom. Also f von x ist x hoch n. Sie dürfen gerne auch mal für ein beliebiges Polynomen versuchen, die Ableitung elementar über den Grenzwert auszurechnen.

Aber beschweren Sie sich nicht bei mir, wenn es lang dauert. Wir lösen das gleich anders. Also, wir schauen uns erstmal nur irgendein x hoch n, ein Monom an. So, was müssen wir tun? Müssen Differenzenquotientchen hinschreiben? Also, wir müssen uns x und x Null in R hernehmen.

Wobei x natürlich nicht x Null ist. Wir wollen schließlich durch x minus x Null teilen. Und dann schauen wir uns die Differenzenquotienten an. Also f von x minus f von x Null durch x minus x Null. So, das ist x hoch n minus x Null hoch n durch x minus x Null.

So, und jetzt müssen Sie sich lang zurück erinnern. Abschnitt 5, Abschnitt 5 2. Satz 5 2. Wir brauchen jetzt nämlich den allgemeinen dritten Binom. x hoch n minus x Null hoch n. Können Sie schreiben als x minus x Null mal eine lange Summe.

Wenn Sie mal ein N gleich 2 im Kopf machen, sehen Sie es sofort. x minus x Null mal x plus x Null. Aber auch für beliebiges N gibt das x minus x Null mal eine lange Summe. Das ist toll, weil das x minus x Null kürzt sich raus. Das ist das, was man immer tun muss bei einem Differenzenquotienten Grenzwert.

So ein Differenzenquotienten Grenzwert ist immer ein Tauzi-Grenzwert. Zähler geht gegen Null, Nenner geht gegen Null. Und was man tun muss, ist das Tauzi-Auflösung. Und so ein x minus x Null rauskürzen ist super, weil das löst das Tauzi-Auflösung. Also das ist jetzt hier 5 2 c. Der dritte Binom für die nte Potenz.

Was da übrig bleibt, ist eine Summe k gleich Null bis n minus 1 über x hoch k. x Null hoch n minus 1 minus k. So und jetzt kann man den Grenzwert x gegen x Null anschauen. Was passiert, wenn Sie jetzt x gegen x Null schicken?

Dann dürfen Sie den Grenzwert, also da kann man sich jeden einzelnen Summanden anschauen. Und feststellen, wenn alle die Grenzwerte in den einzelnen Summanden existieren, dann kann man den Grenzwert in die Summe ziehen. Aber das ist alles nicht kompliziert. Das passiert für x gegen x Null.

x hoch k ist stetig. Also das geht gegen Summe k gleich Null bis N minus 1 über x Null hoch k. Mal x Null hoch n minus 1 minus k. Also das ist eine Summe k gleich Null bis N minus 1 über x Null hoch n minus 1.

Jetzt hängt die Summe von dem k überhaupt nicht mehr ab. Wir addieren n mal den gleichen Summanden auf. Also hier steht n mal x Null hoch n minus 1. Das werden Sie jetzt auch nicht so überraschend finden. Also Monome x hoch n sind differenzierbar und die Ableitung ist n mal x hoch n minus 1.

So, jetzt muss ich wieder irgendwas labbeln, weil ich wieder unblendern muss. Wie gesagt, wir sind jetzt noch ein ganzes Stück von dem Polynomen weg. Wir haben nur Monome. Aber wir werden uns die gleich zusammen basteln.

Der nächste Schritt ist, so wie wir es schon bei Folgengrenzwerten und bei Funktionengrenzwerten bestätigt hatten, wir brauchen möglichst schnell einen guten Baukasten. Wir brauchen einen Satz von der Form, wenn f und g differenzierbar, dann auch die Summe und das Produkt und der Quotient, dass man Regeln hat. Und sobald man diese Rechenregeln hat, können wir uns die Ableitung von

beliebigen Polynomen zusammen basteln aus D. So, aber eine Funktion will ich vorher noch differenzieren, nämlich unsere wichtigste Funktion überhaupt. Auch wieder definiert auf ganz R. Und was wir natürlich uns angucken müssen, ist die Exponentialfunktion.

Auch die ist freundlich genug, dass wir die Ableitung einfach über Differenzenquotient ausrechnen können. Nehmen Sie sich ein beliebiges x Null in R her und irgendein H, das nicht Null ist.

Jetzt will ich die zweite, diese Formulierung mit dem H vom Grenzwert verwenden. Das müssen wir uns anschauen. Den Differenzenquotient f von x Null plus H minus f von x Null geteilt durch H und den Limes für H gegen Null. Also setzen wir die Funktion ein. Das ist ein Grenzwert H gegen Null von E hoch x Null plus H minus E hoch x Null durch H.

So jetzt können wir die Rechenregel für die Exponentialfunktion verwenden.

Das ist E hoch x Null mal E hoch H minus E hoch x Null durch H. Jetzt können Sie in E hoch x Null vorklammern. Und was dann übrig bleibt ist E hoch H minus 1 durch H. Das E hoch x Null können Sie auch vor den Grenzwert ziehen, das ist nun eine Konstante. Und was bleibt dann? Dann bleibt ein Grenzwert H gegen Null von E hoch H minus H eins durch H.

Den haben wir schon angeguckt. Den kennen wir schon. Also genauer gesagt haben wir uns den Grenzwert x gegen Null von E hoch x minus eins durch x angeschaut. Ich hoffe, da sind Sie flexibel genug. Das war im Kapitel über Potenz rein und da haben wir festgestellt, der existiert und ist eins.

Also es kommt hier E hoch x Null mal eins raus, also E hoch x Null. Also ist die Exponentialfunktion differenzierbar auf ganz R und hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie sich selbst als Ableitung hat.

Also mit E Strich von x ist E hoch x, ist E von x. Das ist die einzige Funktion, die das tut. Moment, nein, stimmt nicht. Sie dürfen sie noch mit beliebigen Konstanten multiplizieren. Fünfmal die Exponentialfunktion zusammen. Aber sonst x.

So, also bis auf eine multiplikative Konstante, die einzige, die das tut. So, den nächsten Schritt hatte ich schon angekündigt. Was wir jetzt als nächstes machen sollten und was sich lohnt ist,

jetzt Funktionen, von denen wir wissen, dass sie differenzierbar sind, zusammenzupacken, zu addieren, zu multiplizieren, zu dividieren, zu verketten und was noch alles und festzustellen, wie kann man die Ableitung von dem Produkt der Summe, von der Verkettung ausrechnen, wenn man die Einzelteile kennt. Auch das ist im Servicefall aus der Schule vorangelegt.

