So, Körperaxiome habe ich hier hingeschrieben. Das erzeugt vielleicht, wenn manchen von Ihnen schon ein so leichtes Schaudern, Huch, Axiome schon wieder aussagen, logik, oh nein, nein, so schlimm ist es nicht. Ich möchte eigentlich nur an die Rechenregeln für die rationalen Zahlen erinnern.

Fangen wir einfach mal an. Das kennen Sie alle, das haben Sie in der fünften Klasse höchstwahrscheinlich gelernt. Also wir nehmen die rationalen Zahlen und wir nehmen drei beliebige davon, x, y und z. Wir können rationale Zahlen miteinander multiplizieren und wir können sie addieren. Und wenn wir sie addieren, dann wissen wir alle, es kommt nicht auf die Reihenfolge an, in der wir sie addieren.

x plus y gleich y plus x nennt sich das Kommutativgesetz oder Kommutativität. Genauso kommt es nicht darauf an, ob wir bei drei Zahlen zuerst die ersten beiden addieren und dann die dritte hinzu

oder ob wir zuerst die letzten beiden addieren und dann noch die erste hinzu. Das ist die Assoziativität. Die Assoziativität sagt also, es ist eigentlich egal wie wir hier Klammern setzen, wir können sie auch weglassen. Auch wissen wir alle, es gibt eine Null in den rationalen Zahlen.

Also in der Mathematik heißt das dann das Null-Element oder neutrales Element. Und das hat die Eigenschaft, dass es, wenn man es zu jedem anderen Element dazu addiert, dieses Element nicht ändert. Und schlussendlich gibt es zu jeder rationalen Zahl x auch eine rationale Zahl minus x.

So dass diese beiden Zahlen zusammen addiert Null ergeben. Also das ist vor dem ausgedrückt für die Tatsache, dass x minus x gleich Null ist. Und dieses minus x nennt man dann auch das inverse Element der Addition.

Weil es nämlich gerade das plus x wieder umkehrt, also weglässt. Und wenn ich erst zu einer Zahl ax hinzugefügt habe und ich nehme dann wieder minus x weg, dann ändert sich gar nichts.

So, ganz ähnliches gilt für die Multiplikation in den rationalen Zahlen. Also ob ich zwei Brüche so herum miteinander multipliziere oder so herum, das ist gleichgültig. Es gilt das Kommutativgesetz, es gilt auch das Assoziativgesetz für die Multiplikation.

Das heißt zunächst x mal y und dann noch mal z ist das gleiche, als wenn ich zunächst y mal z berechne und dann mal x hier vorne dran nehme. Und es gibt auch ein neutrales Element der Multiplikation, das ist die 1, auch das 1-Element genannt.

Das hat die Eigenschaft, dass 1 mal x gleich x ist, für alle x aus den rationalen Zahlen. Und es gibt auch ein inverses Element der Multiplikation, das wäre x hoch minus 1.

Das gibt es jetzt natürlich nur für x und gleich Null. Die Null selbst kann ich nicht multiplikativ invertieren, wie wir sagen, 1 durch Null gibt es nicht. Also zu x und gleich Null gibt es x hoch minus 1 in Q mit x mal x hoch minus 1 gleich 1.

Also wenn wir x in der Form a durch b gegeben haben, dann folgt x hoch minus 1 ist gleich b durch a für a und b beide und gleich Null.

Gut und dann gibt es noch ein Gesetz, das die Multiplikation und die Addition verbindet. Das ist die Distributivität oder das Distributivgesetz.

Das sagt uns, wenn wir zwei Zahlen y und z addieren, y plus z und diese mit x multiplizieren, dann ist das dasselbe, als wenn wir dieses y mit x multiplizieren und z mit x multiplizieren und das dann aufaddieren.

Es gibt noch ein paar andere Regeln in den rationalen Zahlen, die man als Rechenregeln bezeichnen würde. Die gehören jetzt nicht zu diesen Eigenschaften, aber ich will sie trotzdem noch erwähnen.

Das eine ist die Punktvorstrichregel, die kennen Sie auch aus der Grundschule. Die Punktvorstrichregel sagt, wenn wir a mal b plus c dastehen haben, dann heißt das, das ist a mal b und dann plus c.

