Ich habe schon angedroht, dass man Stammfunktionen angeben kann. Das ist eher ein glücklicher Zufall. Es gibt zwar immer Stammfunktionen, nur kann man sie im Allgemeinen nicht mit üblichen Funktionen hinschreiben. Man kann sie aufmalen, man kann sie numerisch schätzen, aber man kann sie nicht mit den üblichen Funktionen, Sinus, Kosens, Exponentialfunktionen, Rhythmus und so weiter,

nicht mit den üblichen Funktionen hinschreiben im Allgemeinen. Jetzt mal ein Fall, wo das gerade noch so klappt und das Ergebnis ein sehr überraschendes ist. Nämlich, wenn ich folgende Funktion integriere, und zwar von 0 bis 1 integriere, die Funktion 1 durch 1 plus x².

Von dem Ding erinnert sich vielleicht noch einer an die Stammfunktion. Das war der Arco-Stangens. In der Tat, der Arco-Stangens von x ist eine Stammfunktion dazu,

denn wir haben uns schon überlegt, die Ableitung vom Arco-Stangens ist 1 durch 1 plus x². Dann könnte ich notfalls auch noch mal die Kurven angucken, 1 durch 1 plus x². Wenn x über alle Grenzen wächst, wird das 0 werden, in positive Richtung wie in negative Richtung.

Diese Zahl wird niemals negativ werden. Wenn x gleich 0 ist, ist das der größte Wert überhaupt, weil dann der Nenner hier am dichtesten bei 1 ist. Das wird so eine Glockenfunktion werden. 1 durch 1 plus x². Nicht die Gaussglocke, aber eine Glockenfunktion. Der Arco-Stangens passt doch ganz nett dazu als Stammfunktion.

Wenn Sie den Arco-Stangens ableiten, die Ableitung ist fast 0 hier oben. Positiv, aber fast 0, das passt hier zu. Hier ist die Ableitung positiv, es steigt ein ganz kleines bisschen. Fast 0 die Ableitung, das passt dazu. Hier ist die Ableitung 1, das passt dazu. Nicht ganz unplausibel, dass das so sein muss,

und wir haben es ja sogar schon nachgerechnet, dass das so sein muss. Dass die Ableitung vom Arco-Stangens gleich 1 durch 1 plus x² ist. Jetzt setzen Sie mal 0 und 1 ein. Was ist der Arco-Stangens von 0? Das ist billig. Was ist der Arco-Stangens von 1?

Den nochmal wegwische hier. Also hier steht dann, wenn ich ausrechne, das ist der Arco-Stangens von 1 minus der Arco-Stangens von 0. Die Standfunktion oben minus die Standfunktion unten. Arco-Stangens von 0, haben wir gerade sogar noch gesehen im Bild, ist 0. Ist nicht wirklich tragisch.

Für welchen plausiblen Winkel wird der Tangens 0? 0. Und hier, für welchen sinnvollen Winkel wird der Tangens 1? Ich brauche ein Dreieck, in dem das Verhältnis gegen Kathete durch an Kathete 1 ist. Die gegen Kathete ist so lang wie die an Kathete. Das heißt Tangens 1. Das Verhältnis ist 1.

Na ja, gegen Kathete so lang wie die an Kathete. Sie sehen, das muss gleich schenklich sein. 45 Grad, 45 Grad. Das hier müssen 45 Grad sein. Der Arco-Stangens von 1 müssen sinnvollerweise 45 Grad sein. Wir werden natürlich hier im Bogenmaß arbeiten. Nicht 45 Grad. Pi sind 180 Grad.

Pi halbe sind 90 Grad. Pi viertel. Das ist doch lustig. Dieses Integral hier gibt Pi viertel. Ich integriere so eine Funktion, die doch ganz harmlos aussieht. Da steht nichts Schlimmes mit Kreisen und mit Winkeln und ähnlichen Geschichten. Und ich kriege plötzlich Pi viertel raus aus einer so ganz harmlosen Funktion.

Und das Spannende ist, dass ich dieses Integral noch komplett anders berechnen kann, weil diese Funktion so harmlos ist. Das machen wir jetzt mal. Und damit kriegen wir eine Formel für Pi. Das ist keine sehr effiziente Formel für Pi, aber eine sehr überraschende Formel für Pi. Nämlich.