Ich werde Ihnen jetzt auch hier nicht viel Neues erzählen können. Das Einzige, was bei mir immer neu ist, aber das ist gut versteckt, ist, dass die Funktionen f und g, die wir anschauen, nicht unbedingt Werte in R haben müssen, sondern auch Werte in C haben können. Aber das liegt nur daran, dass einfach alles genauso durchgeht.

So, also wir geben uns zwei Funktionen f und g vor. Wir setzen voraus, dass die beide differenzierbar an einer Stelle x0 sind. Und dann nehmen wir noch zwei Zahlen alpha und beta her, komplex oder real. Und dann gelten die folgenden Rechenregeln fürs Differenzieren.

Auch das ist wieder die gleiche Idee wie vorher, Baukastenprinzip, wie bei Stetigkeit auch. Wir bauen uns kompliziertere Funktionen aus einfachen zusammen. Das erste ist Linearität der Ableitung. Wenn Sie eine Linearkombination von zwei differenzierbaren Funktionen bilden, also alpha f plus beta g und f und g sind beide differenzierbar an einer Stelle,

dann ist es die Linearkombination auch. Dann ist die auch differenzierbar an x0. Und Ableiten ist eine lineare Abbildung. Also alpha f plus beta g Strich ist alpha f Strich von x0 plus beta g Strich von x0.

Linearität der Ableitung, Ableitung von der Linearkombination ist Linearkombination der Ableitung.

So, zweitens, damit haben wir insbesondere auch Summe und Differenz. Ich hoffe, das ist mittlerweile oft genug erwähnt. Alpha gleich beta gleich eins, gibt die Summe. Alpha gleich eins, beta gleich minus eins, gibt die Differenz von Funktionen. Schauen wir uns das Produkt an. Fürs Produkt ist die Welt auch gut. Wenn f und g differenzierbar sind, dann ist auch f mal g differenzierbar.

Die Rechenregel hier ist die folgende. Wenn Sie das Produkt haben, f und g, und ableiten wollen, dann müssen Sie, auch da erzähle ich Ihnen wahrscheinlich nichts Neues, erst f ableiten an der Stelle x0, multiplizieren mit g und das addieren mit f von x0 mal g Strich von x0.

Das Ganze nennt sich Produktregel. Ein Kommentar dazu noch, ich nehme mal an, wir haben in der Linie an Algebra schon festgestellt, dass es Größen gibt, bei denen die Multiplikation nicht kommutiert.

Also Matriz. Im Moment haben wir hier Funktionen von R nach K. Das heißt f mal g ist dasselbe wie g mal f und alles ist gut. Im nächsten Semester schauen wir uns Funktionen von Rn nach Rm an und differenzieren die, oder von Rn nach Km.

Dann könnten also diese f und g, also könnte f von x für jedes x eine Matrix sein. Und g von x auch. Dann spielt die Reihenfolge eine große Rolle. Deswegen mein Ratschlag, lernen Sie die Produktregel gleich so,

wie ich sie hier hingeschrieben habe. Also f Strich mal g plus f mal g Strich. Und nicht irgendwie, wenn man denkt, ich packe immer die Striche nach vorne, f Strich mal g plus g Strich mal f. Das ist im Moment egal, fällt Ihnen aber nächstes Semester sowas von auf die Füße. Das ist die Reihenfolge, die auch gilt,

wenn f und g nicht kommutieren. Nur so als Vorbieg. So, gleiches gilt für die Quotientenregel. Quotientenregel kennen Sie auch. Frage, wenn f und g differenzierbar sind, was ist für f durch g?

Antwort, die Welt ist gut. Mit der üblichen Vorsichtsmaßnahme, f durch g muss natürlich definiert sein. Dazu müssen Sie verlangen, dass g an der Stelle x0 nicht 0 ist. Das reicht, weil wenn g an der Stelle x0 nicht 0 ist, dann ist, weil g an x0 differenzierbar ist, g an x0 stetig.

Das heißt, Sie finden ein ganzes Intervall um x0 herum, in dem das g von x0 nicht 0 ist. Also dann gibt es ein Intervall, j für eine Menge i, sodass das x0 in j liegt, und das g von x ungleich 0 ist für alle x in j. Das liegt an der Stetigkeit vor g.

Das heißt, f durch g macht zumindest auf j Sinn. Wir können jetzt die Funktion f durch g definieren von j nach k. Ich behaupte, die können wir nicht nur definieren, und die ist nicht nur stetig.

Das wissen wir ja schon. Quotientenverstetigung ist stetig, solange sie nicht durch 0 teilen, sondern sie ist sogar differenzierbar. Die Ableitung von Quotienten an der Stelle x0 ist, und jetzt kommt die Quotientenregel, ist die Ableitung von f an der Stelle x0 mal g von x0

minus f von x0 mal g' von x0 geteilt durch g von x0². So, jetzt kommt, also bis dahin nehme ich mal an,

irgendwie in der Schule schon mal da gestanden. Was jetzt kommt, ist noch ein Punkt, der bei der Schule sicher nicht da, weil jetzt geht es darum, was passiert, wenn wirklich k gleich c ist. Wenn k gleich c ist, also meine Funktion f von x ist komplex,

dann kann man mit dem f noch ein bisschen mehr machen, man kann es dann auch addieren, subtraieren, multiplizieren, dividieren, geht alles mit f und g, aber man kann mit dem f dann auch noch zum Beispiel den Realteil bilden, oder man kann es konjugieren. Hier sieht es aus mit f quer. Wenn f differenzierbar ist, was ist mit f quer?

Dann kann man sich schon vorstellen, queeren ist nicht so wahnsinnig tiefsinnig, da wird einfach nur das Vorzeichen vom Imaginärteil herumgedreht, das sollte dem Differenzieren nicht viel kaputt machen, und so ist es auch.

