15A.1 Potenzreihe für Arcustangens; Konvergenzradius
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| Identifikatoren | 10.5446/10332 (DOI) | |
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Inhaltliche Metadaten
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Mathematik 2, Sommer 201238 / 64
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PotenzreiheQuadratExponentZahlZahlenbereichSchätzungLogarithmusFunktion <Mathematik>Ableitung <Topologie>ReiheGleichheitszeichenMatrizenringQuadratzahlGleichungRichtungAnalytische FunktionStammfunktionKonstanteVorzeichen <Mathematik>PositionPolynomPhysikerUnendlichkeitSummeMathematikPotenzreiheReelle ZahlE-FunktionKosinusfunktionSinusfunktionFlächeSummierbarkeitComputeranimation
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SummeTermMathematikBestimmtes IntegralIntegralExponentWinkelZahlenbereichStammfunktionLogarithmusPotenzreihePhysikerVorzeichen <Mathematik>ComputeranimationDiagramm
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Geometrische ReihePhysikalische GrößeVorzeichen <Mathematik>Supremum <Mathematik>ExponentialfunktionStützstelle <Mathematik>CW-KomplexReiheKanteNegative ZahlRandZahlRadiusEckeFensterfunktionComputeranimation
20:03
Betrag <Mathematik>SummePotenzreiheMathematikPositive ZahlExponentialfunktionExponentComputeranimationDiagramm
21:06
Betrag <Mathematik>MathematikReihePositive ZahlKanteGrößenordnungExponentialfunktionKoeffizientRadiusPotenzreiheSummandFormelsammlungQuelle <Physik>SummeCW-KomplexZahlZahlentheorieModulformExponentComputeranimationDiagramm
28:40
KoeffizientPotenzreiheBetrag <Mathematik>ComputeranimationDiagramm
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MatrizenringExponentKoeffizientZahlModulformKonstanteBetrag <Mathematik>QuadratPhysikalische GrößeRadiusMathematikTabellePotenzreiheTermDreiComputeranimationDiagramm
35:20
Betrag <Mathematik>LogarithmusZahlentheoriePunktStetige FunktionExponentPotenz <Mathematik>PotenzreiheMathematikRadiusMatrizenringUnendlichkeitReiheComputeranimationDiagramm
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Geometrische ReiheReihePotenzreiheUnendlichkeitAbschließungSummeAnalytische FunktionRadiusExponentFunktion <Mathematik>Diagramm
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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Nochmal allgemein die Idee hinter den Potenzreihen. Wir hatten die Taylor-Polynome, da hatte ich ja sowas, wenn ich aus meiner Originalposition x0 so ein bisschen rausgehe, was passiert, dann habe ich den Originalfunktionswert und ich kriege ein bisschen was von der ersten
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Ableitung und ich kriege vielleicht noch ein bisschen weniger, das soll F2-Strich sein. Und der zweiten Ableitung dazu und so weiter. Bei den Taylor-Polynomen war der Gedanke, ich höre irgendwann auf. Ich gehe hier bis zur 13. Ableitung und dann Feierabend.
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Also es steht hier kein gleicher Zeichen, sondern ein Gerundezeichen, nicht nähere. Und die Frage nun, die nächste weitere Frage ist, okay, was passiert, wenn ich jetzt hier nicht bis 13 gehe oder bis 100 gehe, was passiert, wenn ich hier ein bisschen zu demtliche aufsummiere? Dann habe ich bei netten Funktionen, den sogenannten analytischen
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Funktionen, tatsächlich ein Gleichheitszeichen. Die Funktion wird gleich dieser unendlichen Summe der Reihe. Davon will ich jetzt noch ein paar präsentieren. Wir hatten eine Potenzreihe, die die elementarste war, e hoch x, mehr oder minder die Definition
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der e-Funktion, eins plus x plus x² halbe plus x hoch drei Drittel und so weiter. Wenn man die hat, fällt einem auch sofort eine Potenzreihe für den Sinus und für den Cosinus vor die Füße. Wegen e hoch i Phi ist gleich Cosinus Phi plus i Sinus
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Phi. Kann man dann sofort Sinus und Cosinus mit Potenzreihen schreiben, eben solchen unendlichen Summen. Die zweitwichtigste Potenzreihe war die geometrische Reihe, die ja heute schon im Seminar vorkam. Eins durch eins minus x ist eins plus x plus
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x² plus x hoch drei plus und so weiter, bis uns ein Endliche aufsummiert. Das Schöne an der e-Funktion und Sinus und Cosinus ist, das geht für alle x, für alle x aus den reellen Zahlen. Dieses hier ärgerlicherweise geht aber nur für x, ich mach's mal so
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eins und eins und nicht gleich minus eins und nicht gleich eins. Das hatte ich vorgeführt mit der Teleskopensumme, dass man das dann tatsächlich untersuchen kann, was übrig bleibt, wenn ich hier aufhöre bei x hoch 13 oder x hoch 1000. Im Seminar war die
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gerade integriert, um was für den Logerhythmus zu finden, den natürlichen Logerhythmus eine Potenzreihe zu finden. Ich wollte jetzt nochmal eine Potenzreihe bringen, die wir eigentlich schon mal hatten, ohne dass sie viel wussten über Potenzreihen und was die so
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den ganzen Tag tun. Ich möchte nämlich folgendes jetzt haben. Ich hätte jetzt gerne eine Potenzreihe für eins durch eins plus x². Wie können Sie diese Potenzreihe so kneten, dass Sie eine Potenzreihe für eins durch eins plus x² finden? Vielleicht ist es weniger
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irritierend, wenn in dieser Reihe hier nicht x stünde, sondern sagen wir u stünde. Dann streicht man leichter durch. Was denn da jetzt passiert? Stellen Sie sich das mit u vor, ob Sie das hier x oder u nennen, ist ja Schnurz. Wie wählen Sie x und u passend zueinander?
