Jetzt gucken wir uns was in Polarkoordinaten an, das kann ich dann auch mal sogar sinnvoll malen. Ich hätte gerne dieses Paraboloid, z ist gleich x² plus y², das dümmste Paraboloid von allen. Ich mal das mal so ein, mal grob skizzieren hier, dass man die Achsen nur für mich hier gerade skizziert.

x ausnahmsweise mal nach vorne, weil man sonst nichts erkennen kann. Das funktioniert ja so, dieses Paraboloid, dass der Schnitt entlang der x-Achse und der entlang der y-Achse eine schöne Parabel ist.

Die übliche Normalparabel. Wenn ich entlang y schneide hier, naja. Wenn ich entlang x schneide, also hier vorne und hinten, Spannung. Ich hoffe das gelingt, wenn ich entlang x schneide, kriege ich ja auch die Normalparabel, aber jetzt in dieser Richtung hier.

Und insgesamt haben sie so einen Vulkankrater, wie das jemand mal genannt hat, in einem der letzten Seminare. Mich interessiert das Volumen unter dem Vulkankrater.

Eine Kreisscheibe, nicht ganz gelungen hier, eine Kreisscheibe mit Radius 1. Dann kriegen sie hier ja 1² plus 0 hier raus und hier kriegen sie 0 plus 1² raus und so weiter. Also die Höhe hier ist 1.

Hier unten habe ich, mal ich das mal, hier unten habe ich eine Kreisscheibe mit Radius 1. Um den Ursprung in der xy-Ebene. Und was ich gerne wüsste, ist das Volumen. Was ist das Volumen unterhalb des Paraboloids?

Das möchte ich gerne wissen. Das Volumen unterhalb des Paraboloids. Irgendwie ist das hier zu flach geworden. Naja, Sie ahnen, was ich hier malen will. Ein Vulkankrater mit Radius 1.

Und ich wüsste gerne das Volumen, wirklich des Gesteins hier, das Volumen des Gesteins vom Vulkankrater. Ringsherum. Das könnte man jetzt ja mit xy rechnen, mit kathesischen Koordinaten, wie das Ding von eben. Wie den hier. Sie schreiben auf, zum Beispiel x läuft von hier hinten minus 1 bis da vorne plus 1.

Und überlegen Sie sich, wie dann y jeweils laufen muss. Für jeden Wert von x. Gibt eine fürchterliche Formel mit einer Quadratwurzel, die eindürtlich nervt.

Stattdessen mit Polarkoordinaten. Ich sage, okay, wie ist denn mit dem Abstand vom Ursprung hier her? Und dem Winkel zur x-Achse. Wie ist mit den beiden? Wie kann ich die Fläche, das Integrationsgebiet, diese Grundfläche hier, wie kann ich die beschreiben?

Ich möchte integrieren über r. Und ich möchte integrieren über phi. Was wären die Grenzen für r und phi? Und welche Funktion wird integriert? Eigentlich ist das dann das Muster zum Ausfüllen.

Von wo bis wo läuft phi, von wo bis wo läuft r. Oder andersrum auch wieder, jeweils wie es geschickt ist. Und welche Funktion wird integriert? Die Frage müssten Sie beantworten. Ich möchte hier diese gesamte Einheitskreisscheibe abgrasen.

Mal Sie mal von oben. Die gesamte Kreisscheibe möchte ich abgrasen. Das heißt, ich gehe die Radien durch von 0 bis 1, von 0 bis 1, von 0 bis 1, von 0 bis 1. Er wird nie negativ, das hatte ich jetzt bei einigen gesehen. Bitte, bitte, er nicht negativ.

Er ist immer 0 oder mehr. Die Wurzel aus x² plus y² ist 0 oder positiv. Der Radius fängt bei 0 an und geht bis 1 für die Einheitskreisscheibe. Bei 0 alle Punkte bis Radius 1. Und dann die Winkel.

Sie fangen zum Beispiel bei 0 an. Pi bis 2pi. Alle Winkel von 0 bis 2pi. Oder alternativ, welche anderen Winkel könnte ich auch nehmen? Genau, je nachdem, wie dieser Ausdruck hier wird, ist es vielleicht praktischer, von minus Pi bis Pi zu arbeiten.

