So, dann mal herzlich willkommen zur Vorlesung. Wir waren dabei uns mit Reihen zu beschäftigen.

Nochmal kurz um was geht es. Wir haben eine Folge, eine Folge von Summanden. Ich schreibe es mal in der Allgemeinen Form auf. Also P eine ganze Zahl. Die Folge muss nicht unbedingt bei Null starten. Und dann haben wir uns die Reihe angeschaut, was erstmal formal ist.

Eine unendlich lange Summe über eben diese Summanden. Und der haben wir einen Sinn gegeben über die Folge der Partialsummen. Was macht man, wenn man unendlich viele Zahlen aufsummieren will? Man summiert erstmal endlich viele auf. N gleich P bis K über

N. Und das gibt uns eine neue Folge SK. Die Folge der Zwischensummen. Und wenn diese Folge konvergent ist, dann nennt man die Reihe konvergent. Und der Grenzwert der Folge ist der zu Reihenwert der Reihe. So, und so weit waren wir letzte Vorlesung. Und ich

möchte jetzt mit Ihnen erstmal Beispiele anschauen. Und ja, auch gleich in den Beispiel zwei sehr wichtige. Ich will aber erstmal zeigen, wir haben eigentlich sogar

schon eine Reihe gesehen. Ich habe es nur nicht so genannt. Aber wir hatten schon in dieser Vorlesung dieses Ding hier, Summe K gleich Null bis unendlich über eins durch K Fakultät. Wenn Sie sich erinnern, das war unsere Folge BN bei der Definition

von E. Folge BN bei der Definition von E war genau die Summe K gleich Null bis N über eins durch K Fakultät. Das war genau die Folge der Partialsummen von dieser Reihe. Und wir hatten schon gesehen, wenn Sie hier jetzt, also diese Folge wurde jetzt heißt

SN und nicht mehr BN. Summe K gleich Null bis N über eins durch K Fakultät. Von der haben wir gezeigt, die ist konvergent und wir wissen auch in dem Fall, was als Grenzwert rauskommt. Der Reihenwert von dieser Reihe eins durch K Fakultät, das ist die Eulersche

Zeit. Insofern sind Reihen schon vorgekommen, nur nicht unter dem Titel. So, dann will ich Ihnen noch eine andere zeigen, einfach als Beispiel für eine weitere Methode, wie man Konvergenz zeigen kann. Ja, eine der seltenen Reihen, bei der man wirklich

mal den Reihenwert ausrechnen kann. Summe N gleich eins bis unendlich eins durch N mal N plus eins. Also, wenn Sie mal anfangen, am Anfang ist es ein Halb plus zwei mal drei

ein Sechstel plus ein Zwölftel plus und so weiter. Die Frage ist, ist das konvergent und wenn ja, wogegen? Und in dem Fall hilft es sehr, sich mal die Partialsummen anzuschauen.

Also, was muss man machen, um so eine Reihe auf Konvergenz zu untersuchen? Man schaut sich die Folge der Partialsummen an. Also, der endlichen Summen K gleich eins bis N über eins durch K mal K plus eins. Das kann ich mal wieder mit dem klassischen

wir addieren die richtige Nulltrick umschreiben, als die Summe über K plus eins minus K durch K mal K plus eins. Jetzt dürfen Sie natürlich wieder fragen, wie kommt er da drauf? Und die Antwort sehen Sie, ja, wenn Sie noch mal genauer hingucken, auf die Weise kann

man diesen Bruch sehr schön in die Differenz von zwei Brüchen zerlegen. Sie können einerseits mal das K plus eins kürzen, das andere mal das K kürzen und das Ganze gibt die Differenz von zwei einfacheren Ausdrücken. Also, das ist eine Summe K gleich eins bis unendlich

über eins durch K minus eins durch K plus eins. K plus eins durch K mal K plus eins minus K durch K mal K plus eins. Ja, das N ist natürlich nicht so unendlich geworden, da haben

das bleibt ein N. Das muss deswegen ein N bleiben, weil ich natürlich, also schnell damit das gleich stimmt, aber ich muss insgesamt jetzt in endlichen Summen rechnen, weil der Schritt der jetzt kommt, den kann ich nicht allgemein mit in endlichen Summen rechtfertigen. Jetzt machen

wir da draus nämlich zwei Summen. Das ist die Summe K gleich eins bis N eins durch K minus die Summe K gleich eins bis N eins durch K plus eins. Bei endlichen Summen natürlich kein Problem. Wenn ich hier zwei unendliche Summen hätte, müsste man zumindest schon mal begründen,

warum man das auseinander ziehen kann, da müsste man einen Grenzwertsatz für verwenden. Also, wenn überall da wo N steht unendlich stünde, wäre das oben ein Grenzwert von, ist von minus Grenzwert von, da müsste dann ein Grenzwertsatz dazwischen stehen. Aber für endliche Summen ist das natürlich kein Problem. Und wenn man sich jetzt die Summen

angeschaut und mal so ein paar Summen einsetzt, dann sieht man, wir haben hier wieder diesen schönen Effekt mit der Teleskopreihe. Das vorne ist ein halb plus ein drittel plus ein viertel plus ein fünftel und so weiter. Und das hinten ist minus ein halb minus ein drittel minus ein viertel minus ein fünftel. Nur um eins verschoben. Also wie lösen wir das auf? Wie üblich bei

so Teleskopreihen, wir speiten die Summen ab, die sich nicht wegheben. Das ist bei der ersten Summe der erste für K gleich eins, ist eins plus eine Summe von zwei bis N über eins durch K minus, bei der ist es der letzte, K gleich eins bis N minus eins, eins durch K plus eins,

minus der letzte Summand eins durch N plus eins. So, und die beiden Summen, die jetzt da stehen, stellen sich nach dem richtigen Index-Shift wieder als das Gleiche raus. Die erste Summe schreibe ich mal ab, K gleich zwei bis N über eins durch K. Und in der zweiten Summe verschiebe ich die Summation um eins rauf. Also ich summiere nicht mehr von eins bis N

minus eins, sondern auch von zwei bis N. Dafür muss ich innen drin eins abziehen, gibt eins durch K, minus eins durch N plus eins. Jetzt sieht man, die beiden Summen in der Mitte heben sich weg. Und was übrig bleibt, ist nur noch der erste Summand eins minus der letzte Summand

von der hinteren Summe eins durch N plus eins. So, auf die Weise, und das ist wirklich ein seltener Glücksfall, haben wir eine explizite Formel für die Folge der Partialsumme. Und jetzt können wir einfach den Grenzwert bilden, entgegen und endlich. Dann sieht man, was

passiert. Also man sich jetzt wieder die ganze Reihe anschaut. Reihe K gleich eins bis unendlich über eins durch K mal K plus eins. Dann ist das ja nach Definition der Reihe des

Reingrenzwerts der Limes von diesen Partialsummen. Der Grenzwert da oben ist nicht schwer zu bestimmen, wenn sie endgegen und endlich lassen, geht das genau gegen eins. Also eine konvergente Reihe und der Reihenwert ist eins. So, am Anfang arbeiten wir alle

schönen Beispiele ab. Noch als drittes Beispiel eine dritte Reihe oder eine ganze Schar von Reihen, für die man den Reihenwert explizit ausrechnen kann. Die sogenannte

geometrische Reihe, nämlich die Reihe über die geometrische Folge. Wenn wir uns irgendein X in R hergeben, dann schauen wir uns an die Summe aller Potenzen von dem X, also Summe K gleich 0 bis unendlich, X hoch K. Sie erinnern sich, manchmal ist Q geschrieben, aber Q hoch K für K aus N, das war die geometrische Folge. Und jetzt machen wir

die Summe über die geometrische Folge, das ist dann die geometrische Reihe. Und das ist eine ganz wichtige Reihe. Das ist eine von denen, die Sie auf Dauer wissen müssen,

aber keine Sorge, Sie müssen sie nicht auswendig lernen. In fünf Wochen kennen Sie die eher auswendig, selbst wenn Sie sie nicht auswendig lernen wollen. Ich werde Ihnen im Laufe dieser, hoffentlich dieser, vorlesen, sonst spätestens am Donnerstag die

sogenannten drei Inselreihen präsentieren. Ich sage immer, es gibt, wenn man auf eine Insel nur drei Inselreihen mitnehmen darf, dann gibt es eine ganz klare Wahl, nämlich die und noch zwei weitere. Also das ist die erste Inselreihe, eine von den ganz Entscheidenden. Aber wie gesagt, Sie werden sich gar nicht so sehr dagegen wehren können, die bald auswendig zu kennen. So, wie sieht es aus? Was muss man machen? Man muss die

Partialsummen davon angucken. Also die Summe K gleich 0 bis N über X hoch K. Und auch die

haben wir uns schon angeguckt. Das war der Satz 7.3. In dem haben wir die ausgerechnet, zumindest für den Fall, dass das X nicht eins ist. Aber wenn das X eins ist, dann kann man diese Partialsumme relativ schnell ausrechnen. Dann steht da die

Partialsumme über eins hoch N. Also eins plus eins plus eins plus eins. Und das, Achtung, N plus eins mal gegen der Null unten. Also für X gleich eins, kommt da N plus eins raus. Und wenn X nicht eins ist, dann hatten wir in diesem Satz 7.3 nachgewiesen.

