Jetzt kommt eine Aufgabe, die ich mir aus dem Internet geborgt habe, von Keith Deflin. Wenn Sie es nach googeln wollen, Keith Deflin, Wahrscheinlichkeit kann beißen. Probability can bite. Wahrscheinlichkeitsrechnung kann einen beißen. Und zwar Folgendes.

Jemand sagt, er hat zwei Kinder, nicht drei, nicht eines. Und er sagt, eins davon ist ein Mädchen. Und er sagt nichts über das zweite Kind.

Also, zwei Kinder, sagt er. Und er sagt, eins davon ist ein Mädchen. Und er sagt nichts über das zweite Kind. Die Frage ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Mädchen sind?

Ich sehe gerade, dass viele Leute den Baum hier aufmalen. Das ist keine schlechte Idee. Ich hatte etwas anderes vor, aber das kann man machen. Malen Sie einen Baum auf.

Mädchen, Junge. Mädchen, Junge. Und überlegen Sie sich, was Sie jetzt eigentlich alles wissen. Zwei Kinder. Gut, das haben wir eingebaut. Eines davon ist ein Mädchen. Was wissen Sie jetzt über den Baum? Das heißt, nicht ohne Grund.

Probability can bite. Also, wenn Sie dieses Experiment millionenmal durchführen, mit Millionen von Leuten, die Ihnen das erzählen, dann werden Sie im Schnitt 250.000 Mal das hier erleben. Beides sind Mädchen. Sie werden im Schnitt 250.000 Mal das erleben, wenn Sie durchnummerieren.

Das erste ist ein Mädchen, das zweite ist ein Junge. Oder das hier werden Sie auch 250.000 Mal erleben im Schnitt. Das erste ist ein Junge, das zweite ein Mädchen. Und das hier unten werden Sie 250.000 Mal erleben. Beide sind Junge. Und ich weiß jetzt ja nur mindestens eines der Kinder. Mindestens eines der Kinder ist ein Mädchen. Das kann hier oben passieren.

Mädchen, Mädchen. Das wäre okay. Hier oben Mädchen, Junge, wäre auch okay. Junge Mädchen wäre auch okay. Das einzige, was verboten ist, ist, dass beides Junge sind. Das hier unten kann nicht passieren. Also hätte ich bei meinem Feldexperiment 250.000 Mal dieses, 250.000 Mal das, 250.000 Mal das.

Was ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beides Mädchen sind? Man kann es erst nicht glauben. Es ist ein Drittel. Ja, es ist ein Drittel. Stellen Sie sich das vor. Immer ein Kind nach dem anderen sozusagen. Das Erstgeborene wird das Zweitgeborene. Sie gucken sich eine Million Leute an, die zwei Kinder haben.

Das Erstgeborene Kind kann ein Mädchen sein oder ein Junge sein. Das Zweitgeborene Kind kann ein Mädchen oder ein Junge sein. Und das Ganze, der Einfachheit halber als ob man eine Münze wirft, 50-50 gerechnet. Und jetzt nehmen Sie von der eine Million Leute, nehmen Sie alle raus, die zwei Jungen haben.

Denn das ist offensichtlich nicht der Fall. Dann bleiben 250.000 im Schnitt mit Mädchen, Mädchen. Und bei den anderen ist ein Junge dabei. 250.000 von dreimal 250.000. Die Wahrscheinlichkeit wird ein Drittel sein. Das ist nicht anschaulich. Man muss sich ein bisschen daran gewöhnen.

Ich finde das am einläufsten, wenn ich es mir wirklich als Experiment vorstelle. Zwei Kinder. Was kann passieren? Mädchen Mädchen kann passieren. Mädchen Junge kann passieren. Junge Mädchen kann passieren. Junge Junge kann passieren.

Wenn Sie einfach nach der Geburtsreihenfolge sozusagen sortieren. Das kann passieren. Diese vier Möglichkeiten müssen alle gleich häufig sein. Wenn Sie sich alle Leute angucken, die zwei Kinder haben, werden es im Schnitt über lange Sicht genauso viele in jeder dieser vier Abteilungen sein.

Genauso viele Mädchen Mädchen wie Junge Mädchen wie Mädchen Junge wie Junge Junge. Und damit sehen Sie, dass diese Verteilung hier Mädchen Junge Junge Mädchen, ein Mädchen ein Junge. Das ist doppelt so häufig wie zwei Mädchen und doppelt so häufig wie zwei Jungen. Diese Lösung hier. Genauso viel Junge wie Mädchen sozusagen ein Mädchen ein Junge.

