10A.1 Fakultät schätzen, Stirlingformel, Potenzgesetze und Logarithmengesetze anwenden
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Formale Metadaten
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| Anzahl der Teile | 89 | |
| Autor | ||
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| Identifikatoren | 10.5446/9952 (DOI) | |
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ExponentialfunktionModulformKurveFaktorisierungPhysikerUmkehrfunktionMathematikFunktion <Mathematik>PhysikAdditionBiproduktSummePlatteZahlE-FunktionPotenz <Mathematik>AbakusOptimierungUmkehrung <Mathematik>SummierbarkeitStirling-FormelGrößenordnungGleichungComputeranimation
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Ableitung <Topologie>FlächeTermSummeStammfunktionKurvep-BlockHöheGrößenordnungFormelsammlungAdditionZahlenbereichSchätzwertComputeranimation
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StammfunktionSchätzwertComputeranimation
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LogarithmusGrößenordnungComputeranimation
12:52
UmkehrfunktionFaktorisierungPotenz <Mathematik>ExponentGrößenordnungZahlE-FunktionAusdruck <Logik>Gesetz <Physik>AttraktorRundungFunktion <Mathematik>GleichungComputeranimation
18:03
ExponentDiagrammGrößenordnungExponentialfunktionGruppenoperationE-FunktionNäherungsfunktionZahlPotenz <Mathematik>Funktion <Mathematik>SkalarfeldComputeranimation
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ExponentComputeranimation
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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mal eine etwas verwegende Überlegung zu Fakultät und Logaritmus. Dass wir nochmal die Logaritmengesetze üben können und dass Sie nochmal sehen, was denn die Fakultät so eigentlich den ganzen Tag macht. Nämlich, wie kann ich die Fakultät schätzen? Das wird nachher etwas, was ungefähr die Stirling-Formel ist, die sogenannte Stirling-Formel, eine Näherungsformel für die Fakultät.
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Der Trick ist, den Logaritmus aus der Fakultät zu bilden. Das überlegen sich gerade mal selbst. Der natürliche Logaritmus aus der Fakultät. Wie kann ich das anders schreiben?
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Der natürliche Logaritmus ist die Umkehrfunktion zur E-Funktion. Bei der E-Funktion haben Sie E hoch von mir aus 2 plus 3. Das heißt, 5 Faktoren E hintereinander zu stellen. E hoch 5.
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Und was ist das? Nichts anderes als E hoch 2 mal E hoch 3. 5 Faktoren hintereinander stellen, 2 Faktoren hintereinander stellen, 3 hintereinander stellen, E mal E, mal E mal E, mal E, 5 Faktoren hintereinander stellen. Also bei der E-Funktion wird eine Summe im Exponenten zum Produkt der Ergebnisse.
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Wenn jetzt der Logaritmus genau andersrum funktioniert, heißt das, dass der Logaritmus ein Produkt zu einer Summe machen muss. Das brauche ich hier. Das ist auch, weshalb der Logaritmus erfunden worden ist,
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weil er Produkte zu Summen macht. Man braucht dann nur noch eine Additionsstafel oder macht die Addition am Abakus. Also hier steht der Logaritmus 5 Fakultät, 5 mal 4, mal 3, mal 2, mal 1. Und jetzt kommt die Umkehrung dieser Regel. Die Exponentialfunktion macht Summe zum Produkt.
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Und der Logaritmus macht das Produkt umgekehrt zu einer Summe. Hier steht also, das ist der Logaritmus von 5 plus der Logaritmus von 4 plus der Logaritmus von 3. Ein bisschen verschätzt mit dem Platz. Plus der Logaritmus von 2 plus der Logaritmus von 1.
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Und so ist aus der Fakultät eine Summe geworden. Das ist ein ganz genialer Einfall an der Stelle, dass ich aus der Fakultät, diesem Wahnsinnsprodukt, stellen Sie sich vor, da steht 500 Fakultät, aus dem Wahnsinnsprodukt mit dem Logaritmus eine Wahnsinnssumme machen kann.
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Summen sind pflegeleichter als Produkte. Jetzt kann man sich überlegen, in welcher Größenordnung diese Summe liegt. Und da kommt plötzlich das Integral ins Spiel. Wenn ich die Logaritmusfunktion mal vorsichtig plotte.