Dann ist diese Partialsumme der geometrischen Reihe eins plus X hoch N plus eins durch eins minus X. So, und wie sieht es jetzt hier mit Konvergenz aus? Die geometrische

Reihe, ne, ist eins plus. Dann steht minus. Das lässt sich leicht nachprüfen. Ja, doch,

muss auch. Wie sieht man es schnell? Ja, muss minus. Wenn sie einfach mal zwei einsetzen,

dann wäre ja der Nenner negativ. Dann wäre die Summe über zwei hoch K negativ. Das

ist unwahrscheinlich. Ja, minus. Danke. Wer hat denn dann hier plus geschrieben? Gut, also die Reihe. Wann ist die jetzt konvergent? Na ja, fangen wir mit dem einfachen Fall

an für X gleich eins. Ne, ne. Wenn Sie die Folge N plus eins nehmen und N gegen und endlich gehen lassen, dann wird da X. Wie sieht es mit dem da oben aus? Da kommt es darauf an, wann die Folge X hoch N plus eins für N gegen und endlich konvergiert. Da hatten wir uns Gedanken darüber gemacht, wie konvergiert für X

echt größer als minus eins und kleiner gleich eins. Gut, in Fall eins sind wir schon abgefrühstückt. Bleiben also, außerhalb, für Betrag X größer als eins, divergiert das Ding. Also bleiben nur die X zwischen echt zwischen minus eins und eins übrig. Und für die X zwischen echt zwischen minus eins und eins geht dieses X hoch N plus

eins gegen null. Auch irgendein Satz vorne, ich weiß die Nummer nicht mehr. Das heißt, dann konvergiert dieser Ausdruck. Wir kriegen also raus, dass diese Reihe konvergent ist, genau dann, wenn der Betrag von X strikt kleiner eins ist. Also dieses X hoch N plus eins hier oben ist auch noch konvergent für X gleich eins. Das nutzt uns nur nichts,

weil die Formel für X gleich eins nicht gilt. Und in dem Fall, und das ist das tolle an der geometrischen Reihe, kann man den Reihenwert jetzt angeben, ist der Grenzwert n gegen und n-dich von diesem S n da oben. X hoch N plus eins geht gegen null, geht gegen eins durch

eins minus X. Und das ist der Grund, warum die geometrische Reihe so toll ist. Es ist eine Reihe, das mag Ihnen jetzt nicht besonders toll erscheinen, aber ich hoffe, Sie im weiteren

Verlauf dieser Vorlesungen davon zu überzeugen oder der nächsten Vorlesungen, dass ein Reihenwert, den man explizit ausrechnen kann, das ist Gold in der Hand. Das ist was wertvolles, das gibt es nämlich selten. So, ja oder man kann schon viele Reihenwerte ausrechnen,

aber Sie werden feststellen, es ist zum Teil erstaunlich mühsam. So, wo die erste

Rolle in der Obervorlesung gespielt hat. Die geometrische tauchte da übrigens auch auf, allerdings für den Spezialfall X gleich in halb. Und zwar die sogenannte harmonische Reihe, die Reihe über eins durch N. Also eins plus ein halb plus ein drittel plus ein viertel plus ein viertel und so weiter. Das ist die sogenannte harmonische Reihe,

ist die zweite Inselreihe. Können Sie gleich mit ins Gepäck dazu packen. Und die Frage ist, wie sieht es jetzt hier mit Konvergenz aus? Für die, die sich erinnern, ich hatte in der

Obervorlesung diese kleine Programmchen dabei, dass die Reihe da mal aufsummiert hat. Und wo man da erst dachte, das sieht ganz gut aus, hat nach einiger Zeit, kommt da nicht mehr viel dazu, wenn man ja ab irgendwann nur noch ganz wenig in jedem Schritt dazu addiert. Und wir hatten aber trotzdem festgestellt, die wächst zwar furchtbar langsam, aber sie

wächst und wächst und wächst. Und ist ein ganz wichtiges Beispiel, eigentlich das wichtigste Beispiel in der Divergentenreihe. Wie sehen wir das, dass das Ding wirklich divergent ist? Gibt es einen kleinen schönen Trick. Im Wesentlichen ist das formalisiert der Trick,

den ich auch in der Obervorlesung gemacht habe. Wir schauen uns an, die nicht die ganze Folge der Partialsummen, sondern die Teilfolge der Partialsummen der Geradenindizis, also das S2n. Dann können Sie das erst mal zerlegen. Das ist die Summe von allen Summanden bis zum

zwei Enden. Wenn Sie bis zum zwei Enden summieren, können Sie natürlich auch erst mal bis zum Enden summieren. Und dann noch mal vom n plus eins bis zum zwei Enden dazu. Bisher

ist nur die Folge in zwei gleichlange Teile aufgesplittet. Das heißt, Sie kriegen diese Partialsumme S2n als die Partialsumme Sn plus diesen Ausdruck alle Summanden ab n plus eins.

Diese Summanden hier, da liegt immer das K zwischen n plus eins und 2n. Das heißt, der kleinste Fall, der hier auftritt, ist der, wenn K gleich 2n ist. Alle diese Summanden

sind also größer gleich eins durch 2n. Dieser Bruch wird am kleinsten, wenn der Nenner am größten ist. Das heißt, ich kann mein S2n nach unten kontrollieren, nach unten abschätzen

durch das Sn plus, jetzt wie viele Summanden hat diese hintere Summe, von n plus eins bis 2n, das sind genau n Summanden, also n mal eins durch 2n. Es gibt Sn plus einen

halb. Gut, und wenn wir Sn plus einen halb haben, also wenn wir diese Ungleichung hier haben, dann machen wir da drin n gegen unendlich. Was haben wir erreicht? Wir haben, dass für jedes n, wenn ich bis zum zwei Endensummanden addiere, ich dasselbe rauskriege, wenn

ich bis zum, oder mehr rausbekomme, als wenn ich bis zum Endensummanden addiere plus einen halb. Das heißt, die Verdoppelung der Summationslänge erzeugt immer mindestens einen halb mehr. Und da sieht man schon, ich kann jetzt eben natürlich beliebig oft

nochmal doppelt so weit addieren wie vorher und kriege jedes Mal mindestens einen halb dazu. Das heißt, ich kriege im Prinzip unendlich oft einen halb. Und unendlich oft einen halb ist nicht endlich. Das kann man jetzt aber, das kann man jetzt versuchen sauber zu formulieren, das ist ziemlich mühsam, man kann es viel einfacher zu einem Widerspruch bringen. Wenn Sie jetzt mal annehmen, das Ding konvergiert.

Also wir nehmen an unsere Reihe wer konvergent. Das heißt, die Folge der Partialsumme ist

eine konvergente Folge und der Grenzwert ist S. Dann können Sie in dieser Ungleichung jetzt zum Grenzübergang übergehen und kriegen links der Grenzwert n gegen unendlich S n, S 2 n. S 2 n ist eine Teilfolge von S n. Wenn S n gegen S konvergiert,

konvergiert auch S 2 n gegen S. S s, dann wissen wir, das hier ist mehr als der Grenzwert n gegen unendlich von S n plus einen halb. Also als S plus einen halb. Und jetzt haben wir sofort ein Widerspruch dastehen, ziehen Sie auf beiden Seiten S ab,

kriegen Sie ein Nulles größer gleichen halb. Also die harmonische Reihe konvergiert nur dann, wenn Null größer gleich ein halb ist. Und das ist nicht so oft. Also ist die harmonische Reihe eine divergente Reihe. Und die ist deswegen so wichtig und deswegen zähle ich

sie auch zu den Inselreihen, weil sie erstens ein schön einfaches Beispiel für eine divergenten Reihe ist. Kein triviales. Natürlich können Sie eine leichte divergente Reihe machen. Rechnen Sie 1 plus 2 plus 3 plus 4 plus 5 plus 6. Verdammt, was divergent ist.

