Ein paar Eigenschaften von Folgen. Das ist ganz analog zu den Eigenschaften von Funktionen, da kamen praktisch derselbe Satz an Eigenschaften vor. Beschränkt, unbeschränkt, von unten beschränkt, von oben beschränkt.

Wenn Sie eine Folge aufmalen, wie auf der x-Achse das n und hier auf der y-Achse zum Beispiel den echten Wert, den Wert des nten Folgendglieds.

Dann gibt es ja so ein Bild. Bei 1 kommt der Wert, bei 2 kommt dieses a n, bei 3 kommt das a n. a 4, a 5, a 6, a 7 ist negativ von mir aus und so weiter und so fort.

Wenn ich eine Folge habe, deren Elemente immer kleiner gleich einer bestimmten reellen Zahl sind und immer größer gleich einer bestimmten anderen reellen Zahl sind, dann heißt die Folge beschränkt.

Ach, jetzt habe ich da einigen geschrieben, da sollte ich gar nichts hinschreiben, sondern hier irgendwo. Ach, es ist ein rot, klar, das sind die roten Punkte.

Wenn Sie eine Folge haben, bei der die Folgendlieder zwar immer kleiner gleich so eine Schranke sind, eine reelle Zahl, die garantiert immer größer gleich alle Folgendlieder ist, die aber das Phänomen hat, dass

sie nicht so eine Schranke nach unten angeben können, dass diese beliebig negativ werden können, dann wäre diese Folge bn zumindest nach oben beschränkt. Also jede beschränkte Folge ist auch nach oben beschränkt und nach unten natürlich genau spiegelsymmetrisch definiert dann.

Aber wenn Sie wissen, dass eine Folge nach unten beschränkt ist, heißt das noch nicht, dass sie insgesamt beschränkt ist. Sie kann nach unten immer negativer, immer negativer werden, beschränkt.

Die Folge, Sie haben recht, ist nach oben beschränkt, bn ist nach oben beschränkt, danke. Es gibt oben eine Schranke, eine Zahl, eine reelle Zahl, nicht unendlich, eine reelle Zahl, eine richtige Zahl, nichts unendliches, die nicht überschritten wird. Wenn ich das weiß, dann weiß ich, dass die Folge nach oben beschränkt ist.

Wenn ich unten so eine Zahl habe, die nicht unterschritten wird, weiß ich, die Folge ist nach unten beschränkt. Wenn es eine Zahl oben, eine Zahl unten gibt, eine obere Schranke, eine untere Schranke, heißt die Folge insgesamt beschränkt. Das Gegenteil zu beschränkt wäre unbeschränkt. Eine Folge, die zumindest in eine Richtung, vielleicht sogar in beide Richtungen jede Schranke überwindet, wäre unbeschränkt.

Analog zu Funktion. Dann streng monoton und monoton, wachsend und falt. Analog zu Funktion, ebenfalls analog zu Funktion, sollte ich sagen.

Wenn ich auf der ehemaligen X-Achse einfach wieder den Folgenindex nehme, N, so eine Folge, N gleich 1, N gleich 2. So eine Folge, die nie wieder unter einen einmal erreichten Wert zurückfällt.

So eine, wäre monoton steigend. Und eine Folge, die garantiert nur größer wird, niemals auf dem gleichen Wert bleibt.

Das sollte ich klarer machen. Eine Folge, die niemals auf dem gleichen Wert bleibt, sondern garantiert immer größer wird, die wäre streng monoton steigend.

In Formeln würde das heißen, der nächste ist auf jeden Fall echt größer als der vorherige. Nicht gleich, sondern echt größer als der vorherige für alle Indizes N. Das würde das in Formeln heißen, aber das würde ich in Formeln lieber gar nicht hinschreiben.

Da ist mir die Anschauung wichtig. Also eine Folge, bei der jedes Element echt größer ist als sein Vorgänger, ist streng monoton steigend. Wenn es nicht echt größer sein muss, sondern auch gleich sein darf, hauptsächlich nicht kleiner, dann ist es monoton steigend. Jede streng monoton steigende Folge ist automatisch auch monoton steigend.

Also streng monoton ist eine Unterkategorie von monoton. Und genau dasselbe mit Fallen muss ich nicht hinmalen. Klar, analog mit Fall.