Der Erwartungswert einer Zufallsgröße, der war sowas, wie ich messe Millionen mal und bilde dann den Mittelwert und ich messe Milliarden mal und bilde dann den Mittelwert und so weiter und so weiter. Dann werden sich diese Mittelwerte im Allgemeinen auf irgendeinen Wert zusammenziehen.

Das ist, was man sich unter dem Erwartungswert vorstellt. Der Mittelwert bei ganz vielen Messungen. Was ich damit aber nicht erfahre mit dem Erwartungswert, ist, wie stark denn diese Messungen streuen. Wenn Sie sich einen Würfel nehmen und den Würfel werfen, kriegen Sie vielleicht eins,

fünf, sechs, vier, drei, zwei, eins, zwei und so weiter. Der Würfel streut ziemlich stark. Der Mittelwert, Erwartungswert vom Würfel ist dreieinhalb. Wenn Sie eine Million mal würfeln und dann den Mittelwert bilden, wird es typischerweise

bei 3,5 sein. Der Mittelwert bei vielen Messungen, der Erwartungswert vom Würfel ist dreieinhalb, aber damit weiß ich noch nicht, wie stark der streut. Der Würfel streut sehr stark. Ich glaube, wenn Sie in Physik so eine Messgröße haben, dann wird man Ihnen im Satz warme Ohren verpassen, dann ist ja irgendwas faul an der Messung.

Wenn Sie in der Physik was haben, was im Mittel 3,5 sein soll, dann haben Sie wahrscheinlich sowas als Messungen, 3,501 und 3,498, 3,502 und vielleicht nochmal den 3,501 und so weiter.

Sowas würde man bei physikalischen Messungen erwarten, dass irgendwo hinten eine kleine Schwankung drin ist, aber dass es nicht ständig quer durch den Garten geht, wie beim Würfel. Um das noch auseinander zu halten, wie groß ist die Schwankungsbreite, fährt man noch zwei weitere Hilfsmittel ein, die Varianz und die Wurzel aus der Varianz

ist die Standardabweichung. Die beiden beschreiben, wie stark eine Zufallsgröße schwankt, wie unsicher ich bin. Hier unten bin ich mir beim Mittelwert Erwartungswert 3,5 ziemlich sicher, beim Würfel bin ich mir mit dem Erwartungswert 3,5 überhaupt nicht sicher.

Die einzelnen Messwerte, wenn Sie wollen, was passiert, wenn ich den Würfel einmal werfe, das ist von Mal zu Mal extrem verschieden, eine sehr große Schwankung. Man kann sich erstmal angucken, was denn die Abweichung vom Mittel ist. Meine Zufallsgröße minus ihren Erwartungswert, das ist schon mal etwas besser, Hand zu

haben. Dieses Ding ist wieder eine Zufallsgröße mit dem Erwartungswert Null, ich ziehe einfach den Erwartungswert ab. Wenn Sie das hier machen, hier oben machen, 3,5 abziehen, dann sind Sie bei Minus 2,5 und hier, wenn Sie die 3,5 abziehen, sind Sie bei 1,5, hier sind Sie bei 2,5,

hier sind Sie bei 0,5 und hier sind Sie bei Minus 0,5. Den Mittelwert abgezogen, den Erwartungswert, soll ich genauer sagen, abgezogen, dann habe ich etwas, was um Null schwankt, hier unten natürlich auch, hier haben Sie dann 0,001 und hier haben Sie Minus 0,002 und hier haben Sie 0,002, hier haben Sie

0,001. Das ist der erste Schritt. Ich werde erstmal den Erwartungswert los, vergesse den Erwartungswert, indem ich den einfach abziehe. Dann habe ich etwas, was um Null schwankt, das ist dieses hier, die Zufallsgröße Minus ihren Erwartungswert.

Jetzt muss ich mir nur noch überlegen, wie stark das denn um Null schwankt. Was ist die mittlere Schwankung? Das sucht man als Idee. Was könnte die mittlere Schwankung sein? Die mittlere Schwankung, der Erwartungswert ist sowas wie der mittlere Wert, Mittelwert

und was kann jetzt die mittlere Schwankung sein? Hier bin ich schon mal einen Schritt weiter, weil ich den Erwartungswert vergessen habe, das schwankt um Null. Jetzt könnte man Folgendes ausprobieren, ich nehme doch einfach mal den Erwartungswert hier von und hoffe, dass mir das was sagt über die Schwankung davon.