Aber bei der ist es eigentlich nicht umsichtig, weil die Zahlen, die man dazuzählt, werden immer kleiner und trotzdem wächst sie über allem Maße. Sie ist auch deswegen toll, weil sie eben so wahnsinnig langsam wächst. Und deswegen ist sie eine gute Vergleichsreihe, mit der man andere vergleichen kann. Wenn Sie feststellen, irgendeine Reihe wächst schneller als die harmonische, dann wird die wohl auch divergent sein. Werden wir noch formalisieren,

diesen Gedanken. Und die harmonische Reihe ist eben eine tolle Vergleichsreihe, weil sie so wahnsinnig langsam divergiert. Gerade die sitzt, wir werden auch das noch exakt stellen, diese harmonische Reihe, die sitzt auf der Kante. Wenn dieses 1 durch N ein kleines bisschen

schneller gegen Null ginge, wird es schon konvergieren. 1 durch N ist gerade noch die divergente Grenze. Da kommen wir noch hin und deswegen ist die so entscheidend. So, ganz viele Beispiele gesehen, konvergente Reihen, divergente Reihen. Und was jetzt das nächste

Programmpunkt ist, ist unser Wissen über Folgen auszunutzen und daraus Kapital für die Reihen zu schlagen. Wenn man sich überlegt, wie wir Konvergenz von Reihen definiert haben, dann war das, eigentlich sind Reihen auch nur Folgen. Reihen sind die Folgen der

Partialsummen. Das heißt, alles, was wir über Folgen wissen, können wir versuchen, in Wissen über Reihen umzuformulieren. Reihen sind eigentlich spezielle Folgen. Und das erste, was ich angehen will, ist das Monotonie- und das Cauchy-Kriterium. Also einfach die Umformulierung, wie sehen die für Reihen aus? Das ist der Satz L5. Also wir haben unsere

Reihe, wir haben eine Folge in R. Wir haben die zugehörigen Partialsummen. Sn sind die Summen K gleich 1 bis N über AK. So, was heißt jetzt Monotonie-Kriterium? Was heißt

Monotonie-Kriterium für Folgen? Das ist, wenn Sie eine Folge haben, die zum Beispiel nach oben beschränkt ist und monoton wachsend, dann ist die automatisch konvergent. Wann ist die Folge der Partialsummen nach oben beschränkt und monoton wachsend? Die ist dann monoton

wachsend, wenn die Summanden positiv sind. Positive Summanden führen zu einer monoton wachsenden Folge der Partialsummen. Also wenn die A, N alle positiv sind und wenn die

Reihe konvergent. Hier habe ich 1, also A gleich 1 bis unendlich AK ist dann konvergent.

Das ist sozusagen, könnte man jetzt sagen, muss ich gar nicht hinschreiben, weil es nichts ist, das ist das Monotonie-Kriterium für Folgen, aber eben übersetzt in Reihen.

Jetzt könnte man auch noch das umgekehrt machen, also die nach unten beschränkte Folgemonoton fallen, dann ist A, N, wenn A, N kleiner gleich 0 ist für alle N und das Ding nach unten beschränkt. So und genauso können wir uns das Cauchy-Kriterium

übersetzen. Cauchy-Kriterium hieß, für jedes Epsilon größer 0 gibt es einen Index N0, sodass ab dann jeder Abstand A, N minus A, M, egal welches N und M, sie größer

gleich N0 wählen, kleiner als Epsilon ist, übersetzt wieder in Reihen. Was ist der Abstand S, N minus S, M? Das ist, wenn sie von S, M, S, N abziehen, also addieren sie erst bis M auf und ziehen alles bis N ab, bleiben die Summanden von N plus 1 bis M übrig. Man schaut sich also so ein Reihenstück von N plus 1 bis M an

und das muss immer klein werden, egal was N und M sind, solange sie groß genug sind. Also Summe N gleich 1 bis unendlich A, N ist konvergent, genau dann, wenn die Folge der Partialsumme eine Cauchy-Folge ist, und die Folge der Partialsumme ist

eine Cauchy-Folge, wenn es für alle Epsilon größer N0 gibt, sodass das S, N minus das S, M und das ist die Summe K gleich N plus 1 bis M über A, N im Betrag kleiner als Epsilon für alle N und M in N, sodass M größer ist als N, größer als N0. Hier ist die

Umformulierung vom Cauchy-Kriterium, bei dem sieht man es, habe ich jetzt sehr

viel im Kopf gemacht, ich schreibe mal sozusagen einen Beweis für B noch hin, bei A hoffe ich, dass die Sache klar ist, wenn alle A, N positiv sind, ist die Reihe automatisch wachsend, weil in jedem Summand etwas Positives dazu kommt, und wenn sie noch unbeschränkt ist, kriegt man kommweg ins Ausmonotoniekriterium verfolgen.

Also für B, wie hängt das da zusammen? Wenn man sich zwei natürliche Zahlen hernimmt, mit M größer als N und sich mal anschaut, was ist der Abstand von S, M zu S, N,

dann ist das, wie gerade schon gesagt, die Summe K gleich 1 bis M aK minus die Summe K gleich 1 bis N aK, das ist genau die Partialsumme, und wenn sie jetzt erst bis M summieren und

dann alles bis N wieder abziehen, dann ist das, was übrig bleibt, genau das Reinstück vom summanden N plus 1 bis zum summanden M. So und jetzt muss man sich ans Cauchy-Kriterium

die Folge S, N hin, S, N ist Cauchy, wenn für alle Epsilon größer 0 in N gibt, sodass der Betrag von S, N minus S, M kleiner wird als Epsilon, für alle N und M größer gleich N0, das ist Cauchy-Kriterium. Zur Erinnerung, und jetzt sollte man beide

Richtungen sehen, wenn die Reihe konvergent ist, heißt das nach Definition, dann ist die Folge der Partialsumme eine konvergente Folge, also eine Cauchy-Folge, das heißt,

dass hier unten gilt für die Folge der Partialsumme und mit der Rechnung da oben ist das genau der Ausdruck, der oben steht, umgekehrt, wenn sie die Abschätzung haben für jedes Epsilon größer 0, dann heißt das sie kriegen genau die da unten, damit

ist die Folge der Partialsumme eine Cauchy-Folge und wenn die Folge der Partialsumme eine Cauchy-Folge ist, dann ist es eine konvergente Folge und dann haben sie eine konvergente Reihe. Also folgt aus dem Cauchy-Kriterium für folgt. Gut, es kommt noch ein,

noch mal relativ elementarer Anfangssatz zum Thema Konvergenz von Reihen. Auch hier wesentlichen Übertragung vom Wissen, dass man, an den noch zwei, Übertragung vom Wissen,

was man über Folgen weiß, auf Reihen. Im Wesentlichen dient der Satz später dazu, die typische Frage, die man bei Reihen hat, ist gegeben die Reihe, ist das Ding konvergent oder nicht. Und wir haben schon gesehen, das ist keine so einfache Frage im Allgemeinen,

wo man durch drauf gucken entscheidet. Es steht jetzt nicht mehr da, wir hatten diese Reihe über eins durch N mal N plus eins, die war konvergent. Reihe über eins durch N ist divergent. Wo ist

da jetzt der qualitative Unterschied? Das ist nicht so offensichtlich und das ist auch wirklich, kann man sagen, ein bis heute nicht 100 Prozent gelöstes Problem. Wie sehe ich eine Reihe an, dass Ding konvergent ist oder nicht. Die zweite Frage danach, wenn sie rauskriegen, dass es konvergent ist, natürlich, was ist der Reihenwert, was kommt raus? In

vielen Fällen, wenn man aus der praktischen Anwendung guckt, interessiert einem das schon gar nicht mehr so genau, weil man es eh nicht rauskriegt. Also nicht, wenn man nicht neugierig wäre. Neugierig diesmal natürlich schon, aber es ist eh hoffnungslos, also lässt man es bleiben. Die Trauben hängen zu hoch. Aber natürlich ist es noch besser, wenn man

das hinkriegt. Aber der erste Schritt ist normalerweise Konvergenz nachzuweisen und dafür ist es immer gut, wenn man so paar Totschlagkriterien hat, die die ganz faulen Äpfel von vornherein aussortieren und einige davon sind hier drin enthalten. So, also, das heißt, was ich Ihnen hier zeige, wir nehmen mal an, wir haben eine

konvergente Reihe. Also Summe über K gleich 1, das nenne ich AK, sei eine konvergente Reihe. Und dann gebe ich Ihnen ein paar Eigenschaften, die diese Reihe dann erfüllt. Und wenn,

das heißt, wenn Sie dann irgendwann so eine Reihe in die Hand kriegen und sagen sollen, komm, er geht hier nicht und irgendeine von diesen Eigenschaften hier ist nicht erfüllt, können Sie die sofort zurück an den Absender schicken und sagen, nüchster. Also ein paar notwendige Voraussetzungen für Konvergenz von der Reihe. Das erste ist die einfache Erkenntnis, die übliche Erkenntnis, dass endlich viele

Folgeglieder für die Konvergenz von der Folge egal sind. Also, wenn Sie eine konvergente Reihe haben, dann ist für alle nü in nü, nü in n, die Reihe von nü bis unendlich über AK auch konvergent. Heißt, wenn Sie eine konvergente Reihe haben und

lassen die ersten 327 Summanden weg, dann ist das Ding immer noch konvergent. Nicht verblüffend. Ist aber manchmal ganz praktisch, wenn die ersten paar Dinge ätzend sind, muss man sie nicht untersuchen. Wenn am Anfang irgendwie ein paar Nullen rumstehen, die einen

stören, wenn man zum Beispiel teilen will, ist egal. Solange die Folge ab irgendwann nicht mehr null ist. Sie können also die ersten sieben Summanden für die Konvergenz vergessen. Vorsicht an der Stelle. Der Reihenwert ändert sich dadurch natürlich,

aber für die Frage, ob konvergent oder nicht, ist das irrelevant. So, dann kommen die sogenannten Reihenreste. Die sind manchmal ein ganz spannendes Kriterium. Der Reihenrest ist genau das, was da oben steht. Also die Summe k gleich nü bis unendlich über ak. Für jedes nü ist das jetzt wieder eine Reihe. Ist die Frage, ob die konvergent

ist oder nicht. Aber wenn an konvergent ist, haben wir gerade gesagt, dann ist jedes diese an nü auch eine konvergente Reihe. Kommt da so eine Zahl raus. Und also wir

wissen, das Ding ist konvergent. Das ist a. Aber man kann jetzt auch noch was aussagen über den Grenzwert für nü gegen unendlich von dem an nü. Der Reihenrest von einer konvergenten Reihe konvergiert gegen null. Und das ist das wichtigste Kriterium an der

