02.01.3.4 Ableitung Potenzen, Wurzeln, Sinus
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Formale Metadaten
| Titel |
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| Serientitel | ||
| Anzahl der Teile | 203 | |
| Autor | ||
| Lizenz | CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland: Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben. | |
| Identifikatoren | 10.5446/9750 (DOI) | |
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Mathematik 1, Winter 2010/201118 / 203
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Ableitung <Topologie>SinusfunktionAdditionstheoremFunktion <Mathematik>ExponentFormelsammlungLogarithmusFaktorisierungMatrizenringZahlenbereichQuotientGradientPotenz <Mathematik>KosinusfunktionMathematikSummeHerleitungTermWinkelNatürlicher LogarithmusComputeranimation
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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Die Potenz- und Wurzelfunktionen, x hoch n, Wurzelfunktionen, die Regel laut Formelsammlung, aber das haben Sie wahrscheinlich schon gemerkt, ich hasse Regeln, wie man irgendwie auswendig
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lernt. Was bringen mir die? Ich will wissen, warum. Die Regel laut Formelsammlung ist, Exponent davorziehen und den Exponent num 1 verringern. Für alle Potenzen, für Wurzelfunktionen auch. Wann kriege ich eigentlich eine Wurzelfunktion? Wann ist das ja eigentlich eine Wurzelfunktion?
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Also hoch ein halb zum Beispiel, wenn n gleich ein halb ist, die Quadratwurzel, x hoch ein halb, dann haben Sie ein halb mal x hoch minus ein halb, das funktioniert also auch für die, es funktioniert auch für die Hyperbolen, x hoch minus 1 wird minus x hoch minus 2, genau, die Hyperbolen ableiten.
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Warum, kurz Skizze, warum, der Gedanke ist nicht ganz unehrlich, den hier von eben mit dem Logarithmus, wie ich die Ableitung von natürlichem Logarithmus kriege, x hoch n schreibe ich auf eine total komische Weise als e hoch n mal nnx, jetzt sollte ich
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einmal erklären, warum das, ich mache einen Zwischenschritt, ich schreibe x in der Form, die wir es eben hatten, als Zwischenschritt, Entschuldigung, x ist e hoch lnx, aha, x ist e hoch lnx, das hatten wir eben schon, aber ich will die Endepotenz haben, und jetzt kommen die Potenzrechengesetze, ein Potenz einer
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Potenz heißt, die Exponenten zu multiplizieren, in der Form, und jetzt kann ich ableiten, denn wenn ich jetzt ableite, heißt das also, x hoch n ableiten nach dx ist, e hoch
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n Logarithmus x ableiten nach x, denn ich weiß, x hoch n ist e hoch n Logarithmus x, und nun wieder die Kettenregel, e hoch irgendwas, bleibt erst mal e hoch irgendwas
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als die äußere Ableitung, und dann muss ich n Logarithmus x ableiten, das kann ich inzwischen, n Logarithmus x, n kommt als Faktor davor, Logarithmus x ableiten, 1 durch x, und dann haben wir alles beisammen, der hier, wie gesagt, dafür gibt es keinen Lückentext, das schreibe ich nur gerade hin, dass sie vielleicht nochmal erinnern,
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steht nur ansatzweise im Text, der hier ist wieder x, da war x, ich kriege also, das ist n mal, das ist doch nicht x, das ist x hoch n, Entschuldigung, e hoch n, Lnx ist x, e hoch n, Lnx ist x hoch n, das ist also n, das ist n, x hoch m mal
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1 durch x, die beiden kann ich zusammenfassen, n Faktoren, ein weniger ist n mal x hoch n minus 1, das bekannte Resultat, das ist also alles nicht tiefsinnig, das müsste man eigentlich auch ganz gerne nicht in die Formelsammlung reinschreiben, wenn
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man das nur einmal verstanden hätte, meine Bitte ist wirklich, dass sie es einmal verstehen und nicht, wird sie mich irgendwo abtippen. Die Quotientenregel, was passiert, wenn ich nicht ein Produkt habe, sondern zwei Funktionen durcheinander teile, in der Formelsammlung finden sie folgendes, eine Funktion teilen durch
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eine andere Funktion, davon hätte ich die Ableitung, das sieht jetzt mit diesem d nach dx ziemlich monströs aus, eine Funktion durch eine andere, davon d nach dx gibt, sagt uns die Formelsammlung, den Nenner quadrieren,
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den Zähler ableiten, mal den Nenner, minus den Zähler stehen lassen, mal den Nenner abgeleitet. Wir sehen, das wird schon schwierig zu merken, aber es ist auch