Ich mache hier mal wieder Platz. Die Einheitskreisscheibe. Wir können ja auch sagen, wir fangen bei minus Pi an, 0, und gehen bis plus Pi. Ist ja dieselbe Figur. Oder Sie fangen bei 42pi an und hören bei 44pi auf.

Wobei ich glaube, dass das nicht gerade sehr effizient sein wird. Hauptsache Sie überstreichen hier 2pi. Und dann haben Sie die gesamte Figur. Das ist dieser Ärger, dass dieser Winkel ja nicht eindeutig ist. So. Jetzt gab es Fragen, was denn da jetzt als Funktion reinkommt.

Das ist ja nicht ganz so leicht. Nicht ganz so offensichtlich. Eben war es offensichtlich, was da reinkommt. In kathetischen Koordinaten kommt die Funktion da rein. Unter der ich das Volumen haben will. Da habe ich aber auch Salami-mäßig korrekt geschnitten.

Ich habe irgendwie ein Integrationsgebiet, dass ich so auf die Wurststrahlmaschine lege. Oder so. Da kann ich schief gehen. Jetzt bin ich aber in Polarkoordinaten. Das macht das Ganze schwieriger. Ich gehe alle Radien durch.

Ich gehe alle Radien durch. Und dann gehe ich alle Winkel durch. So sieht das dann ja aus, was ich kriege. Ich kriege kein Millimeterpapier. Sondern ich kriege so eine Figur. Und da teilt nach Radien und Winkel. Hier den Winkel. Stellen Sie sich vor, Sie gehen den Winkel in einen Grad schritten durch.

Dass Sie lauter solche Strahlen kriegen aus dem Ursprung. Und Sie gehen den Radius in Millimeter-Schritten durch. Dann haben Sie so eine Figur. So ein Polar-Diagramm eben. Und der Ärger ist, dass diese Flächen, die ich hier kriege, nicht immer dieselbe Größe haben.

Wenn Sie hier den Radius in Millimeter-Schritten durchgehen. Und den Winkel in Grad-Schritten durchgehen. Dann sehen Sie, dass der Radius hier innen eine relativ kleine Fläche erzeugt. Der eine Millimeter zur Seite erzeugt hier eine kleine Fläche. Hier draußen erzeugt der selbe Schritt im Radius aber eine große Fläche. Das muss man berücksichtigen.

Das hatte ich in den alten Videos vorgeführt. Das ist ein Faktor r, der hier noch dazukommt. Das ist dieser ominöse Korrekturfaktor. Sie können nicht einfach dr rechnen. Das wäre falsch, weil Sie dann so tun, als ob alle diese Flächenstückchen gleich groß sind. Sind sie ja nicht. Die Äußeren sind viel größer als die Inneren.

Ein Faktor r dazu. Das sieht man auch an den Einheiten schon, dass das ohne den Faktor hier nicht gehen kann. Wie sehen Sie das an den Einheiten? Also man guckt sich am besten einfach an, was hier für diesen Teil als Einheit rauskommen muss. Quadratmeter. Das muss ja eine Fläche sein. Diese Fläche wird mit der Funktion dann in die Höhe multipliziert.

Diese Fläche hier muss das sein. Hier muss ein Quadratmeter stehen. Meter. Meter. Quadratmeter. Ohne das r haben Sie keine Quadratmeter. Für die Physiker ist deshalb sofort klar, da gehört ein r hin. Man kann das Problem nicht anders lösen. Da vorne muss ein r hin. Was Sie dann auch nicht wissen, ist ob das 3r sind oder 4r oder 42r.

Aber das hatte ich in den alten Videos vorgeführt. Das ist wirklich einfach nackt ein Faktor r, der dazugehört. Sonst rechnen Sie nicht das Volumen aus, sondern irgendeinen Blödsinn. Davor kommt unsere Funktion, die zu integrieren ist. x² plus y². So sieht das dann aus. Das wird das Volumen sein.

Die Integrale wie eben dv, dr oder andersrum, je nachdem wie es gerade gut passt. Die Funktion, die zu integrieren ist und dann kommt eben noch dieser Korrekturfaktor dazu. Vorsicht mit dem Korrekturfaktor. Wenn Sie erst das Integral über dr bilden und dann das Integral über dv bilden,

dann gehört der Korrekturfaktor natürlich innen rein. Sie können den Korrekturfaktor nicht außen reinschreiben. Hier ist das Integral über r ja schon erledigt. Sie haben kein r mehr. Dann steht das r hier quer in der Gegend und keiner kann was damit anfangen.