Deswegen jetzt also hier, was passiert, wenn ich quere oder real teilnehme? Also wenn tatsächlich der Körper k der Körper der komplexen Zahlen ist, dann behaupte ich die Funktion f quer, das ist jetzt eine Funktion von i nach c,

und die Funktion realteil von f und imaginärteil von f als Funktion von i nach r, sind auch jeweils alle differenzierbar in x0, und es gelten intuitive Formeln, also die Ableitung von f quer an der Stelle x0

ist das quer von der Ableitung, die Ableitung vom realteil von f ist der realteil von der Ableitung von f, und die Ableitung vom imaginärteil von f ist der imaginärteil von der Ableitung von f,

so wie man es sich erhoffen würde, wenn man es sich erträumen darf. Jetzt muss man das alles beweisen,

freundlicherweise sieht man schon fast nichts, wenn man es beweisen muss. Von den drei Standard Ableitungsregeln, Linearität, Produkt- und Quotientenregeln will ich nur eine machen, es geht alles lang, und dafür mache ich die komplizierteste und überlasse Ihnen die beiden anderen,

also ich beweise Ihnen nur die Quotientenregeln und auch den Beweis von dem Detail, weil ich ihn als Übungsaufgabe lasse, also an der Stelle nur ein Beweis von C, das war die Quotientenregel. Gut, aber jetzt haben wir genau eine halbe Vorlesung hinter uns, vielleicht ein guter Moment, kurz Pause zu machen,

und dann beweisen wir die Quotientenregel nach der Pause. So, dann würde ich, ja ja, eine gute Pause gewesen. Dann machen wir uns einen Beweis der Quotientenregel, die man da drüben nicht mehr sieht.

Also was müssen wir tun? Für die Quotientenregel zwei Dinge. Die erste Behauptung war, wenn g an der Stelle x0 nicht 0 ist, dann finden wir einen ganzen Intervall um x0, wo g nicht 0 ist, sodass wir differenzieren können, und dann müssen wir die Quotientenregel beweisen.

Dass wir das Intervall finden, liegt gar nicht explizit an der Differenzierbarkeit, sondern an der Stetigkeit. Also g ist in x0 differenzierbar nach Voraussetzung. Also insbesondere stetig hatten wir vorhin. Die Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit.

Und stetig bedeutet nun, wir wissen, es gibt, das g von x0 ist nicht 0, also ist Betrag g von x0 strikt positiv. Jetzt nehme ich Betrag g von x0 halbe, das ist immer noch strikt positiv.

Und das nehme ich als Epsilon. In Stetigkeit über die Epsilon-Delta-Formulierung liefert mir zu diesem Epsilon ein Delta. Also gibt es ein Delta größer 0, sodass für alle x, die näher als Delta an x0 liegen,

und gleichzeitig in I, also in I Schnitt x0 minus Delta x0 plus Delta. Also alle x, die näher als Delta an x0 liegen, gilt, dass f von x näher als Epsilon an f von x0 liegt. Also dass der Abstand, genau seit g, der Abstand von g von x zu g von x0 kleiner ist als Epsilon. Wie gesagt, als Epsilon

nehme ich g von Betrag x0 halbe. g von x0 Betrag halbe ist größer 0, weil g von x0 nicht 0 ist. Das nehme ich als Epsilon. Und dazu kriege ich Stetigkeitsdelta. So, und dieses Intervall hier, das ist mein j.

Warum ist das ein gutes j? Ich habe ja behauptet, ich finde ein j, auf dem das g grundsätzlich keine Nullstelle hat. Und ich behaupte, auf diesem j hat das g keine Nullstelle. Warum? Wenn Sie ein x in j hernehmen, dann ist das g von x von dem g von x0

allerhöchstens die Hälfte des Betrages weg. Na ja, damit hat es noch einen Sicherheitsabstand von der Null von Betrag g von x0 halbe. Und das ist strikt positiv. Und damit ist insbesondere betrag g von x nicht 0. So, also können wir jetzt

auf diesem Intervall j die Funktion f durch g betrachten und dann den Differenzenquotienten anschauen. Was wir ja haben wollen, ist die Ableitung von f durch g an der Stelle x0. Das heißt, wir müssen uns den Differenzenquotient von f durch g anschauen.

Und dann schreiben wir den halt mal hin. Differenzenquotient von f durch g ist f durch g an der Stelle x. Also f von x durch g von x minus f von g an der Stelle x0. Also f von x0 durch g von x0. Und das alles geteilt durch x minus x0. Sieht doch sehr schön und vertrauenserweckend aus. Kleiner Doppelbruch.

Und jetzt das Ganze wieder noch grenzwertig gegen x0. Gut. Da hilft nur einmal hochkrempeln und loslegen. Tun wir erst mal den Doppelbruch auflösen. Indem wir oben auf den Hauptnenner gehen. Hauptnenner ist g von x mal g von x0. Dann steht da g von x0 f von x

minus g von x f von x0 geteilt durch x minus x0. Ziel ist, Grenzwert x gegen x0 laufen zu lassen. Wenn Sie das jetzt probieren, können Sie vergessen, kommt oben 0 und unten 0 raus. Wir müssen erst mal das Tauzinn auflösen.

Und im Wesentlichen müssen wir das Ganze natürlich, weil ja nach der Ableitung von f und g auftauchen sollen, irgendwie so reduzieren, dass da Differenzenkonzerten von f und g da stehen. Für Differenzenkonzerten von f und g schon mal gut ist das x minus x0 da unten. Blöd ist, dass da oben Produkte von g und f stehen. Da würde man gerne irgendwie ein f und ein g isolieren,

sprich irgendwie g oder f ausklammern. Geht aber nicht, weil da oben ist nichts zum Ausklammern. Hast du keins, mach dir eins. Wir müssen uns irgendwie was besorgen, womit wir ausklammern können. Also müssen wir die richtige 0 einfügen.

Da haben wir jetzt ein bisschen Spielraum, aber eine mögliche richtige 0 ist die folgende. Wir übernehmen das g von x0 mal f von x. Und jetzt ziehen wir das Produkt g von x0 mal f von x0 ab. Und addieren es wieder dazu. Zu groß geschrieben. Minus g von x mal f von x0.

Und das Ganze durch x minus x. Also nur eine nahe Hafte 0 addiert. Aber der Vorteil von dieser nahe Hafte 0 ist, Sie können jetzt bei den ersten beiden Termen zähler g von x0 ausklammern und bei den hinteren f von x0.