Was passiert aber, wenn Sie hier von den Erwartungswert bilden? Wenn Sie die roten Zahlen nehmen und davon den Mittelwert bilden, wird er auf lange Sicht Null werden. Es werden ja die nach oben so stark abweichen, wie sie nach unten abweichen im Mittel.

Das Mittel der roten Zahlen wird Null werden, das kann man hier auch sehen. Der Erwartungswert einer Differenz ist schlicht und greifend der Erwartungswert des ersten minus der Erwartungswert des zweiten. Der Erwartungswert war ja eine Summe von x mal Wahrscheinlichkeit oder etikral

von x mal Wahrscheinlichkeitsdichte. Wenn Sie da drin eine Summe haben oder eine Differenz haben, können Sie das auseinandernehmen. Das ist der Erwartungswert des ersten minus, jetzt sieht es komisch aus, der Erwartungswert vom Erwartungswert von x. Diese Differenz auseinanderziehen, das x geht dahin und das e von x geht dahin.

Und jetzt sieht man, ups, hier hinten der Erwartungswert vom Erwartungswert. Der Erwartungswert ist ja schon die ganze Zeit konstant. Das sind immer bei den Beispielen eben 3,5. Was ist der Erwartungswert, wenn Sie ständig 3,5 rauskriegen, weiterhin 3,5. Also Erwartungswert vom Erwartungswert ist nichts anderes als der Erwartungswert selbst.

Und dann sehen Sie, ups, Erwartungswert minus Erwartungswert ist Null. Das kann leider nicht funktionieren. Das wäre der erste Gedanke, aber es kann nicht funktionieren. Dass ich mir einfach nur diese Abweichungen angucke, mit Vorzeichen, dass das was oben rot war, hier, die Abweichung vom Erwartungswert.

Wenn ich davon den Erwartungswert bilde, ist das blöderweise Null. Das sagt mir gar nichts, sondern ist immer Null. Der nächste Trick wäre, also das ist blöd. Der nächste Trick wäre, okay, dann vergessen wir das Vorzeichen innen drin.

Der Erwartungswert von Betrag x minus Erwartungswert. Also ich bilde von den roten Zahlen hier oben den Betrag. Ich vergesse das Minus, ich vergesse das Minus, ich vergesse das Minus.

Und dann den Mittelwert. Das wird was Ordentliches werden. Die fünf Zahlen addieren durch fünf Teilen, die vier Zahlen addieren durch vier Teilen. Sie sehen, das wird jetzt nicht sich gegen Null entwickeln. Das wird was Sünftiges werden. Der Ärger ist aber folgender.

Wenn man das so machen würde, also im Prinzip gut, das würde funktionieren, um so was wie eine mittlere Schwankung rauszukriegen. Aber man hätte ganz viel Kopfschmerzen beim Rechnen wegen des Betrags.

Ich habe Ärger beim Ableiten. Betrag ableiten. Ich kann nicht ordentlich ausklammern, wenn hier drinnen Summen stehen. Weiß ich nicht, was der Betrag einer Summe ist, wenn ich den ordentlich zerlegen will. Das ist super blöd zu rechnen.

Deshalb macht man es im Allgemeinen nicht. Es gibt diese Sorte an mittlerer Abweichung. Kann man sich angucken. Damit fängt man aber nicht an, weil das extrem schwierig zu rechnen ist. Was man stattdessen macht, ist Folgendes. Man guckt sich die Varianz an.

Das nennt sich jetzt Varianz. Was ich hier nun aufmale. Der Erwartungswert vom Quadrat dieser Abweichung, nicht der Betrag. Ich muss irgendwie das Vorzeichen loswerden, meine Abweichung. Wenn ich das plus minus rechne, die Abweichung mittelt die sich zum Schluss weg. Ich muss das vorzeichenlos werden.

Eine Art wäre den Betrag zu bilden. Das ist naheliegend, aber ungeschickt beim Rechnen. Die andere Art, und das ist die übliche Art, ist das Quadrat zu bilden. Sie nehmen diese Abweichung, die Zufallsgröße minus ihren Erwartungswert, ins Quadrat. Und davon den Erwartungswert.

