22.2 Fehlerfortpflanzung, Standardabweichung
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Formale Metadaten
| Titel |
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| Serientitel | ||
| Anzahl der Teile | 92 | |
| Autor | ||
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| Identifikatoren | 10.5446/10285 (DOI) | |
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Inhaltliche Metadaten
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Mathematik 2, Sommer 201180 / 92
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StandardabweichungComputeranimation
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StandardabweichungMittelwertErwartungswertStoßComputeranimationDiagramm
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ErwartungswertZufallsvariableMittelungsverfahrenMathematikStochastikHöheStandardabweichungEllipseRichtungRechteckGebiet <Mathematik>ZufallszahlenMittelwertComputeranimationDiagramm
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StandardabweichungModulformQuadratVarianzFunktion <Mathematik>ErwartungswertStreuungHausdorff-RaumEbeneMittelwertMeterMaß <Mathematik>MittelungsverfahrenSubtraktionSummeVorzeichen <Mathematik>Lokales MinimumHöheComputeranimationDiagramm
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QuadratErwartungswertStandardabweichungMittelungsverfahrenVarianzPositionWürfelPhysikalische GrößeDreiZufallsvariableKorrelationPartielle DifferentiationAbleitung <Topologie>Computeranimation
21:13
StandardabweichungVarianzComputeranimation
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MessgrößeVarianzVariableQuadratErwartungswertAbleitung <Topologie>Partielle AbleitungMaß <Mathematik>Fächer <Mathematik>Funktion <Mathematik>SchwankungZahlFormelsammlungRandbedingung <Mathematik>StandardabweichungEbeneComputeranimation
23:34
QuadratAbleitung <Topologie>SchwankungMaß <Mathematik>RechnenMessgrößeEbeneComputeranimation
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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Teil 2 ist, wie das mit Standardabweichung funktioniert, wenn ich nicht, wie ich hier, so einen Maximalfehler habe, einen Größtfehler habe, nicht ganz sicher sein kann, in einem bestimmten Bereich zu landen. Wo habe ich das stehen hier? Hier war ich mir sicher, in einem bestimmten Bereich zu liegen.
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Bei der Standardabweichung bin ich mir sicher, nicht mehr sicher, in einem bestimmten Bereich zu liegen. Ich weiß nur noch die typische Streuung, die typische Abweichung, nicht mehr die maximale. Da muss man anders dran gehen. Das Bildchen für das Skript sieht dann so aus. Ich kenne von x den Mittelwert, der ist 5,0, aber nun gebe ich keinen Größtfehler mehr an,
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dann könnte ich ja Intervall abgrenzen und sagen, in dem Intervall und nirgendwo sonst, sondern ich gebe eine Standardabweichung an. Was habe ich gesagt? 0,1.
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Standardabweichung heißt, ich weiß, wo dieser Schrotschuss an x-Werten ungefähr landen wird. Das wäre der Erwartungswert und ich weiß, wie breit dieser Schrotschuss ungefähr werden wird. Wird er so oder wird er so breit werden? Das gibt mir die Standardabweichung.
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Was ist die typische Abweichung vom Mittelwert? Ich habe aber kein sicheres Gebiet mehr. Ich kann nicht sagen, das liegt ganz sicher zwischen 4,0 und 6,0. Das kann ich nicht mehr sagen. Es könnte auch sein, dass es extrem selten mal minus 1 wird
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oder extrem selten mal minus 10 wird. Das kann ich nicht sagen, wenn ich nur die Standardabweichung habe. Da kann ich keine harten Grenzen mehr angeben. Von daher muss das schon etwas anderes werden. Für die y-Achse sage ich es genauso. Angenommen, ich wüsste, es ist 3,0 mit einer bestimmten Standardabweichung. Was habe ich denn geschrieben? 0,2.
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Hier 3,0 und y auch ein Schrotschuss mit einer Breite von 0,2. Jetzt stehe ich mir mit 3,0 schon wieder im Wege. Hier kommt y hin. Eine z-Achse wäre auch nicht schlecht.
