Reihen, das sind also unendliche Summen und wir sollten uns dafür interessieren, wann so eine Reihe konvergiert und wann nicht. Also wann diese unendliche Summe sinnbehaftet ist und wann nicht. Nun, eine Reihe, die heißt konvergent, wenn sie so, wie sie

definiert ist, konvergiert. Das heißt, wenn die Folge der Partialsummen S, N, K gleich 1 bis N über die AK konvergiert. Wenn dieser Limes existiert, der Partialsummenfolge, zum Beispiel gleich S ist,

dann schreiben wir auch die Summe K gleich 1 bis unendlich AK gleich S. Das heißt, dann belegen wir dieses Symbol für die Reihe wirklich auch mit dem Grenzwert. Und wenn eine

Reihe nicht konvergiert, dann nennen wir sie divergent, genauso wie bei Folgen oder sagen auch, diese Reihe hier existiert nicht. Gut, und dann gibt es den Spezialfall, wenn die Partialsummen eine Folge von reellen Zahlen ist, dann kann die bestimmt divergent sein. Sie kann gegen plus

unendlich oder minus unendlich gehen. Und dann schreiben wir das in diesen Spezialfällen auch für die Reihen so hin. Also Summe K gleich 1 bis unendlich der AK kann dann gleich unendlich oder auch

die wichtigste konvergente Reihe überhaupt, das ist die geometrische Reihe. Wir nehmen eine komplexe Zahl Q aus C mit Absolutbetrag kleiner als 1 und summieren die Potenzen von Q auf für

welche Exponenten K gleich 0 bis unendlich. Und meine Behauptung ist, das ist gleich 1 durch 1 minus Q. Ich habe hier geschrieben, die geometrische Reihe konvergiert genau für solche

Q, die Absolutbetrag kleiner als 1 haben. Das heißt, ist der Absolutbetrag größer oder gleich 1, dann divergiert diese Reihe. Und wenn Q dann eine reelle Zahl ist und echt größer als 1 ist, dann können wir sagen, sie hat eine bestimmte Divergenz gegen unendlich. Also beweisen

wir das. Nun, wir schauen uns, müssen wir, die Partialsummenfolge an. Also SM für K gleich 0

bis M die Summe über die Q hoch K. Das ist eine geometrische Summe und die haben wir berechnet. Das heißt, wenn Q nicht gerade 1 ist, dann steht da SM. Das ist der Bruch hier. Q hoch M plus 1

minus 1 durch Q minus 1. So und jetzt schauen wir uns diesen Bruch an. Was macht er für M gegen unendlich?

Nun, wenn Q-Betrag kleiner als 1, dann geht ja Q hoch M plus 1 gegen 0 für M gegen unendlich.

Das heißt, in dem Fall konvergiert die Partialsummenfolge und falls der Betrag von Q größer oder gleich

1 ist, dann divergiert SM. So, das heißt, wenn wir hier diesen Fall nehmen, wenn Q-Betrag

kleiner als 1, dann sehen wir der Limes für M gegen unendlich, der SM, das hier geht gegen 0, minus 1 durch Q minus 1 oder wenn ich mit minus 1 durchmultipliziere 1 durch 1 minus Q. Das heißt, wir haben

den Fall, dass Q gleich 1 ist. Nun, jetzt betrachten wir einfach alle diese Fälle. Für den Fall,

dass Q real ist und größer oder gleich 1, da weiß ich, dass der Limes für M gegen unendlich der SM. Ja, das ist auf alle Fälle unendlich, denn SM ist dann immer größer oder gleich

M plus 1 und das hier ist eine divergente Reihe und somit muss auch diese Reihe hier divergend sein.

Eine Sache möchte ich an dieser Stelle noch bemerken. Wir haben Reihen definiert als Partialsummenfolgen und die Grenzwerte sind genau die Grenzwerte der Partialsummenfolgen und das heißt aber auch,

dass sich die Grenzwertregeln für Folgen auf Reihen übertragen. Also, das heißt, insbesondere wenn wir zwei konvergente Reihen, Summe über die ak gleich a und Summe über die bk gleich b betrachten, dann konvergiert die Reihe über die Glieder alpha ak plus

beta bk auch und zwar für beliebige Konstanten alpha und beta aus C und die Grenzwerte, ja, was gilt für den Grenzwert? Der Grenzwert, diese Reihe, der setzt sich zusammen aus alpha a plus

beta b. Das ist also gar nicht schwierig, sondern wirklich nur eine einfache Folge der Grenzwertregeln für Folgen. Und noch eine wichtige Bemerkung muss ich an dieser Stelle machen.