Stelle. Wenn Sie eine konvergente Reihe haben, dann ist die Folge der Summanden, also ich liebe es bei an. An ist jetzt die Folge der Summanden. Dann ist diese Folge der Summanden immer eine konvergente Reihe. Immer eine konvergente Folge und zwar immer

eine Nullfolge. Das ist ein sehr, sehr praktisches Totschlägerkriterium. Wenn ich eine gegebene Reihe habe und rauskriege, ob die konvergiert, dann kann man sich die Summanden hernehmen, so als ersten Test und mal schauen, ob die Folge der Summanden eine Nullfolge ist. Wenn die Folge der Summanden keine Nullfolge ist, dann können

Sie das Dingpost zurück schicken und sagen, die Reihe ist die vergenten. Weil die Folge der Summanden ist für jede Reihe, für jede konvergente Reihe immer eine Nullfolge. So und an der Stelle gleich die obligatorische Warnung, weil manchmal in das, was man sagt,

wieder mehr rein interpretiert wird, als man gesagt hat und das ist dann falsch. Ich habe nicht gesagt, dass die Reihe über jede Nullfolge konvergent ist. Also in C ist die Umkehrung falsch. Wenn der Grenzwert a n Null ist, folgt daraus nicht und zwar noch lange

nicht, also noch ganz lange nicht, dass die Summe n gleich 0 bis und ähnlich a n konvergent ist. Ich mache da so einen langen Strich, weil ich habe das, ich weiß nicht, wie oft schon gesehen. In Klausuren, in mündigen Prüfungen, Sie glauben ja nicht. Ich hatte mal eine Serie,

die war wirklich beeindruckend. In fünf mündigen Prüfungen hintereinander frage ich, gut es waren zum größten Ingenieure, aber egal, frage ich, es war noch ein Mathematiker drunter, frage ich, können Sie mir mal ein Beispiel von einer konvergenten Reihe sagen? Echt freundlich immer die Prüfungsfrage. Sagen Sie mir einfach ein Beispiel von einer konvergenten Reihe. Ich wäre ja sogar zufrieden gewesen, wenn er mir spitzfindig

wie er ist angeboten hätte, die Reihe über die Null. Zugegemaßen eine konvergente Reihe. Also was sagen Sie mir? Fünf hintereinander, die Reihe über 1 durch n. Da steht sie noch. Warum? Dann sage ich natürlich nicht falsch, sondern ich gemein, wie ich bin, frage ich,

warum ist die denn konvergent? Und die Antwort ist immer, naja, weil das 1 durch n geht ja gegen Null. Nein, ja klar geht es gegen Null, aber da steht es, die sind divergent. Ich habe die Frage so lange gestellt, bis der sechste Prüfling endlich sagte, der brachte mir auch kein Beispiel, weil er sagte, 1 durch n kann ich nicht nehmen, das ist divergent, ich bin im Fall schon fast um den Hals gefallen. Also nehmen Sie das bitte mit. Und die

ist so ein einfaches Gegenbeispiel. Dass die Sumaten gegen Null gehen reicht nicht. Das ist die

ganze Krux, weil das ist die Sauerei an den Reihen. Sonst wäre es ja einfach. Sonst wären Reihen popelig. Die Sauerei ist, die Sumaten gegen Null reicht nicht. 1 durch n ist an der Stelle eben das Beispiel. Gut, aber jetzt beweisen wir erstmal den 11-6. So,

also für die Notation wieder immer das Gleiche. Wir haben eine konvergente Reihe. Das heißt, Summe der Partialfolgen, die Folge der Partialsummen, meine Güte, k gleich 1,

bis n a k ist konvergent und deren Grenzwert, den n, ich wieder s. So, dann können wir die drei Punkte angehen, die da stehen. So, was müssen wir machen am a-Teil?

Wir müssen zeigen, dass wenn ich die ersten paar Summen weglasse, das Ganze immer noch konvergiert. Also wir geben uns irgendeinen Null vor, bis zu dem ich weglasse. Und dann schaue ich mir, was muss ich mir jetzt tun, um die Konvergenz dieser Reihe anzugucken? Ich

muss mir die Summe der Partialfolgen von dieser Reihe angucken. Also für m größer gleich Null betrachten wir, Folge der Partialsumme nenne ich mal sigma. Sigma m ist jetzt eben die Summe der Folge der Partialsummen. Also Summe von k gleich Null bis m über a k. Jetzt müssen

wir uns die Konvergenz von dem Ding angucken. Und das Ziel für den Beweis muss natürlich sein, dass sigma m irgendwie in Beziehung zu dem S m zu setzen. Weil von dem S m wissen wir,

dass es gegen S konvergiert. Was ist der Unterschied zwischen sigma m und S m? Naja, beim sigma m fehlen halt die ersten Null minus eins Summanden. Also sigma m ist dann die Summe von eins bis m über a k, minus die Summe von eins bis Null minus eins über a k.

Das ist S m minus die Summe k gleich eins bis Null minus eins über a k. Also oder anders noch anders geschrieben S m minus S Null minus eins. Die Summe k gleich eins bis Null minus eins ist einfach die Summe der ersten Null minus eins. So, jetzt können

Sie in der Gleichheit problemlos m gegen unendlich gehen lassen. Null ist ja eine fixe Zahl, hängt von dem m nicht ab. Also das Ganze hier konvergiert für m gegen unendlich gegen S minus S Null minus eins. Damit konvergiert also ist diese Folge sigma m eine konvergente

Folge. Und das heißt auch die Reihe ist konvergiert. Also auch die Reihe von nü bis unendlich a k ist konvergiert. Man sieht an dem Ding auch, dass der Reihenwert sich

die ersten Null minus eins abzieht. Gehen die im Reihenwert weg. So, aber damit haben wir die anderen jetzt auch schnell. A ist schon der längste Teil von dem Beweis,

weil was ist R nü? Haben wir uns gerade schon überlegt. R nü ist S minus S nü minus eins. Sie kriegen den Reihenrest, indem Sie die ganze Reihe nehmen und die ersten Nü minus eins abziehen. Das gilt für alle Nü aus N. Und damit ist der Limes

nü gegen unendlich von R nü gleich S minus den Limes nü gegen unendlich von S nü minus eins, naja das ist auch wieder S, S minus S. Also die Reihenreste konvergieren

nach Null. Und drittens, warum muss die Folge der summierten Zahl eine Nullfolge sein,

wenn die Reihe konvergieren soll? Das kann man folgendermaßen sehen. Wie kriegen Sie, wenn Sie die Summanden haben, können Sie daraus die Reihe bauen. Wie kriegen Sie aus der Reihe die Summanden? Naja Sie kriegen den Endensummanden, indem Sie bis zum Endensummanden

hochaddieren und dann die ersten N minus eins Summanden alle wieder abziehen. Bleibt nur der Endensummand übrig, also das Eind. So und jetzt lassen Sie da mal n gegen unendlich laufen. Dann stellen Sie fest, dass die beiden Folgen auf der rechten

Seite beide konvergieren. Das heißt nach den Grenzwertsätzen konvergiert auch ihre Differenz. Das heißt a n ist konvergent und der Grenzwert ist der Grenzwert von

S n minus der Grenzwert von S n minus eins ist S minus S. Also eigentlich ergibt

sich direkt aus der Definition der Partialsumme. Sobald die Partialsumme konvergieren, müssen die einzelnen Summanden gegen null kommen. So und wie gesagt kann man sich gut merken

als einfach ersten Test, wenn Sie eine Reihe vor die Nase geknallt kriegen und sagen sollen, ob die konvergiert oder nicht, probieren Sie mal, also entweder Sie haben gleich eine Idee, wie Sie drangehen, aber wenn Sie es nicht haben, gucken Sie mal kurz drauf, sind die Summanden in Nullfolge, wenn nicht, dann war es das gleiche und das Ding ist die weg. So noch ein

weiteres, was wir von den Reihen, von den Folgen rüber ziehen können zu den Reihen, sind zumindest Teile der Grenzwertsätze. Ich will jetzt im Moment noch keine Reihen dividieren, ich will auch noch keine Reihen multiplizieren, da werden wir nämlich feststellen,

da gibt es ein paar perfide subtile Gemeinheiten bei, aber wir können immerhin schon mal Reihen addieren. Bei Grenzwerten wissen wir ja, wenn Sie zwei konvergente Folgen addieren, dann wird das Ding wieder konvergent und so können Sie es auch mit konvergenten Reihen machen. Also wenn Sie zwei konvergente Reihen haben, Summe n gleich 1

müssen wir nennlich a n, Summe n gleich 1 müssen wir nennlich b n sein, beides konvergente Reihen und alpha und beta seien einfach zwei rehe Zahlen, dann kriegen Sie aus den Grenzwertsätzen

für die Folgen sehr schnell, dann konvergiert auch die Linearkombination, also die Reihe n gleich 1 bis unendlich alpha a n plus beta b n und Sie können auch den Reihenwert angeben, solange Sie den Reihenwert von a n und b n haben natürlich und der Reihenwert ist dann

alpha mal der Reihenwert von der Summe über a n plus beta mal der Reihenwert über die Summe b n. Heißt wenn Sie konvergente Reihen haben, dann können Sie mit den unendlichen Reihen so rechnen, wie Sie es gewohnt sind. Sie können aus der einen Reihe zwei machen und das alpha und

das beta vorziehen. Das ist das, wo ich vorhin noch gesagt habe, da steckt ein Grenzwertsatz hinter. Das wollen wir jetzt einmal über den Grenzwertsatz sauber beweisen.