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So, das heißt, jetzt liege ich hier in meiner xy-Ebene nicht mehr auf einem Rechteck. Das war ja eben schön. Wenn ich harte Fehlergrenzen habe, kann ich hier ein Rechteck angeben. Und ich liege garantiert in dem Rechteck. Jetzt habe ich einen wirklichen zweidimensionalen Schrotschuss.
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Das kann sein, dass hier mal 5,1, 2,9 rauskommt. Kann sein, dass hier 4,9, 3,1 rauskommt und so weiter. Das ist alles, was ich weiß. Meine Messwerte bilden einen Schrotschuss. Ich weiß von dem Schrotschuss das Zentrum, den Erwartungswert, Schwerpunkt sollte ich sagen.
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Das ist nichts anderes als der Schwerpunkt. Und ich habe eine grobe Idee von der Breite. Von der Breite in dieser Richtung und von der Breite in dieser Richtung. Wie stark der ausgedehnt ist. Das sind die Standardabweichungen. Wenn man von oben guckt, wird das so eine Ellipse werden.
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Das ist natürlich keine gefüllte Ellipse. Als ob Sie den Jäger bitten, von unten mal schräg auf das Papier zu schießen. Dann haben Sie diese Sorte einen Schrotschuss. Ein länglich ausgedehnten Schrotschuss.
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Das entspricht dann unseren Messwerten hier. Und die Frage ist nun, was für einen Schrotschuss kriege ich an Z-Werten daraus? Wenn ich für alle diese hier die Z-Werte ausrechne. Wenn ich gucke, was der fliegende Teppich hier an der Funktion hat.
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Welche Höhen kommen tatsächlich vor? Das wird auf der Z-Achse, wenn Sie das hier projizieren, auch wieder aussehen wie ein Schrotschuss. Was ist der Mittelwert? Das ist einfach. Die Funktion hat 5 und 3. Und wie weit ist dieser Schrotschuss ausgedehnt?
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Das ist die spannende Frage. Hier liegt wieder meine Funktion drüber. Das ist ein bisschen unangenehm zu zeichnen, weil sie vorne höher ist als hinten.
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Und ich frage mich, was sind die Funktionswerte, die rauskommen? Wie sind die gestreut? Ist das eine breite oder eine schmale Verteile?
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Die erste Geschichte ist auszurechnen, wo denn hier jetzt der Schwerpunkt liegt. Was ist der Erwartungswert meiner Funktionsergebnisse? Vielleicht erinnert sich noch jemand ganz grob an Stochastik aus dem letzten Semester. Was ist der Erwartungswert meiner Funktionsergebnisse?
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Ich setze meine Messwerte aus Sicht der Mathematik in die Funktion ein und würde gerne wissen, was rauskommt. Vielleicht sollte ich jetzt ein bisschen strenger schreiben. In die Funktion setze ich meine Zufallsgrößen x und y.
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Und dann interessiert mich, was passiert, wenn ich 10.000-mal die Funktion bestimme, addiere durch 10.000 Teile mit die Wettbilde von 10.000 davon. Was passiert, wenn ich 100.000-mal das mache, Millionen-mal dann der Erwartungswert?
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Wenn ich dieses Experiment unendlich oft mache und mir dann angucke, was im Mittel passiert bei dem Experiment, das wäre die Idee vom Erwartungswert. Wenn ich wieder die Annahme machen darf, dass ich die Funktion durch die Tangentialebene ersetzen kann,
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wenn sich also die Funktion nicht zu stark von der Tangentialebene wegrümmt, dann schreibe ich doch hier jetzt einfach mal die Tangentialebene hin. Das hatten wir eben schon, was die Tangentialebene war.
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Das ist nämlich 1.5 plus 1 Zehntel mal wie weit ich mit x von 5 weg bin, minus 3 Zehntel wie weit ich mit y von 3 weg bin. Das war die Tangentialebene. Also 1.5 plus 1 Zehntel mal x als Zufallsgröße in Großbuchstaben,
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minus 5 minus 3 Zehntel mal y minus 3. Wenn ich meine Funktion f ganz dreis durch die Tangentialebene ersetzen kann.