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Den Trick hatten wir vor langen Jahren schon. Kann man schnell wieder vergessen, der besagte Trick ist, minus u muss also plus x² sein. Ich setze minus u gleich x² in dieser
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Gleichung da oben. Ob Sie u nun u nennen oder ob Sie u minus x² nennen, macht die Gleichung ja nicht kaputt. Und dann habe ich eben das und auf der rechten Seite steht 1, u ist minus x². Hier steht minus x², also plus x hoch 4. Hier steht minus x², so etwas,
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minus x² hoch 3. Also minus x hoch 6 kommt hier als nächster. Minus x hoch 6 plus minus. Damit habe ich also eine Potenzreihe für 1 plus x². Und die Grenzen, in denen
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die gilt, sind natürlich dann analog. Wenn u von minus 1 bis 1 liegen darf, von wo bis wo darf denn jetzt das x liegen? Lustigerweise geht für dieses x genau dieselbe Einschränkung. Minus 1 kleiner x kleiner plus 1. Wenn sich x der 1 nähert, nähert sich x² auch der
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plus 1. U nähert sich also der minus 1, damit hier minus minus wieder plus 1 gibt. Wir kommen in den Bereich, das wäre verboten, die minus 1 zu erreichen. Und hier unten,
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wenn sich x der minus 1 nähert, nähert sich x² der plus 1. U muss sich schon wieder der minus 1 nähern. U wird sich nicht der 1 nähern, wegen des Minuszeichen, solange x nicht komplex ist. Aber in beide Richtungen der minus 1 nähern. Also für x hier dieselben
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Einschränkungen. Und der Trick ist jetzt zu integrieren. Eben im Seminar hat nur diese Reihe hier genommen und beide Seiten integriert und was über den Logarithmus gelernt. Und jetzt nehmen Sie den hier, das hatten wir vor langen Jahren schon mal, beide Seiten integrieren von 0 bis zu irgendeinem x1. Dann muss das hier immer noch gleich
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sein. Wenn diese Funktion links, vielleicht diese Funktion rechts ist, für diese x, und ich in diesem Bereich integriere, dann muss wohl was links rauskommt als Fläche unter der Funktion gleich dem sein, was rechts rauskommt, als Fläche mit Vorzeichen
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unter der Funktion. Was heißt das? Das Integral der linken Seite. Da dürfen Sie sich jetzt nicht ins Boxhorn jagen lassen. Das sieht so aus wie Logarithmus von irgendwas, aber wenn Sie nachrechnen, stellen Sie fest, ups, geht beim besten Willen nicht. Man kann ja einfach mal plotten, wie das aussieht. Wie sieht das hier als
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Funktionskurve aus? 1 durch 1 plus x². Also es ist offensichtlich immer positiv. Es ist maximal 1, nämlich wenn x gleich 0 ist, dann steht hier 1 durch 1. Wenn x nicht
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gleich 0 ist, steht hier 1 durch mehr als 1. Also dann wird es weniger als 1. Es ist nur für x gleich 0, gleich 1. Und wenn x über alle Grenzen wächst, 1 durch sehr viel, oder nach links unter alle Grenzen sinkt, negativ wird, 1 durch sehr viel, wird 0 werden. Das wird so eine Glocke sein. Nicht die Gaussglocke, aber so eine Art Glocke
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werden, die dann hier asymptotisch auf die x-Achse läuft. Nicht gerade gut gelungen, wie ich das hier gezeichnet habe. Das wäre 1 durch 1 plus x². Und wenn Sie sich dann vorstellen, wie davon eine Stammfunktion aussehen könnte. Die Stammfunktion muss
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hier die Steigung 1 haben. Aber die Stammfunktion muss ja die integrierte Funktion sein. Und dann muss die Steigung schwächer und schwächer sein. Positiv positiv, aber schwächer und schwächer. Und auf dieser Seite auch positive Steigung, aber nach links schwächer und
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schwächer. So was. Und an der Stelle muss man sich dann inspirieren lassen und sagen, das sieht doch aus wie ein Tangens, quergelegt. Argus Tangens. Das muss dabei rauskommen. Dann kann man es an der Stelle nachschlagen oder Notfalls, Wolfram Alfa
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befragen, aber irgendwann weiß man das auswendig hier. Hier von Stammfunktion Argus Tangens. Plus die übliche Konstante, die mich nicht interessiert, weil ich hier ein bestimmtes Integral bilde. Also, auf der linken Seite kriege ich den Argus Tangens. Von 0 bis x1. Und auf der rechten Seite gehe ich einen nach dem anderen durch.