Wir haben also gesagt, unsere Reihen, also unendliche Summen, das sind Partialsummenfolgen und dass wir das so definiert haben, das hat einen Hintergrund. Das ist der Folgende,

wenn wir endliche Summen betrachten, also nur die Summe über ak für k gleich 1 bis n, dann ist das auf alle Fälle etwas Wohldefiniertes. Das ist eine komplexe Zahl und in den komplexen Zahlen da gilt das Assoziativ und das Komputativgesetz. Das heißt, es ist vollkommen

egal, in welche Reihe ich diese endlich vielen Zahlen aufsummiere. Bei komplexen Reihen also bei unendlichen Summen ist das nicht mehr der Fall. Und dadurch, dass wir sagen,

unsere Reihe ist Partialsummenfolge, dadurch legen wir eine Reihenfolge fest der Summation. Also wir bilden erst die Summe aus a1, naja gut, mit a2, dann summieren wir a3

dazu, dann summieren wir a4 dazu und so weiter. Und das kann tatsächlich ganz unterschiedliche Ergebnisse bringen, wenn man in einer unendlichen Summe die Klammerung ändert.

Ich möchte Ihnen hier ein Beispiel geben. Wir betrachten die Summe der Einser und Minus der Einser. Also plus eins, minus eins, plus eins, minus eins, plus eins, minus eins. Was wir machen, wenn wir das hier als Reihe auffassen, in unserem Sinne ist, wir nehmen

die Folge der ak gleich minus eins hoch k für k gleich null bis unendlich und summieren dann also über minus eins hoch k. Das heißt, wir sagen, die n-te Partialsumme,

das sind also diese ersten n-ten Summanden hier, die ist dann gleich eins, wenn n gerade ist. S0 ist eins, S1 ist aber eins, minus eins, das ist null. Bei S2, da addiere ich

zu dieser null wieder eine eins dazu. Für S3 ziehe ich die aber wieder ab, et cetera, et cetera. Das heißt, unsere n-te Partialsumme ist eins, wenn n gerade ist und null, wenn n ungerade ist. Das heißt, unsere Partialsummenfolge nimmt zwei Werte an und ist damit divergent

und hat zwei Häufungspunkte eins und null. In dieser Summe entspricht das einer Klammerung, und zwar der, die ich hier angedeutet habe. Wir nehmen das erste Folgeglied, summieren das zweite dazu, dann das dritte, dann das vierte, dann das fünfte, dann das

sechste, et cetera. Das heißt, das ist diese Klammerung. Ich kann diese Summe hier aber auch noch ganz anders klammern. Ich kann zum Beispiel immer zwei Summanden, die aufeinander folgen, zusammennehmen. Also eins minus eins ausrechnen, plus eins minus

eins ausrechnen, plus eins minus eins ausrechnen, et cetera. Und das ist dann immer null. Jeder dieser Summanden ist null und alles aufaddiert würde auch null geben. Das würde aber der Reihe entsprechen der BKs. Also ich würde hier gar nicht AKs nehmen, sondern

ich würde sagen B0, das ist eins minus eins, das ist null. Dazu addiere ich B1, dann addiere ich B2, et cetera. Dann bekommen wir die Nullreihe raus und die konvergiert.

Das ist null. Ich kann aber auch noch eine Klammerung nehmen. Ich nehme wieder zwei aufeinander folgende Summanden hier immer zusammen, aber den ersten, den betrachte ich mal für sich alleinstehend. So, dann ist natürlich minus eins plus eins wieder null. Das heißt, wenn ich da meine Folgeglieder C0, C1, C2 setze, dann ist C0 gleich

eins und alle anderen Folgeglieder gleich null. Das entspricht der Reihe über die CK für K gleich null bis unendlich. Also eins plus der Summe über K gleich eins bis unendlich der CK. Diese hier ist gliedweise null. Also ist das Ganze hier

gleich null und ich erhalte nur diesen ersten Term eins. So, das heißt, eine Reihe als Partialsummenfolge zu betrachten, das ist eigentlich auch das Ergebnis

eines Prozesses in der Mathematik zu sagen, so eine unendliche Summe, die hängt von der Reihenfolge ab. Und wenn wir allgemein gültige Aussagen treffen wollen, dann müssen wir erst mal sagen, über was wir sprechen. Das heißt,

wir müssen eine Summationsreihenfolge kennenlernen. Wir werden im Laufe der Zeit auch noch zu Reihen kommen, die ganz besondere Eigenschaften haben und bei denen es dann wiederum egal ist, wie ich aufsummiere. Aber dazu später mehr.