Das ist am einfachsten, so machen die Physiker das gerne. Nehmen Sie immer r, dr zusammen als einen Block. Dann kann das nicht schiefgehen. So, das nach den Vorbemerkungen. Das Integral sieht jetzt etwas unhandlich aus. x², y², r-phi.

Was machen Sie mit x² plus y²? Das ist der Sinn der ganzen Sache. Hier steht also r². x² plus y² ist r² und so weiter und so weiter. Rechnen Sie das mal aus. Das sollte jetzt gradlinig sein. Ja, wo die Frage aufkam. Also das ist dann natürlich der Trick.

Die Funktion, die zu integrieren ist, die muss ich in Polarkoordinaten ausdrücken. Sonst kriege ich es ja nicht integriert. Wie hängt x von r und phi ab? Wie hängt y von r und phi ab? Wenn Sie gar keine Chance sehen hier, dann schreiben Sie eben x mit Polarkoordinaten, r mal cosinus, phi, Quadrat

und y mit Polarkoordinaten, r mal sinus, phi, Quadrat. Pythagoras, zusammenfassen, gibt r². Oder Sie sehen eben direkt Pythagoras. x² plus y² ist r². Also die Funktion, die ich integriere, die muss ich natürlich jetzt in Polarkoordinaten hinschreiben. Was haben wir?

Innen steht r hoch 3, d phi von 0 bis 2 pi und außen von 0 bis 1 dr. r hoch 3 ist ja für dieses phi-Integral eine Konstante. Hier läuft der Winkel von 0 bis 2 pi.

Aber r hoch 3 ist eine Konstante. Was kann ich also mit r hoch 3 tun? Genau, die r hoch 3 können wir natürlich damit ausziehen. Und dann steht innen das Integral von 0 bis 2 pi einmal d phi. Vielleicht schreibe ich es nochmal hin. 0 bis 1, das Integral von 0 bis 2 pi d phi

r hoch 3 dr. Was halten Sie von diesem Integral? Wir könnten jetzt eine Stammfunktion hinschreiben. Phi als Stammfunktion von 0 bis 2 pi, aber das wäre ein bisschen peinlich, das mit Stammfunktion zu machen,

eine Funktion, die von 0 bis 2 pi den Wert 1 hat. Hier steht einmal d phi. Diese Fläche ist einmal 2 pi. Hier kommt 2 pi raus, was ich wieder vor das Integral ziehen kann. Und dann habe ich da, das ist 2 pi mal das Integral von 0 bis 1 r hoch 3 dr.

Also hier eine Stammfunktion r hoch 4 viertel von 0 bis 1. Ups, von 0 bis 1. Wir kriegen hier also 1 viertel minus 0 viertel 2 pi viertel macht pi halbe. Pi halbe für dieses Volumen.

Sanity check. Womit könnten Sie dieses Volumen mal vergleichen, um die Idee zu kriegen, ob pi halbe sinnvoll ist? Womit vergleiche ich das hier mal? Vergleichsvolumen wäre ein Zylinder mit Radius 1,

ein gerader Kreiszylinder, muss man offiziell sagen, ein gerader Kreiszylinder mit Radius 1 und Höhe 1. Und der hat als Volumen Grundfläche pi mal r², also pi mal Höhe mal 1. Der hat als Volumen pi. Ich will sagen, die Fläche unter dem Paraboloid

ist nur die Hälfte davon. Lustigerweise schneidet das Paraboloid also anscheinend die Hälfte weg. Das ist vielleicht etwas überraschend, weil er schneidet hier in der Mitte weit runter. Das Paraboloid schneidet sehr weit runter. Wodurch wird das ausgeglichen, dass der in der Mitte so schnell so weit runterschneidet?

Schön formuliert, ein Ring, der ausgeschnitten wird. Hier außen bleibt ja viel stehen. Bei dem größeren Radius außen bleibt viel stehen. Das wiescht es wieder auf. Je weiter außen ich was abschneide, wenn wir von oben gucken, je weiter außen ich was abschneide, umso mehr Volumen bleibt ja übrig. Wenn Sie innen so eine Schicht abschneiden,

hat die relativ wenig Volumen. Außen kriegen Sie mehr Volumen. Das gleicht sich aus. Also lustigerweise die Hälfte des Zylinders. Das ist das Volumen.