Das nennt sich Varianz. Und das ist also das Mittel der quadratischen Abweichung. Durch das Quadrat habe ich jetzt keinen Ärger mit plus minus. Das wird sich nicht wegmitteln. Das Mittel, oder ich schreibe mittlere quadratische Abweichung so. Die mittlere quadratische Abweichung.

Mit der kann man vernünftig rechnen. Quadrat kann man nicht ableiten. Man kann hier das Quadrat mit Binomie auseinander nehmen. Alles in Ordnung. Es ist nicht ganz so anschaulich, wie das, was man sich zunächst vorstellt.

Aber man kann damit wunderbar rechnen. Deshalb arbeiten alle Leute erst mal mit der Varianz in einigen Fällen. In seltenen Fällen kommt dieses hier vor. Aber die Varianz ist das, was man sich üblicherweise anguckt. Um eine Idee für die Schwankung zu haben.

Ich habe schon gesagt, es gibt zwei Größen, die man einführt. Die Varianz ist eine davon. Der Ärger ist, dass man jetzt hier das Quadrat hat. Wenn Sie x in Metern haben. Sie messen eine Länge. Stehen hier Meter minus Meter ins Quadrat. Die Varianz hat Quadratmeter.

Das ist eher ungeschickt. Ich möchte die Schwankung einer Größe angeben. Die Größe ist im Mittel 3,5 Meter. Und Sie möchten eine Schwankung angeben. Die Schwankung von 0,1 Quadratmeter. Das sieht ein bisschen blöder aus, wenn man eine Originalgröße Meter hat. Ich möchte eine Schwankung haben, die auch in Metern ist.

Und nicht in Quadratmetern. Das hier wäre ein Quadratmeter. Deshalb gibt es noch die weitere Größe. Die Standardabweichung. Das ist einfach die Wurzel draus. Standardabweichung. Wie der Name schon sagt. Standardabweichung. Die übliche Abweichung. Was ist eine übliche Abweichung?

Einfach die Wurzel aus der Varianz. Dann haben wir die richtigen Einheiten. Und das Ding funktioniert so, wie es funktionieren muss. Rechnen tut man am liebsten mit der Varianz. Irgendwann bildet man vielleicht mal die Wurzel für die Standardabweichung.

Und hat eine Idee, wie weit die Abweichung in echten Einheiten ist. Und das ist eine Art, was man dann in der Physik hinschreibt, wenn da so etwas steht. Wie 3,5 Meter plus minus 0,1 Meter. Eine Bedeutung hier von dieser plus minus 0,1 Meter kann sein Standardabweichung. Wahrscheinlich sogar die übliche Bedeutung für diese 0,1 Meter dahinten.

Standardabweichung. Die typische Abweichung. In der richtigen Einheit. Die Standardabweichung heißt gerne Sigma. Kleines Sigma. Etwas sauberer. Gleich.

Was war davor? Gleich Sigma. So steht die gerne in der Formel. Kleines Sigma. Und deshalb heißt die Varianz gerne Sigma Quadrat. Denn die Wurzel aus der Varianz soll ja die Standardabweichung sein. Also nicht wundern, wenn da überall ein Sigma Quadrat auftaucht in den Formeln. Gemeint ist die Varianz.

Die Varianz ist eigentlich die grundlegende Größe. Trotzdem schreibt man da dann Sigma Quadrat. Und für die Standardabweichung, was ja eigentlich eine abgeleitete Größe ist, die Wurzel aus der Varianz, das kleine Sigma. Und das sagt uns was über die Schwankungsbreite, die Streuungsbreite einer Zufallsgröße. Und diese Zufallsgröße kann diskret sein oder stetig sein.

Oder was auch immer. Hauptsache, ich kann diesen Ausdruck bilden. Den Erwartungswert meiner Zufallsgröße. Den Erwartungswert von Zufallsgröße minus Erwartungswert ins Quadrat. Solange ich das bilden kann, ist die Welt in Ordnung. Das kann ich ausrechnen für die typischen stetigen Zufallsgrößen

und für die typischen diskreten Zufallsgrößen und auch viele andere. Mathematische Fußnote, aber nicht immer. Große Klammer.

Nicht alle Zufallsgrößen haben Erwartungswert und Varianz. Es kann sein, dass einem diese Formeln um die Ohren fliegen.

