Wir werden gleich definieren, was es für eine Teilmenge der reellen Zahlen heißt, offen zu sein. Zunächst möchte ich aber an den Intervallbegriff erinnern. Wir kennen sogenannte offene Intervalle, das heißt da ist dieses a,b nur eine Abkürzung

für die Menge der x aus R, die größer sind als a, aber kleiner als b. Wir sehen das Infimum, das wäre hier a und das Suprimum der Menge, das wäre b, die gehören nicht zum Intervall dazu. Im Gegensatz haben wir sie eben genau bei den abgeschlossenen Intervallen dazugenommen.

Dann gibt es auch noch halboffene, ich könnte auch sagen halb abgeschlossene Intervalle, bei denen eben eine Intervallgrenze dazugehört. Ganz prominente Beispiele von Intervallen, das sind die sogenannten Epsilonumgebungen, das heißt für eine Zahl Epsilon größer als 0 und ein x in R sage ich die Epsilonumgebung

um x, das sei eben das Intervall von x minus Epsilon bis x plus Epsilon. Dabei nehme ich die Grenzen nicht dazu, also dieses offene Intervall und das nennt man

auch Epsilonumgebung. Eine andere Schreibweise als Menge sagt diese Epsilonumgebung, die besteht genau aus den reellen Zahlen R, deren Abstand zu x kleiner ist als Epsilon.

Manchmal sagt man auch Epsilonkugeln, da denkt man dann gleich an die Verallgemeinerung in mehreren Dimensionen, wenn man eben diesen Abstand, der hier durch den Betrag gegeben wird, durch die Norm ersetzt. Ich möchte noch diesen kleinen Satz beweisen, nämlich wenn wir zwei Intervalle miteinander

schneiden, dann ist der Durchschnitt wieder ein Intervall oder er ist leer. Ich denke wir müssen das jetzt nicht für alle Fälle von offenen, abgeschlossen oder halboffenen Intervallen durchexerzieren. Ich mache das hier mal für abgeschlossene Intervalle, das heißt ich schneide a b

mit c d und da kann es passieren, dass die Intervalle sich gar nicht treffen, das eine Intervall liegt hier, das andere liegt da, dann ist natürlich der Schnitt leer, das heißt falls b kleiner ist als c oder d kleiner als a, dann sehen wir der Durchschnitt,

der ist leer. Ja und sonst sieht das ganze so aus, wir haben hier eine untere Grenze, hier noch

eine untere Grenze, hier eine obere Grenze und hier noch eine obere Grenze und der Durchschnitt, das wäre dieses Intervall mit diesen beiden Grenzen. So und jetzt fragt sich, wie wir aus unseren beiden unteren Grenzen die Richtige rausfinden, nun von den unteren Grenzen müssen wir die größeren nehmen und von den

oberen Grenzen müssen wir die kleineren nehmen und das heißt wir haben hier als untere Grenze das Maximum von a und c und als obere Grenze das Minimum von b und d und das ist eben wieder ein Intervall.

Ja man sollte noch erwähnen, dass es ja hierbei durchaus vorkommen kann, dass obere und untere Grenze zusammenfallen, dann hätten wir das Intervall d, d,

das besteht aus einem einzigen Punkt und es ist ein sogenanntes entartetes Intervall und wenn eben eine dieser Grenzen hier nicht dazu gehört, dann

müssen wir darauf achten, ob es hier als Maximum oder Minimum auftritt und dann müssten wir hier eben auch die runden Klammern für den Ausschluss mit einbeziehen. Ja insbesondere wäre also das Intervall d, d, das offene Intervall leer, denn da nehmen wir gerade d nicht mit dazu. Für das

Verständnis des Begriffs der offenen Menge sind die folgenden zwei Begriffe sinnvoll. Wir sagen zunächst, was ein innerer Punkt irgendeiner Menge d sein soll, also nehmen wir eine Teilmenge d von r, dann

ist ein innerer Punkt von d einer, der zu d gehört und wenn es eine Epsilonumgebung gibt von diesem Punkt, der die ganz zu d gehört, also in etwa so etwas. Das heißt formal gesprochen, es gibt

ein Epsilon größer als Null, so dass u Epsilon von x ganz in d liegt. Und was ist ein Randpunkt einer Menge? Nun ein Randpunkt, das ist ein Punkt bei dem

