Auch Sinus und Cosinus lassen sich Taylor entwickeln. Fangen wir mit dem Sinus an und bestimmen dessen Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt A gleich Null. Wir brauchen die Ableitungen vom Sinus. Die erste ist der Cosinus. Die zweite Ableitung

ist dann Minus der Sinus. Als dritte Ableitung finden wir dann Minus Cosinus und die vierte Ableitung ist dann schon wieder der Sinus von X. Und dann sehen wir, wenn die vierte

Ableitung mit der Funktion selbst übereinstimmt, dann wird die fünfte Ableitung mit der Funktion ganz allgemein die Karte Ableitung vom Sinus angeben. Das wird nämlich gleich dem Sinus selbst sein, wenn, wir haben hier die nullte Ableitung, hier die vierte Ableitung,

dann wieder bei der achten Ableitung etc., sprich, wenn K ein Vielfaches von 4 ist. Wenn K dann kein Vielfaches von 4 ist, sondern noch plus 1 dazugezählt, dann sind

wir hier im Falle der ersten, der fünften, der neunten etc. Ableitung, sprich, wir finden den Cosinus von X. Für K gleich 4 mal J plus 2 sind wir dann in diesem Fall, haben also Minus den Sinus von X und schließlich für K von der Form 4J plus

3 haben wir Minus den Cosinus von X. Damit können wir natürlich auch die Karte Ableitung in Null auswerten und hier sehen wir, wenn wir den Sinus oder Minus den Sinus

haben, dann ist er an der Stelle Null. Das heißt, wenn K gerade ist, ist die Ableitung an der Stelle Null. Und wenn K ungerade ist, dann können wir K schreiben in der Form 2L

plus 1 mit einer ganzen Zahl L und dann ist die Ableitung entweder der Cosinus von Null oder der Minus der Cosinus von Null, also 1 oder minus 1 und wann trifft was zu? Nun, wenn L selbst gerade ist, dann ist das von der Form hier, dann ist

also ein plus 1. Das heißt, wir müssen hier minus 1 hoch L nehmen. Wenn L gerade ist, stimmt das? Und für L ungerade, da sind wir in diesem Fall hier und ja, da kriegen

wir wirklich ein minus 1. Das stimmt. Wir sehen also, alle geraden Taylor-Koeffizienten verschwinden und das verschlankt das Taylor-Polinom doch sehr. Schreiben wir ein paar spezielle hin. Fangen wir mal mit dem Nullten an. Das ist ja nur der Funktionswert selbst

in Null, also gleich Null. Das Taylor-Polinom erster Ordnung, das ist dann dieses Null plus erste Ableitung, also Cosinus von Null, das ist 1 durch 1 Fakultät, also 1 durch

1 Fakultät mal x minus Null hoch 1, also einfach nur x. Schauen wir uns das Taylor-Polinom zweite Ordnung an. Das ist auf alle Fälle das Taylor-Polinom erster Ordnung wiederum,

plus ja der Term zweite Ordnung, aber die zweite Ableitung in Null ist ja Null, also einfach nur x selbst. Und das wir für x klein den Sinus von x approximieren können

durch x selbst, das ist die sogenannte Kleinwinkelnäherung der Physik. Und jetzt wollen wir mal das Taylor-Polinom

allgemein hinschreiben. Sagen wir von der Ordnung 2m plus 1 von x und wir wollen dabei ausnutzen, dass alle geraden Koeffizienten verschwinden. Das heißt wir haben nur ungerade

Koeffizienten von dieser Form. Das heißt, insbesondere haben wir immer den Term x hoch 2L plus 1, für K gleich 2L plus 1, haben wir ein durch K Fakultät, also ein 2L plus 1 Fakultät und haben hier noch die Karte Ableitung, also ein minus 1 hoch

L. So und jetzt brauchen wir noch einen Summationsbereich für L, wenn L so sein soll, dass 2L plus 1 von Null losläuft, wobei der Null-Koeffizient verschwindet bis 2m plus 1, dann muss L selbst von Null bis m laufen. Gut, wie sieht das denn mit

dem Taylor-Polinom der Ordnung 2m plus 2 nun aus? Nun, da würde ja hier noch eben die 2m plus 2 der Ableitung dazukommen, das gibt aber wieder den Term Null, so dass

auch hier wieder, wie schon von 1 auf 2 zu sehen ist, es immer gilt, dass das Taylor-Polinom der Ordnung 2m plus 2 mit dem der Ordnung 2m plus 1 übereinstimmt. Jetzt haben wir

die Taylor-Entwicklung vom Sinus fertig, machen wir die vom Cosinus. Ja, da brauchen wir die Kartenableitungen wiederum an der Stelle Null. Das Schöne ist, dass ja der

Cosinus selbst die Ableitung vom Sinus ist, das heißt, wir haben hier, was wir hier F Striche haben, ist hier F, demnach ist dieses Ergebnis hier einfach nur um 1 verschoben. Wir finden, dass die Kartenableitung gleich minus 1 hoch L ist, wenn K gleich 2L ist und Null, wenn K ungerade ist. Das heißt, in Taylor-Polinomen vom Cosinus,

da verschwinden alle ungeraden Terme. Und das heißt, wir können auch die Taylor-Entwicklung

vom Cosinus ganz allgemein hinschreiben, sagen wir mal bis zur Ordnung 2m. Das ist dann wiederum hier eine Summe. Dann summieren wir jetzt ja nur über gerade K, also K von der Form 2L auf. Dann ist der Koeffizient einmal ein durch 2L Fakultät und eben

das Minus 1 hoch L. Und jetzt durchlaufen wir alle geraden Zahlen der Form 2L von Null bis 2m. Das heißt, L muss von Null bis M laufen. Wenn wir nun die Taylor-Entwicklung

hier noch einen Schritt weitertreiben, also das Taylor-Polinomen der Ordnung 2m plus 1 bestimmen wollen, dann sehen wir wieder die 2m plus erste Ableitung, die ist ja Null. Also wird der 2m plus erste Term, der hier dazu kommen würde, eben

wiederum verschwinden. Das hier ist auch das Taylor-Polinomen der Ordnung 2m plus 1. Ja, vielleicht kommen Ihnen diese Summen hier bekannt vor. Sie kennen sie schon unendlich statt einem M hier. Das ist nämlich dann genau die Potenzreihe des Sinus und

des Kosinus. Das heißt, das hier, das ist der Anfang der Sinus- bzw. Kosinus-Potenzreihe.

Und das ist eine Eigenschaft, auf die wir später ganz bestimmt noch zurückkommen werden.