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Und nun frage ich mich, okay, der Erwartungswert hiervon? Der Erwartungswert von x soll laut Skript 5 sein, den voller Weise. Also wenn Sie x 3 Millionen mal messen, addieren und durch 3 Millionen teilen, sondern Sie ziemlich genau 5 rauskriegen.
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Der Erwartungswert von y soll laut Skript 3 sein, deshalb hier gerade die 5 und die 3. Was passiert, wenn Sie jetzt den Erwartungswert bilden? Der Erwartungswert einer Summe ist die Summe der Erwartungswerte.
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Das heißt, das muss sein, der Erwartungswert von 1.5, das ist toll, welchen Wert hat 1.5 typischerweise? Schöne Frage. Plus der Erwartungswert von 1 Zehntel mal x minus 5. Ja doch, schreibe ich da Minus schon.
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Ja, ich schreibe da schon mal Minus. Der Erwartungswert von 3 Zehntel mal y minus 3. Das darf ich auseinandernehmen. Wenn man den Erwartungswert als Integral schreibt oder als Summe, dann sieht man das sowieso, dass man dieses Integral, diese Summe auseinandernehmen kann.
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Aber das muss auch sowieso passieren, sonst hätte der Erwartungswert irgendwie ein Verständnisproblem. Der Erwartungswert von 1.5, sehr spannend. Wie groß ist eine Größe, die ständig 1.5 ist im Mittel? Natürlich 1.5. Wenn Sie den Erwartungswert vom Zehntel von irgendwas bilden,
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Sie bilden nicht den Mittelwert von dem Ding, sondern Sie bilden den Mittelwert von 1 Zehntel von dem Ding, dann kommt natürlich nur 1 Zehntel davon raus. Das hier ist 1 Zehntel vom Erwartungswert von der Messung von x minus 5. Und das hier hinten ist dann natürlich 3 Zehntel vom Erwartungswert von der Messung von y minus 3.
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Wie groß ist der? Aus dem selben Grunde für eben kann ich den hier zerlegen, auch bei der Subtraktion, der Erwartungswert von x minus der Erwartungswert von 5. Wie groß ist 5 im Mittel? 5 ist 5 im Mittel.
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Spätestens dann sollte man sehen, okay, das ist ja 0 hier, das Ding. Der Erwartungswert von x minus 5, der Erwartungswert von x ist 5, also das hier ist 0. Hätte man hier schon sehen können, x schwankt um den Schwerpunkt 5.
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Und hier frage ich mich, wie weit ist x denn im Mittel von seinem Schwerpunkt 5 weg? Wenn ich Abweichungen nach oben positiv nehme und Abweichungen nach unten negativ. Das muss ich wegmitteln. Es muss im Mittel so weit nach oben gehen, wie es nach unten geht, sonst wäre 5 nicht der Schwerpunkt. Das muss 0 sein. Aus dem selben Grunde ist das hier 0. Und es bleibt ein Halb.
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Keine große Überraschung. Also als Mittelwert für die Funktionswerte nehme ich die Funktion von den Mittelwerten. Das war ja ein Halb an der Stelle 5. Eine Funktion an der Stelle 5.3 hat ein Halb gegeben. Das hier war der Funktionswert an der Stelle 5.3.
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So kriege ich den Mittelwert. Also ich weiß ziemlich einfach, auf welcher Höhe hier der Schwerpunkt liegt. Sie nehmen einfach den Schwerpunkt da, den Schwerpunkt hier und rechnen die Funktion aus. Immer vorausgesetzt, dass sich die Funktion durch ihre Tangentialebene nähern kann. Dann ist das auch eigentlich klar.
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Auf der Tangentialebene gibt es genauso viele Werte darüber, wie da drunter. Natürlich nehme ich den Wert in der Mitte von diesen Flecken und habe den mittleren Wert. Nicht nur genauso viele darunter wie da drüber, sondern auch genauso weit entfernt überhaupt. Der hier ist genauso weit oben, wie der unten ist.