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1 wird integriert x. Stammfunktion x² mit dem Minus wird minus x hoch 3 drittel. Minus x hoch 3 drittel. Und so geht es natürlich weiter. Plus x hoch 5 fünftel
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minus x hoch 7 fünftel. Plus minus bis hin zu unendlich hier vorne. Wo sind wir hier? 0 bis x1. Wobei ich unterschwellig was gemacht habe, was die Ingenieure und
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die Physiker hemmungslos tun und die Mathematiker nicht tun dürfen. Ich habe hier ja eigentlich eine unendlich lange Summe integriert. Term für Term. Darf ich, um dieses Integral auszurechnen, jeweils das Integral ausrechnen und wenn das hier endlich viele wären, mindestens 1000 wären, dann dürfte ich es. Das Integral
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einer Summe, einer endlichen Summe, ist die Summe der Integrale. Aber wenn das hier unendlich viele sind, kommt die Mathematiker ganz schwer ins Grübeln. Und es gibt auch pathologische Fälle, in denen das schief geht. Ingenieurmäßig geht man typischerweise drüber hinweg und sagt Augen zu und durch. Wir integrieren das Term für Term. Was soll schon passieren? Argus Tangens hier. Argus Tangens von x1.
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Es gibt das hier. Argus Tangens von x1. Minus ein Argus Tangens von 0, der 0 ist. Und hier habe ich x1 minus x1 hoch 3 drittel plus x5 x1, oben einsetzen, hoch 5 fünftel
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minus x1 hoch 7 siebte plus minus und so weiter, minus null einsetzen. Das ist eine Potenzreihe für den Argus Tangens. Denn der Argus Tangens entwickelt an der
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Stelle 0. Wenn Sie Argus Tangens eines kleinen Winkels haben wollen, nehmen Sie den Winkel im Bogenmaß, ziehen die dritte Potenz drittel ab, addieren die fünfte Potenz fünftel drauf und so weiter und hören dann irgendwann auf. Aber lustigerweise ist, dass das gleich ist. Ich kann den Argus Tangens tatsächlich ausrechnen, indem ich hier
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die Potenzen bis ins Endliche aufsummiere. Der Ärger ist, das geht leider nicht für alle Zahlen. Wenn Sie aufgepasst haben, sehen Sie schon, was wir nur garantiert haben.
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Für welche Zahlen wird es gehen und für welche Zahlen müsste ich vorsichtig sein, weil ich das nicht gezeigt habe. Genau, das ist das Einzige, was ich weiß. Für x zwischen minus eins und eins. Darüber hinaus weiß ich nichts. Ich habe ja hier gesagt,
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dieses gilt für u zwischen minus eins und eins, also gilt dieses für x zwischen minus eins und eins. Und wenn ich jetzt integriere, darf ich natürlich nicht aus diesem Bereich rauskommen, sonst weiß ich nicht, ob diese Gleichheit gilt. Ich muss weiterhin in diesem Bereich, zwischen minus eins und eins, hier arbeiten. Darüber hinaus weiß
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ich nichts. Also abgesehen von diesem Händewedeln hier mit der Reihe, die man Term für Term integriert, abgesehen davon habe ich jetzt nachgewiesen, dass ich den Argus Tangens so schreiben kann, indem ich tatsächlich unendlich viele aufsummiere. Aber nur für x zwischen minus eins und eins. Ich weiß nicht, was passiert, wenn x gleich
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eins ist, oder wenn x gleich zehn ist, oder was ähnliches ist. Das weiß ich nicht. Das würde ich jetzt gerne nochmal ein bisschen weitertreiben. x exakt gleich minus eins. Gucken Sie sich mal an, was dann auf der rechten Seite passiert. Und
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dann vielleicht mal, was passiert, wenn x exakt gleich plus eins ist. Was passiert dann? Nehmen wir mal minus eins von mir aus. Nehmen wir testweise minus eins. Was passiert testweise für minus eins, wenn ich das in die rechte Seite einsetze? x eins gleich minus eins. Was macht die rechte Seite dieser Reihe?
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Ich habe überhaupt keine Gewährleistung, dass das dann irgendwas mit dem Argus Tangens zu tun hat. Ich möchte nur mal gucken, was denn dann böses oder nicht so böses passiert. Da steht minus eins, minus, und jetzt ist das hier auch minus eins. Plus, minus eins hoch fünf wird wieder minus eins sein. Also steht hier
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minus ein Fünftel. Minus eins hoch sieben wird auch wieder minus eins sein. Also
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minus eins plus ein Drittel, minus ein Fünftel, plus ein Siebtel, minus plus bisschen zu endliche. Was halten Sie davon? Minus eins, ein Drittel drauf, ein
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Fünftel runter, ein Siebtel rauf. Haut das hin? Haut das nicht hin? Also anschaulich. Vielleicht auf den Zahlenstrahl mal. Irgendwo ist mein Zahlenstrahl so, da ist die Null und da ist die Minus eins. Ich fange bei minus eins an, dann addiere ich ein Drittel drauf, dann ziehe ich ein Fünftel ab und dann addiere ich ein
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Siebtel drauf und dann ziehe ich wieder was ab und addiere was drauf. Was halten Sie davon? Das zieht sich offensichtlich immer mehr zusammen. Sie addieren ja mehr drauf, als sie nachher abziehen. Insofern kommen Sie hier nicht aus dieser Schleife raus. Es wird immer enger zusammen laufen. Dieses
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Ding konvergiert. Das hat einen Grenzwert. Das kann nicht entweichen, absurderweise. Dasselbe passiert, wenn Sie eins einsetzen, nur mit einem Vorzeichen. Also das Phänomen, was man hier plötzlich hat, ist, dass sich eins rechts einsetzen kann. In der Originalformel, hier haben Sie
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diese Grenzen. Schwierig, schwierig. Wenn Sie die obere Grenze einsetzen, eins plus eins plus eins plus eins plus eins, fliegt mir um die Ohren. Wenn Sie die untere Grenze einsetzen, eins minus eins plus eins minus eins.
