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Ableitung der Umkehrfunktion

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Formale Metadaten

Titel
Ableitung der Umkehrfunktion
Untertitel
Umkehrbarkeit 1
Serientitel
Teil
1
Anzahl der Teile
4
Autor
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Fachgebiet
Genre
Irreversibler ProzessFunktion <Mathematik>VariableGrenzschichtablösungAbbildung <Physik>BijektionFunktionalTermKonstanteOffene MengeKreisflächeKreisscheibeMinkowski-MetrikGruppendarstellungBijektionStetige FunktionComputeranimation
Maß <Mathematik>Matrix <Mathematik>Produkt <Mathematik>MatrizenrechnungMatrizenringAbbildung <Physik>FunktionalKettenregelLineare AbbildungLineare DarstellungMereologieFlächeninhaltReelle ZahlAbleitung <Topologie>PunktJacobi-VerfahrenMultifunktionMultiplikationsoperatorInverseGruppendarstellungTotal <Mathematik>UmkehrfunktionAbleitung <Topologie>Computeranimation
PolynomBerechnungMatrizenrechnungDerivation <Algebra>Einfach zusammenhängender RaumFunktionalPositive ZahlZahlenbereichFlächeninhaltNichtlineares GleichungssystemReelle ZahlAbleitung <Topologie>Zusammenhängender GraphWurzel <Mathematik>PunktKartesische KoordinatenWertevorratPartielle DifferentiationVorzeichen <Mathematik>Umkehrung <Mathematik>MultiplikationsoperatorDiagonalformInverseGruppendarstellungComputeranimation
Umkehrbare Funktionen in mehreren Variablen sind im Allgemeinen schwieriger zu orten als solche nur in einer Variablen. Das liegt zum Beispiel daran, dass uns in mehreren Variablen solche Begriffe wie Monotonie fehlen. Ich möchte deswegen in diesem Video davon ausgehen, dass die Funktionen, die
wir hier betrachten, umkehrbar sind, sprich, biaktiv. Und dann ist die erste Bemerkung, die ich machen möchte, dies. Wenn wir so eine biaktive Funktion f nehmen, die stetig ist, dabei sind u und v offene Mengen und zwar u in einem R
hoch n und v in einem R hoch m, dann ist so eine stetige biaktive Abbildung zwischen u und v überhaupt nur möglich, wenn m gleich n ist. Das heißt, wenn u und v eigentlich in einem gleichdimensionalen Raum leben.
Und das entspricht vollkommen unserer Vorstellung davon, dass so eine Kreisscheibe im R2 doch was qualitativ anderes ist als eine Vollkugel im R3.
Und es wird uns eben nicht gelingen, so eine Kreisscheibe im R2 stetig biaktiv zu einer Vollkugel im R3 zu machen. Als nächstes gehen wir davon
aus, dass wir eine Funktion f haben, die injektiv ist, sie lebt wieder auf einer offenen Teilmenge, das R hoch n, und dass diese Funktion stetig differenzierbar ist. Dann kann ich auf alle Fälle diese Funktion f umkehren, einfach dadurch,
dass ich ihr Bild, also die wirkliche Wertenmenge f von u mal dv nenne und sie als Definitionsbereich der Umkehrabbildung einsetze. Also habe ich eine Umkehrabbildung g von v nach u und von der nehme ich jetzt an als Voraussetzung, dass sie wiederum total
differenzierbar ist. Dann kann ich für alle y aus v folgendes sagen, nämlich die Jacobi
Matrix von f an der Stelle g von y mal der Jacobi Matrix von g an der Stelle y. Das ist die Einheitsmatrix und das heißt, dass die Jacobi Matrix von f an der Stelle g von y invertierbar ist und dass ihre Inverse genau der Jacobi Matrix dg von y entspricht. Das können wir