Also was brauchen wir, um diese Gleichheit zu zeigen? Wir müssen die Konvergenz von der Reihe über alpha a n plus beta b n anschauen. Das heißt, wir müssen uns die Partialsummen davon anschauen und wir brauchen die Partialsummen der Reihe über a n und die Partialsummen der Reihe über b n. Mehr als die Hälfte von dem Beweis ist die Festlegung der

Notation. Also wie schon vorhin, das S n sei wieder die Partialsumme über die Reihe der a n, dann nenne ich dies T n die Folge der Partialsummen über die b k und schließlich R n die Folge

der Partialsummen über das alpha a k plus beta b k. So das jeweils für alle n in n. So was ist jetzt eigentlich nur noch zu tun? Na ja, jetzt sieht man schon R n, S n und T n hängen so

zusammen wie es sein soll und dann muss man in den Folgen R n, S n, T n den Grenzwertsatz für Folgen anwenden. Also was kriegen wir? Wir kriegen das R n ist die Summe k gleich 1 bis n

alpha a k plus beta b k. Jetzt haben wir da eine endliche Summe stehen. In endlichen Summen dürfen wir natürlich eh so rechnen, wie wir es gewohnt sind. Ist alpha k gleich 1 bis n über a k plus beta Summe k gleich 1 bis n über b k. Das ist genau alpha mal S n plus beta mal

T n. So jetzt wissen sie S n und T n konvergieren, weil ja die Reihen über a k und b k jeweils konvergente Reihen sind. Also konvergiert der Grenzwert auf der rechten Seite nämlich gegen

alpha mal den Grenzwert vom S n plus beta mal den Grenzwert von T n. Deswegen Grenzwertsatz konvergiert auch das Ding auf der linken Seite und zwar gegen alpha mal S plus beta mal T n. Und damit haben wir die Gleichheit, die wir haben wollen, auch mit bewiesen,

weil R n ist die Partialsumme zu der Summe über alpha a n plus beta b n. Also der Grenzwert von R n ist das linke Seite und rechts steht alpha mal der Grenzwert S plus beta mal der Grenzwert T n. Das ist so das, was man sich direkt aus dem Wissen über Folgen

rüberziehen kann. Jetzt kommt der erste Begriff, der ja originär was mit Reihen zu tun hat, der keine Entsprechung bei den Folgen hat und der schon in Richtung der Subtilität

geht. Da kommen wir nachher zu, das später zu diesem Moment noch nicht unmöglich macht, den Grenzwertsatz für Produkte zu übertragen. Der Grenzwertsatz für Produkte wäre ja Reihe über a n mal Reihe über b n. Wenn beide konvergieren, dann konvergiert die Produktreihe und die Frage ist,

was die Produktreihe ist, ist nämlich erstaunlich tief. Und damit wir uns da einsteigen können, brauchen wir als, brauchen wir einen Begriff, der damit erstmal so aussieht,

das hätte ja nichts damit zu tun. Und zwar verschärfe ich den Begriff der Konvergenz einer Reihe. Das ist eine Verschärfung, das schauen wir uns dann gleich an. Wir nennen eine Reihe n gleich 1 bis unendlich a n, eine Reihe in R nennen wir sozusagen besser konvergent,

sogenannt absolut konvergent, falls die Reihe n gleich 1 bis unendlich über Betrag a n konvergent ist.

Auf den ersten Blick halt einfach mal eine Definition. Eigentlich auf den ersten Blick

auch überhaupt nicht klar, wie die Definition, die hier mit der für Konvergenz einer Reihe zu tun hat. Also nächste Fragen, folgt aus absolut konvergent, konvergent, folgt aus konvergent, absolut konvergent, ist das vielleicht das gleiche. Das ist jetzt das,

was wir klären wollen. Und wenn es den Begriff schon gibt, wird da wohl was anderes sein. Wir kriegen jetzt erst mal einen Satz über die eine Richtung, die gut geht und dann ein Beispiel für die andere Richtung, die nicht gut geht. Also Satz 11, 10. Absolute Konvergenz ist tatsächlich was stärkeres als Konvergenz. Wenn Sie eine absolut konvergente Reihe haben,

dann folgt daraus, dass das Ding auch konvergänzt. Und wenn Sie also eine absolut

konvergente Reihe haben, dann können Sie eine Worst-Case-Abschätzung für den reinen Wert angeben. Der ist nämlich betragsmäßig kleiner gleich dem Reihenwert von der Reihe über die Beträge. Weil die Reihe absolut konvergent ist, ist diese rechte Seite ja der endliche Zahl.

Und was jetzt da steht, ist eine Ungleichung, die wir eigentlich schon ein paar Mal gesehen haben. Nur ein bisschen verallgemeinert, da steht der Betrag von der Summe, von der ziemlich langen Summe, aber egal, Betrag von der Summe ist kleiner gleich Summe der

wird auch gern verallgemeinerte Dreiecksungleichung genannt. Und wenn man sich dann ein bisschen dran gewöhnt hat, lässt man auch das verallgemeinerte gern wieder weg und sagt, das ist einfach die Dreiecksungleichung. Wie gesagt, die wichtigste Ungleichung, die

anhand ist. So, also, ich behaupte, hier der absolut konvergente Reihe konvergiert, wäre ja auch schön, wenn der Begriff absolut konvergent hört sich jetzt auch besser

an als konvergent, wäre sonst ein bisschen ein blöder Begriff. Der bezieht sich von der, wo er herkommt natürlich auf den absolut Betrag. Absolut konvergent heißt die Reihe über die absolut Beträge der einen konvergiert. Und tatsächlich ist das, wenn sie absolute

Konvergenz haben, impliziert das sofort Konvergenz. Wie sehen wir das? Das sehen wir über das Cauchy-Kriterium im schnellsten. Und das hängt auch, also, dass hier das Cauchy-Kriterium verwendet wird, ist kein Zufall. In dem Sinne, dass auch das wieder ein Satz ist, der massiv

am Vollständigkeitsaktion hängt. Wenn Sie also wieder in Q arbeiten, können Sie sich auch das wieder in die Haare schmieren. In Q gibt es durchaus Reihen, die absolut konvergent sind, aber nicht konvergent. So, also, warum folgt aus absoluter Konvergenz Konvergenz? Wir

geben uns ein Epsilon größer Null vor. Wir wollen ja das Cauchy-Kriterium für unsere Reihe nachrechnen. Dann wissen wir zunächst mal, dass ja die Reihe Betrag an konvergierend

ist. Also die Reihe Betrag an ist eine Cauchy-Folge. Das heißt, es gibt ein N0 in N, so dass das Summenstück von N gleich N plus 1 bis N über Ak über Betrag Ak kleiner ist als

Epsilon für alle N und M in N, wobei M größer N größer N0 ist. Das war das Cauchy-Kriterium für Reihen. Für jedes Epsilon größer Null gibt es einen Index, so dass wenn Sie sich zwei größere Indizes hernehmen und dazwischen das Reihenstück, das immer

kleine Epsilon. Eigentlich der Betrag von dem Reihenstück dazwischen, das Cauchy-Kriterium sauber anwenden, kriegen Sie hier natürlich nochmal Beträge drumrum, so sieht es eigentlich aus. Ich habe mir die Freiheit gelassen, diese Beträge wegzulassen, weil die Beträge da innen drin sind schon alle positiv. Wenn Sie positive Zahlen addieren, dann kommt da selten was Negatives raus. Also können wir die auch in die

Also was ich hier ausgenutzt habe, ist, dass die Reihe eins bis unendlich An, Ak absolut konvergent und absolut konvergent heißt eben die Reihe über die Beträge ist konvergent,

das heißt nach dem Cauchy-Kriterium das was da steht. So, jetzt nehmen Sie sich diese, dieses N0 her, also die bleiben mit N und M größer als diesem N0. Und was uns

hier eigentlich interessiert fürs Cauchy-Kriterium ist das Reihenstück von N plus 1 bis M von dem Ak und davon der Betrag. Wir müssen zeigen, es gibt ein N0, sodass ab diesem N0 für alle N und M dieses Reihenstück im Betrag kleiner als Epsilon bleibt. Also jetzt müssen wir hier

kleiner, kleiner, kleiner, kleiner, kleiner oder kleiner gleichschreiben und am Schluss muss kleiner Epsilon bleiben. Das ist aber gar nicht so kompliziert, weil was jetzt hier steht, ist eine endliche Summe. Für die können wir jetzt unsere ganz gewohnte Dreiecksungleichung verwenden. Also für diese N und M, gut vielleicht, ich schreibe es nochmal kurz aus, hier steht eine

endliche Summe am plus 1 plus am plus 2 bis plus am. Also Dreiecksungleichung kleiner gleich Betrag am plus 1 plus Betrag am plus 2 plus Betrag am. Das ist die Dreiecksungleichung.