Das wird doppelt so häufig vorkommen in der Bevölkerung wie Mädchen Mädchen und Junge Junge. Weil hier die Reihenfolge egal ist. Es kann in dieser Reihenfolge kommen oder in der Reihenfolge passieren. Und damit ist das hier doppelt so wahrscheinlich wie Mädchen Mädchen. Und wenn Sie sich das Ganze hier angucken, heißt das, dass Mädchen Mädchen

die Wahrscheinlichkeit von einem Drittel von allen diesmal. Es ist total krumm, aber so ist es. Sie können es auswürfeln, so ist es. Ich hätte das lustigerweise nicht mit so einem Baum gelöst. Ich hätte Folgendes aufgeschrieben. Erstes Kind, zweites Kind, Mädchen Junge, Mädchen Junge.

Was interessiert uns als positives Ergebnis? Beide sind Mädchen. Das interessiert uns als positives Ergebnis. Und was ist überhaupt möglich? Es muss ein Mädchen dabei sein. Das ist überhaupt möglich.

Das ist das Flächenverhältnis, was ich ausrechne. Die Wahrscheinlichkeit, die mich interessiert, ist die grüne Fläche durch die violette Fläche. Und zwei Jungen waren ja ausgeschlossen. Es muss ein Mädchen dabei sein. Dann haben wir es wieder als Datscheibe.

Ich werfe Pfeile auf so eine quadratische Datscheibe. Ich weiß, dass das untere rechte Viertel verboten ist. Das wäre Junge, Junge. Es ist mindestens ein Mädchen dabei. Das untere rechte Viertel ist verboten oder ich ignoriere das, besser gesagt. Das ist ungültig. Wenn ich dahin ziele mit meinem Pfeil, sage ich, gilt nicht, mach nochmal.

Und jetzt gucke ich mir vom Rest an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, hier links oben zu treffen? Naja, ein Drittel, weil das hier unten verboten ist. Nachdem ich Sie jetzt hier so ein bisschen überzeugt habe, werfen wir alles wieder über den Haufen.

Jetzt kommt nämlich eine Zusatzinformation noch dazu. Eines davon ist ein Mädchen, und das ist an einem Montag geboren. Was passiert jetzt mit der Wahrscheinlichkeit? Jemand sagt mir, er hat zwei Kinder, nicht drei, nicht eines. Und er sagt mir, eines der beiden Kinder ist ein Mädchen, das an einem Montag geboren ist.

Ich heiße nichts über das andere Kind. Scheinbar. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beides Mädchen sind? Malen Sie das vielleicht mal nicht als Baumdiagramm, das wird sehr unübersichtlich. Malen Sie das in Form einer solchen Tabelle vielleicht mal auf. Nicht als Baumdiagramm, damit es etwas übersichtlicher ist.

Wie müssten die Tabelle jetzt aussehen, wenn ich auch noch weiß, geboren an Montag? Ich sage, hm, Freitag, Samstag, Sonntag. Ich würde hier was bauen, von wegen, unter Mädchen noch. Montag, Dienstag, Mittwoch, Freitag, Samstag, Sonntag und unter Junge. Montag, Dienstag, Mittwoch, Freitag, Samstag, Sonntag und hier auch.

Sie könnten auch, das habe ich jetzt bei einigen gesehen, Sie könnten auch hier schreiben, Montag, nicht Montag. Dann werden die Wahrscheinlichkeiten nur schön. Ein Siebtel zu sechs Siebtel, dann ist es ja nicht mehr gleichmäßig. Ich würde es wirklich auszubuchstabieren, versuchen. Ein Mädchen, Montag, Dienstag, hm hm hm hm, Sonntag. Montag, ein Junge, Montag, Dienstag, Sonntag und hier genauso.

Ein Mädchen, Montag, Dienstag und so weiter bis Sonntag. Und ein Junge, Montag, Dienstag und so weiter bis Sonntag.

Und jedes Element hier auf einer Kreuzung. Ein Mädchen am Montag, ein Mädchen am Sonntag. Alle von denen haben die selbe Wahrscheinlichkeit. Ein Junge am Dienstag, ein Junge am Dienstag, ein Mädchen am Sonntag. Selbe Wahrscheinlichkeit wie das. Ein Junge am Sonntag, ein Mädchen am Montag. Alle die haben die selbe Wahrscheinlichkeit.

Man wirft eine Münze sozusagen. Oder die Natur wirft eine Münze. Die Biologie wirft eine Münze. Mädchen, Junge, 50, 50. Ungefähr, das stimmt nicht hundertprozentig in der Natur, aber so ungefähr. Und bei den Wochentagen genauso. Man würfelt eine Zahl von 1 bis 7.

Das stimmt auch nicht. Am Sonntag gibt es meines Wissens weniger Geburten aus irgendwelchen Gründen. Aber nehmen wir einmal an, das sei so. 50, 50 und hier alle Wochentage mit derselben Wahrscheinlichkeit. Dann hat jedes Quadrat hier. Mädchen am Dienstag, Junge am Dienstag. Jedes dieser Quadrate hat dieselbe Wahrscheinlichkeit.