jede und wirklich jede Epsilonumgebung um diesen Punkt herum, sowohl Punkte von d als auch Punkte vom Komplement von d enthält. Formal gesprochen heißt das, für alle Epsilon größer als Null gilt u Epsilon von x geschnitten d ist

nicht leer und u Epsilon von x geschnitten im Komplement von d ist nicht leer. Das heißt, wenn wir so eine Menge d nehmen, was könnten hier Randpunkte sein? Nun, Punkte hier innen im Intervall wohl nicht, sondern es ist wirklich hier so ein Randpunkt, ein Punkt, der auch auf der Intervallgrenze

liegt, denn wenn wir so eine Intervallgrenze hier nehmen und schauen uns eine beliebige Epsilonumgebung an, da sehen wir, ein Teil dieser Epsilonumgebung gehört nicht mehr zu d und der andere Teil gehört zu d

und da ist es egal, wie klein wir unser Epsilon machen, es gehören immer Punkte zu d und welche nicht zu d. Ein Randpunkt muss in dieser Definition nicht unbedingt zu d dazugehören, also Beispiel, nehmen wir es ganz konkret, wir nehmen das offene Intervall 1, 2, dann sind 1 und 2 Randpunkte des

Intervalls, aber offensichtlich 1 und 2 nicht im Intervall, während beim

abgeschlossenen Intervall natürlich 1 und 2 ebenso Randpunkte sind, die aber zum abgeschlossenen Intervall eben dazugehören. Nun zum Begriff der

offenen Menge. Eine Teilmenge d von R heißt offen, wenn jedes Element von d ein innerer Punkt ist. Anders ausgedrückt heißt es also, zu jedem x in d gibt es eine Umgebung, o Epsilon von x, die ganz in d enthalten

ist. Beispiele für offene Mengen, das sind offene Intervalle, deren Name ist also gut gewählt, schauen wir uns so ein offenes Intervall a, b an, dann nehmen wir irgendeinen Punkt x aus diesem offenen Intervall und wie

finden wir dann so eine Epsilon Umgebung? Nun rein visuell, wenn wir hier einen Punkt nehmen, der weit von a und b entfernt ist, dann können wir ganz sicher hier eine Epsilon Umgebung reinlegen und wenn nun x nahe an a ist und das ist das, was vielleicht überrascht, dann geht das auch, denn ich

kann ja Epsilon einfach wählen als den Betrag von x minus a. Was ist das? Das ist der Abstand von x zu a und dann folgt daraus, dass die Epsilon

Kugel um x, das heißt alle Punkte, die zu x den kürzeren Abstand haben, als a es zu x hat, die liegen in diesem Intervall. Das war jetzt für den Fall, dass x hier schon optisch sehr nahe bei a liegt, es kann natürlich auch

sein, dass x näher bei b liegt als bei a, dann muss man eben auch noch den Abstand von b berücksichtigen und nimmt als Epsilon einfach das Minimum von diesen beiden Beträgen und diese kleine Epsilon Kugel liegt dann im

Intervall. Die reellen Zahlen selbst sind auch offen, das ist klar, beliebige Epsilon Umgebungen um einen beliebigen Punkt sind natürlich wieder Teilmengen von den reellen Zahlen. Überraschend ist vielleicht, dass auch

die Leeremenge offen ist, nun um das zu sehen müssen wir unsere Logik reaktivieren. Diese Eigenschaft, eine Menge ist offen, wenn jedes Element von d ein innerer Punkt ist, die es für die Leeremenge erfüllt, denn die Leeremenge hat kein Element, also erfüllt jedes Element von d, nämlich gar keins,

diese Definition, die Leeremenge ist offen. Hingegen sind die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen nicht offen, um zu sehen, dass die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen nicht offen

sind, schauen wir uns ja einfach mal, sagen wir die zwei an, dann wissen wir, wenn wir hier irgendeine Epsilon Umgebung um zwei betrachten, Epsilon größer als null, aber sagen wir mal kleiner als eins, das ist also

irgendeine Epsilon Umgebung und wir schneiden die mit z, dann besteht der nur aus einem Element, das heißt insbesondere ist eben u Epsilon um

zwei nicht enthalten in z und natürlich auch nicht in den natürlichen Zahlen. Um zu sehen, dass die rationalen Zahlen nicht offen sind, da müssen wir unser gesamtes Wissen über die reellen Zahlen bemühen. Wir wissen, in jeder Umgebung einer reellen Zahl gibt es rationale und

irrationale Zahlen. Man weiß, wenn wir hier eine rationale Zahl q nehmen und irgendeine Epsilon Umgebung, dann enthält u Epsilon von q irrationale

