Das erste, an was man sich gewöhnen muss, ist die Lösung durch Ansatz. Differentialgleichungen sind im Allgemeinen ziemlich eklig zu lösen, aber netterweise reicht es, eine Lösung hinzuschreiben und zu zeigen, dass es eine Lösung ist und dann ist man fertig.

Wenn Sie in der Lage sind, diese rote Kurve hier hinzuschreiben und Sie können zeigen, dass die wirklich immer in der Fallrichtung läuft, dann ist das die Lösung. Punkt. Man muss auch nicht lange darüber diskutieren. Das heißt dann, Lösung durch Ansatz. Ich setze eine Lösung an, zeige, dass es eine Lösung ist, oder ich stelle den Ansatz

so ein, dass es hinkommt und bin dann fertig. Das ist deutlich anders als das, was wir bei den Jahren-Gleichungssystemen hatten oder bei quadratischen Gleichungen. Die Lösung durch Ansatz, aber ganz üblich bei Differentialgleichungen. Lösung durch Ansatz.

Ich überlege mir, wie es im Prinzip aussehen muss, schreibe das mit ein paar freien Variablen hin, freien Konstanten hin und bastle solange, bis es stimmt. Die folgende Differentialgleichung steht im Skript. Ich möchte, dass die Ableitung der Sinus ist von der unabhängigen Variable und

ich gebe eine Anfangsbedingung für x gleich 3, soll bitte schön 7 rauskommen. Das entspricht hier dem Anfangspunkt. Ich sage, wo es losgehen soll, mit welchem Zustand soll es losgehen. Das sage ich hier. Hier ist der Phasenraum nur eindimensional, einfach für das y.

Ich gebe den Anfangszustand vor, für x gleich 3, soll 7 rauskommen. Und wie soll es dann weitergehen? Die Ableitung soll der Sinus sein von der unabhängigen Variable. Das als Beispiel, wie man das durch Ansatz nun lösen kann.

Ich rate, wie denn das y wohl aussehen müsste, von der Form her. Wie müsste das y aussehen, von der Form her? Ich überlege mir, welche Funktionen denn hier oben im Prinzip passen könnten. Wenn da Minus, Kosinus stünde, wäre das doch nicht schlecht.

Dann kommt beim Ableiten der Sinus raus. Was kann da noch stehen? Da kann eine Konstante dabei stehen. Wenn ich das hier ableite, bleibt die Ableitung der Sinus. Die Konstante fliegt weg. Das wäre mein Ansatz.

Das hier ist mein Ansatz. Ich setze eine Form der Lösung an. Um die Diskussion von eben weiter zu treiben, kann man hier vielleicht sogar ein Auswuchszeichen draufschreiben und zu sagen, oh, oh, vielleicht. Mal sehen. Ich hoffe, dass das hinkommt. Die Frage ist, kann ich dieses C so einstellen, dass es hinkommt?

Na ja, die Gleichung hier oben ist sowieso immer erfüllt. Da muss ich nichts mehr einstellen. Ich müsste diese zweite Gleichung, diese Anfangsbedingung erreichen. Was brauche ich also? Ich müsste haben das y von 3, mit anderen Worten wäre das jetzt Minus der Kosinus

von 3 plus diese Konstante, dass das gleich 7 ist. Wenn ich das hinkriege, ist auch der Teil erfüllt. Das ist natürlich kein Problem. Ich wähle die Konstante gleich, formen sie um, 7 plus den Kosinus von 3.

Dann stimmt die Gleichung, die erste Gleichung hat sowieso gestimmt und fertig. Damit ist aus dem Ansatz wirklich eine Lösung geworden. Als ganz billiges Beispiel, was man tun kann. Man rät die Form der Lösung mit ein paar Konstanten drin, hier war es nur eine einzige,

und bastelt rum mit den Konstanten, um dann eine Lösung zu kriegen. Das ist sehr handwerklich, um es vorsichtig zu formulieren. Das wirkt nicht gerade sehr methodisch, ist aber die übliche Lösung. Und es gibt eben Methoden, welche Ansätze, ja, ein anderes Wort.

Die Methode besteht darin, sich den richtigen Ansatz hinzuschreiben für eine bestimmte Sorte Differenzialgleichen. Hier war das noch relativ einfach. Wir probieren noch mal einen anderen.

Wird die Nummer 2. Ich möchte nun, dass die Ableitung meiner gesuchten Funktion plus 5 mal die gesuchte Funktion ist 0 ist. Und die Anfangsbedingung habe ich hier wieder.

Für x gleich 3 soll unbedingt 7 rauskommen. An der Stelle möchte ich starten. Das ist eine Nummer schwieriger, weil jetzt da nicht mehr eine Funktion von x steht in der Differenzialgleichung, sondern weil hier plötzlich das Original, nicht das Original, weil hier die gesuchte Lösung steht.

Die Lösungsfunktion steht hier in Ableitung und in Voller Gänze in meiner Differenzialgleichung. Wenn Sie sowas sehen, was wäre ein Ansatz dafür? Wie rate ich, was y sein könnte?

Von welcher Form müsste y sein? Das wäre der übliche Ansatz. In der Tat ein Vielfaches davon. Wenn ich e hoch b mal x ableite, ist das Ergebnis das b-Fache davon. Wenn auch ein Faktor a davor steht, bleibt ja die ganze Zeit davor stehen. Es bleibt dann das b-Fache in der Ableitung.

Also das ist mein Ansatz und jetzt probiere ich das hinzukriegen, dass dieser Ansatz auch funktioniert. Hier oben einsetzen, das ist jetzt äquivalent zu folgendem. Ich muss ableiten, den hier ableiten, a bleibt als Faktor davor stehen, a und b sollen

beides konstanten sein, das sind quasi meine Einstellregler, an denen ich die Lösung hier feintune, dass es auch wirklich eine Lösung ist, a ist als eine Konstante, bleibt davor stehen, e hoch b mal x ableiten, e hoch irgendwas ableiten, äußere Ableitung, e hoch irgendwas, innere Ableitung, b mal x mal b.