Also ich versuche jetzt das Integral auf eine andere Weise zu lösen. Hier habe ich das einmal direkt mit einer Stammfunktion. Jetzt probiere ich es anders. Und zwar erinnert man sich an Folgendes. 1 durch 1 minus z.

Dafür gab es eine Formel. Das hier war die geometrische Reihe, wenn ich die aufsummiere. 1 plus z plus z² plus z hoch 3 und so weiter. Ein bisschen das Unendliche. Aufsummiert. Hat auch nicht immer funktioniert.

Das geht nur, wenn der Betrag von z kleiner ist als 1. Das hatten wir bei der geometrischen Reihe. Der Trick war hier mal endlich viele zu nehmen. So war das zustande gekommen. 1 plus z plus und so weiter plus z hoch 100. Und dann mit dem 1 minus z zu multiplizieren.

Dann ergab sich so eine Teleskopsumme. 1 plus z und z hoch 100. Und mit dem minus z hat sich die Hälfte wieder weggehoben. Den Trick kann man nun verwenden. Um zu sagen, was 1 durch 1 plus x² ist.

Wenn mein x nicht zu sehr aus dem Ruder läuft. Sie sehen hier läuft das x ja von 0 bis 1. Das x von 0 bis 1. Das heißt x² läuft auch von 0 bis 1. Hier steht zwar kleiner 1, aber das ist gerade das letzte Stückchen hier. Wenn x gleich 1 ist, wird es schon funktionieren.

Zumindest für die Physiker und Ingenieure. Die sind da sehr zuversichtlich, dass das schon funktioniert. Was passiert mit dieser Formel, wenn sie die anwenden auf 1 durch 1 plus x². Und dann versuchen, das Integral zu bilden. Also man macht eine Substitution.

Ja, x² minus z. Oder z ist gleich minus x². Und das ersetzen. In der Formel oben. In dieser Formel hier. Wenn sie hier z gleich minus x² einsetzen.

Steht da 1 durch 1 plus x². Jetzt muss ich hier dann analog bilden. Das ist also 1 minus x². Was ist dann z²? Plus x hoch 4, in der Tat. Plus x hoch 4. Und dann hier natürlich wieder minus.

Minus x hoch 6. Plus, minus und so weiter. Immer aktwechselnd. Plus, minus, plus, minus, plus. Damit habe ich eine andere Art, wie ich jetzt plötzlich eine Stammfunktion hier zu finden kann. Den 1 durch 1 plus x², das ist nicht richtig prickelnd. Dafür eine Stammfunktion zu finden.

Lustigerweise kennen wir eine, aber das ist auch eher Zufall, dass wir eine kennen. Aber jetzt haben wir eine ganz andere Art, wie wir eine Stammfunktion finden können. Über die rechte Seite. Gucken Sie sich mal an, was hier zu jetzt eine Stammfunktion ist. Und rechnen Sie das Integral hier mit aus. Mit einer Stammfunktion zu der rechten Seite aus.

Also das Integral von, na wo waren wir? Das Integral von 0 bis 1 über 1 durch 1 plus x². Das Integral hier von, von 0 bis 1. Ist dann ja auch das Integral hier von, von 0 bis 1. Und für den hier sollten Sie eine Stammfunktion angeben können.

Okay, wenn wir so weit sind, sehen Sie, das gibt eine ganz simple Möglichkeit, das zu integrieren jetzt. Von 0 bis 1. 1 durch 1 plus x² dx. Ich schreibe gleich nochmal den Kram hier so hin.

Das ist also, Klammer auf, 1 minus x² plus x hoch 4. Minus x hoch 6 plus minus und so weiter. dx. Das könnte man mit dem Summenzeichen schreiben. Aber das sieht so hässlich aus. Deshalb schreibe ich es lieber so, dann weiß ich, was ich da mache. Nebenbei, hier Klammern.

Das sieht netter aus. Wenn Sie da keine Klammern schreiben, sieht das so aus, als ob hier der letzte mit dx modifiziert wird. Und der Rest hier vorne in der Gegend hängt. Ich find's schicker, beim Integral unter die Klammern dann zu haben, wenn Integral eine Summe steht. Ja, und jetzt geht das hier nach Schema f. Ich muss gleich noch was dazu sagen, was die Mathematik davon hält.

Der Unterschied zur Physik und zur Ingenieurkunst. In der Physik und im Ingenieurwesen ist man da jetzt ziemlich gnadenlos und sagt, okay, hier vorne eine Stammfunktion, das ist ja wohl x. Und hier eine Stammfunktion ist ja wohl x hoch 3 drittel.