Das heißt, wir können Klammern weglassen, indem wir sagen, wenn so etwas dasteht, dann multiplizieren wir erst und addieren danach.

Spart wirklich ungemein Klammern. Und außerdem, das wissen Sie schon, das hatte ich schon erwähnt, setzt man normalerweise a minus b gleich a plus minus b.

Und wir haben noch a geteilt durch b, das würden wir als Bruch schreiben, a geteilt durch b, das ist also a mal b hoch minus 1. Natürlich können wir das nur für b und gleich Null hinschreiben und setzt man a minus b so und a geteilt durch b so,

dann sind durch diese Regeln hier alle vier Grundrechenarten erklärt.

Also plus und minus mal und geteilt durch.

So, warum habe ich aber das dann so kompliziert hingeschrieben, wenn ich eigentlich doch nichts anderes sagen will? Naja, das ist natürlich deshalb der Fall, weil ich doch ein kleines bisschen mehr sagen will. Ich will nämlich sagen, alle diese Regeln, die gelten in viel mehr Fällen als nur für die rationalen Zahlen.

Ich meine, dass ein Kommutativgesetz und ein Assoziativgesetz und auch ein Distributivitätsgesetz auch zum Beispiel für Junktoren gilt oder für Mengenoperationen, Schnitt und Vereinigung, das hatten Sie ja schon gesehen.

Aber dass wir wirklich noch ein Null-Element und ein Eins-Element haben und inverse der Addition und Multiplikation, das ist was ziemlich Besonderes und es ist eigentlich das, was die rationalen Zahlen als einen Zahlenbereich macht,

der so gut ist wie nur irgendwie möglich. Und solche Zahlenbereiche, in denen genau diese Eigenschaften gelten, wie wir sie für die rationalen Zahlen kennengelernt haben, die kriegen in der Mathematik einen eigenen Namen, die heißen Körper. Das heißt, ich will jetzt gleich definieren, was ist ein Körper.

Ich möchte nur sagen, dass das eigentlich, das ist, woran ein Mathematiker denkt, wenn Sie von einem mathematischen Körper sprechen. Also der denkt nicht an einen geometrischen Körper wie eine Kugel, ein Würfel, ein Tetraeder oder so.

Nein, er denkt an diese Struktur, die ich Ihnen gerade jetzt definieren möchte. Das ist zunächst mal eine Menge K und die heißt dann Körper, wenn es eine Addition gibt und eine Multiplikation, wir nennen es Plus und Mal, sodass zunächst mal für alle x und y in dieser Menge K gilt,

dass die Summe x plus y wieder in K ist und das Produkt x mal y wieder in K. Und dann sollen alle diese Axiome, die ich hier auf der vorderen Seite hatte, gelten für alle Elemente aus K.

Also wo ich jetzt ein Q geschrieben habe, überall hier in diesen Regeln, das ersetzen Sie durch K, eine beliebige Menge mit diesen Eigenschaften und wenn alle diese Dinger erfüllt sind,

für alle x, y und z aus K, dann sprechen wir von einem Körper. So und mit was wir eigentlich angefangen haben, das ist der folgende Satz, den brauche ich nicht zu beweisen,

denn den haben wir ja gerade schon untersucht, die rationalen Zahlen Q bilden einen Körper, den sogenannten Körper der rationalen Zahlen. Also Körper sind Mengen, die bestmögliches Rechnen zulassen.

Wir können daran addieren und multiplizieren, aber wir können diese Addition auch wieder rückgängig machen, also das heißt, wir finden inverse Elemente der Addition und wir können auch eine Multiplikation rückgängig machen, jedenfalls wenn wir nicht mit Null multiplizieren, nämlich es gibt inverse der Multiplikation.

Gut und Sie kennen eigentlich aus der Schule noch eine andere Menge, die all diese Eigenschaften erfüllt. Ein weiteres Beispiel, es sind die reellen Zahlen R, die bilden auch einen Körper,

so und ja, der bildet einen Körper eigentlich genauso wie definiert ist, nämlich als eine Erweiterung der rationalen Zahlen und wir werden in diesem Kurs auch noch einen weiteren Körper kennenlernen,

nämlich den Körper der komplexen Zahlen.