Wenn man diesen Gedanken mit den Taylor-Polynomen weitertreibt, das hier wäre die Tangentengrade, das hier wäre die Schmiegeparabel, sie nehmen noch hoch 3, dritte Ableitung durch 3 Fakultät, so weiter dazu, das lässt sich ja immer weitertreiben, dass man zum Schluss ein Polynom so und so viele Grades hat,

dass sich so gut wie es geht an die Funktion anschmiegt, an der Stelle x0, das Taylor-Polynom. Der Gedanke ist, das immer weiter zu treiben, bis ins Unendliche zu treiben, das gibt dann die Taylor-Reihe, was passiert, wenn ich hier aufsummiere, aufsummiere, aufsummiere, bis ins Unendliche, nicht abbrechen, die hier bei 2 abbrechen, bis ins Unendliche,

das führt eben zu den unendlichen Reihen und die sind gefährlich. Ich wollte nochmal mit diesem Beispiel anfangen, diese Reihe hier, erstmal nur endlich, die Harmonische Reihe, die sogenannte Harmonische Reihe, erstmal nur endlich, die summiere ich mal hier bis 1 durch n.

Harmonische Reihe heißt, alle Kehrwerte der ganzen Zahlen, der positiven ganzen Zahlen aufsummieren, da gucken wir uns gleich mal an, was da passiert, wenn ich n gegen unendlich gehen lasse, wenn ich versuche hier unendlich viele von der Sorte, alle Kehrwerte, wenn Sie wollen, aufzusummieren,

was dann passiert. Es gibt einen netten Trick, wie man das machen kann. Es gibt viele Wege, sich das anzugucken. Mein Gedanke wäre folgend, auch vergleichen Sie das mal mit folgendem Integral, dem Integral von 1 bis n plus 1, 1 durch x, dx.

Wenn Sie mal diese Fläche aufmalen, welche Fläche ist das unter dem Integral? Und mit dieser Summe hier, das ist ja noch eine endliche Summe, von 1 bis 1 durch n vergleichen, kann man was aussagen, dann kann man sehen, was passieren muss, wenn das Integral immer weiter gebildet wird, n gegen unendlich, das ist relativ einfach,

und was dann demzufolge dieser Reihe passieren muss. Ich mal einmal ein Bildchen hin, dass Sie vielleicht den ersten Gedanken kriegen. Diese Funktion 1 durch x an der Stelle 1, kommt 1 raus.

An der Stelle 2 kommt ein Halb raus. An der Stelle 3 kommt ein Drittel raus, ein Viertel. Und dieses Integral hier misst diese Fläche hier, unter der Hüpfwerbel, diese Fläche hier, bis zu irgendeiner Stelle n plus 1. Das macht das Integral.

Was hat diese Fläche hier mit dieser Summe zu tun? Das ist die erste Aufgabe. Das ist so einer von den Beweisen, wenn man ihn gesehen hat, kann man sich gar nicht vorstellen, dass man es nie verstanden hat.

Wahrscheinlich habe ich jetzt gerade das Problem. Wenn Sie diese Summe da oben nehmen, die 1, da habe ich die 1, das ist die Fläche 1. Jetzt mache ich hier weiter. Das ist die Fläche ein Halb. Die Höhe ein Halb, 2 Kehrwert, die Höhe ein Halb, 1 Breit.

Und hier bilde ich die Fläche ein Drittel. Die Höhe ein Drittel, 3 Kehrwert, 1 Breit. Die Höhe ein Drittel und so weiter. Das heißt, welche Beziehung besteht zwischen dieser Summe und dem Integral? Das Integral muss auf jeden Fall kleiner sein. Dieses Ding ist garantiert kleiner als die Summe da oben.

Das können Sie Stück für Stück durchgucken. Von 1 bis 2 das Integral nehmen, das ist garantiert weniger als 1 als der erste Summand. Von 2 bis 3 das Integral nehmen, das ist garantiert weniger als ein Halb, der zweite Summand. Von 2 bis 3 und so weiter und so weiter. Und der letzte wäre von n bis n plus 1, das ist garantiert weniger als 1 durch n.

So, und jetzt rechnen Sie nach, dass dieses Integral gegen unendlich geht für n gegen unendlich. Zeigen Sie das mal, dass das Integral über alle Grenzen wächst, wenn Sie weit nach rechts rausgehen.

Ok, warum geht der gegen unendlich? Das haben Sie jetzt mit Stammfunktion gesehen. Den hier kann man ja netterweise ausrechnen. Ich kann nur unschön hierfür irgendeine geschlossene Formel angeben. Für die Summe der Kehrwerte bis 1 durch n. Aber für dieses Integral kann ich eine geschlossene Formel angeben.

Nämlich den Logarithmus von Betrag x, Stammfunktion zu 1 durch x, von 1 bis n plus 1. Sie setzen ein. Logarithmus, n plus 1 ist eine positive Zahl, ist also Logarithmus von n plus 1 minus Logarithmus von 1, was 0 ist.

Logarithmus n plus 1. Und der Logarithmus verläuft ja so. Der natürliche Logarithmus. Sie nehmen die natürliche Exponentialfunktion, spiegeln sie an der 45°-Achse und haben den natürlichen Logarithmus. Der natürliche Logarithmus wächst über alle Grenzen.

Wenn Sie nach rechts rausgehen, n plus 1 wächst über alle Grenzen, dann wächst auch der natürliche Logarithmus über alle Grenzen. Langsam und immer langsamer, aber er überschreitet jede Zahl. Das heißt, das, was auf dieser linken Seite steht, geht gegen unendlich, wenn ich hier mal weiter aufsummiere. Was folgern wir also für diese Summe der Kehrwerte?

Sagen Sie doch, ich gehe das auch gegen unendlich. Dieses Ding wird immer größer, immer größer, überschreitet jede Fantastiliade, wenn ich n nur groß genug wähle. Aber das rote hier, die harmonische Reihe, ist ja sogar noch größer, sogar strikt größer, das macht keinen großen Unterschied an der Stelle.

Ist auf jeden Fall größer als das, was da steht. Das Ding wächst über alle Grenzen, dann dieses Ding natürlich auch. Also habe ich damit gezeigt, dass die harmonische Reihe über alle Grenzen wachsen muss. Die geht bestimmt divergent gegen plus unendlich. Das sieht erst so harmlos aus, wenn man anfängt aufzusummieren mit dem Rechner bis 100 oder bis 1000.

Das Ding kriecht langsam und kriecht immer langsamer, aber zum Schluss ist es bis zu plus unendlich gekochen. Auch wenn es erst nicht danach aussieht. Analog wie der Logarithmus, der ja auch immer langsamer wird, aber trotzdem bis uns unendliche läuft.

Das als Warnung für Rechnungen mit unendlich langen Summen. Das ist eine der Möglichkeiten, dass Sie plus unendlich zum Fluss rauskriegen. Es gibt noch viel schwierigeres und ekligeres. Das sehen wir dann demnächst.