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1 bis 5. 1, 2, 3, 4, 5. Der natürliche Logaritmus von 1. Womit muss ich E potenzieren, dass 1 rauskommt?
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E hoch Fragezeichen ist gleich 1, interessiert mich. 0. E hoch 0 ist gleich 1. Hier kommt 0 raus. Welchen anderen Wert vom natürlichen Logaritmus, kriege ich auch noch einfach? Ich gehe von dieser Gleichung aus. E hoch 1. 1 Faktor E.
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Ist einfach die Zahl E. Also 2,7 noch was. Die Exponentialfunktion macht die 1 zur 2,7. Die Logaritmusfunktion, der natürliche Logaritmus,
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muss andersrum arbeiten. Der natürliche Logaritmus muss die 2,7 auf die 1 abbilden. Genau andersrum. Exponentialfunktion aus der 1 wird 2,7. Logaritmus aus der 2,7 wird die 1. Den Punkt haben wir noch. E wird abgebildet auf 1. Und das wird dann 2,7. Das ist ja eine gespiegelte Exponentialfunktion.
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Das heißt, das wird dann richtig schön flach hier oben. Na so. Nicht ganz gelungen. So wird etwa der Logaritmus aussehen. Nebenbei, hier schreibe ich jetzt die Name der Funktion ohne x dran.
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Ich meine die Funktion als solche. Der Name der Funktion ist der natürliche Logaritmus. Der Name der Exponentialfunktion hier. Der natürliche Exponentialfunktion ist exp. Der Name, was hatten wir hier? Der Funktion, die die rote Kurve, die rote Gerade liefert, ist f. Der Name dieser blauen Funktion hier ist g.
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Das sind die Namen. Mit g von x in Klammern sage ich ein Funktionswert ausrechnen. Wie rechne ich den Funktionswert an der Stelle x aus? Da ist man in der Mathematik etwas strikter als wieder bei den Physikern und den Ingenieuren. Die Physiker und Ingenieure schreiben auch gerne hier ln von x. Aber das ist ja eigentlich nicht der Name der Funktion.
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Der Name der Funktion ist ln. Das lernt man dann auf die harte Weise wieder beim Programmieren. Wenn man zwischen Namen von Funktionen und Funktionswerten unterscheiden muss. Den Sachen, die dann rauskommen. So, hier haben wir jetzt also den Logaritmus. Mehr oder weniger schön skizziert. Den natürlichen Logaritmus.
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Und nun gucke ich mir an, wo ich das eigentlich wieder finde. Wenn Sie sich diese Werte angucken. Der natürliche Logaritmus von 1 ist hier dieser y-Wert auf der Höhe 0. Der natürliche Logaritmus von 2 ist der y-Wert auf dieser Höhe hier. Der natürliche Logaritmus von 3 ist der y-Wert auf der Höhe 4,5.
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Ich gucke mir also diese y-Werte hier an und möchte die addieren. ln von 1 haben wir gerade gesehen ist 0. Dann möchte ich darauf addieren ln von 2, ln von 3, ln von 4, ln von 5.
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Diese Höhen hier möchte ich addieren. Und habe dann lustigerweise den Logaritmus von 5 Fakultät ausgerechnet. Das ist ein bisschen komplex, wenn man das das erste Mal sieht. Aber ein ganz natürlicher Trick, wenn man sich daran gewöhnt hat. Der Logaritmus von diesem Produkt wird die Summe der Einzellogaritmen.
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Wenn ich das angucke, möchte ich hier die ganzen Logaritmen addieren. Die Logaritmus von 1 ist 0. Die Logaritmus von 0 möchte ich alle addieren. Um eine Idee zu kriegen, was der Logaritmus von 5 Fakultät ist. Und jetzt kommt der haarsträubende Kunstgriff. Diese Summe hier auszurechnen klappt nicht wirklich gut.
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Das wird nicht besser. Ich rechne nicht die Summe aus. Ahnen Sie, was ich lieber ausrechnen kann, was ungefähr dasselbe ist wie diese Summe. Nicht ganz, aber ungefähr dasselbe ist. Und was ich leichter ausrechnen kann. Das ist jetzt der erstaunliche Kunstgriff.
