Wir starten mit einer einfachen Fingerübung. Polinomdivision, etwas, was man können sollte, was jetzt aber nicht wirklich raketentechnisch ist, was vor allen Dingen Wolfram Alpha und viele andere Programme und viele Taschenrechner wahrscheinlich auch viel besser können als unser eins. Aber Sie sollten wissen, was das bedeutet, Polinomdivision.

x hoch 3 plus 5x² minus 3x plus 1. Dieses Polinom möchte ich teilen durch das Polinom 2x² plus x minus 3. Das rechnen Sie mal aus.

Also Schema F, Polinomdivision ist wirklich so ein fürchterliches, rezeptmäßiges Vorgehen, was ich sonst eigentlich immer hasse. Oder nicht sonst, was ich hier eigentlich auch hasse. Sei es so, so ist eben Polinomdivision. Man nimmt sich die höchste Potenz des Zählers, die höchste Potenz des Nenners,

teilt die durcheinander. x hoch 3 durch 2x² macht 1.5x. Proberechnen, 1.5x mal 2x² ist in der Tat x hoch 3. Jetzt gucke ich, wie viel ich mit diesem 1.5x erledigt habe. x hoch 3, da vorne habe ich erledigt, das war der hier.

1.5x mal x, ich habe also auch 1.5x² erledigt. Und mit der 3, minus 3.5x ist dahin. Das habe ich erledigt, das heißt, das kann ich von meinem Zähler abziehen.

Minus, Klammern hier nicht vergessen, das kann ich von meinem Zähler abziehen. Ein paar Sachen, die ich gerade eben beim Rumgehen gelernt habe, versuchen Sie die Spalten hier zu halten. Alle x hoch 3 in einer Spalte, alle x² in einer Spalte. Wenn irgendwas fehlt, stellen Sie sich vor, ich hätte hier was ohne x². Nur mit x hoch 3, nur mit x und mit x hoch 0 wäre ein Trick, eine Spalte leer zu lassen,

dass man hier nicht in die Bedrohliche kommt, darunter. Und das andere, was ich gelernt habe, mit Bleistift rechnen, weil es garantiert falsch wird. Und das dritte, was ich gelernt habe, lassen Sie die Brüche stehen. Machen Sie nicht bankhaft 1,5 daraus, ich muss ja damit weiterrechnen.

Mit 1,5 weiterzurechnen wird fies. Mit 3,5 kann ich viel leichter weiterrechnen. Und wenn ich ganze Zahlen habe, würde ich auch bei 3,5 bleiben und nicht bei 1,5 hinschreiben. 1,5 ist für mich ein Messwert. 3,5 ist für mich so was Handfestes.

Wo war ich? Gut, 1,5x, das kriege ich als allererster Beitrag. Ich habe geguckt, wie viel jetzt erledigt ist. Dieser Anteil ist erledigt. Wir ziehen ab. x hoch 3 minus x hoch 3 muss wegfallen, sonst wird was falsch geworden. Die ersten müssen sich wegheben. 5x² minus 1,5x², das sind 10,5 minus 1,5, 9,5x² minus 3x.

Und hier kommen wir jetzt minus, minus, Vorsicht, minus, minus plus 3,5. Minus 3 plus 3,5 sind minus 3,5. Und hier hinten die 1 bleibt stehen.

Das muss ich jetzt als nächstes erledigen. 9,5x² durch 2x, 9,5 durch 2, 9,5. Und ich rechne zurück, was ich erledigt habe. 9,5 mal 2x, klar, 9,5x², sonst wäre was faul. 9,25 mal x und 9,25 mal minus 3 sind minus 27,25.

9,25 mal minus 3, das habe ich erledigt. Das muss ich abziehen von dem Zähler. 9,5 hebt sich weg, sonst wäre was faul.

Minus 3,5 minus 9,25. Minus 3,5 sind minus 6,25. Minus 6,25 minus 9,25 wären minus 15. Viertel x. 1 plus minus minus plus 27,25.

Das sind also 4,25 plus 27,25 wären 31,25. Wenn das mal alles stimmt, toi toi toi. Jetzt kommt der spannende Teil. x durch x² geht nicht mehr. Ich will ja Polinomdivision machen. Ein Polinom soll rauskommen. x durch x² ist kein Polinom.

1 durch x, das geht nicht mehr. Wenn Sie an der Stelle angelangt sind, ist Feierabend. Merken Sie auch daran, dass Sie im Ergebnis bei x hoch 0 angelangt sind. x hoch 42, x hoch 13, sonst wie sonst wie sonst so viel mal x hoch 0. Wenn Sie hier bei x hoch 0 angelangt sind, dann ist Feierabend mit der Polinomdivision. Es wäre kein Polinom, wenn ich jetzt noch schreibe plus so und so viel durch x.

Wäre auch rechnerisch nicht ganz korrekt, was wir dann veranstalten würden. Mit anderen Worten. Dieses hier ist das Divisionsergebnis. Und das hier ist der Rest. Das bleibt über vom Zähler. Jetzt zur Interpretation des Ganzen.

