Eine Funktion f wandelt ein Argument x in einen Wert f(x) um. Dieser Wert kann seinerseits wieder ein Argument für eine weitere Funktion g sein und wir erhalten am Schluss g(f(x)). Wir sprechen hier von der Komposition von Funktionen. wenn f(x) = x² und g(x) = Wurzel(x+1) ist, dann ist die

Komposition "g nach f von x" gleich Wurzel(x²+1) Wurzel(x²+1) Wir können die Reihenfolge der Funktionen vertauschen. Die Komposition "f nach g von x" entspräche (Wurzel(x+1))²

(Wurzel(x+1))² Im Allgemeinen kommt es auf die Reihenfolge an: "g von f von x" ist nicht unbedingt gleich "f von g von x". Den Graph einer Komposition von sehr einfachen Funktionen sehen Sie hier: Der Funktion f(x)=x² wurde die

Funktion g(x)=f(x)+1 nachgeschaltet. In diesem Graph entsteht die blau gezeichnete Funktion durch Addition einer Konstanten aus der rot gezeichneten Funktion. f(x)=x h(x)=f(x)+4 (h(x)=x+4) Die Verknüpfung kann multiplikativ erfolgen: f(x)=x² ; g(x)=f(x)*4

Der Graph dieser Funktion ist eine steile Parabel. In diesem Beispiel wurde die Funktion f(x)=x² in g(x) mit einer negativen Konstante multipliziert g(x)=f(x)*(-2) Der blaue Graph beschreibt die Funktion f(x)=x in g(x) wird die Konstante 1 abgezogen (rote Funktion). Wir multiplizieren

g(x) mit dem Faktor 3 und erhalten h(x) (grüne Funktion). Dies sind drei klassische Geradengleichungen. Die allgemeine Formulierung lautet: f(x)=m*x + b f(x)=m*x + b m ist die Steigung der Geraden und lässt sich z.B. aus

zwei Punkten (x1, f(x1)) und (x2, f(x2)) ermitteln b ist der Achsenabschnitt und entspricht dem Funktionswert zum Argument Null. Wir wollen die Gleichung der hier gezeigten Geraden

Steigung m. Dazu zeichnen wird das sog. ermitteln. Wir bestimmen zunächst die Steigungsdreieck ein (in grüner Farbe). Die Differenz der Funktionswerte der beiden Punkte ist (4 minus 2 gleich) 2 Die Differenz der Argumente der beiden Punkte ist (8 minus 3

gleich) 5 Die Steigung beträgt also m = 2/5 = 0,4. Wir können den Achsenabschnitt entweder aus der Grafik ablesen oder rechnerisch ermitteln, wenn wir die Geradengleichung nach b umstellen: Der Achsenabschnitt hat den Wert 0,8. Unsere Geradengleichung lautet also f(x) = m * x + b f(x) = 0,4 * x + 0,8 Häufig besteht ein linearer

Zusammenhang zwischen zwei physikalischen Größen - etwa im HOOKEschen Gesetz zwischen der Dehnung einer Feder und der Kraft. Der physikalische Zusammenhang ist also mit einer Gerade beschreibbar. Aufgrund zufälliger Fehler

werden die Messpunkte jedoch nicht alle exakt auf einer Gerade liegen. Man ermittelt in einem solchen Fall DIE Gerade, die am besten mit den gemessenen Punkten vereinbar ist ("lineare Trendlinie") Zur Ermittlung der Trendlinie verwendet man die lineare Regression: Die quadrierten und summierten Abstände der Messpunkte von der Trendlinie müssen minimalen sein. Die

meisten Tabellenkalkulationsprogramme beinhalten die Möglichkeit einer linearen Regression. Für die hier gezeigten Messpunkte ergibt sich beispielsweise die Geradenfunktionen f(x)=0,4994*x+0,0033 f(x)=0,4994*x+0,0033. Für zusammengesetzte Funktionen gilt selbstverständlich die "Reihenfolge der Rechenoperationen" (1)

Klammern werden zuerst berechnet, (2) dann Exponenten (3) schließlich die Multiplikation und Division (4) und am Ende die Addition und Subtraktion "Klammern vor Punkt vor Strich" In diesem Term sind vier Funktionen hintereinander geschaltet: Zunächst wird quadriert (f(x)=x²), dann wird 1

addiert (g(x)=f(x)+1), es wird durch 7 dividiert (h(x)=g(x)/7) und schließlich wird 2 abgezogen (i(x)=h(x)-1). Bei dieser Komposition ist das Verlaufsdiagramm etwas komplexer: Zunächst wird 2 addiert (f(x)=x+2) dann wird auf der einen Seite für g(x) durch x dividiert (g(x)=f(x)/x) und auf der anderen Seite für h(x) x durch f(x)

dividiert (h(x)=x/f(x)). Schließlich wird für i(x) g(x) und h(x) addiert. Hier sehen Sie die Komposition zweier Funktionen in der Mengendarstellung: Jedem Element der Menge A (rot) wird genau ein Element der Menge B (grün) zugeordnet. Jedem Element der Menge B (grün) wird genau ein Element

der Menge C (blau) zugeordnet. Das Verlaufsdiagramm für diesen Term sieht wie folgt aus: Zunächst addieren wir 5 zu x (f(x)=x+5) und dann bilden wir den Kehrwert von f(x) (g(x)=1/f(x)) Das Verlaufsdiagramm dieser zusammengesetzten Funktion sieht wie folgt aus: Zunächst dividieren wir 5 durch x (f(x)=5/x), anschließend addieren

wir 1 (g(x)=f(x)+1). Gegeben sind zwei Funktionen: f(x) = 1/x; g(x)=x²+2 wir bilden die Komposition "g nach f von x" ((Wiederholung)) wir bilden die Komposition "g nach f von x" (1/x)...

(1/x)²+2 oder 1/x² + 2 Wir bilden die umgekehrte Komposition "f nach g von x" Kehrwert von.. x²+1 1/(x²+2)