Wenn Sie schon nicht kommunitativ denken wollen, klammern Sie oben g von x0 nach links aus und f von x0 nach rechts. Dann bleibt übrig. Irgendwas habe ich jetzt vergessen. Wieso schreit denn kein? Ah, da ist schon eine Hand.

Ich mache es einfach gleich weg. Ich kann alles nochmal schreiben ab hier. Ah, das war zu viel weg. Weil wenn man nämlich was auf den Hauptnenner bringt, dann muss man den Hauptnenner auch hinschreiben. Richtig? Alte Weisheit.

So, jetzt machen wir erstmal noch wieder die Linie. Also wir bringen das auf den Hauptnenner. Diesmal richtig. f von x mal g von x0.

Minus g von x0 mal f von x. g von x mal f von x0 durch den Hauptnenner. Nee, geteilt durch x minus x0. Wir hätten so eine schön einfache Quotientenregel gekriegt.

So, jetzt machen wir da mal einen Bruch draus. Also f von x, g von x0. Minus g von x, f von x0. Geteilt durch g von x, g von x0. Mal x minus x0. So, jetzt sind wir wieder im Fahrrad.

Ich habe da oben schon die lange Lücke gelassen für die nachhafte Null, die jetzt kommt. Motiviert habe ich sie ja schon. Also da kommt jetzt dazu. Minus f von x0, g von x0. Plus f von x0, g von x0. So, dann kommt die Ausklammerei.

Diesen Ausdruck 1 durch g von x, 2 g von x0. Den nehmen wir mal ganz nach vorne. Damit wir unten schön das x minus x0 stehen haben. So, dann können wir in den ersten beiden Summanden

oder in der ersten Differenz oben in g von x0 ausklammern. Dann steht da f von x, minus f von x0. Durch x minus x0, mal g von x0.

Das waren jetzt die beiden Summanden hier. Jetzt die hinteren beiden Summanden. Da können sie in f von x0 ausklammern. Und es bleibt übrig in g von x0, minus g von x, durch x minus x0.

So, und jetzt ist man an der Stelle, wo wir wunderbar, nein, noch nicht ganz. Wenn wir jetzt x gegen x0 gehen lassen, dann ist alles gut. Vorne, g ist stetig in x0, und g von x0 ist nicht 0. Also geht 1 durch g von x gegen 1 durch g von x0.

Dann steht da ein Differenzquotient von f. Wunderbar, der konvergiert. Der hinten steht zu 99,9 Prozent ein Differenzquotient von g. Wir haben nur ein Problem mit dem Vorzeichen, weil oben steht g von x0, minus g von x. Und unten steht x minus x0. Das wird sich ja nur korrigieren.

Kriegen wir hin. Wir nehmen uns hier unten ein Minuszeichen her. Also machen aus dem x minus x0 ein x0 minus x. Und das Minuszeichen kommt hier hin. Und dann ist alles gut. Gut. Dann haben wir jetzt da hinten ein Differenzquotient von g stehen. Das heißt, wenn wir jetzt x gegen x0 jagen,

dann geht hier vorne g von x gegen g von x0. Also da steht g von x0². Mal das erste hier geht gegen die Differenzquotient, geht gegen die Ableitung von f. Mal g von x0, minus f von x0, mal die Ableitung von g. Das sollte doch jetzt die Quotientenregel sein.

Vielleicht noch nicht so, wie es sonst hingeschrieben ist. Aber f' von x0, mal g von x0, minus f von x0, mal g' von x0, geteilt durchs Quadrat von g von x0. Wunderbar. Gut. Quotientenregel. Jetzt können wir also Funktionen addieren

und mit Skalan, also Linearkombination bilden. Damit haben wir übrigens schon alle Polynome. Da werdet ihr Monome ja haben. Wir können sie multiplizieren, wir können sie dividieren. Und jetzt können wir uns weiterarbeiten. Was kann man mit Funktionen noch machen? Gut, man kann sie komplex konjugieren. Wir können Realtemperginett erbilden. Jetzt kann man Funktionen noch verketten.

Da ist noch eine Frage. Das ist die dritte Zeile. Also, ja.

Vorne steht der Differenzquotient zu wen hatten. Jetzt habe ich ihn blöd korrigiert. Hinten steht er andersrum. Mit x0, vorne x hinten. Aber das ist, können Sie umdrehen, indem Sie den obenen Minuszeichen und den untenen Minuszeichen. Klammern Sie oben und unten den Minus 1 aus. Und dann kürzen Sie den Minus 1 weg. Ich gebe ich zu, es wird etwas verwirrend. Aber das ist zum Glück wurscht,

ob man den Differenzquotient mit vorne x0 und hinten x oder andersrum hinschreibt. Nur so wie es dazwischen drin mal stand, mit oben so und unten so rum, das ist halt nicht. Dann haben Sie den Minuszeichen zu viel. Da kommt das Minuszeichen von der Quotientenregel her. Gut, also, was kann man mit Funktionen noch tun?

Man kann Funktionen verketten. Da haben wir uns noch nicht darum gekümmert. Kettenregel sagt Ihnen auch allen was. Vielleicht noch was, was nicht so klassisch Schulstoff ist. Man kann Funktionen, wenn sie biaktiv sind, umkehren. Also, wie sieht es aus mit der Ableitung der Umkehrfunktion? Das sind jetzt die zwei nächsten Themen.

Ich hoffe, dass die meisten einigermaßen am Ende der Seite angelangt sind. Also, das nächste ist die Kettenregel. Die sagt, wie differenziere ich wie differenziere ich

Verkettungen von Funktionen. Also müssen wir uns erst mal das Setting hinbauen, dass wir verketten können. Wir haben zwei Intervalle i und j in r. Wir haben eine Funktion g, die von i nach r geht. Die soll differenzierbar an der Stelle x0 sein.

In x0 aus i. Dann, damit wir jetzt eine Funktion auf j definieren können, die mit g verkettbar ist, wollen wir, dass g das i ins j abbildet. Also, dass g von i eine Teilmenge von j ist. Dann nehmen wir eine Funktion

f von j nach r oder nach k können wir jetzt gehen. Von j nach k, die soll differenzierbar sein in g von x0. Das nenne ich für das weitere mal y0.