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Statt dass ich das und das und das und das und das addiere, diese Zahlen addiere, bestimme ich eine Fläche. Diese Fläche, die kriege ich mit einem Integral raus. Und das Integral kann man lösen. Die Summe hier, die wird nicht besser. Aber das Integral, was fast dasselbe ist, kann ich lösen.
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Ich mache noch einmal klar, was der Unterschied ist hier. Was ich nämlich rechne hier ist, also Logaritmus von 1 quasi, diese Fläche. Dann nehme ich diese Fläche dazu. Der Logaritmus von 2 mal 1 ist diese Fläche. Der Logaritmus von 3 mal 1, eins breit, ist diese Fläche.
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Der Logaritmus von 4 mal 1, eins breit, ist diese Fläche. Eigentlich müsste ich jetzt hier noch den Logaritmus von 5 sehen.
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Aber naja, hier habe ich auch schon ordentlich was weggelassen. Eigentlich müsste ich jetzt die Fläche noch dazu nehmen. Ich bin mal ganz dreist und lasse diese Fläche weg, weil ich hier schon ganz viele kleine Stückchen übrig gelassen habe. Das ist keine super tolle Näherung. Aber man sieht nachher, sie kommt schon recht genau hin.
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Also, was ich jetzt ausrechne, ist die Fläche unter der Kurve von 1 bis 5. Ich habe hier hinten dann den letzten roten Block ignoriert, aber dafür die Fläche bis zur Kurve gefüllt. Vielleicht sollte ich es doch nochmal aufmalen, was das denn wäre. Also von 1 bis 5, so.
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Und was ich jetzt ausrechnen werde, ist aber folgende Fläche unter der Kurve, damit ich eine Idee habe, welche Größenordnung denn das sein mag. Ihr seht, wenn Sie nicht bis 5 gehen, sondern wenn Sie bis 100 gehen, dann ist der Unterschied dann noch nicht mehr so dramatisch.
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Und das wird sich prozentual irgendwo einpenden. Also, was ich mache, ist, ich gucke mir das hier an, der Logaritmus von 5 Fakultät ist diese Summe. Und ich sage jetzt ganz dreist, naja, eigentlich ist das doch praktisch dasselbe wie das Integral von 1 bis 5 über Logaritmus von bx.
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Also, ich nehme die Kurve mit dem Logaritmus und bestimme die Fläche darunter von 1 bis 5. Das müsste dasselbe sein. Pi mal Daumen, mit einem sehr breiten Daumen. Das müsste dasselbe sein. Und nun weiß man Folgendes. Erstmal aus der Formelsammlung später zeige ich das nochmal.
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Man kriegt eine Stammfunktion für den Logaritmus auf folgende Art. Man nimmt x mal den natürlichen Logaritmus minus x. Wenn man das fünfmal gesehen hat, weiß man, dass das so funktioniert.
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Die Probe wäre das abzuleiten. Wenn Sie das hier ableiten, das erste mit Produktregel, steht da einmal den natürlichen Logaritmus, dann x mal die Ableitung vom natürlichen Logaritmus. x mal die Ableitung vom natürlichen Logaritmus. Erinnert sich noch einer? Ableitung vom natürlichen Logaritmus. 1 durch x.
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Das wäre Produktregel auf den ersten Term hier angewendet. Den ableiten, den zweiten stehen lassen. Den ersten stehen lassen, den zweiten ableiten. Und den ableiten, minus 1. Wenn Sie das angucken, hier steht Logaritmus plus 1. Wir können sie kürzen. Minus 1 fliegt ganz raus, der Logaritmus bleibt über.
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Das ist tatsächlich eine Stammfunktion für den natürlichen Logaritmus. Was einen erst etwas irritiert. Okay, mit den Zutaten, was das eine Stammfunktion ist, wenn Sie 13 dazu ergeben, ist das auch eine Stammfunktion, nebenbei noch eine Stammfunktion. Das ist die einfachste Stammfunktion. Mit der Zutat sollten Sie hinkriegen, dieses Integral auszurechnen.
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Damit haben Sie einen Schätzwert für den Logaritmus von 5 Fakultät. Und damit sollten Sie sagen können, was den 5 Fakultät Pi mal Daumen ist. In anderen Funktionen ausgedrückt. Probieren wir das mal. Probieren Sie dieses Integral hier mal auszuwerten.