Für endliche Summen und was hier steht, ist schlichtweg wieder die Summe von N plus 1 bis M über Betrag Ak und von der wissen wir dies kleiner als Epsilon. Also ist die Reihe von 1 bis

unendlich über Ak konvergent nach dem Cauchy-Kriterium. Jetzt haben wir Konvergenz, aber wir haben noch nicht die verallgemeinete Dreiecksunggleichung gezeigt, aber die

folgt, sobald man Konvergenz hat, dann relativ schnell. Das Problem ist immer erst mal Konvergenz zu zeigen, damit man nämlich so rechnen kann, wie man es will. Also jetzt schauen wir uns an, die Partialsummen von der Reihe über Ak nenne ich Sn und

Sigma n nenne ich die Partialsumme über die Reihe über die Betrag Ak und wir wissen jetzt das Sigma n ist eine konvergente Folge nach Voraussetzung, weil die Reihe konvergiert

ja absolut. Das Sn ist auch eine konvergente Folge, weil wir gerade gezeigt haben, absolute Konvergenz impliziert Konvergenz. Also sind die beide konvergent und außerdem, wenn man sich das anschaut, was wir oben gerechnet haben, können sie zeigen, dass

der Betrag von Sn, das ist der Betrag von der Partialsumme da oben, da können sie wieder die Dreiecksunggleichung verwenden, dann flutscht der Betrag nach innen rein, also ist der Betrag von Sn kleiner gleich dem Sigma n für alle n aus n. Ist die

gleiche Rechnung wie oben mit 1 bis n statt n plus 1 bis n. So und damit kriegen wir sofort, was wir wollen. Der Reihenwert, der Betrag vom Reihenwert über unsere Reihe über Ak, ist nach Definition des Reihenwerts der Grenzwert n gegen unendlich von Sn.

Jetzt brauchen wir einen Grenzwertsatz. Ich habe es nochmal nachgeguckt und das war in dem Satz über die Grenzwertsätze 6,8, Buchstabe C, der da sagte, wenn eine Folge konvergiert, konvergiert auch die Folge der Beträge und zwar gegen

den Grenzwert, den Betrag als Grenzwert. Das heißt, hier steht Limes Betrag Sn. So, Limes Betrag Sn können wir nach oben kontrollieren, nach der Ungleichung hier

durch den Limes n gegen unendlich Sigma n, da steckt jetzt natürlich auch wieder eine Aussage über Grenzwerte drin, nämlich die Monotonie, wenn eine Folge unter der Monotonie liegt, ist auch der Grenzwert kleinergleich. So und das da ist nach Definition der Reihe genau der Grenzwert k gleich 1 bis unendlich über Betrag

ak. Und was dann in Summe da steht, ist genau die verallgemeinerte Dreiecksbetragung. So, damit haben wir gesehen, absolute Konvergenz impliziert Konvergenz und der

Reihenwert von der konvergenten Reihe ist betragsmäßig immer kleiner gleichen Reihenwert der absolut konvergenten Reihe. Und was ist jetzt der Unterschied zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz? Der liegt im Wesentlichen daran, es gibt zwei Gründe, warum so eine Reihe konvergieren kann. Wir haben schon gesehen, wenn sie konvergieren soll, muss mal zumindest

die Folge der summanten Nullfolge sein. Wir haben auch schon gesehen, nur Nullfolge reicht nicht. Die Reihe über 1 durch N ist das klassische Beispiel. Das heißt, die Folge der summanten muss nicht nur eine Nullfolge sein, sondern muss irgendwie auch eine Nullfolge sein, die schnell genug gegen Null geht. Das ist die eine Möglichkeit, die Konvergenz entsteht. Ich

habe eine Folge, die schnell gegen Null geht, wenn ich die aufsumme, kommt was Endliches raus. Zum Beispiel geometrische Reihe oder 1 durch Reihe über 1 durch K Fakultät. 1 durch K Fakultät geht halt verdammt viel schneller gegen Null als 1 durch K, nämlich schnell genug. Die zweite Möglichkeit, wie Konvergenz entstehen kann, ist, betragsmäßig gehen diese

summanten zwar langsam gegen Null, aber sie wackeln viel hin und her. Sie haben wechselnde Vorzeichen und deswegen kann die Reihe nicht explodieren, sondern wird halt dauern, was dazugezählt und abgezogen und dazugezählt und abgezogen und dann wackelt sich das auf den Grenzwert zu. Das ist auch eine mögliche Form von Konvergenz. Das kann ein Grund von

Konvergenz sein und das sind die Reihen, die konvergieren, aber nicht unbedingt absolut konvergieren. Und das es tatsächlich einen Unterschied macht, will ich im nächsten Beispiel zeigen mit der sogenannten alternierenden harmonischen Reihe. Und auch wenn die jetzt

Namen hat, ist es keine von den Inselreihen. Ja, weil ich brauche noch einen dritten Platz für später. Das ist die alternierende harmonische Reihe. Sie erinnern sich an die harmonische.

1 durch N. Und jetzt geben wir der wechselnde Vorzeichen. Also nicht 1 plus 1 halb plus 1 drittel, sondern 1 minus 1 halb plus 1 drittel minus 1 viertel plus 1 fünftel minus und so

weiter. Wie kriegen wir das hin? Hier oben minus 1 hoch das Richtige. Für die ungeraden N brauche ich einen Plus, also N plus 1. Gut, das ist die alternierende harmonische Reihe.

Die Mathematikerinnen und Mathematiker kennen die vielleicht noch aus der Obo-Vorlesung. Da hatte die eine prominente Rolle. Die war mein Beispiel, um zu zeigen, dass Unendigkeit manchmal sehr seltsame Ergebnisse bringen kann. Und die ist auch ein ganz wichtiges

Beispiel in diesem Zusammenhang. Warum? Zunächst mal ist die nicht absolut konvergent.

Warum? Was müssten Sie dafür checken? Dafür müssten Sie checken. Das müssen Sie machen. Sie müssen sich anschauen. Summe N gleich 1 bis und endlich Betrag A N. Und müssen feststellen, ob das eine konvergente Reihe ist oder nicht. Naja, was ist das hier? Das

ist Summe N gleich 1 bis und endlich Betrag minus 1 hoch N plus 1 durch N. Naja, was passiert, wenn wir die Beträge auswerten? Betrag von minus 1 oder 1 ist immer 1. Wenn Sie die Beträge drüber rauen, kommt da einfach die harmonische Reihe raus. Und die ist bekanntlich die Vagent. Deswegen heißt das Ding alternierende harmonische Reihe. Es ist

einfach die harmonische Reihe mit alternierten Vorzeichen. Wenn Sie die Vorzeichen wieder in den Müller mal schmeißen, dann ist das Ding halt die harmonische Reihe und die Vagent. Also ist nicht absolut konvergent. Ist aber konvergent. Das will ich Ihnen jetzt zeigen. Und damit ist auch schon mal klar, dass diese beiden Begriffe wirklich

auseinanderfallen. Wir haben hier ein Beispiel von einer Reihe, die konvergent ist aber nicht absolut konvergent. Davon gibt es noch eine ganze Menge mehr. Kommen wir noch hin. Und man sieht wirklich, dass absolute Konvergenz ein stärkerer Begriff

ist als Konvergenz. Warum ist das Ding konvergent? Im Moment haben wir noch nicht viele Möglichkeiten, Konvergenz von einer Reihe nachzuweisen. Wir können uns nur die Folge der Partialsummen angucken. Also wie üblich, Sn Folge der Partialsummen. So, jetzt muss man da

so ein bisschen rumtrixen und es lohnt sich jetzt erst mal zu trennen, Sn anzuschauen für N gerade und für N ungerade. Was passiert für N gerade? Nein, das hier ja um so ein alternierendes