Und dann ist die Behauptung jetzt, dann ist die Verkettung f nach g, die jetzt definiert ist, von i nach k, selbst auch differenzierbar an x0. Und wir können die Ableitung ausrechnen von der Verkettung. Also f nach g an der Stelle x0. Indem

wir die äußere Funktion das f nehmen und differenzieren, an der Stelle g von x0 auswerten und das noch multiplizieren mit der inneren Ableitung, mit der Ableitung von g an der Stelle x0. Das ist die Kettenregel.

Und um die zu beweisen, rechnet man auch wieder den Differenzenquotienten nach. Man muss so ein bisschen noch rumtricksen. Wir schauen uns eine Hilfsfunktion an.

Schlange auch auf J definiert und F-Schlange von Y, also ich nenne die Variablen in J jetzt immer mit Y und die Variablen in I immer mit X, F-Schlange von Y ist diese Kantensteigung

in Y, also F von Y minus F von Y0 durch Y minus Y0. Das kann man natürlich nur bilden, wenn Y nicht gerade Y0 ist, aber diese Funktion können wir in sinnvoller Weise stetig nach Y0 fortsetzen, weil wir ja vorausgesetzt haben, dass das F in Y0 differenzierbar ist,

das heißt dieser Grenzwert Y gegen Y0 für Y gegen Y0, der existiert und das ist genau die Ableitung, also es ist sinnvoll diese Funktion F-Schlange zu setzen als F-Strich von Y0, wenn Y gleich Y0 ist. Dann ist dieses F-Schlange eine stetige Funktion.

Differenzierbarkeit bedeutet genau diese Funktion, das steht in Y0, ja gut sonst natürlich, sonst wenn F steht. So, dann gilt, wenn wir diese Funktion F-Schlange hernehmen, gibt es einen Zusammenhang zwischen F-Schlange und F und zwar indem sie einfach mal das Y

minus Y0 hochmultiplizieren, dann ist F-Schlange von Y mal Y minus Y0 dasselbe wie F von Y minus F von Y0. Ich habe die F-Schlange, die obere Definition von F-Schlange

genommen und Y minus Y0 hochmultipliziert. Kurze Frage, gilt das auch für Y gleich Y0, da könnte man jetzt erstmal vorsichtig sein, aber wenn man mal drauf guckt, ja, wenn sie Y und Y0 setzen, da steht links 0 und rechts 0, alles gut. Also das gilt tatsächlich für alle Y. Das brauchen wir nachher noch, also das gilt

tatsächlich für alle Y und Y0. Auch für Y0. So, das war so ein bisschen eine Vorbereitung und wie gerade schon gesagt, die Differenzierbarkeit von F bedeutet gerade, dass das F-Schlange stetig ist in Y0. So, außerdem wissen wir G ist stetig in X0,

G ist differenzierbar in X0, also insbesondere stetig. Und F-Schlange ist stetig in Y0, jetzt ist die Verkettung von stetigen Funktionen stetig, das heißt der Grenzwert von F-Schlange

von G von X für X gegen X0. F-Schlange ist, also wenn X gegen X0 geht, geht G von X gegen G von X0, weil G stetig ist, das heißt gegen Y0, F-Schlange ist stetig in Y0, also dürfen

Sie den Grenzwert reinziehen und G ist stetig, dürfen Sie ihn nochmal reinziehen, das ist F-Schlange von G von X0. Oder anders gesagt, F-Schlange von Y. F-Schlange von Y0 ist aber das, was uns interessiert. F-Schlange von Y0 ist F- an der Stelle Y0, äh nee, ist F- an

der Stelle Y0 oder anders geschrieben F- von G von X0. So, mit diesen ganzen Vorbereitungen

können wir jetzt reingehen in das, was uns eigentlich interessiert, nämlich die Ableitung von der Verkettung. Wir brauchen den Grenzwert vom Differenzenprozient, den Grenzwert X gegen X0, von F von G von X, minus F von G von X0, geteilt durch X minus X0. Das

ist der Differenzenprozient für die Verkettung und wenn das Ding existiert, dann haben wir eine differenzierbare Funktion. So, wir haben im Wesentlichen schon vorgearbeitet, was jetzt kommt, ist die Zeile hier unten. Oben im Zähler steht eine Differenz

von zwei F-Werten. F von G von X, minus F von G von X0. Also wir nutzen diese Gleichheit von rechts nach links, mit Y gleich G von X und Y0 gleich G von X0. Was kommt raus?

Das ist der Grenzwert X gegen X0. Auf der linken Seite steht dann F-Schlange von G von X, das ist Y bei G von X, mal Y minus Y0, also mal G von X, minus G von X0. Das

ist diese Gleichungsstärke. Unten bleibt X minus X0 stehen. So, aber jetzt sind wir sozusagen schon fertig. Können Sie ein bisschen umsortieren. Machen Sie diesen Bruchstrich hier mal kürzer. Schreiben Sie hier ein Mal dazwischen. Dann steht da rechts

ein Differenzenquotient von dem G. Also der hintere Teil geht gegen G-Schlange von X0. Und was mit dem F-Schlange von G von X ist, haben wir hier oben ausgerechnet, das ist F-Schlange von G von X0, mal G-Schlange von X0. Also der Grenzwert existiert,

damit ist das Ding differenzierbar und kommt auch die richtige Formel raus, äußere Ableitung. An der Stelle G von X0 mal in der Rande. Gut, bevor wir jetzt zur Umkehrfunktion weiter rennen,

will ich damit noch eine wichtige Funktion differenzieren. Beispiel 22.8. Wir hatten vorhin schon die Exponentialfunktion differenziert. Mit der Kettenregel können wir jetzt auch die

allgemeine Potenz differenzieren. Also wenn ich irgendeine Basis A größer 0 nehme und mir die Funktion phi von X gleich A hoch X anschaue, dann ist diese allgemeine Potenz

definiert als E hoch X mal LnA. Das war unsere Definition der allgemeinen Potenz. Und wenn man jetzt versuchen will, dieses phi von X abzuleiten, dann muss man eben das ableiten,

das ist eine typische Verkettung der L-Funktion, von der wir wissen, was die Ableitung ist, mit der Funktion X mal Ln von A. Die Funktion X mal Ln von A ist nicht besonders kompliziert abzuleiten, auch wenn da ein Ln drinrum steht, aber Ln von A ist eine Konstante. Konstante

mal X ist ein Monom und wir haben gesehen, Monome können wir ableiten. Mit einer Konstante davor hilft uns unsere Linearität weiter. Das heißt, alles was da steht, können wir ableiten und nach der Kettenregel kriegen wir das Ergebnis folgendermaßen. Also phi von X ist E hoch X mal

Ln von A wollen wir ableiten. Dann ist nach der Kettenregel, jetzt wenden wir die Kettenregel an, machen wir es einmal ausführlich. Also die äußere Funktion f von Y ist E hoch Y. Die innere Funktion g von X ist X mal Ln A. Dann ist phi gleich f nach g. Also ist die Ableitung,

schreibt die Kettenregel auch nochmal hin, wenn man sie hier gerade nicht sieht, ist dann f Strich von g von X mal g Strich von X. Jetzt müssen wir nur noch alles richtig einsetzen.