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Das konvergiert nicht, weil es hin und her geht. Aber in dieser Formel lustiger Weise kann ich tatsächlich die eins einsetzen. Hier kann ich tatsächlich die eins einsetzen und es wird funktionieren. Ich kann die minus eins einsetzen und es wird funktionieren. Soweit ist die rechte Seite noch okay. Ich habe keine Garantie an dieser Stelle, dass dann auch wirklich der Akkustangens von eins und
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minus eins rauskommt. Aber es wäre schon komisch, wenn nicht. Aber immerhin geht die rechte Seite noch bis eins und minus eins. Aber was passiert, wenn ich jetzt über eins hinaus gehe? Was ist, wenn Sie hier für das x eine Zahl einsetzen, zum Beispiel wie 1,1 und hier nehmen Sie 1,1 hoch 3 und hier nehmen Sie 1,1 hoch 5. Was wird dann passieren, wenn ich etwas über
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eins hinaus gehe? Hier steht doch zum Schluss so etwas wie, oder im Allgemeinen soll ich sagen, hier steht im Allgemeinen so etwas wie 1,1 hoch n, n eine ungerade
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Zahl, durch n. Was passiert mit 1,1 hoch n durch n, wenn n über alle Grenzen wächst? Das wäre eine schöne Begründung. 1,1 hoch n ist eine Exponentialfunktion. Das wächst viel schneller als da unten meine gerade. Exponentialfunktion durch
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gerade. Die Exponentialfunktion wird gewinnen. Dieses hier wird gegen unendlich gehen. Das heißt, wenn Sie dieses hier bilden, summieren Sie Sachen auf, die immer größer werden. Irgendwas minus irgendwas anders plus irgendwas noch anderes, minus und so weiter und immer größer. Nicht das, was ich hier hatte, wo sich das immer weiter zusammenzieht, die werden ja immer
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kleiner mit verschiedenen Vorzeichen obendrein. Was Sie haben ist, dass Sie was addieren und was Größeres dann abziehen und wieder was Größeres addieren und so weiter. Das wird beim besten Willen sich auf keinen Wert zusammenziehen. Das ist so eine händewählende Begründung, dass Sie nichts über eins einsetzen können. Wenn Sie was über eins einsetzen, wird das Ganze immer stärker oszillieren, je mehr
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Sie das aufsummieren hier hinten. Das kann nicht funktionieren und genauso auch nicht für negative Zahlen. Also lustigerweise weiß ich, wenn man das noch weitertreibt, die rechte Seite konvergiert zwischen minus eins und eins,
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aber nicht außerhalb. Konvergiert für, ich sage immer noch x1. Minus eins kleiner gleich x1, kleiner gleich eins, aber nicht für die anderen x. Konvergiert
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nur, so gefällt mir das am besten, konvergiert nur für diese x und keine andere. Das kann man sich so überlegen. Das ist ein bisschen anderes Verhalten eben als bei der geometrischen Reihe. Die konvergiert innen drin in diesem Bereich und an den Rändern nicht und diese Reihe
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lustigerweise konvergiert auch an den Rändern. Für diese Art Angabe gibt es einen technischen Begriff. Das ist der Konvergenzradius. Ich sitze an meiner
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Stützstelle und der Konvergenzradius sagt, wie weit ich nach links und rechts kann oder im Komplexen nach oben und unten, wenn Sie wollen. Der Konvergenzradius sagt, wie weit ich aus dieser Stützstelle raus kann, um welchen Abstand. Und jetzt sehen wir, ok, der Konvergenzradius muss eins sein. Ich kann nicht weiter als eins raus, sonst gibt es Ärger. Ich kann
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aber bis eins hin. Konvergenzradius ist eins. Bei allen diesen dreien ist der Konvergenzradius eins. Hier ist der Konvergenzradius eins. Ich gehe bis zu eins, aber nicht weiter. Sonst gibt es Probleme. Hier mit dem x-Farad Konvergenzradius eins. Der Konvergenzradius garantiert mir, dass
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innerhalb des Konvergenzradiuses tatsächlich Konvergenz herrscht und wenn ich an der Kante bin, genau auf der Ecke, genau auf der Kreislinie sozusagen vom Konvergenzradius, dann geht es oder es geht nicht. Das ist so ein kleines Glücksspiel. Das ist hier vereinbar, dass da ein kleiner
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steht und dass hier unten jetzt ein kleiner gleich steht. Das ist vereinbar mit der Idee vom Konvergenzradius. Der Konvergenzradius sagt einem nicht, was genau auf der Kante passiert. Schränk mathematisch gibt es da schon noch was, was man tun könnte, aber soweit will ich es nicht treiben. Was der Alm erstmal sagt, ist, dass
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innerhalb des Bereichs garantiert Konvergenz funktioniert mit allen Schikanen und dass außerhalb des Bereichs Konvergenz garantiert nicht funktioniert. Egal welches x ich einsetze, außerhalb von diesem Bereich es wird nicht konvergieren, beim besten Willen. Das ist so ein Konvergenzradius. Hände werden bestimmt. Es gibt ja auch eine Formel für den
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Konvergenzradius. Die kann man sich mal angucken. Der Gedanke ist folgender. Wenn ich so eine allgemeine Potenzreihe habe, ich summiere, schreibe ich jetzt wirklich mit einer Summe hin, muss auch mal sein, von n gleich 0 bis unendlich, summiere ich a n x hoch n und frage mich, ob das
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aufsummierbar ist oder nicht. Und der Trick ist dich jetzt so einen summanden anzugucken im Betrag. Der Betrag von diesem Ding ist der Betrag von dem a n mal der Betrag von dem x hoch n. Wenn sie wissen, dass a n mal x
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hoch n größer gleich, was machen wir mal, eins plus epsilon hoch n ist.