Wenn Sie den Erwartungswert nicht bestimmen können, dann ist mit der Varianz sowieso Feierabend. Ich zeige mal eine billige Zufallsgröße, bei der ich den Erwartungswert nicht bestimmen kann. Das sieht erst einmal haarstorbend aus. Wie kann das passieren? Ich messe irgendwas 10.000 Mal und bilde dann den Mittelwert.

Warum soll sich das nicht auf eine Zahl zusammenziehen? Wie kann das passieren? Schauen Sie sich Folgendes an. Die Werte meiner Zufallsgröße. Also zum Beispiel als Werte meiner Zufallsgröße nehme ich mal 2 und 8 und 32 und so weiter bis ins Unendliche

und genauso minus 4 und minus 16 und minus 64 und so weiter. Das sollen meine Werte sein, die die Zufallsgröße annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten sollen folgende sein.

In der Hälfte der Fälle fällt sie auf die 2. In einem Viertel der Fälle fällt sie auf die 4. In einem Acht der Fälle auf die 8. In einem Sechzehntel der Fälle auf die Minus 16. In einem 32. der Fälle auf 32. In einem 64. der Fälle auf minus 64.

Warum sind diese Wahrscheinlichkeiten okay? In der Tat, die summieren sich zu 1. Das hatten wir schon mal. Ein Halb plus ein Viertel. Die geometrische Reihe, eine besondere geometrische Reihe plus ein Achtel plus ein Sechzehntel und so weiter wird 1 werden.

Das heißt, in der Tat, das haut hin mit diesen Wahrscheinlichkeiten. Die summieren sich zu 1. Das sind alle zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Okay, das können wir kaufen als Zufallsgröße. Und jetzt berechnet man den Erwartungswert von dieser Zufallsgröße. Was wird passieren?

Das ist jetzt genau der Trick von diesem Gegenbeispiel hier. Ich muss ja rechnen. Wert mal Wahrscheinlichkeit plus Wert mal Wahrscheinlichkeit plus plus plus plus. Wert mal Wahrscheinlichkeit 2 mal ein Halb plus 8 mal ein Achtel plus 32 mal ein 32. Plus und so weiter.

Und hier mit dem negativen Recht nicht. Minus natürlich dann. Minus Wert 4 mal Wahrscheinlichkeit ein Viertel. Minus 16 mal ein Sechzehntel. Minus 64 mal ein Sechzigstel und so weiter. Das wird 1.

Das wird 1. Das wird 1. Das wird 1. Das wird 1. Sie haben hier stehen 1 plus 1 plus 1 plus 1 bis ins Unendliche. Minus 1 minus 1 minus 1 minus 1 ins Unendliche. Wenn Sie wollen, plus unendlich minus unendlich. Das ist ein unbestimmter Ausdruck. Das wird nichts werden. Dieser Erwartungswert ist leider nicht definiert.

Das ist an den Haaren herbeigezogen. In der Praxis wird man es nicht haben. Aber wenn Sie mathematische Texte lesen, nicht wundern. Zufallgrößen müssen nicht zwangsläufig einen Erwartungswert haben. Man kann solche Abstrusenbeispiele bauen von Zufallgrößen, die einem um die Ohren fliegen und tatsächlich nach einer Million Messungen sich nicht auf irgendeine Zahl einmal zusammengezogen haben,

sondern wild durch die Gegend fluktuieren. Hier geht der Erwartungswert schon schief. Wenn der Erwartungswert schon schief geht, geht erst recht die Varianz schief. Es gibt auch Fälle, in denen nur die Varianz schief geht, aber der Erwartungswert noch funktioniert. Muss ich nicht aufmalen, wenn Sie es gesehen haben, dass schon der Erwartungswert ein Problem hat.

Es ist klar, dass man mit der Varianz erst recht ein Problem haben kann. Anmerkung am Rande, wo ich das immer locker alles hinschreibe, was alles geht. Die Mathematiker müssen da ein bisschen vorsichtiger sein. In der wahren Welt haben wir natürlich keine Messwerte, die über alle Grenzen wachsen und über alle Grenzen fallen.

Insofern wird dieses Phänomen hier jetzt nicht auftreten können in der wahren Welt. In irgendeinem Modell, denken Sie an Poisson, wo die Anzahl der Fische über alle Grenzen wachsen kann, kann es durchaus passieren. Fußnote für die Mathematiker, die zugucken.