Wir brauchen zuerst die Ableitung von f, die Ableitung der Exponentialfunktion. Ausklären ist die Exponentialfunktion selbst. E hoch Argument ist g von X mal g Strich von X. Das ist die Ableitung von X mal Ln A. Ln A ist ein Faktor, der fliegt nach vorne.

Was ist die Ableitung von X? X hoch 1 gibt 1 mal X hoch 0, also einfach eine 1. Was da von A. E hoch X Ln A ist wieder A hoch X und wir kriegen raus die Ableitung der allgemeinen

Potenzfunktion. Die Ableitung von A hoch X ist die allgemeine Potenz mal Ln von A. Das ist vielleicht eine Ableitung, die man nicht immer in der Schule macht. Man sieht auch, es passt gut zusammen, wenn sie A gleich E nehmen, kriegen sie Ln von E ist 1,

dann ist die Ableitung von der Exponentialfunktion die Exponentialfunktion. So bleibt von dem Programm von vorhin die Umkehrfunktion. Also, das nächste ist Ableitung der Umkehrfunktion,

zum Beispiel um dann später die Ableitung vom Logorythmus auszurechnen. Was brauchen wir

dazu? Wir brauchen eine Funktion, die erstmal umkehrbar ist. Dazu nehmen wir sie auf den ganzen Intervall i stetig und streng monoton. Hatten wir vor einigen Wochen gesehen. Eine stetige, streng monotone Funktion auf dem Intervall hat eine stetige,

monotone Umkehrfunktion. Und dann setzen wir jetzt noch voraus, dass die an einer Stelle X0 in i differenzierbar ist. Und dann kommt eine wichtige Zusatzvoraussetzung. Die Umkehrfunktion

ist ein bisschen sperriger als alles andere. Bisher waren alle Differenzierungsrechenregeln immer einfach. Wenn F und G brav sind, dann ist auch F verknüpft mit G brav. Abgesehen vom Quotienten, wo man auf das offensichtlich erachten musste, dass der Nenner nicht 0 wird. Beim Umkehr muss man aufpassen. Es gibt eine Situation, in der Differenzierbarkeit verloren

geht beim Umkehren und das ist an Nullstellen der Ableitung. Wir müssen zusätzlich voraussetzen, dass die Ableitung an der Stelle X0 nicht Null ist. An Nullstellen der Ableitung passieren ungehörige Dinge. Sieht man auch gleich an der Formel. Also die Voraussetzung ist hier, die Ableitung darf nicht Null sein. Aber wenn die nicht Null ist, dann ist die

Umkehrfunktion als Funktion von F von i nach i differenzierbar am Bildpunkt, also in Y0, sprich in F von X0. Und es gibt auch eine Formel für die Ableitung. Die Ableitung der

Umkehrfunktion an dieser Stelle Y0 ist dann einfach der Kehrwert der Ableitung von F ist 1 durch F' an der Stelle X0. Also Sie kriegen den Wert der Ableitung der Umkehrfunktion, indem Sie einfach den Wert der Ableitung der Funktion nehmen und den Kehrwert bilden.

Dann sieht man auch schon an der Formel, dass F' von X0 gleich Null irgendwie ein Problem ist. Wenn F' von X0 Null ist, dann macht das da keinen Sinn. Und tatsächlich stellt sich auch raus an den Nullstellen. Wenn die Nullstelle von F eine Ableitung hat, dann ist die

Umkehrfunktion an der Stelle nicht differenzierbar. Im Wesentlichen hat die dann eine senkrechte Tangent. So, wo kommt die Formel her? Da muss man sich so ein bisschen strecken. Im Prinzip müssen wir jetzt den, wir suchen den Differenzenquotienten für F auf minus 1. Wir wissen was

mit Differenzenquotienten von F. Und die Gymnastik ist jetzt eben den Differenzenquotienten von F auf minus 1 so zu kneten, dass am Schluss ein Differenzenquotient von F dascht. Dazu müssen wir so ein bisschen hin und her hüpfen. Wir nehmen wieder die H-Formulierung

des Differenzenquotienten und geben uns ein H umgleich Null vor. X0 ist gegeben, jetzt noch ein H umgleich Null. So, und zu diesem H definiere ich mir ein geeignetes K. K ist folgendes, K ist die Umkehrfunktion F auf minus 1 von Y0 plus H minus F auf

minus 1 von Y0. Oder anders formuliert F auf minus 1 von Y0 plus H minus X0. F von X0 ist Y0, also ist F auf minus 1 von Y0. Dieses K wird eine wesentliche Rolle

spielen. Zunächst mal ist wichtig zu bemerken, was passiert, wenn H gegen Null geht. Wenn H gegen Null geht, geht Y0 plus H gegen Y0 und dann geht das K gegen Null, weil das F auf minus 1 stetig ist. Das hatten wir uns im Zusammenhang mit Stetigkeit der Umkehrfunktion überlegt.

Das war Satz 19.11. Das F auf minus 1 ist eine stetige Funktion in X0. Stetige, streng monotone Funktionen auf Intervallen haben stetige, streng monotone Funktionen. Das war Satz 19.11. Also F auf minus 1 ist stetig in Y0. Also gilt, wenn Sie H gegen Null schicken,

dann geht auch K gegen Null. Wenn H gegen Null geht, geht F auf minus 1 von Y0 plus H gegen F auf minus 1 von Y0 und dann geht K gegen Null. So, warum ist dieses K so wichtig?