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Okay, dann haben wir den Erwartungswert. Was ist das Mittlere, was ich erwarte? Der Name sagt. Eine Nummer schwieriger ist die Streuung. Dieser Schrotschuss, den ich auf der Z-Achse rauskriege, diese verschiedenen Höhen, die jetzt hier alle rauskommen.
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Wie weit sind die gestreut? Wie breit ist diese Verteilung, die hier rauskommt? Das ging mit der Standardabweichung und mit der Varianz. Ich fange mal so rum an. Der erste Teil steht noch im Skript.
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Was ist folgendes? Ich nehme die Funktion von X und Y. Die Funktion, wie sie ist, ziehe davon den Erwartungswert ab. Ein halb, wissen wir jetzt schon. Das ist, wie weit die Funktion nach oben und nach unten schwankt.
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Wie weit schwankt die Funktion um das Mittel? Jetzt will ich davon eine Art Mittelwert bilden. Wenn Sie hier von jetzt direkt den Mittelwert bilden, kriegen Sie was raus? Hier frage ich mich, wie weit schwankt die Funktion um das Mittel mit Vorzeichen?
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Wenn die Funktion größer wird als der Mittelwert, positiv. Wenn die Funktion kleiner wird als der Mittelwert, negativ. Das addiert sich wieder zu Null. Das Mittel sich zu Null wird. Sie können es auch einfach mit den Regeln von eben ausrechnen. Das hier ist der Erwartungswert von F minus der Erwartungswert vom Erwartungswert von F.
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Der Erwartungswert vom Erwartungswert ist natürlich der nackte Erwartungswert nach Null. Das Ding wäre Null. Das wäre nicht so geschickt, um die Streuung zu messen. Der Trick, hatte ich letztes Semester erzählt, ist das zu quadrieren.
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Dass das, was innen drin steht, nicht negativ werden kann. Jetzt kann sich das nicht mehr wegheben. Innen drin steht Null oder was Positives. Der Abstand vom Mittelwert quadriert, wird nicht negativ und kann sich deshalb nicht wieder wegheben. Und davon das Mittel ist jetzt aber die falsche Einheit, weil es im Quadrat ist.
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Das ist die Standardabweichung ins Quadrat. Die Standardabweichung meines Ergebnisses schreibt jetzt Sigma, kleinen Sigma, F Quadrat. Die Varianz steht hier. Was hier steht, ist die Varianz. Die Varianz ist die Standardabweichung ins Quadrat.
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Die mittlere quadratische Abweichung vom Mittel. So jetzt habe ich es dann auch. Die mittlere quadratische Abweichung vom Mittel. Das ist die Varianz. Denn von den Einheiten her, wenn F in Metern ist, habe ich hier Quadratmeter drin. Das ist das Quadrat der typischen Streuung der Standardabweichung meines Ergebnisses.
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Das will ich ausrechnen. Mit der Tangentengerade. Und dann können wir jetzt einfach formelmäßig hier einsetzen. Das ist also folgendes. Die Tangentialgrade war ein halb plus ein Zehntel x minus fünf
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minus drei Zehntel y minus drei. Das waren die Werte auf der Tangentialgrade. Den Minus der Erwartungswert, den kennen wir schon, ein halb. Das haben wir eben ausgerechnet. Quadrieren, Klammer zu, dieses Quadrat ist das.
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Ich gucke den Funktionswert auf der Tangentialebene nach. Ziehe den Erwartungswert ab. Das bleibt über. Soweit sind wir dann. Hier steht ein Quadrat. Das kann ich einfach mit Binomie auseinander nehmen. Das ist also der Erwartungswert von eins durch 100.
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Schaut jetzt nicht so aus. Einhundertstel den ersten ins Quadrat. x minus fünf ins Quadrat. Jetzt kommt 2ab. Zwei mal ein Zehntel mal drei Zehntel minus sechshundertstel sind das dann.
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Ja, minus sechshundertstel. Minus zwei mal drei Zehntel mal ein Zehntel mal x minus fünf mal y minus drei. Und jetzt kommt der hinten noch ins Quadrat. Plus neunhundertstel mal y minus drei ins Quadrat.