und damit können wir die Verkettung f nach g angucken. Das ist dann einfach nur die Identität,
also die identische Abbildung auf v. Die schickt also y nach y und das ist eine
die Einheitsmatrix mal y. Einheitsmatrix in einer n-Kreuz-n-Matrix, weil wir hier
auch n sind. So und jetzt wissen wir, wie wir lineare Abbildungen ableiten. Nämlich die Ableitung einer linearen Abbildung ist wieder diese lineare Abbildung selbst,
sprich d von f nach g an der Stelle y. Das ist einfach wiederum die Einheitsmatrix. Das gilt für alle y aus v. Jetzt kann ich aber auf f und g auch die Kettenregel, die Mehrdimensionale
anwenden. Alles ist total differenzierbar. Wir haben Umkehrfunktionen gefunden. Ich kann
die wirklich anwenden. Also was sagt die, dass d von f nach g an der Stelle y gegeben ist, als df an der Stelle g von y mal dg von y. dg von y, weil v eine Teilmenge, das auch n ist,
ist das n-Kreuz-n-Matrix und das gleiche gilt für df. Also habe ich hier ein Produkt
aus Matrizen und andererseits habe ich gerade berechnet, dass dieses Matrixprodukt gleich der Einheitsmatrix ist. Und das heißt, dass dg von y und df von g von y invers zueinander
sind. Und das ist genau die Aussage dieses Satzes. Wir betrachten ein Beispiel. Wir haben f, die auf den positiven realen Zahlen, kreuz den positiven realen Zahlen, definiert
ist und eben solche Werte hat. Und wir wollen x, y einfach abbilden auf x², y². Diese Funktion ist biaktiv. Wenn ich das Ganze auf den positiven realen Zahlen
betrachte, dann ist Quadrieren biaktiv und das eben in beiden Komponenten. Und weil beide Komponenten ein Polynome sind und damit stetig differenzierbar, gilt das auch für die ganze
Funktion. Ja, dann können wir die Jacobi-Matrix hinschreiben. df von x, y. Das sind 2x2-Matrix. Wir leiten zuerst nach der ersten Komponente, also nach x ab. Dann erhalten
wir die Ableitung von x². Das ist 2x und die Ableitung von y² nach x, die ist 0. Nun die Ableitungen nach y. Da ist x² abgeleitet nach y0 und die andere Ableitung
ist 2y. Und jetzt betrachten wir die Umkehr-Abbildung. Wenn wir sie gehen, die hat natürlich diesen Definitionsbereich und diesen Wertebereich. Das brauche ich nicht groß kommentieren. Schreiben wir also nur die Abbildungsvorschrift hin. Die Umkehr-Abbildung vom Quadrieren
ist das Wurzelziehen. Also geht x, y auf Wurzel x, Wurzel y. Und auch hier sehen wir die Wurzel auf den positiven Zahlen. Das ist stetig differenzierbar. Und so ist diese Funktion in allen partiellen Ableitungen stetig und somit stetig differenzierbar.
Und wir berechnen demnach auch die Jacobi-Matrix von D. Erst nach x ableiten, Wurzel x nach x
abgeleitet. Das ist 1 durch 2 Wurzel x. Das hängt nicht von x ab, das ist 0. So jetzt nach y ableiten. Da kriegen wir hier eine 0 und hier unten 1 durch 2 Wurzel y. Ja und im Satz war nun die Matrix angegeben. Jacobi-Matrix DF an der Stelle G von x, y. Also berechnen
wir die mal. Wir wollen ja in Verses berechnen. Das ist also DF von Wurzel x, Wurzel y
und davon das inverse. Das ist 2 mal Wurzel x, 0, 0, 2 mal Wurzel y. In Vers. Ja und so eine Diagonalmatrix, die invertieren wir einfach dadurch, dass wir diese Einträge
invertieren. Also ist das 1 durch 2 Wurzel x, 0, 0, 1 durch 2 Wurzel y. Und das entspricht wirklich genau so, wie es der Satz vorher sagt, der Ableitung von G in x, y.