Wir hatten schon mal gesehen, dass auch Abbildungen oft Vektorräume bilden und auf Vektorräumen wie dem r hoch n haben wir gerade gesehen, kann man Normen definieren. Insbesondere könnte man zum Beispiel den Vektoraum der linearen Abbildungen nehmen, der m-Kreuz-n-Matrizen.

Also das ist der Vektoraum der linearen Abbildungen vom r hoch n in den r hoch m. Das sind m-Kreuz-n-Zahlenschemata, das heißt

das ist Isomorph zum r hoch m mal n und ja, das ist so ganz allgemein r hoch n, dann kann ich jede Norm drauf geben. Die wird mir auch eine Norm auf den Matrizen definieren. Allerdings wollen wir noch ein bisschen mehr. Wir wollen nämlich noch in Betracht ziehen, dass hier

Matrizen auch Operatoren sind. Das heißt eine Norm, die auch dem Rechnung trägt.

Matrizen sind Operatoren, also Abbildungen. Und um die zu definieren nehme ich eine Norm, ich nenne sie hier mal mit klein n, auf dem r hoch n

und ich nehme eine Norm auf dem r hoch m und jetzt

definiere ich für eine beliebige Matrize m-Kreuz-n das folgende, die so genannte Operator-Norm.

Zeichnen wir mit der Norm von a. Das ist ein Supremum, nämlich das Supremum über alle Normen von a mal x, wenn x aus dem r hoch n ist, dann ist das a mal x wohl definiert und im r hoch m

ist ein Vektor. Davon kann ich die Norm auf dem r hoch m betrachten. Jetzt muss ich noch sagen, worüber ich das Supremum nehme. Ich nehme es über alle x aus dem r hoch n mit Norm x

gleich 1. Und man zeigt, dass das wohl definiert ist. Also dass dieses Supremum immer existiert und es ist wirklich eine Norm.

Erfüllt die positive Definität, es erfüllt, dass sich Konstanten rausziehen kann mit Beträgen und es erfüllt die Dreiecksungleichung. Das wollen wir hier nicht zeigen, das hat im Prinzip damit zu tun, dass

diese linearen Abbildungen stetig sind. Ich möchte Ihnen nur zeigen, dass diese Definition noch eine ganz wichtige Eigenschaft ganz einfach impliziert, nämlich die folgende. Das gilt wiederum für alle m Kreuz n Matrizen a

und alle x aus dem r hoch n, nämlich das a mal x

in der m Norm, die wir da zur Definition benutzt haben, kleiner gleich a in der Operator Norm ist, mal der Norm von x. Das ist gar nicht schwer zu sehen. Wir machen da zwei Fälle.

Wenn x gleich 0 ist, also der Null Vektor aus dem r hoch n, steht hier, was steht hier, der steht a mal x, das ist ja dann gleich 0. Also da steht die Norm

vom Null Vektor im r hoch m soll kleiner gleich a, der Operator Norm von a, mal ja der Norm von 0 im r hoch n sein. Nun ist das hier 0 und das hier 0, also ist das wahr.

Und für x ungleich 0, ja da kann ich diesen Vektor immer normieren, das heißt, wenn ich x und dann jede Komponente durch den Norm von x geteilt, denn die Norm von x ist dann ungleich 0,

teile, dann davon die Norm nehme, dann das Norm 1. Also das hier ist normiert und also kann ich sagen, dass a mal

x durch die Norm von x, die Norm von m, das ist kleiner oder gleich der Operator Norm von a. Nämlich die Operator Norm von a, das war das Supremum über alle

diese Normen und deswegen ist es für jedes x kleiner oder gleich. Ja, und jetzt multipliziere ich hier einfach noch mit der Norm von x durch und erhalte

hier dann a mal x in der Norm auf dem r hoch m, das ist ja die Norm von x mal a mal x durch, die Norm von x.

Das hier ist eine Konstante, das ist eine reelle Zahl, die kann ich, weil sie größer oder gleich 0 ist, so einfach in die Norm reinziehen und das ist dann kleiner oder gleich der Seite hier

mal der Norm von x auf dem r hoch n. Ja, also haben wir diese wichtige Ungleichung bewiesen, das heißt, bei linearen Abbildungen kann ich die Norm von dem Bild immer durch eine Konstante mal die Norm des Urbildes abschätzen.