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So was. Wenn sie das wissen, der Betrag von a n mal x hoch n größer als das ist, was sagt ihnen das über diese Reihe hier? Wie in der Mathematik üblich. Dieses Epsilon soll natürlich eine kleine positive Zahl sein. Dann steht
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hier ja eine Exponentialfunktion. 1 Komma noch was, 2 Komma noch was, auf jeden Fall mehr als 1 hoch n, eine Exponentialfunktion. Das geht garantiert gegen unendlich auf der rechten Seite, dann muss das auf der linken Seite auch garantiert gegen unendlich gehen. Und ich weiß, was ich
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hier aufsummiere, wird wild durch den Garten springen. Die Situation, die wir eben hatten, exponentiell divergierend. Die Schritte werden immer größer, was eben hatten für 1 Komma 1 eingesetzt. Dann auf jeden Fall also, wie schreibe ich das jetzt mal? Ich schreibe hier nur diff. Dann ist es auf jeden Fall divergent, wenn das gilt, für alle n oder nennenswert viele n, wenn das
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essenziell gilt, mit gewissen Ausnahmen. Wenn ich dagegen dieses habe, wenn der Betrag von dem, was ich da aufsummiere, kleiner gleich, was machen wir, 1 minus Epsilon, schreibe ich das so. Und jetzt das Epsilon, ich muss ein bisschen
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wenn Sie wissen, dass der Betrag von dem, was da aufsummiert ist, was hier
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links, kleiner ist als sowas wie 0,9 hoch n. Was wissen Sie dann über diese Reihe? Ich weiß, dass die Sachen, die ich da addiere, exponentiell schnell klein werden. Wenn hier 0,9 hoch n steht, zahle ich ja immer ein bisschen
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Zinseszins. Bei jedem Summanden hier zahle ich ein bisschen Zinseszins. Der Betrag jedes Summanden wird mit Zinseszins kleiner. Wenn Sie den ersten so haben, was drauf addiert haben, der nächste muss mit Zinseszins kleiner geworden sein. Der nächste muss mit Zinseszins kleiner geworden sein. Der kann nach links gehen, nach rechts gehen, im Komplexen nach oben und unten, wie auch
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immer, muss auf jeden Fall mit Zinseszins kleiner geworden sein. Das wäre schon verboten. Die müssen alle immer kleiner werden. Das Ganze muss sich auf ein Herz zusammenziehen, wenn sie die addieren. Es ist auch egal, ob die alle positiv sind. Wenn die mit Zinseszins kleiner werden und immer positiv sind, die geometrische Reihe, funktioniert es auch. In dem
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Fall auf jeden Fall Konvergenz. Ohne Wenn und Aber. Jetzt muss man so ein bisschen schon wieder Hände wedeln. Kost an in der offiziellen Mathevorlesung irgendwie eine Stunde. Hier muss man ein bisschen Hände wedeln. Was ist, wenn das nicht für alle n gilt, sondern nur für eine wesentliche Zahl an n?
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Für die meisten n sozusagen. Dann wird das natürlich so bleiben. Dann wird es hier oben trotzdem die Summe zerlegen und hier unten wird die Summe dann trotzdem konvergieren. Auch wenn das nicht für alle gilt, sondern nur essentiell für wesentlich viele gilt. Aber man sieht jetzt, was der
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Knackpunkt ist. Wenn sie aus beiden die Wurzel ziehen, sehen sie wo der Knackpunkt ist. Was passiert, wenn sie oben und unten die nte Wurzel ziehen? Was wir dann eigentlich verglichen? Oben und unten die nte Wurzel. Wo trennt sich die Spreu von Weizen? Wenn sie links die Wurzel ziehen, die Wurzel aus einem Produkt. Wurzel aus dem ersten Mal, Wurzel aus
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dem zweiten. Ich will die nte Wurzel ziehen. Ich schreibe mal so. Also interessant ist Folgendes. Interessant ist Folgendes. Wenn ich hier die nte Wurzel ziehe, die nte Wurzel aus dem Betrag von a n mal, hieraus die nte
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Wurzel ist einfach Betrag von x. Und das möchte ich vergleichen mit, hieraus die nte Wurzel, epsilon dicht bei 0. Na ja, 1. Das möchte ich vergleichen. Hat das irgendwie was mit 1 zu tun? Das ist meine Frage.