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Dieses Integral auszurechnen mit der Stammfunktion ist jetzt Schema f. Sie setzen den oberen Wert ein. 5 mal ln 5 minus 5. Und ziehen davon ab, was passiert, wenn Sie den unteren einsetzen. Vorsicht, Klammern. 1 einsetzen und insgesamt abziehen.
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Die Klammern nicht vergessen. 1 mal ln 1 minus 1. Abziehen. So, jetzt erinnert man sich, ln 1, das war ja nun nicht so ein Drama. ln 1 ist 0. Womit muss ich E potenzieren, damit 1 rauskommt mit 0. Das heißt, den hier können wir schon mal vergessen.
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Den ersten Teil. Der ist 0. Es bleibt 5 mal ln 5 minus 5 minus minus 1. Also minus 5 plus 1 macht hier minus 4.
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Zur Erinnerung, das war eine Nährung für den Logaritmus von 5 Fakultät. Das schreibe ich hier noch mal hin. Das haben wir jetzt gelernt. Der Logaritmus von 5 Fakultät scheint in der Größenordnung, keine super tolle Nährung, aber scheint in der Größenordnung zu liegen von 5 ln 5 minus 4.
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Und jetzt bauen Sie mal daraus eine Nährung für 5 Fakultät. In welcher Größenordnung müsste also 5 Fakultät liegen? Nicht mit dem Taschenrechner ausrechnen. Hilt sich mal mit Logaritmengesetzen das hier verarbeiten. Das Vergleich auch in eine allgemeine Form mitkriegen.
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Ich möchte natürlich nachher gucken, was ist mit 50 Fakultät, was ist mit 100 Fakultät, was ist mit 1000 Fakultät. Ich kenne den natürlichen Logaritmus einer Zahl und möchte die Zahl wissen. Der natürliche Logaritmus sagt mir, womit ich E potenzieren muss, damit diese Zahl rauskommt.
13:43
Ich heiße aber nochmal, der natürliche Logaritmus von irgendeiner Zahl sagt mir, womit ich E potenzieren muss, damit die Zahl wieder rauskommt. Das ist so einleuchtend, wenn Sie den natürlichen Logaritmus von 42 haben und Sie nehmen E hoch diesen natürlichen Logaritmus, müssen Sie wieder 42 auskriegen.
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Das ist der Job. Und nehmen wir ein Zehner-Logaritmus. Zehn hoch den Zehner-Logaritmus von 1000 ist 1000. Der Zehner-Logaritmus von 1000 ist drei. Der Zehner-Logaritmus von 1000 sagt mir, womit ich Zehn potenzieren muss, damit 1000 rauskommt.
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Mit drei muss ich Zehn potenzieren, dass 1000 rauskommt. Zehn hoch drei sind 1000. Genauso hier, womit muss ich E potenzieren, damit 42 rauskommt. Und da sehen Sie, wie die sich gegenseitig aufheben. Die E-Funktion hebt den Logaritmus auf. Umgekehrt, wenn Sie umgekehrt schreiben, hebt der Logaritmus auch die E-Funktion auf.
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Der Zehner-Logaritmus hebt die Zehn hoch auf. Das ist der Witz bei diesen Umkehrfunktionen, die heben sich gegenseitig auf. Welche Funktion wenden Sie also auf beiden Seiten von dieser Grundetgleichung an?
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Also der Gedanke ist, auf beiden Seiten E hoch zu nehmen. E hoch den natürlichen Logaritmus von fünf Fakultät. E hoch den natürlichen Logaritmus von fünf Fakultät. Der natürliche Logaritmus von fünf Fakultät sagt, womit muss ich E potenzieren, damit fünf Fakultät rauskommt.
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Jetzt nehmen Sie E hoch diese Zahl, dann kommt natürlich fünf Fakultät raus. Genau das sagt ja der Logaritmus. Also beide Seiten E hoch nehmen. Ich mache mir hier Platz.
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Das sagt Ihnen überhaupt was zur Rolle der Umkehrfunktionen, wenn man Ausdrücke umformt. Ich kenne zum Logaritmus, zum natürlichen Logaritmus eine Umkehrfunktion, nämlich die E-Funktion. Und ich wende auf beiden Seiten die Umkehrfunktion an und habe es dann aufgelöst. Das tun Sie mal.
