Für rechtwinklige Dreiecke gilt das Satz des Pythagoras. Die Summe der Kathetenquadrate sind gleich dem Hypotenusenquadrat. a² plus b² gleich c². Zum Beweis des Satzes von Pythagoras legen wir acht rechtwinklige Dreiecke zu einem Quadrat zusammen.

Ein inneres Quadrat, hier rot gezeichnet, bleibt frei. Die vier Dreiecke, die das rote Quadrat berühren, bilden zusammen mit diesem ein neues Quadrat mit der Seitenlänge c. Für dieses neue Quadrat können wir formulieren, die Fläche, also c², ist gleich der Fläche der grünen Dreiecke plus der Fläche des roten Quadrates.

Jedes rechtwinklige Dreieck hat die Fläche 0,5ab. Diese müssen wir vervierfachen, um die gesamte grüne Fläche zu erhalten. Das rote Quadrat hat die Fläche b-a².

4,5ab gibt 2ab. Nach der zweiten binomischen Formel ergibt sich b-a² zu b²-2ab plus a². Wir erhalten also a² plus b² gleich c², den Satz des Pythagoras.

Wenn wir über einer Strecke ab einen Halbkreis aufspannen und auf dem Halbkreis irgendeinen Punkt c aussuchen, dann sind die entstehenden Dreiecke abc immer rechtwinklig. Das ist der Satz des Thales. Wir können den Satz des Thales beweisen. Wenn wir eine weitere Linie von c zum Mittelpunkt des Kreises einzeichnen,

erhalten wir zwei gleichzeitige Dreiecke. Gamma und Delta ergänzen sich zu 180° im Nebenwinkel. Die Winkel α und β in den gleichzeitigen Dreiecken können wir mit der Winkelsumme der Dreiecks ermitteln.

Wenn wir die Palettenbeziehungen in die erste einsetzen, erhalten wir als Resultat, dass α und β immer gleich 90° sein müssen. Wir wollen ermitteln, an welcher Stelle der Schwerpunkt auf den Seitenhalbieren liegt.

Dazu skizzieren wir die drei Seitenhalbierungen in einem Dreieck und suchen zwei ähnliche Dreiecke. Die untere Seite des blauen Dreiecks verhält sich zur unteren Seite des grünen Dreiecks. Genauso wie die linke Seite des blauen Dreiecks zur linken Seite des grünen Dreiecks.

Dieses Verhältnis ist 2, denn es handelt sich bei M um eine Seitenhalbierung. Wir markieren zwei weitere ähnliche Dreiecke, ein orangefarbenes Dreieck und ein rotes Dreieck. Die Strecke AS ist die lange Seite der Seitenhalbierungen.

Die Strecke SMA ist die kurze Seite der Seitenhalbierungen. Entsprechend dem Strahlensatz verhalten sich diese beiden Strecken genauso wie die lange Seite des roten Dreiecks zur langen Seite des orangefarbenen Dreiecks. Zusammen mit der ersten Gleichung ergibt sich, dass der Schwerpunkt die Seitenhalbierungen im Verhältnis 2 zu 1 teilt.