Dieses Polinom durch das Polinom ist das Polinom und dem als Rest. Schreiben Sie das jetzt mal in einer vernünftigen Form. Jetzt habe ich hier noch Platz. Ich schreibe es nochmal hin. x hoch 3 plus 5x² plus 1.

Wie kann ich jetzt dieses Polinom schreiben mit Ergebnis und Rest und dem Nenner? Wie kann ich dieses Polinom schreiben? Der Nenner, das Ergebnis, der Rest.

Passten Sie das mal zusammen. Was kann ich hier auf die rechte Seite schreiben? Um mein Originalpolinom, den Zähler, zu schreiben. Alle mal für sich. Nochmal die Analogie mit ganzen Zahlen. Wenn ich habe 13 durch 5 ist gleich 2 Rest 3.

Das wäre mit ganzen Zahlen. Division ganzer Zahlen. 13 durch 5 ist 2 Rest 3. Die 5 geht 2 mal in die 13 rein. Dann habe ich 10 und 3 bleiben übrig.

Genau so läuft das hier, wenn ich mir das jetzt überlege, mit Polinomen. Was ist die 13? Die 13 ist also 2 mal die 5 plus 3. Das heißt das hier, 13 durch 5 ist 2 Rest 3. Die 5 geht 2 mal rein und 3 bleiben über.

Und genauso bei Polinomen. Der Nenner hier, das Nenner-Polinom, geht so oft rein in dieses Polinom. Und dann muss ich das noch dazuzählen. Genau dasselbe. Also mein Originalpolinom hier, ein Zähler, ist...

Welche Reihenfolge mache ich mal? Diese Reihenfolge, Ergebnis mal Nenner. Ein halb x plus 9 Viertel. Ein halb x plus 9 Viertel. Mal den Nenner. 2x² plus x minus 3.

Plus den Rest. Ich schreibe das mal so. Minus 15 Viertel x plus 31 Viertel. So muss das funktionieren. Ganz analog zu den Zahlen. Ich teile dieses Polinom durch 2x² plus x minus 3.

Kriege das raus als sozusagen ganzen Anteil. Sie teilen 13 durch 5. Kriegen 2 als ganzen Anteil raus. Da steht das. Und das bleibt über. Das ist der Rest. Den muss ich noch addieren. So viel bleibt bei der Division als Rest.

Was man daraus lernt ist, dass man mit Polinomen so arbeiten kann wie mit ganzen Zahlen. Sie können Polinome addieren. Da passiert nichts Schlimmes. Sie kriegen wieder ein Polinom. Sie können die voneinander subtragenden Polinome. Kriegen wieder ein Polinom. Sie können die multiplizieren. Sie sieht man hier. 2 Polinome multiplizieren. Es gibt wieder ein Polinom. So und so viel x hoch 3.

Plus so und so viel x². Plus so und so viel x. Plus irgendeine Konstante. Und Sie können in gewissen Rahmen Polinome durcheinander teilen. Mit Rest. Genau wie ganze Zahlen. Es bleibt ein Rest. Das sind also erstaunliche Parallelen zwischen ganzen Zahlen und zwischen Polinomen. Die Polinom Division ist nicht hundertprozentig dasselbe wie die schriftliche Division.

Sie kriegen keinen Übertrag, wenn Sie sich das angucken. Es bleiben die x² immer unter sich. Es bleiben die x immer unter sich. Es bleiben hier die Zahlen ohne x immer unter sich. Es gibt keinen Übertrag. Polinom Division ist nicht ganz dasselbe wie die schriftliche Division. Aber doch verdächtig ähnlich.

Dann gab es noch gerade die Frage, wozu eigentlich? Ja, sehr gute Frage. Im wahren Leben kommt Polinom Division erstaunlich selten vor. Ich muss das gestehen. Wenn ich eine Nullstelle weiß von meinem Polinom, dann kann ich dadurch teilen.

Also wenn ich weiß, sowieso, sowieso hat eine Nullstelle an der Stelle 7 zum Beispiel. Wenn ich das weiß, dann weiß ich, dass das hier aufgeht, sowieso mit Rest 0.

Das heißt, wenn ich eine Nullstelle weiß, kann ich mein Polinom einfacher schreiben. Das ist aber eher eine theoretische Anwendung. Denn im Allgemeinen, wenn dieses Polinom überschaubar ist, tippen Sie das in sowas ein wie Wolfram Alpha. Und der sagt Ihnen sowieso dann sofort, was die Nullstellen sind, ohne dass Sie eine kubische Lösungsformel brauchen.

Wenn dieses Polinom nicht überschaubar ist, werden Sie schon Probleme haben, die erste Nullstelle zu finden. Es ist von eher theoretischem Nutzen, muss ich mal gestehen. Wie Polinom Division funktioniert, teile ich Ihnen mal mit als Allgemeinbildung.