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Und da kommt man dann auf die erste Formel für den Konvergenzradius. Wenn ich in dieser Größenordnung bin, heißt das, jetzt wird es gefährlich. Wenn x ein Stückchen größer ist, werde ich in die Divergenz rutschen. Und wenn x ein Stückchen kleiner ist, werde ich in die Konvergenz rutschen. Wenn
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Sie hier den Konvergenzradius, er heißt er ja gerne. Wenn Sie hier den Konvergenzradius reinschreiben, dann muss das so aussehen. Wenn x gerade auf der Kante liegt, der Betrag von x der Konvergenzradius ist, dann müssen wir hier was mit 1 haben, y gleich 0. Das ist also das
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entscheidende. Jetzt habe ich den Ärger, na ja, für alle n, für wesentlich viele n, essenziell viele n. Sie sehen, was passieren muss. Ich will
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r auf der einen Seite haben, das auf der anderen Seite haben. Die Konvergenzradius ist 1 durch den Limes superiore, der sonst nie vorkommt, Limes superiore n aus der nten Wurzel des Betrags des nten
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Koeffizienten. So sieht es dann nachher offiziell aus. Wenn ich das hier nicht für alle n habe, das wäre komisch, wenn ich das für alle n habe, dass das gerade zufällig hinkommt. Wichtig ist, dass es essenziell gilt. Da will ich jetzt aber nicht eine Stunde darauf verwenden. So
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sieht es dann nachher aus. Steht der Limes superiore da, der höchste Häufungspunkt. Wie schlimm wird die nte Wurzel aus dem Betrag des nten Koeffizienten essenziell im Wesentlichen? So ein paar einzelne Ausreißer sind mir egal, ich will den obersten Häufungspunkt haben. Und da von der Kehrwert gibt den, soll ich hier hinschreiben, gibt den
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Konvergenzradius. Man hat dann immer als Fußnote zu dieser Formel, wenn dieser Limes superiore gleich 0 ist, 1 durch 0, ernenne ich den Konvergenzradius zu unendlich, sinnvollerweise. Und wenn der Limes
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superiore unendlich ist, 1 durch unendlich, ernenne ich den Konvergenzradius zu 0, sinnvollerweise. Konvergenzradius 0 heißt, sie können überhaupt nicht nach links und rechts gehen. Ich will sagen, diese Potenzreihe funktioniert vorne und hinten nicht. Konvergenz radius unendlich heißt, sie können beliebig nach links und rechts gehen. Die Potenzreihe funktioniert immer. Es sollte funktioniert nicht
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sagen, es sollte sagen, konvergiert immer, egal was sie einsetzen, wenn der Radius unendlich ist. Ich will sagen, wenn hier unten 0 steht, dieser Limes superiore 0 ist, wenn diese An's hinreichend schnell 0 werden. So kriegt man diese Formel hier ohne Formelsammlung zustande. Wir kennen den Konvergenzradius hier schon, ich
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möchte mal, dass Sie den tatsächlich auf diese Weise ausrechnen. Was sind die An's, diese Koeffizienten hier? Was passiert, wenn ich die Ente-Wurzel aus dem Betrag bilde? Wie schlimm können die maximal werden? Für die Potenzreihe für den Akkustangens. Was kriegen Sie da
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Formel für den Konvergenzradius raus? Wo kommen diese An's her?
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Ich schreibe hier die allgemeine Potenzreihe hin. A0 mal x hoch 0 plus
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A1 mal x hoch 1 und so weiter. Das wird A0 mal x hoch 0 plus A1 mal x hoch 1 plus A2 mal x hoch 2 plus und so weiter. Was vor dem x hoch 0 steht,
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also konstant x hoch 0 ist 1, ist das A0. Was vor dem x steht, ist das A1. Was vor dem x² steht, ist das A2. Was sind diese A's für diese Akkustangensreihe? Schreiben Sie das mal als Formel hin und überlegen Sie sich
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dann, was passiert, wenn Sie den Betrag und daraus die Ente-Wurzel bilden? Kann ich sagen, ob das groß wird, ob das klein wird, was passiert? Aber erstmal die An's bestimmen. Was sind die An's für den Akkustangens? Also bevor Sie
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da anfangen, eine Formel hinzuschreiben, ist ja viel einfacher, erstmal eine Tabelle zu machen. N und An in der Form. N gleich 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und so weiter. Gut, wir schreiben mal irgendwo N rein, an der Stelle wissen wir dann vielleicht die Formel. Gehen wir zurück zum Akkustangens. Da, der Akkustangens.
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Wie viel x hoch 0 sehen Sie auf der rechten Seite? Ja, also Term für Term durchgehen. 0 mal x hoch 0. Hier gibt es keine Konstante.
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Das steht nicht plus 98. 0 mal x hoch 0. 1 mal x hoch 1. Hier steht jetzt x1, weil links auch x1 steht. 1 mal x hoch 1. 0 mal x² minus ein Drittel mal x hoch 3. Das müssen die Vorfaktoren sein, die Koeffizienten sein. So, 0 mal x hoch 0.