Ich weiß eigentlich, der Kind ist ein Mädchen, das an einem Montag geboren worden ist. Wie schlägt sich das in der Tabelle nieder? Und was heißt jetzt die Wahrscheinlichkeit, die ich suche in dieser Tabelle hier? Die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei Mädchen sind. Wo finde ich das jetzt hier wieder? Was ist jetzt alles erlaubt?

Ich brauche ein Mädchen am Montag. Ein Mädchen am Montag. Dann geht alles, was hier steht. All das, was in dieser Spalte steht, muss erlaubt sein. Ein Mädchen am Montag und dann ist egal, was das zweite Kind hier ist. All das ist erlaubt. Genauso hier, wenn dieses Kind ein Mädchen am Montag geboren ist,

ist alles in der ersten Zeile erlaubt. Auch das ist alles okay. Das ist der Teil meines Datfeldes sozusagen, der zulässig ist. Noch einmal zurück, wie war es eben? Eben war nur Junge Junge verboten und dieses ganze obere L, das umgekehrte L hier war erlaubt. Und nun sieht es so aus.

Ich brauche ein Mädchen am Montag, das geht so oder so. Und wenn Sie hier sind, ein Mädchen am Sonntag, ein Mädchen am Freitag, geht nicht. Ein Junge am Donnerstag, ein Junge am Dienstag, geht nicht. Ein Junge am Donnerstag, ein Mädchen am Dienstag, geht auch nicht. All das hier ist verboten.

Das ist dieses langgestreckte L, was erlaubt ist. Die erste Zeile und die erste Spalte. Und nun rechnen Sie mal die Wahrscheinlichkeit aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beides Mädchen sind? Ja, die Frage war, wie groß ist die Chance, dass beides Mädchen sind?

Das ist hier oben der Bereich. Hier sind es beides Mädchen. Mädchen am Sonntag, Mädchen am Montag. Mädchen am Mittwoch, Mädchen am Montag. Mädchen am Montag, Mädchen am Sonntag und so weiter. Hier oben das Grüne. Ist das, wovon ich die Wahrscheinlichkeit wissen will?

Und wie eben? Was ist die Wahrscheinlichkeit, die mich da interessiert? Das Grüne durch das Violette. Nicht durch den gesamten Bereich. Vorsicht. Ich sage ja, mein Dartspiel funktioniert so. Wenn immer ich in den roten Bereich treffe, gilt das nicht.

Alle diese Fälle hier sind ja ausgeschlossen. Ich habe, wenn Sie so wollen, eine sehr komische Dartscheibe. Eine L-förmige, umgekehrt L-förmige Dartscheibe. Die teile ich durcheinander. Alle hier haben dieselbe Wahrscheinlichkeit. Einige haben das tatsächlich jetzt mit 1 Siptel, 6 Siptel aufgemalt. Dann haben Sie ein bisschen was zu rechnen.

So wie ich es aufgemalt habe, hat ja jeder Punkt hier dieselbe Wahrscheinlichkeit. Und dann kriegen Sie. Wie viele Grüne haben wir? Montag bis Sonntag sind 7. Dann habe ich den Montag hier oben schon. Montag und Dienstag bis Sonntag sind 6. Also 6 plus 7 durch unten.

Montag bis Sonntag, zweimal Montag bis Sonntag sind 14 plus. Den Montag und Montag hatte ich hier schon. Da bleiben noch 13. Das sind 13 durch 27. Und das ist praktisch ein Halb.

13 26. wären ein Halb. Also absurderweise durch diese Zusatzinformation, und die Schein war überhaupt nichts, bedeutet, durch diese absurde Zusatzinformation, dass es an einem Montag geboren ist, ändert sich diese Wahrscheinlichkeit von dem, was Sie vorher nicht glauben wollten, ein Drittel,

auf das, was Sie lustigerweise vorher angenommen haben, praktisch ein Halb. Was man daraus lernt. Vorsicht mit Wahrscheinlichkeiten. Wenn Sie sich einfach auch Ihr Gefühl verlassen mit Wahrscheinlichkeiten, geht das schief. Das geht auch in der Praxis schief.

Was ist gefährlicher, mit dem Flugzeug zu fliegen oder mit dem Auto zu fahren? Wie gefährlich sind bestimmte Krankheiten? Menschen sind extrem schlecht darin, Wahrscheinlichkeiten abzuschätzen oder sogar exakt mit Wahrscheinlichkeiten zu rechnen. Das sehen Sie hier ran. In beiden Fällen hätte man aus dem Bauch heraus was völlig anderes vermutet. Hier hätten Sie erst einmal vermutet, ein Halb. Ist doch gar keine Frage.

Und hier hätten Sie vermutet, da wenn es eben ein Drittel war, dann muss es hier doch auch ein Drittel sein. Aber jetzt ist es praktisch wieder ein Halb. Also, Warnung fürs Leben. Wenn es um Wahrscheinlichkeiten geht, malen Sie es auf. Es geht sonst schief.