Wir rechnen ein bisschen mit dem K rum. Schauen Sie sich mal X0 plus K an. X0 plus K in der Gleichung hier X0 auf die andere Seite. X0 plus K ist genau F auf minus 1 von Y0 plus H.

Jetzt sieht man schon, warum das das richtige K ist. Das K ist genau die Übersetzung. Wenn ich an meinem Y0 für die Umkehrfunktion ein bisschen mit H wackele, dann wackelt das X0 auf der anderen Seite ein bisschen mit K. So, jetzt bringen wir da mal die Funktion F drauf.

Das heißt F von X0 plus K ist F von F0 minus 1 ist Y0 plus H. So, jetzt lösen wir nach H auf. Daraus folgt H ist F von X0 plus K minus Y0 oder anders geschrieben F von X0 plus K

minus F von X0. Das heißt, wenn man das K und das H in dem Zusammenhang hat, dann ist der Zähler

vom Differenzenquotient von dem F genau das H fürs F auf minus 1 und umgekehrt. So, und damit haben wir alles, was wir brauchen, um es zusammen zu bauen. Was wollen wir tun? Wir wollen F auf minus 1 ableiten. Also, wir wollen den Limous H gegen Null anschauen von F auf

minus 1 von Y0 plus H minus F auf minus 1 von Y geteilt durch H. Das ist der Differenzenquotient für die Umkehrfunktion an der Stelle Y. So, und jetzt muss man alles einsetzen, was da steht in der richtigen Reihenfolge und sich dabei nicht vertun. F auf minus 1 von Y0 plus H

minus F auf minus 1 von Y. F auf minus 1 von Y0 plus H steht hier ist X0 plus K. Also,

das ist der Limous H gegen Null von X0 plus K. F auf minus 1 von Y0 ist X0. Also, wenn man diesen Zähler da ein bisschen aufräumt oder wenn man die Entsprechungen im K einsetzt,

F auf minus 1 von Y0 plus H ist X0 plus K und F auf minus 1 von Y0 ist einfach X0. Bleibt da oben nur ein K stehen. Was passiert, was kann man im Nenner machen? Da steht bisher ein alleiniges H. Das hatten wir in F-Sprache umgeschrieben hier unten. H ist F von X0 plus K minus F von X0. Also, hier steht F von X0 plus K minus F von X0.

Nochmal größer und vereinfacht hingeschrieben. Das ist der Limous H gegen Null von K geteilt durch F von X0 plus K minus F von X0. Was jetzt da steht, ist genau das Reziproke von

einem Differenzenprozent. Da steht eins durch den Differenzenprozent von F. Vorne steht ein Limous H gegen Null, aber hinten stehen überall Ks. Aber deswegen haben wir uns vorhin überlegt, wenn das H gegen Null gegen das K auch gegen Null. Also, hier

H minus F von X0 durch K und davon hoch minus 1. Solang der Grenzwert existiert. Aber

wenn der Grenzwert existiert, dann ist hoch 1 durchnehmen ist stetig. Deswegen darf ich den Limous reinziehen. Was jetzt da steht, ist genau das, was rauskommen soll. Wenn H gegen Null geht, geht K gegen Null. Dann geht das da gegen F' von X0 hoch

minus 1, gibt 1 durch F' von X0. Müsste ich jetzt noch dahinter schreiben. Ich mache mal hier frech schon mal einen Kasten hin. Soll nicht heißen, dass jeder von Ihnen das machen darf. Oder ich auch eigentlich nicht den letzten Schritt weglassen. Aber

ich hoffe, Sie sehen jetzt kommt 1 durch F' von X0. Ist wieder ein Umblätterproblem hier. So, damit haben wir jetzt einen Stapel von Rechenregeln für die Differenziation.

Ich will noch kurz zeigen an einem Beispiel, dass diese Bedingung, dass die Ableitung nicht Null sein darf, durchaus ihre Relevanz hat und ohne diese Bedingung die Sache falsch ist. Aber das eine ist das Rechnen am Beispiel und das andere ist eine gute

Intuition oder eine Anschauung. Und die ist hier mindestens, die sagt einem das auch schon, wie ist denn, wie kommt man denn von der Funktion zur Umkehrfunktion? Von der Funktion zur Umkehrfunktion kommt man, wenn das die Funktion F ist, dann

kommt man zur Umkehrfunktion. Ich hoffe, Sie kennen, Sie erinnern sich da dran. Man nimmt sich die Winkel halbierende. Also ich meine jetzt grafisch. Wie kommt man grafisch zur Umkehrfunktion? Man nimmt die Winkel halbierende und spiegelt den Funktionsgraf an der Winkel halbierende. Wenn man das macht, kriegt man den Graph

von der Umkehrfunktion. Was haben wir jetzt gerade bewiesen? Wir haben bewiesen, wenn die Funktion an der Stelle differenzierbar ist, dann ist die Umkehrfunktion auch an der entsprechenden Bildstelle auch differenzierbar und die Ableitung ist genau der Rezipro gewährt. Das ist die analytische Formulierung von diesem

Spiegel. Ja, weil wenn Sie in irgendeiner Stelle sind, x Null und schauen Sie sich die Steigung an dieser Stelle an. Ja, Sie hier x Null, ist die Ableitung hier oben. Wenn Sie das ganze spiegeln und an der Stelle y Null angucken, also hier

f von x Null gleich y Null. Ja, das sind blöd gezeichnet. Dann ist die Ableitung von dem f hoch minus eins an der Stelle hier genau der Kehrwert von der Ableitung hier oben durch das Spiegel. Wenn die Ableitung steil wird, wird die

von der Umkehrfunktion flach und umgekehrt. Wenn Sie jetzt eine Funktion haben, die eine Nullsteigung hat, wie zum Beispiel die Parabe da an der Stelle Null, dann hat die Umkehrfunktion an der Stelle eine senkrechte Tangent. Und das führt zum Beispiel jetzt bei der Parabe hier an der Stelle Null, haben Sie hier eine

Nullsteigung und in der Umkehrfunktion eine Nichtdifferenzierbarkeit. Aber man kann es auch rechnen. Die Bemerkung 22 10, diese

Voraussetzung, dass f Strich an der Stelle x Null ungleich Null ist, die wichtig ist. Das ist von diesen ganzen Differenzierungsregeln eigentlich die einzige, die eine Zusatzvoraussetzung braucht, weil wir mal von der Quotientenregel offensichtlich, du sollst nicht durch Nullteilen absieht.