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Erst mit meinem Gedächtnis. 1 mal x hoch 1. 0 mal x hoch 2. Minus ein Drittel x hoch 3. 0 mal x hoch 4. Ein Fünftel mal x hoch 5. 0 mal x hoch 6.
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Oben gerade noch mal spicken, dass ich keinen allzu großen Unsinn erzähle. Das sieht gut aus. Hier ging es dann mit minus ein Siebtel weiter. Was wäre für das allgemeine N? Was muss hier stehen für das allgemeine N? Die Formel für das An. Wie kann ich das jetzt als Formel hinschreiben?
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Die allgemeine Formel für das An. Sie gehen erst mal so vor, dass Sie die Hälfte schon mal erschlagen. Alle geraden N haben ein An, was null ist. Es kommen keine geraden Potenzen vor. Bevor ich da jetzt irgendwie nach einer
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Formel suche, schreibe ich es eben so hin. An ist null, wenn n gerade ist. Anschließend 0. Auch eine gerade Zahl. Und jetzt brauchen wir eine Formel, dann endgültig für n ungerade. Da haben Sie schon gesehen, ich teile durch n. 1 durch 1, 1 durch 3, 1 durch 5. Das muss irgendwas sein wie durch n.
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Ungeschickterweise mit plus und minus. Sehen Sie den Trick, wie Sie das bauen können, dass hier plus minus eins da oben steht. Nicht plus eins ständig, nicht ständig minus eins. Der erste Schritt, das als Tipp, ist so was wie minus eins
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hoch. Irgendwas hinzuschreiben. Minus eins hoch eine gerade Zahl ist eins. Minus eins hoch eine ungerade Zahl ist minus eins. Dann ist man der Lösung schon einen Schritt näher. Die Frage ist, was schreibe ich da jetzt oben hin, damit es hinkommt. Das ist so nutzloses Wissen, was man als
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Mathematiker irgendwann einsammelt. Folgendes. In minus eins halbe. Wenn Sie mit eins gucken. Eins minus eins macht null halbe. Minus eins hoch null ist eins. Drei. Drei minus eins ist zwei. Zwei durch zwei macht eins. Minus eins
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sind vier. Halbe. Hier oben steht zwei. Minus eins hoch zwei ist plus und so weiter. Irgendwann weiß man diesen Trick, aber der ist vielleicht auch im Alltag jetzt nicht gerade so nützlich. Wieso ist das hier für diese Aufgabe den
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Konvergenzradius zu bestimmen? Sowieso eher blödsinnig. Richtig, ich habe gerade fünf Minuten vergeudet, weil mich doch nur der Betrag interessiert. Mich interessiert nur dieses hier und dann können wir den hier oben auch besetzen. Da steht einfach im Betrag immer eins durch n. Eins durch eins, eins durch drei, eins durch fünf. So, die Frage ist jetzt, was passiert mit der
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nten Wurzel aus dem Betrag a n. Ich sollte noch schreiben für n gegen unendlich. Das ist ja der entscheidende Punkt hier bei dem
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Konvergenzradius. Ich möchte die nte Wurzel aus dem Betrag bilden und gucken was passiert. Wenn das groß ist, wenn ich viel aufsummiere, steht hier unten was großes und der Konvergenzradius wird klein. Wenn das
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klein ist, wenn ich wenig oben aufsummiere, steht hier unten was kleines und der Konvergenzradius wird groß. Also was passiert, wenn Sie jetzt die nte Wurzel bilden? Wir können ja schon mal hinschreiben, was die nte Wurzel sein muss. Die nte Wurzel aus a n im Betrag ist oben für gerade n
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natürlich einfach null. Hier oben haben wir einfach null, die nte Wurzel aus den null und hier unten muss ich jetzt die nte Wurzel aus eins durch n
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bilden. Die nte Wurzel aus eins durch n für n ungerade. Die nte Wurzel aus den ganzen Turnister voll mit Tricks in der Mathematik. Probieren Sie mal folgendes. Schreiben Sie eins durch n als e hoch irgendwas. Dann können Sie
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tatsächlich die Wurzel ziehen und haben in de was passiert. Jetzt auch noch Potenzweichengesetze. Also und das mal von vorne. n ist e hoch l n n.