Hier eine Stammfunktion ist x hoch 5 fünftel. Hier eine Stammfunktion ist x hoch 7 siebtel plus minus und so weiter. Klar, wie das weitergehen muss. Anscheinend immer ungerade Potenzen durch die jeweilige Potenz mit plus minus plus minus plus minus. Ich hab gleich oben auch plus minus hinschreiben, um das klar zu machen.

In den Grenzen von 0 bis 1. Und dann finde ich also, wenn ich die 1 einsetze, 1 minus 1 drittel plus 1 fünftel minus 1 siebtel plus minus und so weiter. Die Kehrwerte der ungeraden Zahlen immer abwechselnd mit plus und minus.

Minus 0 einsetzen. Naja, 0, 0, 0, 0, das fliegt ja weg. Den brauchen wir gar nicht. Also finde ich auf diese Weise, dass wir die eine Art das Integral ausrechnen mit der überraschenden Stammfunktion Akustangens.

Ich finde, dass Pi viertel sein muss. 1 minus 1 drittel plus 1 fünftel minus 1 siebtel. Sie sehen, hier passiert überhaupt nichts Schlimmes. Das sind die Kehrwerte der ungeraden Zahlen mit plus und minus. Und das plötzlich gibt Pi viertel. Aus ganz schrägen Gründen.

Fußnote, das hatte ich schon immer angedeutet gerade. Die Mathematiker kriegen bei diesen Sachen hier das kalte Grausen, wenn man das so rechnet. Erstens gilt dieses hier nur, wenn x² strikt kleiner ist als 1. Ich gehe aber bis 1 dran.

Das ist nicht ganz sauber. Zweitens ist das hier keine endliche Summe. Da steht nicht irgendwas mit 1000 Termen und dann ist Feierabend. Hier stehen nun endlich viele Summen. Das hat etwas mit Grenzwerten zu tun. Man muss vorsichtig sein. Wenn ich ein Integral einer Summe mit 1000 Summanden bilde, dann kann ich das Integral jeweils einzeln bilden.

Aber wenn ich ein Integral von unendlich vielen Summanden hier habe, eine Reihe, dann muss ich eigentlich vorsichtig sein. Hinter Mathematik zumindest. Also nicht wundern, wenn Sie auf Wikipedia gucken oder so und dann eine seitenlange Herleitung dafür finden. Wenn man das sauber machen will, dass es wirklich wasserdicht ist, muss man sehr viel vorsichtiger sein, als ich das jetzt hier so vorgeführt habe.

Da sind die Leute aus der Physik und aus dem Ingenieurwesen eher gnadenlos, was das angeht. Auch in der Mathematik passt man da deutlich mehr auf. Das heißt, wir finden also, Pi ist das Vierfache von 1 minus ein Drittel plus ein Fünftel

minus ein Siebtel plus minus und so weiter. Das ist allerdings keine geschickte Idee, um Pi auszurechnen. Wenn Sie hier bis zum 100. Summanden gehen,

wenn Sie hier bis zum 100. Summanden gehen, in welcher Größenordnung ist der 100. Summand? Der 100. Summand, was hier plus minus an 100. Stelle dazukommt, 1, 2, 3, 4, ist in der Größenordnung von 1, 2, 100. Es geht ja immer doppelt so schnell. 1, 2, 3, 4, hier an 100. Stelle wird irgendwas in der Größenordnung von 1, 200. stehen.

Wenn Sie 100 aufsummiert haben, hiervon heißt das, 100 von diesen Kehrwerten aufsummiert haben, dann geht das noch immer um plus minus 1, 200. Das heißt, Sie haben mit Glück zwei Stellen hinter dem Komma, nachdem Sie 100 aufsummiert haben.

Das macht nicht viel Spaß. Diese Reihe hier ist keine gute Idee, um Pi tatsächlich auszurechnen. Es dauert ewig lang, bis diese Reihe sich auf ein Viertel von Pi zusammenzieht. Also es ist keine gute Idee, so auszurechnen. 1 minus ein Drittel plus ein Fünftel minus ein Siebte. Sie können es ja mal schärferweise in eine Tabellenkalkulation eingeben und dann gucken, was passiert, wenn Sie 100 aufsummieren.

Das schwankt eben immer noch auf der dritten Stelle nach dem Komma.