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Okay, das ist jetzt eine Übung in den Potenzrechengesetzten. Beide Seiten E hoch. Links haben wir das erledigt. E hoch fünf Ln fünf minus vier.
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E hoch so und so viele Faktoren E, aber vier weniger. Das heißt das hier im Endeffekt. So und so viele Faktoren E, aber vier weniger. Das heißt ja so und so viele Faktoren Ln fünf, aber vier weniger. Durch E hoch vier, dann haben Sie vier Faktoren weniger. Eines der vielen Rechengesetze für Potenzen.
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Was da jetzt steht, ist vielleicht doch noch ein bisschen heftig am Anfang. E hoch fünf Ln fünf. Ich hätte gerne was mit E hoch Ln fünf. Das ist nämlich billig. E hoch Ln fünf. Was ist E hoch Ln fünf?
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Das muss fünf sein. Das haben Sie schon mitgekriegt. E und Ln heben sich auf. Das müsste fünf sein. Jetzt steht da ungeschickterweise E hoch fünf Ln fünf. Wie komme ich von dem hier auf E hoch Ln fünf? Einschub. Im Exponenten habe ich ein Produkt. E hoch drei mal fünf.
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Das ist ein bildes Beispiel. E hoch drei mal vier ist nicht ganz okay zu schreiben. Also E hoch zwölf. E mal E mal E. So. Wie kann ich das anders schreiben? Zwölf Faktoren E hintereinander. Das ist E hoch drei mal E hoch drei mal E hoch drei mal E hoch drei.
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Also ist das E hoch drei in Klammern hoch vier. Eine Potenz. Wenn Sie eine Potenz potenzieren, heißt das, die Exponenten zu multiplizieren. Zwölf Faktoren E. Vier mal drei Faktoren E. Vier mal drei Faktoren E. Eine Potenz potenziert.
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Den Trick brauche ich hier. Das ist die Potenz einer Potenz. Hier steht also E hoch Ln fünf hoch fünf durch E hoch vier. Das sieht heftig aus. Muss ich bestehen. Aber wenn Sie nochmal genau gucken. Eine Potenz von E.
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E hoch irgendwas in eine Potenz versetzt. Dann multiplizieren Sie die beiden Exponenten. Ln fünf mal fünf. Der Produkt im Exponenten wird zur Potenz der Potenz. Die Regel ist das. Und jetzt wissen wir hier schon.
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E hoch Ln fünf ist nichts anderes als fünf. Hier steht also fünf hoch fünf durch E hoch vier. Das haben einige schon in den Taschenrechner eingegeben. Und sich gewundert, dass das nun arg daneben liegt. Wie gesagt, ein sehr breiter Daumen. Man kriegt eine Idee über das Wachstum der Fakultät.
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Die Größenordnung stimmt ungefähr. Fünf Fakultät ist ungefähr fünf hoch fünf durch E hoch vier. Sie ahnen dann 50 Fakultät wird ungefähr sein. 50 hoch 50 durch E hoch 49 und so weiter.
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Das heißt, da steckt so etwas drin wie N hoch N in der Fakultät. Deshalb wächst die so extrem. N hoch N oder x hoch x, wenn Sie wollen. Was wir hatten, waren Exponentialfunktionen. Zwei hoch x oder Potenzfunktionen. X hoch zwei. Aber das ist ja ganz dramatisch. X hoch x. So etwas steckt in der Fakultät drin. Da sieht man das.
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Ich zeige das gerade nochmal in Aktion. Wenn man es so ausrechnet, denkt man, das ist ja arschträubend schief. Aber wenn man sich das Wachstum insgesamt anguckt, ist das gar nicht mehr so schlecht.
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Ich plotte mal im Vergleich die Fakultät und diese Näherung. Und diese Näherung. Ohje, was war denn das jetzt?
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Spicken nochmal. N hoch N durch E hoch N minus eins. Also hier soll stehen, gleich für eine Formel. Potenz von dieser Zahl mit sich selbst. Mal und jetzt die Exponentialfunktion.