Und keine Fußnote, sondern noch ganz dringend wichtig zum Ausrechnen. Das hier ist die Idee der Varianz. Das Mittel der quadratischen Abweichung. In der Mitte steht die Abweichung. Davon das Quadrat, damit ich das Vorzeichen vergesse, und davon das Mittel.

Die mittlere quadratische Abweichung. Das ist die Idee. Das ist aber ein bisschen blöd zu rechnen. Man kann es anders rechnen. Ich schreibe die Formel nochmal hin. Besser zu rechnen.

Also, das Mittel der quadratischen Abweichung. Ich habe schon gesagt, der Vorteil, dass man hier das Quadrat nimmt, statt des Betrags, ist, dass man besser rechnen kann.

Jetzt kann ich hier mit Binomi den inneren Teil auseinandernehmen. a minus b in Klammern ins Quadrat, das ist also die Zufallsgröße ins Quadrat, minus 2ab, zweimal die Zufallsgröße mal ihren Erwartungswert, plus b Quadrat, den Erwartungswert ins Quadrat.

Also, das ist jetzt schlicht untergehalten fünfte Klasse. a minus b Quadrat ist a Quadrat, minus 2ab plus b Quadrat. Für jeden Versuch, den ich mache, gilt das. x hat irgendwie einen Wert, der Erwartungswert ist sowieso immer derselbe Wert.

Für jedes Experiment, das ich durchführe, rechne ich das, und kriege dann das hier unten raus, wenn ich es anders schreiben will. Den Erwartungswert einer Summe und einer Differenz darf ich aber zerlegen. Das ist der Erwartungswert von x Quadrat. Also, jede Messung, die ich habe, quadrieren und dann aus den Quadraten den Mittelwert bilden,

minus, die zwei darf ich rausziehen, zweimal der Erwartungswert von x mal der Erwartungswert. Das heißt, hier nehme ich den Erwartungswert, 3,5 eben, mal meinen aktuellen Messwert und bilde davon den Mittelwert, plus, das hier hinten ist eine Konstante.

Der Erwartungswert ist eine Konstante, das Quadrat davon ist eine Konstante. Der Erwartungswert eines Dings, das ständig dasselbe ist, ist natürlich dieses Ding. Also, Erwartungswert von x Quadrat. Jetzt kann man eine Sache noch vereinfachen, den hier.

Sie nehmen sich den aktuellen Messwert, mal seinen Erwartungswert, der aktuelle Messwert, mal 3,5 und davon das Mittel. Was wird das werden? Hier rechnen Sie ja sowas. Mein erster Messwert, mal die 3,5 plus mein zweiter Messwert, mal die 3,5 plus mein

und so weiter, zehntes Messwert, mal die 3,5 durch 10. Dann kann ich hier aber die 3,5 ausklammern. Hier dieses E von x, die 3,5, das E von x, den kann ich vor den Erwartungswert ziehen. Das ist ja auch wieder eine feste Zahl, dieser Erwartungswert.

Den kann ich davor ziehen. Und dann steht da lustigerweise der Erwartungswert von x, mal der Erwartungswert von x. Also hier steht der Erwartungswert von x. Das ist jetzt der hier, den ich vor das E gezogen habe, mal, und was übrig bleibt, ist E von x, was dasselbe ist.

Also den davor ziehen, das ist eine konstante Zahl, Erwartungswert von x, ziehen Sie davor. Das ist der, und dann bleibt innen drin E von x stehen. E von x, was nichts anderes dann ist, zusammen als E von x².

Ich schreibe das mal ausdrücklich mit einer runden Klammer, dass nicht einer drauf kommt, dass ich das x da quadriert habe. Ich habe den Erwartungswert quadriert. So, und dann steht da, das ist der Erwartungswert von x². Ich nehme also jeden Versuch, quadriere das Ergebnis und bilde dann den Mittelwert.

Minus zweimal das Quadrat vom Erwartungswert plus einmal das Quadrat vom Erwartungswert. Minus zweimal das Quadrat plus einmal das Quadrat, also minus einmal das Quadrat vom Erwartungswert. So sieht das aus.

Also Sie bestimmen einmal das Mittel von Sichtmessungen. Das ist der dahinten, der Erwartungswert. Und hier bestimmen Sie das Mittel von Sichtmessungen im Quadrat. Den Wert jeweils quadrieren und davon das Mittel. Und dann in dieser Form den Mittelwert quadrieren und von dem vorne abziehen.