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keine gute Idee, sich das wirklich mit der Formelsammlung anzutun, der Trick ist folgender, den Quotienten f von x durch g von x schreiben sie als f von x mal 1 durch g von x, in der Form, und jetzt können sie das
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nämlich schon, hier kommt die Produktregel und hier kommt die Kettenregel, 1 durch x können wir schon, hier hatten wir den, genau, mit dem hier können wir 1 durch x, wählen sie n gleich minus 1, dann haben sie 1 durch x,
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führe ich jetzt nicht im Detail vor, also Quotientenregel ist ganz billig, mit Produktregel und Kettenregel, das muss man nicht großartig im Detail nachweisen, das habe ich hier als letztes, Sinus und Cosinus, das geht
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demnächst wesentlich eleganter als jetzt, Sinus und Cosinus ableiten, es gilt nämlich, dafür habe ich nicht mal einen Lückentext, die Ableitung vom Sinus ist der Cosinus, schreibe ich mal ganz frech so hin, und die Ableitung vom Cosinus ist
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Minus, Sinus, im Bogenmaß, ganz doll angemerkt, im Bogenmaß, wenn sie in Part rechnen haut das nicht hin, im Bogenmaß muss das sein, wir sehen später die Semester, warum das der Fall sein muss, ich führe es jetzt noch mal
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ansatzweise vor, vielleicht noch mal was zur Schreibweise, der Sinus ist der Name der Funktion Sin, das hier, Sin ist der Name der Funktion, die ein x nimmt und Sinus von x zurückliefert, Sinus Strich ist der Name der
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Ableitung dieser Funktion, und das ist tatsächlich nichts anderes als der Cosinus, das darf man so schreiben, das ist automatisch auch viel schöner, als wenn sie das x dahinter schreiben, in der Mathematik heißt, von x immer gibt mir einen Wert zurück, das will ich ja nicht, dass die Werte gleich sind, ich möchte, dass die Funktionen gleich sind insgesamt, das darf man auch dann
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tatsächlich hinschreiben, in der Informatik lernt man das dann eine Nummer strenger, da ein bisschen genauer zu sein, was ist eine nackte Zahl, was ist eine Funktion, hier ist wirklich, sind die Funktionen gleich, die Ingenieure nehmen das sehr locker, die werden von dieser Schreibweise irritiert sein, müssen sie selber vielleicht finden, was ihnen da am
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Weißen zu sagt, ich persönlich bevorzuge das lieber so, ohne dass das x dahinter steht, es ist wirklich die Ableitung der Sinus als Funktion gleich dem Cosinus als Funktion, Cosinus ohne das x dahinter ist der Name der Funktion, warum, ich müsste sowas ausrechnen, den Sinus von einem
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gestörten x, minus dem Sinus vom original x, durch, wie weit ich zur
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Seite gegangen bin, die Größe der Störung, das wird dann im Endeffekt die Ableitung, wenn dieses h ganz ganz klein wird, für Sinus einer Summe dann gibt es Additionstheorien, die hatte ich schon mal vorgeführt im Vorkurs, das kann ich schreiben, dafür gibt es kein Lückentext, muss man auch nicht mitschreiben, kommt ja alles auch mal im Detail, spannend ist das hier, nicht die
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Herleitung an dieser Stelle, der Sinus einer Summe ist der Cosinus des ersten, mal den Sinus des anderen, plus den, da brauchen wir jetzt den Sinus des ersten, mal den Cosinus des anderen, das hatten wir irgendwo mal unter
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Additionstheorien verbucht, minus Sinus von h steht da noch, minus Sinus von x, danke, meine Herren, minus Sinus von x sieht besser aus, so das
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guckt man sich scharf an und versucht das irgendwie zusammenzufassen, wenn h endlich ist, ist alles noch in Ordnung, stellen Sie sich vor, h ist 0,00001, wo auf keinen Fall 0, hier habe ich nur diesen ersten Term mit diesen Additionstheorien auseinander genommen, was passiert mit dem Sinus einer Summe, hier kann ich den
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Ausbuch stabilieren, mit normalen Sinus und Cosinus Funktionen, jetzt kann ich diese Summe hier auseinander ziehen, da steht Cosinus von x, mal Sinus von h durch h, und hier hinten steht, Sie sehen, Sinus von x kann ich ausklammern, plus Sinus von x, und hier oben bleibt dann Cosinus von h, minus 1, schauen Sie sich da mal
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eins vor, da hinten, minus 1 durch h, und das kann man geometrisch hinkriegen, mal gucken, ob wir das gerade schaffen, was man geometrisch so hauptlich zu
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erklären, Sinus von h durch h, wenn Sie im Bogenmaß sitzen, ein kleines h, ein kleiner Winkel h, das sitzt hier in meinem Einheitskreis, in meinem Einheitskreis,