09A.1 Gerade und Exponentialfunktion durch zwei Punkte, beschränkt, monoton, umkehrbar
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Formale Metadaten
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| Serientitel | ||
| Anzahl der Teile | 89 | |
| Autor | ||
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| Identifikatoren | 10.5446/9951 (DOI) | |
| Herausgeber | ||
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Inhaltliche Metadaten
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GleichungAuflösung <Mathematik>FaktorisierungQuadratFunktion <Mathematik>MatrizenringKonstanteBerechnungGleichungssystemVariableExponentialfunktionExponentNichtlineares GleichungssystemLineare FunktionFormelsammlungComputeranimationDiagramm
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Funktion <Mathematik>GleichungKurveExponentialfunktionInhalt <Mathematik>RichtungPunktAchse <Mathematik>GeradeFaktorisierungZahlenbereichAttraktorLineare RegressionMaß <Mathematik>BiproduktComputeranimation
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Funktion <Mathematik>Reelle ZahlPositive ZahlPunktPhysikGeradePhysikerExponentialfunktionMathematikLineare FunktionZahlZahlenbereichGleichmäßige BeschränktheitComputeranimationDiagramm
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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folgende aufgabe ich mir ausgedacht ich möchte zwei punkte vorgeben nämlich den punkt 2 1 2 1 und den punkt 3 4 den punkt 3 4 und ich möchte dass sie
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zwei funktionen finden die durch diese beiden punkte verlaufen nämlich einmal eine gerade eine gerade nenne ich mal f eine lineare funktion bestimmen sie die mal und die
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andere funktion damit das nicht zu einfach wird soll eine exponential funktion sein suche eine exponential funktion die durch diese beiden punkte läuft könnte die aussehen so könnte die aussehen natürlich da oben nicht zu steil steil aber nicht steiler als erlaubt so eine
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die lineare funktion soll also sein f von x ist gleich wie üblich steigung mal x plus achsenabschnitt bestimmen sie m bestimmen sie b und die exponential funktion soll eben sein
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was so eine exponential funktion so tut sie soll sein eine konstante ich schreibe mal groß a mal basis hoch x das soll die exponential funktion sein bestimmen sie groß a bestimmen sie groß b beide funktionen sollen durch den punkt 2 1 und durch den punkt 3 4 gehen also hier haben wir
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eins eins zwei drei vier so meine ich das gucken wir mal was passiert der erste teil für gerade hier die steigung kann sie direkt ablesen ich gehe einen nach rechts und 3 nach oben einen
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nach rechts von 2 bis 3 3 nach oben von 1 bis 4 das ist eine steigung von 3 da muss ich nicht die formelsammlung bemühen sie können auch die formelsammlung bemühen und sagen ok
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differenz der y-werte 4 minus 1 durch differenz der x-werte 3 minus 2 aber ich denke hier kann man direkt ablesen dass die steigung 3 ist wenn sie wissen dass die steigung 3 ist können sie das b da hinten rauskriegen der trick ist folgender wenn x gleich 2 ist soll y gleich
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1 rauskommen wenn x gleich 2 ist soll y gleich 1 rauskommen das b muss also so sein 3 mal 2 plus b muss 1 ergeben das b hat keine andere chance als minus 5 zu sein ohne dass ich jetzt großartig was umstelle das lohnt sich an der stelle gar nicht richtig die gerechnungen
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zu machen oder die formelsammlung rauszuholen wenn x gleich 2 ist wenn x gleich 2 ist soll y gleich 1 sein wir sehen was passiert 3 mal 2 plus b soll 1 sein b muss minus 5 sein ohne dass ich da jetzt irgendwie großartig mich bemüht habe in irgendwelchen formeln also
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diese linearen funktionen sind ziemlich billig zu haben nebenbei dieses b hätte natürlich hier unten irgendwo auch ablesen können der stittpunkt mit der y-achse ist bei minus 5 aber wer weiß ob der genau stimmt vielleicht ist er nicht bei minus 5 sondern bei minus 5,01 oder weiß manchmal ist er krumm minus 98 pi oder weit weg es ist
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besser wenn sie eine ahnung haben wie sie das ausrechnen können und das nicht nur ablesen können aus der zeichnung das zur linearen funktion und bei der exponential funktion haben wir die ersten ja schon gerade angekommen denken sie an ein gleichungssystem mit zwei