Das hier ist, wenn man wenige Messungen macht, doch nicht genau das, was man tatsächlich dann rechnet. Das kommt nächstes Mal nochmal. Die Schätzung der Varianz, das hier ist, wenn man es mit Millionen, Milliarden, Billionen Messungen macht. Einmal für jede Messung das Quadrat bilden, davon den Mittelwert.

Minus jede Messung so nehmen, den Mittelwert von allen und dann diesen Mittelwert quadrieren. Das ist die Art, wie man den Erwartungswert einfacher ausrechnen kann. Das Mittel vom Quadrat minus das Quadrat vom Mittel. Das ist nicht so schwer zu merken. Mittel vom Quadrat minus Quadrat vom Mittel.

Was Ihnen auch sagt, dass das zwei verschiedene Sachen sein müssen, lustigerweise. Wenn Sie das Mittel quadrieren, kriegen Sie nicht dasselbe raus im Allgemeinen, als wenn Sie vom Quadrat das Mittel bilden. Das Mittel kann ja zum Beispiel Null sein, wenn Sie eine Zufallsgröße haben, die sich im Plusminus gleichmäßig verteilt. Dann ist das Mittel Null. Das Quadrat wird dem Mittel aber dann beim besten Willen nicht Null werden.

Um das nochmal klar zu machen. Dass das Quadrat vom Mittel nicht das Mittel vom Quadrat sein muss. So, das ist die Art, wie man die Varianz ausrechnet. Man benutzt nicht diesen Ausdruck hier. Das ist die Vorstellung davon.

Sondern man benutzt diesen Ausdruck hier. Viel einfacher anzuhaben. Das gucken wir uns jetzt nicht mal zu Fuß an. Beispiel. Gucken Sie sich selber gerade an. Eine stetige Zufallsgröße. Stetige Zufallsgröße.

Die gleichmäßig zwischen 3 und 5 verteilt sein soll. Gleichmäßig zwischen 3 und 5 verteilt. Das soll heißen, sie liegt in dem Intervall von 3,1 bis 3,2.

Mit derselben Wahrscheinlichkeit, wie sie im Intervall von 4,0 bis 4,1 liegt. Sie liegt in dem Intervall von 4,001 bis 4,002. Mit derselben Wahrscheinlichkeit, wie sie im Intervall von 3,571 bis 3,572 liegt.

Und so weiter. Das ist gemeint mit gleichmäßig. Ein Schrotschuss ohne besondere Häufungen. Und die Frage ist, was ist die Varianz? Bestimmen Sie die Varianz für diese Zufallsgröße.

Was ist die Idee vom Quadrat der Streuung? Eine stetige Zufallsgröße sollte so ein Warnhinweis sein. Hallo, das hat was mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte zu tun. Jede Zahl zwischen 3 und 5 kann vorkommen.

3, 4, 5. Und zwar nicht nur die Zahl 4 und nicht nur die Zahl 3 und die Zahl 5. Das wird ja diskret verteilt. Sondern jede Zahl dazwischen. Ich brauche jetzt eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Natürlich nicht diese, die ich jetzt gemalt habe. Das ist nur um sie abzulenken.

Ich brauche eine Wahrscheinlichkeitsdichte, die das beschreibt. Dass meine Zahlen gleichmäßig zwischen 3 und 5 verteilt sind. Und die meisten haben sich noch erinnert. Also die Fläche darunter muss 1 sein. Ich suche so eine Kurve, unter der die Fläche 1 ist. Die soll beschreiben, dass alle Zahlen zwischen 3 und 5 mit gleicher Wahrscheinlichkeit vorkommen.

Weil mit gleicher Wahrscheinlichkeit ist ein bisschen Würde. Die Zahl Pi, genau Pi, wird mit der Wahrscheinlichkeit 0 vorkommen. Das haben wir schon diskutiert. Die Wahrscheinlichkeitsdichte soll gleichmäßig sein.

Wie muss diese Kurve aussehen für die Wahrscheinlichkeitsdichte? Wenn Sie die haben, können Sie Erwartungswerte berechnen mit Integralen. Diese Zufallsgröße soll Werte zwischen 3 und 5 haben.

Das heißt, ich werde die Wahrscheinlichkeitsdichte bis zur 3 auf 0 setzen. Bis dahin ist meine Funktion 0. Unterhalb der 3 gibt es kein Ereignis. Oder sagen wir genauer gesagt, haben die Ereignisse Wahrscheinlichkeit 0. Alles Mögliche, was unterhalb der 3 ist, genauso oberhalb der 5.