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Das war jetzt nur Binomie. Hier steht ein Ding minus ein anderes Ding ins Quadrat. Einfach auseinander genommen. Hier vorne steht ein hundertstel
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mal die mittlere quadratische Abweichung von x von fünf. Was ist im Mittel das Quadrat von x minus fünf? Im Mittel das Quadrat von x minus fünf. Fünf ist der Mittelwert, der Erwartungswert sollte ich sagen.
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Fünf ist der Erwartungswert von x. Hier steht nichts anderes als die Varianz von x. Gucken Sie sich das hier an, was die Varianz von f war. Das Ding minus sein Erwartungswert Quadrat Erwartungswert. Das Ding minus sein Erwartungswert Quadrat Erwartungswert. Hier, wenn ich da ein hundertstel rausziehe,
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steht die Varianz von x. Hier hinten steht die Varianz von y. Und den hier muss man diskutieren. In der Mitte.
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Sechshundertstel ich schraub es ehrlich mal aus minus sechshundertstel mal den Erwartungswert von x minus fünf mal y minus drei. Ich möchte wissen, was das im Mittel wird. x minus fünf Hier ist die Fünf und da ist die Drei.
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x, y. x ist mal größer als die Fünf. y mal größer als die Drei. Dann bin ich da. Dann ist dieses Produkt positiv. x ist auch mal kleiner als die Fünf.
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y vielleicht weiterhin größer als die Drei. Dann bin ich hier. Dann ist dieses Produkt negativ. x minus fünf ist negativ. y minus drei ist positiv. Hier wäre x kleiner als fünf und y kleiner als drei. Hier wäre das Produkt wieder positiv.
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Das wollte ich mal einmalen. Da war es positiv, da war es positiv. Hier war es negativ. Und hier ist es wieder negativ. x größer als fünf, y kleiner als drei. Der wird positiv, der wird negativ. Rein aus dem Bauch heraus. Wenn Sie jetzt von dieser Größe, die da positiv, da positiv, da negativ, da negativ ist,
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wenn Sie davon den Erwartungswert bilden, was wird passieren? Typischerweise werden die sich aufheben. Dieses Plus und dieses Plus werden sich mit dem Minus und dem typischerweise aufheben. Nicht immer stellen Sie sich vor, dass diese Fälle nie eintreten. Stellen Sie sich vor, dass x
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immer größer als fünf ist. Genau dann, wenn y größer als drei ist, dass diese beiden Größen stark miteinander zusammenhängen. Stark korrelieren. Dass sie immer auf diesem Ding liegen. Dann wird das Ergebnis immer positiv sein. Oder stellen Sie sich vor, dass das genau falsch rum ist. Dass wenn x immer größer als fünf ist, y, wenn ich hier bin,
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wenn x immer größer als fünf ist, dass y dann zwangsläufig kleiner ist als drei. Und hier den genauso. Dass nur diese beiden vorkommen, aber diese nicht, dann wäre das immer negativ. Aber wenn in der Welt alles so funktioniert, wie es funktionieren soll, wird sich das hier wegheben. Hier in der Mitte wird Null stehen. Das wird nicht zwangsläufig passieren.
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Es muss sichergestellt sein, dass dieses x und das y nicht zu gut zusammenspielen. Dass sie nicht immer nur so liegen oder immer nur so liegen. Es muss sichergestellt sein, dass sie halbwegs verstreut liegen, x und y. Dann wird hier Null rauskommen. Die offizielle Bezeichnung dafür ist unkorreliert. x und y müssen unkorreliert sein.
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Wenn Sie mich fragen, was heißt denn das eigentlich mathematisch? Das heißt genau, dass das hier Null ist. Nichts anderes. Das hier heißt, x und y sind unkorreliert. Ihre Korrelation ist Null. Wenn Sie zwei
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unabhängige Zufallsgrößen haben, Sie nehmen einen Würfel, und dann nehmen Sie noch einen Würfel und würfeln, dann sind die beiden unkorreliert. Man muss aufpassen bei Sachen, die auseinander berechnet sind. Wenn hier die Position steht, und hier steht das Quadrat der Position, dann wird etwas schiefgehen.