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unbekannten aber etwas überraschend wie die zwei unbekannten sind wenn ich zwei einsätze soll 1 rauskommen das heißt ich muss haben dass a mal b hoch 2 x gleich 2 einsetzen das soll 1 sein ich schreibe jetzt mal soll sein mit dem ausruf bezeichnen was klar zu machen und wenn
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sie 3 einsetzen soll 4 rauskommen wenn sie x gleich 3 einsetzen a mal b hoch 3 dann soll 4 rauskommen das ist mein gleichungssystem zwei gleichungen zwei unbekannte nur die beiden unbekannten heißen heute ausnahmsweise mal a und b und tauchen in der zweiten und in der
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dritten potenz auf was auch etwas eigenwillig aussieht versuchen sie diese gleichung zu lösen ok der kürzeste weg der mir einfällt ist folgender wenn sie hier sehen a mal b hoch 3 und hier sehen sie a mal b quadrat dann schreit das für mich danach die eine gleichung durch
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die andere zu teilen das durch das zu teilen das durch das zu teilen das ist vielleicht ein bisschen verwegen sie kennen vielleicht nur solche sachen dass ich beide nach a auflöse dass ich beide nach a auflöse und dann gleich setze aber wenn dieses gleich diesem ist und
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dieses gleich diesem ist dann kann ich die auch durcheinander teilen die beiden linken seiten durcheinander teilen die beiden rechten seiten durcheinander teilen muss auch wieder dasselbe rauskriegen es sei denn ich teile durch null aber keiner von denen ist null also was ich jetzt baue ist folgendes a mal b hoch 3 durch a mal b quadrat ist gleich 4
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durch 1 ich halte aber noch mal warum ich das machen kann ich weiß dass das gleich dem ist und ich weiß dass dieses gleich dem ist wenn ich die durcheinander teile muss das wieder
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gleich sein warum ist das nicht das a kann ich kürzen b hoch 3 3 faktoren b durch b quadrat 2 faktoren b es bleibt ein faktor b über auf diese weise also weiß ich direkt
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es kann nicht anders sein als dass b gleich 4 ist ohne weitere welchen schritte sie kommen auch anders hin lösen sie nach a aufsetzen sie gleich das habe ich gerade in verschiedenen varianten gesehen und wenn ich weiß dass b gleich 4 ist nehme ich mir einfach eine
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von den beiden gleichungen vielleicht die erste wenn b gleich 4 ist daraus folgt sie sehen was mit der ersten gleichung passiert a ist gleich 1 durch b quadrat also muss a sein ein sechzehntel weil b gleich 4 ist das muss ein sechzehntel sein bin also insgesamt bei
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der rechenvorschrift für g g von x bin ich also insgesamt mal bei ein sechzehntel mal 4 hoch x das könnte man etwas kürzer schreiben 16 ist 4 hoch 2 1 durch 4 hoch 2 mal 4 hoch
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x wie kann ich das zusammenfassen sind wir also bei 4 hoch x minus 2 im exponenten die heißt zu teilen zwei faktoren weniger wenn sie wollen x faktoren vier hintereinander
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schreiben aber zwei weniger wenn da so was stünde die 4 hoch 42 minus 2 also 4 hoch 40 nehme 42 mal die vier hintereinander und davon streiche zwei faktoren weg zwei faktoren im produkt weg zu streichen heißt ja nichts anderes als dadurch zu teilen also hoch so und so
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4 minus 2 heißt durch hoch 2 das ist vielleicht ein bisschen kürzer zusammengefasst vor allem sieht man jetzt dass es 4 hoch x um zwei einheiten verschoben wenn sie hier x minus 2 einsetzen heißt das nichts anderes als dass sie die funktion im grafen verschoben
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haben sie nehmen den grafen von 4 hoch x was tun sie diesen grafen jetzt an um den von 4 hoch x minus 2 zu kriegen in welche richtung verschieben sie nach links und rechts wenn sie diese neue funktion 4 x minus 2 x sich 2 einsetzen die neue funktion
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stellen z2 haben sie die alte an der stelle null hier hoch null die neue funktion an der stelle 2 ist die alte funktion an der stelle null so muss die neue funktion whipped die an der stelle 2 ausrechnet haben sie 0 ausgerechnet das import function
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an der Stelle 0. Das heißt, wenn Sie x durch x minus 2 ersetzen, haben Sie nach rechts verschoben, was ein bisschen irritierend ist. Minus 2 und 2 nach rechts verschoben. Man kann es hier schon sehen, an der Stelle 2 kommt 1 raus. 4 hoch x muss ja so laufen.