Da haben wir nur 0. Gleichmäßig heißt es, es muss eine Horizontale Gerade sein. So, eine Horizontale Gerade. Das heißt, 2 breit dieses Ding hat die Höhe ein halb.

Das ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 3,3 und 3,4 zu liegen? Das ist ja dieses Integral, diese Fläche. Das ist die selbe Wahrscheinlichkeit wie zwischen 4,7 und 4,8 zu liegen.

Und so weiter und so weiter. Das ist gleichmäßig. Die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen, die große Wahrscheinlichkeit genau Pi zu erwischen, 0. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 5 zu erwischen, 0. Die ist nicht so richtig spannend. Wichtig ist, dass gleich breite Intervalle gleich große Wahrscheinlichkeiten haben.

So, nun habe ich die Wahrscheinlichkeitsdichte. Der Erwartungswert meiner Zufallsgröße, den kann man eigentlich auch ablesen, wenn Sie sich das angucken. Das habe ich ja schon gesagt. Der Erwartungswert ist die x-Koordinate vom Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsdichte.

Wenn Sie das als Kurve ausschneiden. Dann ist klar, wo der Schwerpunkt liegt. Der liegt bei der 4. Muss man nicht drüber nachdenken. Aber sicherheitshalber rechnen wir nochmal nach. Zu Fuß, was ist der Erwartungswert? Das Integral über alle möglichen x-Werte. x mal Wahrscheinlichkeitsdichte dx. Bei der diskreten Zufallsgröße hatten wir eben eine Summe.

Vielleicht sogar eine unendliche Summe. Aber auf jeden Fall eine Summe. Wert mal Wahrscheinlichkeit plus Wert mal Wahrscheinlichkeit und so weiter. Und bei der stetigen Zufallsgröße ist das x mal Wahrscheinlichkeitsdichte integriert. Wenn Sie wollen, ist das hier eine Art Wahrscheinlichkeit.

Eine Summe über x mal Wahrscheinlichkeit. Dieses Integral brauche ich nur von 3 bis 5. Das kann man natürlich sofort hinschreiben von 3 bis 5. Das hier war nur nochmal die allgemeine Formel hier für den Erwartungswert. Kann ich sofort hinschreiben, nur von 3 bis 5. Weil diese Zufallsgröße hier nur von 3 bis 5 Werte haben soll.

x mal die Wahrscheinlichkeitsdichte ist 1 halb dx. Dann also in dem Integral. Und das mit Stammfunktion. Ich suche eine Stammfunktion zu x halbe. Wäre x quadrat viertel denke ich mal.

Wenn Sie ableiten, kriegen Sie 2x durch 4. Sind x halbe ja in den Grenzen von 3 bis 5. Und dann sind wir hier bei 25 viertel. 25 viertel minus 9.

9 viertel sind, Überraschung, 16 viertel sind 4. Wer hätte es gedacht? Immer wieder schön, wenn man das rauskriegt, was man hofft, auszukriegen. Das ist der Erwartungswert der Zufallsgröße x. Jetzt will ich für die Varianz den Erwartungswert, wo sind wir hier, der Zufallsgröße x quadrat haben.

Hier steht also nachher einfach minus 16, 4 ins Quadrat. Das ist der spannende Teil, der Erwartungswert der Zufallsgröße ins Quadrat. Jedes Mal, bei jedem Versuch, den Sie machen, merken Sie sich nicht das Messergebnis, sondern das Quadrat.

Immer sofort quadrieren, quadrieren, quadrieren, quadrieren. Und dann bilden Sie danach den Mittelwert. Das ist damit gemeint. Der Erwartungswert von x quadrat. Wenn Sie das tun, erst quadrieren und dann den Mittelwert bilden, dann heißt das ja, Sie haben Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte für x,

aber die geht mit x quadrat. Dann erst quadrieren und dann mitteln. So muss das zwangsläufig werden. Natürlich analog bei diskreten Zufallsgrößen, wo Sie hier eine Summe haben. Nicht x mal Wahrscheinlichkeit aufsummieren, sondern x quadrat mal die Wahrscheinlichkeit aufsummieren. Die Wahrscheinlichkeit sagt, in wie häufig dieser spezielle Wert vorkommt.