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Teilen durch die Exponentialfunktion von eins weniger. So müsste das aussehen. N hoch N durch E hoch N minus eins. Einmal gerade gucken. N durch N durch E hoch N minus eins. Gefällt mir so.
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Oh, bei der Zahl eins stimmt das sogar. Ich mache das mal weiter hier. Dann sehen Sie, zwei Fakultät. Original zwei mit unserer Näherung 1,47. Oh, oh. Was wollte ich einfach sagen? Fünf Fakultät. Original 120 mit unserer Näherung 57.
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Haarsträuben. Aber das Wachstum wird gut abgebildet. Wenn Sie hier sehen, 55 Fakultät. Original eins Komma irgendwas mal zehn hoch 73. Mit unserer Näherung eins Komma irgendwas fast zwei Komma irgendwas mal zehn hoch 72. Die Größenordnung ist nicht so verkehrt. Man kriegt eine Idee vom Wachstum.
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Also da mal plotten. Einfügen Diagramm. So, was wir hier sehen. Sieht ganz schwer aus wie Exponentialfunktion oder schlimmer. Sie sehen, es passiert nichts oder nichts und nichts und nichts und zack.
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Plötzlich passiert hier was. Auf den letzten Zentimetern. Wie stelle ich sinnvollerweise dieses Diagramm ein, dass ich wirklich erkennen kann, wie jetzt die beiden hier miteinander zu tun haben. Das Blaue ist die echte Fakultät und das Orange ist meine Näherungsfunktion. Wie stellen Sie das Diagramm sinnvollerweise ein?
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Das sollte sinnvollerweise ein logarithmisches Diagramm sein. Sie stellen hier für die Y-Achse ein. Objekteigenschaften, Skalierung, logarithmisch. Dass er die in Zehnerpotenzen hier baut. Wir sehen, dass von einem Teilstrich zum nächsten sind es, oh je, acht. Ja, von einem Teilstrich zum nächsten sind es immer acht Zehnerpotenzen.
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Keine Linearskala, sondern eine logarithmische Skala. Dass man hier diese Größenordnung, ganz viele Größenordnungen von Milliarden und was auch immer bis 10 hoch 80 auf einen Schirm kriegt. Und dann sehen Sie, so schlecht ist das nicht. Die Größenordnung wird schon relativ genau getroffen.
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Wenn Sie die einzelnen Werte angucken, denken Sie, oh je, ganz schön schief. Aber die Größenordnung, das Wachstum der Fakultät, ist schon sehr genau getroffen durch diese Funktion. Um das abzuschließen, das war noch eine ziemlich brutale Ernährung. Es gibt von Herrn Sterling, das ist nicht der Sterling, der den Motor erfunden hat.
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Das ist ein anderer, auch ein Schotter, aber ein anderer. Eine Formel, die fast so ähnlich aussieht. Man muss ein bisschen mehr Gehirnschmalz reinstecken. Insbesondere um dieses Pi zu kriegen. Herr Sterling sagt, okay, N-Fakultät ist sowas wie 2 Pi mal N.
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Und für dieses Pi braucht man sehr viel Gehirnschmalz. In der Wurzel N durch E hoch N. Das ist Sterlings Formel. Dieses N durch E hoch N, das hatten wir hier schon, mehr oder minder. Wir sehen, es ist nicht E hoch N, sondern eins weniger. Aber ich habe N hoch N durch E hoch N minus 1.
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Das hier hinten hatten wir praktisch. Dieses Wurzel N haben wir nicht hingekriegt. Man müsste sich überlegen, dass das geschickter wird, wenn ich das Ganze um eine halbe Einheit rüberschiebe. Eine halbe Einheit rüberschieben heißt sowas wie eine Potenz ein halb dazukriegen. Und zack, haben Sie N hoch ein halb, ist die Wurzel.
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Wenn Sie etwas anders rechnen hier, nämlich das Integral nicht von 1 bis 5, sondern von 1,5 bis 5,5 nehmen, haben Sie tatsächlich Wurzel N drin. Wie gesagt, dieses Pi da vorne ist ein bisschen haarstrobend. Da hat sich Herr Sterling für verdient gemacht, herauszufinden, dass man das mit Pi schreiben kann. Das ist dessen Formel für die Nährung von N-Fakultäten.