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Unkorreliert. Also wenn diese beiden unkorreliert sind, fliegt der in der Mitte raus. Und ich habe die übliche Formel. Es hat zu tun mit der Varianz von x und mit der Varianz von y. Und hier davor sehen Sie das Quadrat der partiellen Ableitung nach x. Und hier sehen Sie das Quadrat der partiellen Ableitung nach y.
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Dann sind wir bei der üblichen Formel. Die Standardabweichung erstmal für Nummer 8. Jetzt nochmal ganz konkret. In diesem Fall, die Standardabweichung wäre jetzt die Wurzel
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die Wurzel hier raus. Das war die Varianz. Ich ziehe die Wurzel. Das wäre jetzt also die Wurzel aus einhundertstel die Varianz in x. Plus neunhundertstel die Varianz in y. Und die allgemeine Regel für die
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Standardabweichung ist dann offensichtlich die Standardabweichung des Ergebnisses ist Wurzel. Hier steht die Ableitung partiell nach x ins Quadrat. Habe ich das eben mit x0, y0 geschrieben, dann sollte ich das so beibehalten. Wo steht das hier? Ja, ok,
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dann behalte ich das hier so bei. x0, y0 am Erwartungswert Partielle Ableitung zu Quadrat. Da kommt die einhundertstel her. Mal Varianz von x plus Partielle Ableitung ins Quadrat nach y. Na, Partielle Ableitung
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nach y, x0, y0 ins Quadrat. Ups, ey, ey, ey. Eine gerade Striche. Sollte hoch ein halb dahinter schreiben. So, das ist die Formel
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Sammlungsformel. Natürlich geht das mit mehreren Variablen genauso. Wenn Sie jetzt hier die dritte haben, die Partielle Ableitung nach der dritten ins Quadrat, mal die Varianz der dritten. Wichtig sind die Randbedingungen, die in den Formel Sammlungen nicht stehen. Die sollte ich nochmal
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ausdrücklich ansagen. Eben bei dem Gröstfehler, wo war der Gröstfehler? Eben bei dem Gröstfehler. Diese Formel kann ich dann anwenden, wenn ich die Funktion durch die Tangentialebene nähern kann. Ohne das große Fehler auftreten. Hier habe ich zwei Randbemerkungen zu machen. Erstens muss das wieder funktionieren,
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dass ich die Funktion durch die Tangentialebene ersetze. Zweitens müssen meine Messgrößen x und y unkorreliert sein. Sonst fliegt mir der Termin der Mitte nicht raus. Also streng genommen müssten Sie, bevor Sie dieses tun, immer zwei Sachen prüfen.
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Haut das hin mit der Ebene statt der Funktion und Sie müssten prüfen, ob x und y tatsächlich wie die x-Koordinate und die y-Koordinate eines Schrotschusses nichts miteinander zu tun haben, ob die unkorreliert sind. Bevor man das nicht geprüft hat, kann man eigentlich nicht diese Formel anwenden. Macht man gerne, wenn man davon ausgeht, dass die typischen
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Messgrößen unkorreliert sind, ist aber nicht ganz sicher. Mit Einheiten passiert Folgendes. Was hier rauskommt, das Quadrat einer Schwankung des Funktionswerts. Das hat die Einheit des Funktionswerts
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ins Quadrat. Hier steht die Ableitung der Funktion nach x ins Quadrat. Was da eigentlich dann rauskommt, wenn ich mit Einheiten rechne, ist die Einheit von f ins Quadrat durch die Einheit von x ins Quadrat mal die Einheit von x ins Quadrat
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und dann bin ich wieder tatsächlich bei der Einheit von f ins Quadrat. Also Vorsicht beim Rechnen mit Einheiten. Es haben nicht nur die Standardabweichungen, dann Einheiten ins Quadrat jeweils, sondern auch hier die basiellen Ableitungen ins Quadrat. Die kriegen natürlich auch Einheiten im Zweifelsfall. Und dann haut's wirklich hin, wenn man das
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rücksichtigt.