Jetzt etwas mehr Mathematik, eine Sache, die einem dann tatsächlich in der Praxis helfen kann. Es gibt diese Nährungsformel, dass die erste Ableitung meiner Funktion an der Stelle x ungefähr ist, ich gucke mir meine Funktion ein Stückchen weiter rechts an, plus h,

minus ich gucke mir meine Funktion ein Stückchen weiter links an, minus h, und teile durch 2h. Das braucht man nachher, wenn man Daten rein hat. Sie messen ja in der Wirklichkeit nicht Funktionen, die Sie an allen möglichen reellen Zahlen ausrechnen können.

Das ist, was Sie in der Wirklichkeit messen. Sie kriegen einen Messwert von mir aus bei einer Sekunde, zweiter Sekunde, dritter Sekunde, vierter Sekunde. In regelmäßigen Abständen kriegen Sie eigentlich vier Messwerte. Sie kriegen ja nicht wirklich eine durchgezogene Kurve, wenn Sie in der Praxis messen.

Zumindest nicht, wenn Sie mit dem Computer messen, was das Typische sein wird. Sondern Sie kriegen nur lauter einzelne Punkte. Das heißt, wie kann ich denn jetzt Ableitungen ausrechnen? Das haut mich gut hin. Und das ist die übliche Formel, um Ableitungen auszurechnen. Meine Messwerte sind im Abstand h.

Und was ich dann mache, ist folgendes. Ich gucke mir den nächsten Messwert an und den Messwert davor. f von x plus h, f von x minus h. Und ich lege dadurch eine Gerade und gebe deren Steigung an. Oder für diese beiden hier. Was ist die Steigung an der Stelle?

Wie schätze ich die? Sie sehen, was soll das sein? Schwer zu schätzen. Eine sehr sinnvolle Schätzung ist, dass Sie sich den Punkt davor nehmen, x plus h, x minus h. Und dadurch eine Gerade bestimmen. Und Sie sagen, okay, diese Gerade hier, das sieht doch gut aus, als ob das die Steigung sein sollte. Wie die Gerade durch diesen Punkt.

Noch einen, damit das nicht ganz so... Bei den beiden, das ist ganz heftig. Wenn ich die Steigung an diesem Punkt haben will, für den Messwert, was ist meine Ableitung an dieser Stelle? Sie sehen, das ist nicht gut zu schätzen. Was wäre eine vernünftige Schätzung? Ich nehme den Wert davor, lege dadurch eine Gerade und sage, die Steigung, die nehme ich als Tangentensteigung für den Punkt in der Mitte.

Das ist diese Formel hier. Eine zentrale Differenz, wie das gerne heißt. Das benutzt man gerne als Schätzung für die Ableitung. Jetzt kommen wir endlich zu einer Aufgabe. Aufgabe. Zeigen Sie, dass diese Formel sogar exakt ist, wenn das F ein quadratisches Polynom ist.

Zeige. Das ist sogar exakt. Wenn F von X folgende Form hat, A mal X quadrat plus B mal X plus C.

Das heißt dann nämlich, dass ich Folgendes tun kann. Ich lege eine Parabel durch drei Punkte. Habe ich jetzt noch irgendwelche Punkte, die noch freigeblieben sind? Nehmen wir diese drei. Nehmen wir die drei hier.

Ich lege eine Parabel durch drei Punkte. Und lese dann an der Parabel ab, was die Steigung sein soll. Das passiert da eigentlich. Nur kann man das viel leichter ausrechnen. Zeigen Sie das mal. Diese Formel wird exakt, wenn meine Funktion von dieser Form ist.

Hier wollte ich ein ordentliches gerundet haben. Sorry für die Schmiererei. Auf der linken Seite meine Funktion ableiten. Haben Sie gesehen? 2AX plus B.

Das steht auf der linken Seite. Das ist nicht das Problem. Auf der rechten Seite wird es ein bisschen unübersichtlicher. Ich nehme mal die rechte Seite. In meine Funktion X plus H einsetzen.

Nicht die Funktion plus H ausrechnen, sondern in die Funktion X plus H einsetzen. Da steht also A mal X plus H² plus B mal X plus H plus C in die Funktion X plus H eingesetzt.

X plus H einsetzen. A mal X minus H² abziehen. Minus B mal X minus H minus C. Und jetzt fällt ganz viel weg. Sie sehen C und C fällt weg. B mal X minus B mal X fällt weg.

Dieses X fliegt dann raus. X plus H in Klammern ins Quadrat muss man ausbuchstabieren. Dann steht da großer Bruchstrich durch 2H. A mal X plus H² macht X² plus 2XH plus H².

Plus B mal H haben wir da. Minus A mal und jetzt das mit Minus X² minus 2XH plus H². Minus B mal minus H macht plus BH.

A mal X² minus A mal X². Das X² fliegt jetzt noch raus. A mal H² minus A mal H². Das H² fliegt noch raus. Jetzt haben wir es dann bald. Großer Bruchstrich durch 2H.

A mal 2XH. A mal 2XH plus B mal H minus A mal minus 2XH. Minus, Minus macht plus A mal 2XH plus B mal H.

Jetzt kann man das H überall kürzen. Und jetzt haben wir A mal 2X plus A mal 2X durch 2.

B und B sind 2B durch 2 sind B. 2AX plus B. Was dasselbe ist. Angerechnung kurzer Sinn. Also es ist nur dummes Einsetzen an der Stelle. Das Resultat ist das Wichtige hier.

Man kann die Ableitung sehr gut schätzen in so einer Zeitreihe, in dem man einen Schritt weiter geht, einen Schritt zurück geht und dann eine Gerade dadurch legt. Das ist diese Formel. Es ist eine schlechte Idee, wenn ich die Ableitung hier wissen will, einen Schritt nach vorne zu gehen. Ich gehe besser einen nach vorne und einen zurück und bilde dann die Ableitung.

Können Sie auch nachrechnen, dass das dann nicht mehr hinkommt. Es gibt eine analoge Formel für die zweite Ableitung. Lassen Sie mich gerade noch hinschreiben. Analoge Formel für die zweite Ableitung. Die gilt dann sogar für Polynome mit Grad 3 bis zum Grad 3.

Die zweite Ableitung kann ich schätzen als, ich nehme den Funktionswert links, minus zweimal den Funktionswert in der Mitte plus den Funktionswert rechts durch diesen Abstand ins Quadrat. Ist da etwas fürs Tutorium oder sonst so? Rechnen Sie einmal nach.

Minus zweimal habe ich gesagt. Damit kann man die zweite Ableitung schätzen. Das geht sogar noch besser für Polynome bis zum Grad 3.