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4 hoch 0 gibt 1. Wenn Sie 4 hoch x nehmen, muss er so verlaufen. Jetzt sehen Sie, er ist noch viel steiler. Er muss an der Stelle 1 durch die 4 durch. So muss er laufen. 4 hoch x,
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viel steiler. An der Stelle 0 gibt er 1, aber unsere Funktion g hat an der 2 die 1. Die blaue Kurve ist also um 2 nach rechts verschoben von der schwarzen Kurve. Das ist ja noch
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schon mal vorab zur Komposition von Funktionen. Ich habe eine Funktion x minus 2 und eine andere Funktion 4 hoch. Eine Funktion, eine andere Funktion. Okay, dann haben wir mal aus zwei Punkten eine lineare Funktion gemacht, eine Exponentialfunktion gemacht. Was wäre,
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was wäre, wenn Ihnen jemand drei Punkte vorgibt und dieselbe Aufgabe stellt. Wenn diese drei Punkte frei gewürfelt sind, haben Sie natürlich niemals eine Chance eine Gerade durchzulegen. Es
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geht keine Gerade durch diese drei Punkte. Es sei denn, jemand nimmt ganz kunstvoll die drei Punkte auf einer Gerade, zufälligerweise steckt eine Nadel im Heuhaufen, dann könnte es passieren. Aber wenn diese drei Punkte frei in den Raum gestellt sind, haben Sie keine Chance eine Gerade durch alle drei Punkte durchzufinden. Ich hatte viel zu viele
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Bedingungen. Ich müsste drei Bedingungen erfüllen. Ich habe aber nur zwei Varianten, die ich einstellen kann. Die Steigung und den Achsenabschluss. Wird eine Gerade nicht funktionieren und Sie ahnen es, mit einer Exponentialfunktion kriegen Sie das auch nicht hin, im Allgemeinen. Es sei denn, es liegt jemand diese Punkte netterweise so,
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dass sie zufällig gerade auf einer Exponentialfunktion zu liegen kommen. Also mit drei Punkten wäre das zu viel. Was man dann typischerweise macht, das werden Sie in der Physik sehen, was man typischerweise macht, ist man legt eine Gerade bestmöglich durch, Regressionsgrade. Die wird im Allgemeinen
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keinen einzigen von diesen Punkten treffen und dasselbe kann man auch mit einer Exponentialfunktion machen. Wenn Sie zum Beispiel irgendwelche Zerfallsprozesse, das ist natürlich ein Wachstumsprozess, wenn Sie irgendeinen Wachstumsprozess betrachten, wo könnte das sein, irgendwelche Bakterien vermehren sich, wenn das Ihre Bakterienzahlen sind nach tausend Versuchen, dasselbe kann man mit einer
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Exponentialfunktion machen. Regression, die bestmögliche finden, die da durchläuft, quer da durchläuft, hier trifft sie gerade zufällig einen der Punkte, aber im Allgemeinen wird die quer durch alle Punkte laufen und keinen einzigen treffen. Also sobald Sie mehr als zwei Werte haben, wird das nicht mehr funktionieren, dass man eine
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Gerade durchlegen kann oder eine Exponentialfunktion durchlegen kann. Es sei denn, jemand hat diese drei Punkte oder vier Punkte ganz exakt richtig gewählt, wenn das Messwerte sind, wird das nicht hinkommen. Also da nicht irritieren lassen. Diese Rechnung hier funktioniert nur, wenn Sie genau zwei Punkte haben und ansonsten wird das nicht funktionieren. Wir können gerade noch ein paar
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Eigenschaften von Funktionen diskutieren hier ran. Und zwar Funktionen können ja monoton sein, beschränkt, umkehrbar. Was halten Sie von der roten