Zahlen und damit kann die Epsilon Umgebung hier nicht in q enthalten

sein. Offene Mengen haben ganz fundamentale Eigenschaften und die fasse ich in diesem Satz hier zusammen, nämlich die leere Menge und die reellen Zahlen, die sind offen, das haben wir bereits gesehen. Dann ist die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen wieder offen und der

Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. Wie sehen wir, dass die beliebige Vereinigung offener Mengen offen ist? Nun, wir bemerken erst mal, wenn wir ein x aus einer offenen Menge dj

nehmen, dann wissen wir, es existiert Epsilon größer als 0, derart, dass u Epsilon von x in dj enthalten ist. Und wenn wir nun die Vereinigung von dj

angucken, eine beliebige Vereinigung, ich will hier also die Indiksmenge gar nicht weiter angeben, dann wissen wir, diese Vereinigung, die enthält auf alle Fälle dj und damit auch u Epsilon von x. Und das heißt auch, wenn wir jetzt

nicht von einem x aus dj ausgehen, sondern von einem x aus der Vereinigung, dann existiert ein dj, so dass x in dj liegt und dj ist offen und dann bin ich

wieder hier an diesem Einstieg, dj ist offen, liegt in der Vereinigung und diese Epsilon-Kugel liegt dann auch in der Vereinigung. Sprich, wann immer wir offene Mengen vereinigen, so ist diese Vereinigung wieder offen. Warum ist der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen wieder offen? Also da

gehen wir davon aus, dass wir endlich viele offene Mengen haben, sagen wir dj für j gleich 1 bis n. Falls der Durchschnitt der dj leer ist, dann

sind wir fertig, weil die leere Menge offen ist, ist da nichts mehr zu zeigen. Falls aber der Durchschnitt nicht leer ist, dann müssen wir zeigen,

dass x aus diesem Durchschnitt eine Umgebung besitzt, die ganz in diesem Durchschnitt drin liegt. Weil x im Durchschnitt der dj liegt, liegt x in

dj für j gleich 1 bis n. Das heißt, es existieren, weil die dj offen sind, Epsilon j größer als 0, so dass die Epsilon j-Umgebung von x ganz enthalten

ist in dj. Diese Epsilon-Umgebungen, die können für jedes dj anders sein. Also wenn hier x ist, dann kann es sein, dass das hier U Epsilon 1 von x ist,

hier hätten wir dann U Epsilon 2 von x, vielleicht wäre das hier U Epsilon 3 von x. Aber weil das eben nur endlich viele sind, können wir uns einfach die Das heißt, wir setzen Epsilon an als das Minimum der Epsilon j, eine endliche

Menge hat immer ein Minimum und das nehmen wir. Und dann gilt, und zwar für

alle j, dass U Epsilon von x enthalten ist in U Epsilon j von x. Wir machen den Radius hier höchstens kleiner und U Epsilon j von x, das liegt hier in dj. Und jetzt liegt U Epsilon von x in dj für alle j, also liegt U Epsilon von x

auch im Durchschnitt der dj. Und hier noch eine Warnung, dieses Argument

können wir nicht mehr durchführen, wenn wir einen unendlichen Durchschnitt bilden. Es kann sein, dass dieser Durchschnitt wieder offen ist, es muss aber nicht sein. Und ich gebe Ihnen ein Beispiel, in dem das eben nicht so ist. Wir nehmen

einfach nur Epsilon-Umgebungen der Nullen und zwar setze ich in diesem Fall Epsilon als 1 durch n an und lasse n durch die natürlichen Zahlen laufen. Das sind natürlich offene Mengen und deren Durchschnitt ist nur die Zahl 0, also ein elementig. Und so eine einelementige Menge, die kann hier keine

ganze Epsilon-Umgebung mehr enthalten. Also einelementige Mengen hier sind nicht offen und demnach ist dieser unendliche Schnitt keine offene Menge mehr, obwohl alle Mengen, über die ich schneide, offen sind.