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Womit potenziere ich e, damit n rauskommt? Das sagt der natürliche Rhythmus. Kehrwert n hoch minus eins. Der Kehrwert heißt den Exponenten mit minus zu versehen. E hoch minus l n n. Und jetzt will ich die nte Wurzel
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haben. Die nte Wurzel aus eins durch n. Nte Wurzel heißt den Exponenten durch n zu teilen. Wenn sowas haben wie die dritte Wurzel. Ach was machen wir jetzt hier? Die dritte Wurzel aus zwei hoch drei. Das ist ein Beispiel. Zwei mal zwei daraus die dritte Wurzel ist zwei hoch eins. Zwei. Der Exponent wird durch die
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Wurzel geteilt. Hier haben sie also e hoch minus l n n durch n. Und die Frage ist was passiert wenn n groß wird? Was passiert hier wenn n groß wird? Der Logarithmus n durch n. Das sollten Sie schon im Gefühl haben was da passieren
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wird? Das n wird gewinnen. Ja. Der Logarithmus wächst doch extrem langsam. Er wächst immer langsamer, immer langsamer. Er kriecht vorwärts. Er kriecht ins unendliche der Logarithmus. Aber er kriecht eben und immer langsamer. Wenn Sie dagegen n nehmen, die Funktion wird offensichtlich viel schneller ins
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unendliche laufen als der Logarithmus. Ich erinnere mich an irgendeine Seminaraufgabe wo ich das mal umformuliert hatte hier dann in die Funktion dass man es ganz offiziell sieht. Aber rein anschaulich ist klar der Logarithmus wird verlieren und n wird gewinnen. Was heißt das jetzt eigentlich wenn ich sage der Logarithmus wird verlieren und n wird
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gewinnen? Was heißt das für den Exponenten hier? Genau. Der wird gegen Null laufen. Sie teilen den Logarithmus. Das hier ist der Logarithmus. Sie teilen den Logarithmus durch n. Das ganze wird Null werden. Der Logarithmus ist im
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oben. Sollte ich mal ein rot haben damit die Formel nicht ganz so schlimm aussieht. Das hier oben wird Null werden. Was wird also mit dem Ganzen passieren? E hoch das. Das wird 1. In der Tat. E ist eine stetige Funktion. E hoch irgendwas dicht bei Null ist ungefähr E hoch
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Null. Das wird 1 werden. So. 1 durch N. Wurzel N daraus wird 1 werden. Jetzt können wir zurück zur Formel. Ich suche den Limes Superior, der bisher noch gar nicht vorkam und danach auch nicht weiter vorkommt. Das ist eher ein seltenes
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Konstrukt. Den obersten Häufungspunkt dieser Folge. Was ist der oberste Häufungspunkt dieser Folge? Der Ente Wurzel aus Betrag a n. Wo ballt die sich im Unendlichen? Was ist der oberste Punkt? Was ist der oberste Punkt an dem sie sich ballt im
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Unendlichen? Sie ballt sich an zwei Punkten. Sie ballt sich an Null. Da kommt hier das zweite Mal raus. Das ist ein Häufungspunkt. Und dann hat sie noch einen zweiten Häufungspunkt. Hier den bei 1. Weil sich diese hier für ungerades N immer mehr zu 1 hinziehen. Und das ist für uns der interessante, der gefährliche Term, der die Potenzreihe kaputt macht. Der
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muss hier stehen. 1 durch 1. Überraschung. Genau das was wir vorhin auch hatten. Der Konvergenzradius ist 1. Weil hier unten als Limes Superior 1 rauskommt. Sollte ich vielleicht mal hinschreiben. Also folgern wir. Der Limes Superior von der Enten Wurzel Betrag a n
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gleich 1. Und also ist der Konvergenzradius gleich 1 durch 1 gleich 1. Was nichts Neues ist. Aber nun haben wir es offiziell ausgerechnet. Ehrlich gesagt ist mir lieber, wenn sie wissen warum das so sein
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muss. Aus den händewedelnden Gründen. Hier oben. Mir ist lieber wenn sie das hier verstanden haben. Das Argument mit der 1,1. Als wenn sie hier dumm in die Formel einsetzen können für den Konvergenzradius und
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irgendein mehr oder minder großen Dürzeln dann vielleicht ausrechnen. Aber so haben sie es einmal offiziell gesehen. Man kann tatsächlich mit dieser Formel arbeiten und kriegt eins raus. Das was rauskommen muss. Abschließende Bemerkung. Dieser Konvergenzradius sagt einem
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etwas über diese Potenzreihe. Was ich denn einsetzen darf und was ich nicht einsetzen darf. Wenn ich innerhalb vom Konvergenzradius bin. Kein Problem mit der Potenzreihe. Auch wenn ich bis ins Endliche aufsummiere. Wenn ich außerhalb vom Konvergenzradius bin. Garantiert ein Problem. Ohne Wenn und Aber. Wenn ich bis ins Endliche
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aufsummieren will. Wenn ich genau auf der Kante sitze. Exakt auf dem Konvergenzradius. Kann sein, dass es funktioniert. Kann auch sein, dass es nicht funktioniert. Der Konvergenzradius sagt mir etwas hier über die rechte Seite. Dass der Konvergenzradius nicht garantiert. Was eine ganz andere Baustelle ist. Ob der Agustangens dann auch wieder rauskommt. Das haben wir ganz
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anders gekriegt mit dem Agustangens. Ich habe hier mit der Formel für die geometrische Reihe angefangen und habe ein bisschen substituiert und ein bisschen integriert und habe rausgefunden. Ah, es ist wirklich der Agustangens. Das ist noch eine ganz andere Geschichte. Kommt die richtige Funktion raus. Dafür
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gab es den Begriff analytisch. Funktionen, die analytisch sind. Die kommen auch raus an dieser Stelle. Funktionen, die nicht analytisch sind. Mit denen habe ich ein Problem. Dass sie die beiden Baustellen möglichst auseinanderhalten. Der Konvergenzradius sagt nur, ob diese unendlich lange Summe hier, diese Reihe konvergiert oder nicht. Der sagt nicht,
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ob das Richtige rauskommt aus der Reihe. Das ist eine andere Fragestellung.