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Funktion, der linearen Funktion in Bezug auf beschränkt, monoton und umkehrbar? Also was wir jetzt gerade diskutiert haben ist, G ist streng monoton steigend. Nicht nur monoton steigend, sondern streng monoton steigend. Wenn ich nach rechts gehe, kann der Funktionswert nur wachsen, er kann
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nicht mal gleich bleiben. Sie ist, das haben wir implizit gerade, sie ist injektiv, wenn ich zwei verschiedene x-Werte habe, kommen auch garantiert verschiedene y-Werte raus bei dieser Gerade. Anders bei einer Gerade mit Steigung Null, da kommen natürlich immer dieselben y-Werte raus, kommt
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immer derselbe Y-Werte raus. Sie ist surjektiv, weil alle reellen Zahlen vorkommen und damit ist sie auch umkehrbar. Das ist eine umkehrbare Funktion und sie ist nicht beschränkt. Es kommen beliebig große Y-Werte raus, 30 Phantastiliaden oder 30 Phantastiliaden, hoch 30 Phantastiliaden
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und beliebig negative Y-Werte raus. Sie ist nicht beschränkt, weder nach oben noch nach unten beschränkt. So jetzt dasselbe für die Exponentialfunktion. Monotonie beschränkt, umkehrbar. Was halten Sie von der Exponentialfunktion?
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Also auch die Exponentialfunktion ist streng monoton steigend. Wenn ich nach rechts gehe, kann sie nur wachsen. Sie kann auch nicht gleich bleiben. Sie ist zwar hier auf der linken Seite sehr flach und wird immer flacher, wird immer flacher, aber trotzdem wächst sie überall, wenn auch nur ein kleines
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bisschen. Streng monoton steigend. Sie ist nicht beschränkt, weil sie nach oben über alle Grenzen wächst, deshalb ist sie nicht beschränkt, aber sie ist von unten oder nach unten beschränkt. Kein Funktionswert von diesem G von X wird zum Beispiel unter minus 10 oder unter minus 1 oder sogar unter 0 liegen.
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Deshalb ist sie nach unten beschränkt. Man sagt sie ist nicht beschränkt, weil sie nicht gleichzeitig nach oben und unten beschränkt ist, aber man sagt sie ist nach unten beschränkt oder von unten beschränkt. Und beim Umkehrbar muss man etwas aufpassen. Für die Ingenieure und die Physiker ist das eine umkehrbare Funktion. Zu jedem Y gibt es nur ein X. Jedes Y kommt nur
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einmal raus. Die Mathematiker müssen etwas aufpassen. Hier haben wir diese unsägliche weitere Bedingung noch mit dem Syriaktiv. Also wenn ich das so hinschreibe, meine Funktion G nimmt alle reellen Zahlen, liefert reelle Zahlen und X wird abgebildet auf,
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was hatten wir jetzt? 4X minus 2. Was für ein Problem haben die Mathematiker? Was die Mathematiker jetzt nicht schön finden ist, dass nicht alle reellen
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Zahlen rauskommen. Es kommen ja nur positive Zahlen raus, nicht mal die Null kommt raus. Dann sagen die Mathematiker, ist nicht mit Umkehrbar, die ist nicht Syriaktiv. Es kommen nicht alle raus, die ich da deklariert habe. Wenn ich das ändere, wenn ich sage, okay, eine Möglichkeit wäre zu sagen R plus,
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alle reellen Zahlen, die positiv sind, eine andere Möglichkeit ist zu sagen sie nehmen das Intervall von Null ohne die Null bis unendlich, ohne unendlich. Das wäre umkehrbar, injektiv und surjektiv. Dann sind auch die Mathematiker zufrieden.