Und was ist der Wert x quadrat in diesem Fall? Ich habe hier den Messwert quadriert. Das muss man also bilden. Dieses Integral, Sie sehen, das ist wieder die allgemeine Formel mit unendlich drinnen. Ich weiß, bei mir ist das erst spannend von 3 bis 5.

Also hier das Integral von 3 bis 5 x quadrat. Die Wahrscheinlichkeitsdichte war 1 halb die x. Auch wieder mit Stammfunktion. Ich suche etwas, das abgeleitet x quadrat halbe ist. Das muss was mit x hoch 3 sein. x hoch 3 sechstel würde ich mal so sagen aus dem Bauchhaus.

x hoch 3 sechstel, wenn ich ableite, kriege ich 3 x quadrat. 3 kürzig gegen die 6 x quadrat halbe sieht gut aus. Von 3 bis 5. Wow, 5 hoch 3 sind 125.

125 sechstel minus 3 mal 27. Sechstel sind 98 sechstel. Kann man sicherlich noch kürzen.

Insbesondere durch 2. Unten haben wir 3 und oben haben wir 49. Das ist der Erwartungswert von x quadrat. Wenn Sie bei jedem mal messen das Quadrat bilden und nachher die Quadratmittel, wird auf lange Sicht das rauskommen.

Und was mich interessiert ist jetzt die Differenz zwischen dem Mittel vom Quadrat und dem Quadrat davon, dem Quadrat vom Erwartungswert. Das ist die Varianz. Sigma quadrat ist das Mittel des Quadrats minus das Quadrat vom Mittel.

Also, Mittel vom Quadrat 49 drittel minus 4 ins Quadrat, also minus 16. 16 sind 48 drittel ist 1 drittel.

Also hier ist die Varianz 1 drittel. 49 drittel minus 48 drittel. Und insofern ist die Standardabweichung die Wurzel daraus, die Wurzel aus 1 drittel 1 durch Wurzel 3. Das ist die Standardabweichung hier.

Was hätten Sie eigentlich erwartet als Standardabweichung vom Bild, wenn Sie sich dieses Bild angucken und die Standardabweichung die mittlere Abweichung sein soll, was hätte die eigentlich sein müssen, wenn alles so funktioniert, wie es funktionieren sollte,

was hätte die eigentlich aus dem Bauch heraus sein müssen? Genau, in einer gerechten Welt sollte die Standardabweichung ein halb sein, dass Sie sagen, das ist so, um was ich typischerweise abweiche, von der 4. Das balanciert sich ja jeweils aus. So sollte es eigentlich sein. Aber das ist nun der Ärger wegen des Quadrats.

Ich bilde die Varianz mit dem Quadrat. Und das funktioniert nicht so, wie man sich das vorstellt. Wenn ich das hier genommen hätte, dann hätte es funktioniert mit den Betragstrichen.

Das ist das, was man eigentlich lieber hätte, von der Vorstellung her. Es ist, wie gesagt, aber eben schlecht zu rechnen. Also nicht wundern, wenn Sie mit der Varianz und der Standardabweichung nicht ganz das rauskriegen, was es hätte sein sollen.

Die Standardabweichung da ist nicht das, was man sich ganz normal vorstellt, unter der typischen Abweichung. Das ist immer ein Hauch daneben. Man lebt damit. Das ist ja nur eine Abweichung, das ist ja nicht der Mittelwert, sondern die Abweichung ist mal ein bisschen größer, mal ein bisschen kleiner. Aber man lebt dann damit, dass das nicht ganz das ist, was wir haben wollen.

Können wir auch mal zahlenmäßig gucken. Eins durch Wurzel drei, wie weit wir da jetzt entfernt sind von dem, was uns vorschweben würde, von der einhalb. Eins durch drei. Man lebt mit der Abweichung, rechnet die ganze Zeit mit Varianz und Standardabweichung.

Wichtig ist nur, wenn Sie so ein Diagramm sehen, dass Sie dann zwar den Erwartungswert einfach mit dem Schwerpunkt schätzen können, aber die Standardabweichung ist im Zweifelsfall nicht genau das, was man sich vorstellt. Die liegt in der Größenordnung, kann aber ein bisschen falsch sein.

Wird typischerweise auch ein bisschen falsch sein. Das Körnchensalz schluckt man dafür, dass man hier schön mit Quadraten rechnen kann, statt mit Beträgen.