Ding geht, ist nicht sehr fernliegend, dass man sich es für gerade und ungerade getrennt anguckt. Wenn Sie sich ein Folgeglied der Partialsummen für die geraden N anschauen, Sn plus zwei, dann ist das das Folgeglied Sn, das vorhergehende gerade plus das Am plus eins plus das Am plus

zwei. Also bei unserer speziellen Wahl Sn plus, so jetzt kommt ein ungerades N. Für ein ungerades N ist dieses minus eins hoch N plus eins, minus eins hoch was gerade ist, also eins durch N plus

eins. N plus zwei ist wieder gerade, also steht hier minus eins durch N plus zwei. So, wenn man die beiden jetzt mal zusammen anschaut, eins durch N plus eins ist was größeres als eins durch N

plus zwei. Wenn ich von eins durch N plus eins, eins durch N plus zwei abziehe, bleibt nicht mehr viel, aber was positives übrig. Das heißt, das hier ist mehr als Sn. Und was wir jetzt gezeigt haben ist, wenn Sie sich die Teilfolge der geraden Indizes anschauen von dem S,

dann ist das eine monoton wachsende Folge. Also die Teilfolge mit geraden Indizes von der Folge der Partialsummen ist eine monoton wachsende Folge. Immer so zwei, ein

positive und ein negativer hintereinander, wenn Sie mit dem positiven anfangen, was positiv ist. Genauso können Sie jetzt die ungeraden anschauen. Bei den ungeraden ziehen Sie eine ab und zählen dann einen dazu. Das heißt, Sie ziehen mehr ab, als Sie dazuzählen. Das

heißt, die Teilfolge mit den ungeraden Indizes ist eine monoton fallende Folge. Das per se bringt uns jetzt noch nicht viel. Das ist doch eigentlich auch logisch, wenn Sie diese immer was dazuzählen, abziehen, dazuzählen, abziehen, dass dann die einen irgendwie fallen und die

wachsen. Gut, aber wir müssen jetzt zeigen, es n konvergiert. Wenn das Ding immer hin und her wackelt, heißt das noch nichts über Konvergenz. Aber die Kombi, die wir hier haben,

die ist, wenn man sie genauer anguckt, ziemlich gut. Weil was haben wir jetzt gezeigt? Zusammen haben wir für alle k in n das folgende. Die Folge der geraden Indizes mit den geraden Indizes ist wachsen. Also S2 ist dann gleich S4 ist kleiner gleich S2k. Von 2k nach 2k plus

1 kommt der positive Therm 1 durch 2k plus 1 dazu. Weil das ein negativer, ein ungerader Somant ist. Die ungeraden sind immer positive Vorzeichen, die geraden sind negative. Das

heißt, das hier ist kleiner gleich S2k plus 1. Ja, aber jetzt sind die Folgen der ungeraden, die war ja monoton fallen. Also das hier ist kleiner gleich S2k minus 1, ist kleiner gleich S3, ist kleiner gleich S1. So rum gelesen ist es monoton fallen von den ungeraden. So

rum ist es monoton wachsen von den geraden und in der Mitte muss man sich überlegen, dass wenn sie zur Summe, wenn sie bis zum 2k Somanten addiert haben, der nächste Somanten positiver ist, deswegen ist S2k immer kleiner gleich S2k plus 1. So was steht jetzt da? Jetzt haben wir

die Folge der geraden, die Teilfolge mit den geraden Indizes ist monoton wachsend, aber allerhöchstens S1. Die Folge mit den ungeraden Indizes ist monoton fallen, aber fällt nie der S2. Sind also beide beschränkt, sind also beide konvekt. So, damit haben wir die Folge der

geraden, die Teilfolge mit den geraden Indizes und die Teilfolge mit den ungeraden Indizes sind beide beschränkt. Monotonie haben wir schon, also sind sie beide konvekt. So,

das einzige was jetzt natürlich noch zu klären oder nicht nur das einzige, aber was jetzt mal zumindest zu klären ist, jetzt haben wir natürlich zwei Grenzwerte, nämlich den Grenzwert von den geraden und der Grenzwert von der ungeraden Teilfolge.

Die Frage ist, sind die überhaupt gleich? Da haben wir Glück, also wenn die nicht gleich wären, dann hätten wir sowieso schon mal verloren. Dann hätte die Folge der Partialsumme zwei Teilfolgen mit verschiedenen Grenzwerten, dann kann sie nicht kommen. Aber die sind gleich,

warum sind die gleich? Weil die kommen sie auf den S2n plus eins, indem sie den S2n nehmen und noch den 2n plus ersten Summanden dazuzählen, also das 1 durch 2n plus 1. Man beachtet die mit den ungeraden, die sind immer positiv. So, jetzt können sie hier

n gegen unendlich schicken, dann kriegen sie das hier, das waren die ungeraden, das geht gegen Sigma, das waren die geraden, das geht gegen S und das geht gegen Null, also Sigma gleich S. Jetzt sind wir immer noch nicht ganz fertig. Wir haben jetzt gesehen,

die beiden Teilfolgen gingen derselbe, die wecken auch irgendwie die ganze Folge ab, das heißt ja noch nicht, dass jede Teilfolge gegen dasselbe geht, aber das kann man sich jetzt überlegen, dass es doch reicht. Wie? Wir wollen zeigen,

die ganze Folge konvergiert, wir geben uns ein Epsilon größer Null vor, dann wissen wir aus der Konvergenz von den Geraden, dass es ein N1 in N gibt, sodass alle Geraden S2n von dem S höchstens Epsilon wegliegen, wenn das N nur größer gleich N1 ist. Für die

ungeraden gibt es möglicherweise anderes N2, sodass alle S2n-1 von dem S höchstens Epsilon wegliegen, für alle N größer gleich N2. Die ungeraden liegen von dem Sigma höchstens Epsilon weg, aber Sigma ist gleich S. So, und jetzt nehmen wir uns natürlich Ns,

die größer sind, als das Maximum von den beiden, das Maximum von N1 und N2 und für alle die N haben sie dann, jedes N ist entweder gerade oder ungerade, gibt es keine Wahl,

das heißt und da es größer ist als N1 und größer als N2, ist immer Sn-S kleiner als S. Und damit haben wir tatsächlich gezeigt, dass diese Folge eine konvergente

Folge ist. Man beachte, wir haben keinen Klassentunst für den Reihen Wert auf die Weise. Wir haben nur gezeigt, Monat um Wachstum beschränkt, Monat um Wachstum beschränkt, dann muss es irgendwie konvergieren. Es konvergiert auch alles gegen das Gleiche. Also es ist eine konvergente Reihe, was da rauskommt, wissen wir im Moment noch nicht. Wir werden es noch

rauskriegen in der ANA 1, aber es ist im Moment noch eine nichtbestimmbare Reihenwert. So, wir haben damit diesen Begriff der absoluten Konvergenz, der wird in der nächsten Vorlesung

noch wichtig. Ich will an dieses Beispiel jetzt direkt anknüpfen, weil die Überlegung, die wir gerade für diese Reihe gemacht haben, die hatte sehr wenig mit der speziellen

Struktur dieser Reihe zu tun. Wenn Sie sich das, was wir hier gemacht haben, durchgehen, dann stellen Sie fest, wir haben eigentlich nie gebraucht, dass die alternierende harmonische Reihe genau die Form 1 durch M plus 1 mit wechselnden Vorzeichen hat. Was wir hier gebraucht haben war, was haben wir gemacht? Wir haben uns die Folgen mit gerade zu manchen

angeschaut und haben ausgenutzt, dass dieses, was da dazukommt, immer positiv ist, beziehungsweise dass wenn Sie den ersten negativ und dann den positiven nehmen, immer negativ ist. Und wenn man das mal hat und dass die ganze Folge, die Folge der Summe hat,

eine Nullfolge ist, das haben wir hier hinten gebraucht. Aber das ist, wie gesagt, eh eine notwendige Voraussetzung für Konvergenz von einer Reihe. Und mehr braucht man hier eigentlich nicht. Das heißt, man kann diese Rechnung als Blaupause nehmen für einen ganz allgemeinen Satz. Jetzt schreibe ich Ihnen jetzt als nächstes hin, der gehört

aber schon zum nächsten Kapitel. Worum es jetzt geht, ist die Grundfrage, die schon die ganze Zeit im Raum steht, die gegebene Reihe, die kriege ich heraus, ob die konvergent ist oder nicht. Und der Abschnitt heißt, dementsprechend Konvergenzkriterien für

Reihen. Es soll also jetzt überhaupt nicht um die Frage gehen, wie rechne ich den Reihenwert aus, sondern nur um die erste Frage, wie zeige ich überhaupt, dass so eine Reihe Konvergenz. Und das der Konvergenzkriterien heißt, liegt daran, dass jetzt ganz viele Konvergenzkriterien kommen. Und dass so viele kommen, mag auf der einen Seite schön erscheinen, ist aber eigentlich ein Zeichen von Schwäche an der Stelle. Weil Sie werden feststellen,

die meisten von diesen Kriterien passen nur auf eine bestimmte Sorte von Reihen oder haben einen großen Bereich weiße Flecken auf der Karte. Also es gibt viele Reihen für die, die keine Entscheidung treffen kann. Es gibt das richtig fertige Kriterium, das einfach, wo man die Reihe reingibt und dann kommt unten raus ja oder nein. Das gibt es nicht. Die

meisten Kriterien können man nur manche Reihen verarbeiten oder liefern ja, nein und vielleicht. Und das erste Kriterium können wir uns direkt hier aus der Überlegung von

