Wir können die Integralrechnung nutzen, um eine Fläche (hier mit S gekennzeichnet) zwischen einer Funktionen und der x-Achse in den Grenzen a und b zu ermitteln. Wir sprechen dann von dem "bestimmten Integral". Wir kürzen folgendermaßen ab: Integral von a

nach b der Funktion f(x) dx. Wir müssen zur Berechnung die Stammfunktion F(x) ermitteln, in diese Stammfunktion die beiden Argumente a und b einsetzen und die Differenz F(b)-F(a) bilden. In der Wissenschaft ist es nicht selten,

dass man Flächen unter Kurven ermittelt, etwa bei diesem Gaschromatogramm (GC): Die sog. Peak-Flächen sind ein Maß dafür, wie viel Analyt vorliegt. Zu einer gegebenen Funktion f(x) (hier blau gezeichnet) gibt es eine unendliche Menge von Stammfunktionen F(x) (rot gezeichnet). Die blaue

Funktion ist die Ableitung jeder der roten Funktionen, gibt also die Steigung der roten Funktionen an. Dort wo die blaue Funktion negative Werte besitzt, (etwa zwischen 3,2 und 6,2) zeigen die roten Funktionen eine negative Steigung.

Dort wo die blaue Funktion positive Werte besitzt, (zwischen 0,2 und 3) zeigen die roten Funktionen eine positive Steigung. Die roten Funktionen unterscheiden sich voneinander nur durch eine Konstante C, der sog. Integrationskonstante. Der Ausdruck Integral f(x) dx heißt "unbestimmtes Integral" und besitzt

als Lösungen die Funktionen F(x)+C. Die wichtigsten Stammfunktionen sollte man auswendig kennen: die Stammformationen für f(x)=x^n lauten 1/(n+1) * x^(n+1) + C Diese Gleichung gilt für alle

Werte von n Außer für n=(-1). Für n=(-1) – also die Funktion f(x)=1/x lauten die Stammfunktionen ln(x) + C Die Stammfunktionen des Sinus sind (- cos(x)) + C.

die Stammfunktionen des Cosinus sind sin(x)+C. Die Stammfunktionen des Tangens sind (-ln cos(x) )+C. Am einfachsten sind die Stammfunktionen der e-Funktion sie lauten e hoch x plus C. Die Stammfunktionen des natürlichen

Logarithmus von x sind x*ln(x)-x+C. Ganz besondere Bedeutung haben die Integrale der GAUSSschen Glockenkurven in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Diese Funktionen sind symmetrisch um den Mittelwert f(quer).

Wenn wir das gesamte Integral der Funktion (von minus unendlich bis plus unendlich) zu 100 % setzen, dann liegen in einem Intervall von (f(quer)-s) bis (f(quer)+s) 68 Prozent der Gesamtfläche. (s ist die sog. Standardabweichung) Wenn wir das Intervall auf (f(quer)-2s) bis

(f(quer)+2s) ausdehnen, liegen schon 95,5 % der Gesamtfläche im Intervall. und zwischen (f(quer)-3s) und (f(quer)+3s) liegen schon 99,7 % der Gesamtfläche. In der kinetischen Gastheorie beschreibt die MAXWELL-BOLTZMANN-Gleichung die Geschwindigkeitsverteilung in einem Gas. Durch Integration

dieser Funktion können wir z.B. ermitteln, wie viele Teilchen eine gewisse Mindestgeschwindigkeit besitzen. Für die Integration komplizierterer Funktionen gibt es einige Regeln: Es gilt die Additionsregel - Integral (u(x)+v(x)) dx = Integral u(x) dx

+ Integral v(x) dx Man hat also summandenweise integrieren. Es gilt die Faktorregel: Integral (C * u(x) dx) gleich C * Integral (u(x) dx) Einen konstanten Faktor kann man vor das Integral ziehen.

Häufig kann man sich die Integration durch Substitution erleichtern. Gegeben ist eine Funktion u(v). Wir wollen das Integral u(v) dx ermitteln. Die Ableitung dv/dx ist v´. Umgestellt nach dx ergibt sich dx = dv/v´ Eingesetzt in das ursprüngliche Integral haben wir die Integrationsvariable dx durch die Integrationsvariable

dv substituiert. Aus der Produktregel für die Differentiation können wir eine Regel für die Integration ableiten - die sog. partielle Integration: Wenn wir eine Funktion als u(x) * v´(x) formulieren können, dann gilt Integral (u(x) * v´(x))

gleich u(x) * v(x) minus Integral (u´(x) * v(x)) (Zusammenfassung: Integrationsrechnung) Hier noch einmal das Basis-Handwerkszeug für die Integration: Sie sollten die wichtigsten Stammfunktionen

auswendig kennen (die Stammfunktionen von x hoch n, von 1 durch x, von Sinus, Cosinus und Tangens, von e hoch x und ln(x). Sie sollten die Faktorregel, die Substitutionsregel und das partielle Integrieren beherrschen.