Also nehmen wir uns die Parabel- und die Wurzelfunktion her auf den positiven reellen Zahlen. Dann wissen Sie hoffentlich, was die Ableitung von der Parabelfunktion ist. Das Monom, das haben wir schon bearbeitet, N mal x hoch N minus eins zweimal x. Das heißt, an der Stelle Null haben wir tatsächlich so eine

Nullstelle der Ableitung und an der Stelle gibt es jetzt eben für die Wurzelfunktion ein Problem. Müssen wir noch kurz überlegen, wie man die Wurzelfunktion differenziert. Also ich behaupte, die Wurzelfunktion ist in

Null nicht differenzierbar. Das kann man jetzt einfach über die Differenzenquotienten machen. f von x minus f von Null geteilt durch x minus Null ist Wurzel x durch x, ist eins durch Wurzel x und wenn Sie jetzt x gegen Null laufen lassen, dann geht das gegenwärtig.

Dann machen wir x gegen Null von rechts, sonst macht das damit der Wurzel keinen Sinn. Also existiert der Grenzwert vom Differenzenquotient nicht und das Ding ist nicht differenzierbar. Aber viel wichtiger ist, das Bild da oben in

Erinnerung zu haben. Ableitung von der Umkehrfunktion ist einfach eins durch Ableitung der Funktion an der entsprechenden Stelle und deswegen gibt eine Nulltangente in den Senkrechten. Das ist das, was passiert. So das offensichtliche Beispiel, das wir jetzt mit Hilfe der Formel für die Umkehrfunktion

angehen können, ist der Logorythmus. Also wir schauen uns die Exponentialfunktion an auf ganz R f von x gleich E hoch x, von der Ableitung und insofern können wir hoffen, dass wir dann an die Ableitung der

Umkehrfunktion kommen. Also dann ist die Umkehrfunktion der natürliche Logorythmus für x größer Null und an der Stelle y, die da ist E hoch x, kriegen wir nach der Formel, die jetzt nicht mehr dasteht, also

hier unten nochmal die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion f hoch minus eins Strich von y Null ist eins durch f Strich von x Null, wenn eben y Null

gleich f von x Null ist. Also wir nehmen uns die Exponentialfunktion her, den Umkehrfunktion des Logorythmus und dann kriegen wir die Ableitung vom

Logorythmus ist eins, also ist die Ableitung der Umkehrfunktion, ist eins durch die Ableitung der Funktion an der Stelle x. So was ist die Funktion f ist die Exponentialfunktion, also ist f Strich auch die Exponentialfunktion.

Jetzt müssen wir x wieder ersetzen durch L N von y, also eins durch E hoch L N von y, naja das ist freundlich, das ist eins durch y. Wir kriegen tatsächlich die Ableitung vom Logorythmus, ist einfach die Funktion eins durch y. So wenn man das mal mitnimmt, kriegt man damit schönes Spielzeug,

die sogenannte logarithmische Ableitung, wenn sie irgendeine differenzierbare Funktion haben, die immer strikt positiv ist, damit wir den

Logorythmus bilden können, dann können sie diese Funktion mit dem Logorythmus verketten, also Logorythmus nach f. Was ist die Ableitung von Logorythmus nach f, dann nach der Kettenregel, naja Ableitung vom Logorythmus

verknüpft mit f mal f Strich. Die Ableitung vom Logorythmus ist einfach eins durch, also kriegen wir hier eins durch f von x, Ableitung vom Logorythmus eins durch an der Stelle f von x mal f Strich von x oder noch schöner hingeschrieben f

Strich von x durch f von x, also die Ableitung vom Logorythmus von der Funktion liefert in den Quotienten aus Ableitung und Funktion. Das nennt man die sogenannte logarithmische Ableitung von f. So und schlussendlich können wir

damit noch die Ableitung bestimmen von der Funktion x hoch alpha. Wir haben bisher die Ableitung Funktion bestimmt von der Funktion x hoch n,

also sei alpha eine reelle Zahl und wir schauen uns an die Funktion f von x ist x hoch alpha. Können wir jetzt bilden, ist eine allgemeine Potenz. Vorhin hatten wir a hoch x,

jetzt ist x hoch alpha. Das ist definiert als e hoch alpha ln von x. Das konnten wir vorher noch nicht ableiten, weil wir noch nie wussten was die Ableitung von Logorythmus ist. Jetzt geht's und es kommt erfreulicherweise das raus was man denkt. Was ist die Ableitung von e hoch alpha ln x? Wir brauchen Kettenregel. Die äußere Funktion

ist die Exponentialfunktion, die innere Funktion ist alpha mal ln x. Ableitung der äußeren Funktion ist die Exponentialfunktion, also e hoch alpha mal ln von x mal die Ableitung von alpha mal ln von x. Das ist die Kettenregel. e hoch alpha mal ln x kennen

ist x hoch alpha. Was ist die Ableitung von alpha mal ln x? Das ist zunächst mal wegen Linearität alpha mal die Ableitung von ln von x. Also steht hier alpha x hoch alpha mal Ableitung von ln ist 1 durch x. Kommt raus alpha mal x hoch alpha minus 1. Und

das ist ja auch das was man erwartet. Wenn alpha gleich n ist, x hoch n abgeleitet, n mal x hoch n minus 1. Diese Formel überträgt sich auf allgemeine reelle Potenz. Vielleicht noch weil man es häufig braucht. Konkret für alpha gleich ein halb, also sprich für die

Wurzel. Die Ableitung von der Wurzel ist 1 durch 2 mal die Wurzel. Also alpha ein halb ist x hoch minus 1. Ein halb mal x hoch minus ein halb ist 1 durch 2 Wurzel x. Das soll es

dann für heute gewesen sein. Das gilt für x größer 0. Nächste Vorlesung dann. Sind wir fertig mit dem Differenzieren. Als solches geht es um die Anwendungen. Wofür kann man das brauchen? Das dann am nächsten Montag für heute. Schönen Wochenende und vielen Dank für die Aufmerksamkeit.