Das ist das sogenannte Leibniz Kriterium, benannt nach dem Keks. Nein, natürlich nicht, sondern nach dem deutschen Mathematiker Leibniz. Der taucht noch später in der Vorlesung auch noch prominent auf. Und das Kriterium verabstrahiert diese Überlegungen hier. Also

sozusagen, was sind die Voraussetzungen, die ich brauche, damit diese Argumentation durchgeht. Und die Voraussetzungen sind gar nicht viel, wenn sie eine Folge bn haben,

die eine monoton fallende Nullfolge ist. Also sie konvergiert gegen Null und ist monoton fallend von oben runter. Und jetzt bilden sie mit dieser bn, die bn sind natürlich jetzt alle positiv, nicht negativ, weil das Ding ist ja monoton fallend nach Null. Und jetzt

bilden sie mit der eine alternierende Reihe. Also jetzt schauen sie sich an die Reihe n gleich eins bis unendlich. Minus eins hoch n plus eins mal bn. Das bn im Fall der alternierenden ist eins durch n. Dann ist das immer eine konvergente Reihe. Und den Beweis führe

ich jetzt hier nicht aus, weil das geht genau wie bei der alternierenden harmonischen. Wenn sie den Beweis, den wir jetzt gerade für die alternierende harmonische Reihe gemacht haben, durchgehen, nochmal, stellen sie fest, alle Schritte, sobald sie wissen,

dass das bn monoton fällt und eine Nullfolge ist, geht alles durch, was wir hier gerechnet haben. Ich empfehle ihnen, probieren sie es mal. Danach haben sie den Beweis sicher sehr gut verstanden. So, es ist ein sehr angenehmes Kriterium, liefert natürlich

auch wieder keine Idee vom reinen Wert, aber liefert ihnen einfach ein Konvergenzkriterium, das ist leicht anhand, für die Reihe, das ist leicht anhand der summanten Nachprüfpreis. Zu prüfen, ob die summanten Nullfolge sind, ist eh immer eine gute Idee. Und wenn sie dann noch zeigen können, das Ding hat wechselnde Vorzeichen und wenn sie

die Vorzeichen wegschmeißen, ist es monoton fallen, haben sie sofort eine konvergente Reihe. So, die nächsten zwei Kriterien, also das nächste, es gibt jetzt zusammen passend ein Konvergenz- und ein Divergenzkriterium, das ich ihnen zeigen will,

formalisiert eine Überlegung, die vorhin auch schon mal anklargen, nämlich wir können Vergleiche verwenden. Wir haben schon gesehen, es reicht nicht, dass die Folge AN der summanten gegen Null geht, sie muss schnell genug gegen Null gehen. Was heißt schnell genug? Das ist nicht so richtig klar, aber was man schön sagen kann, ist, wenn ich eine

Folge habe von summanten, die geht gegen Null und sie geht schneller gegen Null als eine andere Folge, von der ich schon weiß, dass die Reihe konvergent ist, dann müsste doch bitteschön meine Reihe auch konvergent sein. Und wenn ich eine Folge von summanten habe,

die zwar gegen Null geht, aber langsamer als, sagen wir mal, 1 durch N, dann würde man davon ausgehen, naja, wenn schon die Reihe bei 1 durch N divergiert und jetzt mache ich was, was noch langsamer gegen Null geht, dann wird das wohl divergent sein. So ist es auch, und das sind das sogenannte Majoranten- und das Minoranten-Kriterium, also sogenannte

Vergleichskriterien, die Konvergenz und Divergenz von der einen Reihe zurückführen auf eine bekannte Konvergenz und eine Divergenz von der anderen. Also wir vergleichen jetzt zwei summanten Folgen, sein AN und BN, zwei reelle Folgen, und dann sagt

das Majoranten-Kriterium, das ist das Konvergenz-Kriterium, das sagt, wenn die Folge AN, also die Folge AN ist jetzt in diesem Satz immer die, für die ich Konvergenz nachweisen soll. Die

Folge BN ist die, über die ich schon was weiß. Und wenn ich jetzt weiß, meine kleiner gleich BN, also Betrag AN kleiner gleich BN verfasst alle N aus N und ich weiß,

dass die Reihe über die BN eine konvergente Reihe ist. Also das und ich weiß, die Reihe N gleich 1 müssen endlich BN ist konvergent. Man beachte, eigentlich ist die Reihe über

die BN sogar absolut konvergent, weil aus der Voraussetzung hier folgt, dass das BN zumindest ab irgendeinem Index immer positiv ist. Wenn das BN größer gleich Betrag AN sein soll, Betrag AN ist größer gleich Null, dann ist das BN zumindest ab irgendwann immer positiv. Das

heißt, die Konvergenz, die ich hier verlange, ist eigentlich sogar eine absolute Konvergenz. So, das heißt aber, qualitativ gesprochen, wenn das eine absolut konvergente Reihe ist, dann konvergiert die nur deshalb, weil das BN schnell genug gegen Null geht. Wenn aber das BN schnell gegen Null geht, dann bleibt dem AN gar nichts anderes übrig, als mindestens so

schnell mitzurennen. Das heißt, das AN läuft so schnell wie BN oder noch schneller gegen Null und tatsächlich stellt sich raus, dann ist auch die Reihe über das AN absolut konvergent.

Das ist das Majorantenkriterium und BN, wenn man sowas hat, dann nennt man diese Folge BN eine konvergente Majorante. Weil es eine Majorante ist, ich majorisiere meine Reihe über die ANs durch die Reihe über die BN. Die Reihe über die BN ist konvergent,

deswegen ist das eine konvergente Majorante. Und genauso gibt es ein Minorantenkriterium.

Das Minorantenkriterium ist das gleiche in die andere Richtung, wenn meine Folge AN größer ist als die Vergleichsfolge BN und das BN ist immer größer gleich Null. Auch wieder das nur für fast alle N aus N, die ersten 17 sind egal. Und ich weiß, dass die Reihe über

die BN divergent ist, dann ist das BN nicht schnell genug gegen Null laufen, um eine Konvergenz zu erreichen. Wenn das BN aber nicht schnell genug ist und das AN zumindest irgendwann immer drüber, dann kann das auch nicht schnell genug nach Null gehen. Tatsächlich kriegt man dann auch raus, dass dann auch die Reihe über das AN divergent ist. Das ist

die Idee der Vergleichskriterien und in dem Fall nennt man das BN eine divergente Minorante. Das ist eine Minorante, weil das BN die Folge AN minorisiert, die liegt drunter und die

anwenden will oder eins von denen sehen sie schon, das geht nur, wenn man genug Vergleichsreihen hat. Wenn ich von keiner einzigen Reihe weiß, ob sie konvergiert oder divergiert,

dann kann ich dieses Kriterium auch nicht anwenden. Ich brauche irgendwie so einen Grundstock an Reihen, von denen ich schon weiß, ob sie konvergieren oder divergieren. Das ist zum Beispiel einer der Gründe, warum die harmonische Reihe so wahnsinnig wertvoll ist, weil die harmonische Reihe ist wie gesagt eine divergente Reihe,

aber eine so gerade eben noch divergente Reihe und deswegen eine wunderbare Vergleichsreihe fürs Minorantenkriterium. Genauso wie die haben die geometrische Reihe, eine schöne Vergleichsreihe fürs Majorantenkriterium, ist dies nicht so besonders exakt. Die geometrische

Reihe konvergiert schon ziemlich mächtig, da ist noch viel Platz bis zur Kante, aber trotzdem ist sie halt eine schön einfache Reihe und deswegen eine beliebte Majorant. Gut, den Beweis hauen wir jetzt nicht in 45 Sekunden durch, den werde ich Ihnen dann am Anfang der nächsten Vorlesung zeigen. Vielleicht noch einen, an der Stelle

einen Spruch, um zukünftigen Frust ein bisschen abzudämpfen. Das Anwenden dieser Kriterien ist ein wichtiges Handwerkszeug und wir werden es auch sicher in den Übungen viel üben. Was man dazu wieder tun muss ist, dass im Zweifelsfall am Anfang Unbeliebte

abschätzen. Man muss irgendwie eine Folge B entfinden, die größer ist und alles richtig tut. Dazu gehört es und wenn Ihnen das passiert, seien Sie nicht frustriert, sondern sehen es als interessante Erfahrungen. Ich garantiere Ihnen, Sie werden in den

nächsten Wochen viele divergente Majoranten und konvergente Minoranten finden. Ja klar, ich meine was passiert bei einer divergenten Majorante? Sie haben das Ding nach oben abgeschätzt, aber zu viel weggeworfen und haben eine Reihe gefunden, die größer ist, aber divergent. Der Erkenntnisgewinn ist Null, weil klar, wenn man groß nach oben macht, kann es

natürlich divergent werden. Genauso eine konvergente Minorante, sie schölzen nach unten ab und gehen zu weit, kriegen eine konvergente Reihe. Das ist, will ich Ihnen sagen, in den nächsten Wochen seine divergenten Majoranten und konvergenten Minoranten. Sie

werden aber sehen, im Laufe der Zeit geht es besser und besser. Gut, soweit für heute. Wir sehen uns wieder am Donnerstag. Bis dahin vielen Dank für die Aufmerksamkeit.