Das hier ist die Ableitung von meinem Ansatz plus 5 mal, diese Funktion, 5 mal a mal e hoch b mal x ist gleich 0, hätte ich gerne und ich hätte gerne hier unten das a mal e hoch b mal 3, y von 3, gleich 7 ist, das ist alles bei 3, kann ich das hinkriegen?

Wie wähle ich a, wie wähle ich b? Also aus der oberen Gleichung sehe ich, wenn irgendwas sinnvolles passiert, a mal e hoch

irgendwas, selber Ausdruck, b sollte minus 5 sein oder a ist gleich 0, aber a ist gleich 0 ist nicht spannend, dann ist y die ganze Zeit gleich 0, das machen wir garantiert nicht, also muss b gleich minus 5 sein, b muss minus 5 sein und dann sehe

ich hier unten a mal e hoch minus 15, b mal 3, a mal e hoch minus 15 ist 7 mit anderen Worten, a ist gleich 7 durch e hoch minus 15, ist also 7 mal e hoch plus 15

und damit habe ich a und b bestimmt, offensichtlich haut das hin, man könnte es jetzt noch einsetzen, einmal Proberechnen, aber offensichtlich haut das hin, das muss ich jetzt nicht einsetzen und Proberechnen, bei komplizierteren Gleichungen sollte man das sicher zuhabe tun, aber an dieser Stelle ist klar, ja das ist eine Lösung, die Lösung wäre also 7 mal e hoch 15 mal

e hoch minus 5 mal x, das wäre meine Lösung, gefunden aus diesem Ansatz jetzt mit zwei unbekannten, je intelligenter man das angeht, sagen sie eben schon, man kann sofort sehen, na dieses b muss eigentlich minus 5 sein, da kann man das natürlich sofort in den Ansatz reinschreiben, a mal e hoch minus 5 x und hat nicht mehr ganz so viel Arbeit, in Zweifelsfall hat

man ein paar mehr Konstanten im Ansatz und dafür ein bisschen mehr Arbeit, man lässt gerne dieses a auch stehen, dass ich hier sage, ok wenn ich eine

andere Anfangsbedingung habe, das hier bei die Anfangsbedingung, wenn ich eine andere Anfangsbedingung habe, kriege ich die ja, indem ich einfach einen anderen a-Wert nehme, deshalb sehen sie gerne als Lösung sowas, y ist gleich a mal e hoch minus 5 x und dieses a heißt dann gerne

Integrationskonstante, wie bei der Stammfunktion, das hatten wir eben, dieses hier ist ja eigentlich die Konstante aus der Stammfunktion gewesen, da habe ich eine Stammfunktion gesucht, ich weiß meine Ableitung soll der Sinus sein, was ist dann meine Funktion, ist so eine Stammfunktion, da habe

ich auch nicht schon eine Integrationskonstante gehabt, die kann ich dazu addieren, hier an dieser Stelle habe ich auch eine, die ist aber ein Faktor, Integrationskonstante und sobald ich die Anfangsbedingungen, die Anfangsbedingung, Singular, sobald ich die Anfangsbedingungen festgelegt habe, ist diese Integrationskonstante bestimmt, mehr oder minder offensichtlich,

wenn ich eine Differenzalgleichung erster Ordnung habe, brauche ich eine Integrationskonstante, wenn ich eine Differenzalgleichung zweiter Ordnung habe, hier, das war eine Differenzalgleichung zweiter Ordnung,

zweimal abgeleitet, nach der Zeit in diesem Fall, die Zeit als unabhängige Variable, die Differenzalgleichung zweiter Ordnung braucht zwei Integrationskonstanten, die braucht ja auch zwei Werte zum Starten und so weiter, also sie haben, wenn sie es richtig machen, so viele

Integrationskonstanten, wie die Differenzalgleichung Ordnung hat, das würde man nennen, die allgemeine Lösung, wofür ich jetzt keinen Platz gelassen habe, das ist die allgemeine Lösung, ich kann jeden

Anfangswert damit behandeln, wenn ich denn nur die Integrationskonstante richtig einsetze, hier oben hatte ich den Anfangswert, die Anfangsbedingung schon direkt dazu geschrieben, vielleicht um das Kapitel hier abzuschließen, nochmal die Benennung, das hier ist eine Differenzalgleichung erster

Ordnung, sie ist streng genommen implizit, weil y' nicht alleine steht, aber sie ist fast explizit, bringen sie die fünf y rüber, dann ist sie explizit, es ist eine lineare Differenzalgleichung, y' steht als Faktor mal eins, y steht

als Faktor mal fünf und die Faktoren hängen nicht mal von x ab, also eine lineare Differenzalgleichung mit konstanten Koeffizienten und hier noch

etwas besonderes für die linearen Differenzalgleichungen, sie ist homogen, das kennen wir schon von den linearen Gleichungssystemen, a mal x gleich 0 war ein homogenes lineares Gleichungssystem, wenn nur vielfache von der Unbekannten vorkommen und keine konstante war das homogen, das

ist eine homogene lineare Differenzalgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten, dabei weiß man dann sofort Ansatz a mal e hoch irgendwas mal die Unbekannte, irgendwas mal die Unabhängige und fertig,

anders wird es, wenn auf der rechten Seite hier ein Ausdruck noch steht, wenn da nicht 0 steht, homogen, sondern wenn hier was anderes als 0 steht, inhomogen. Ich schreibe mal eine billige Gleichung von der Art hin.